隨機(jī)事件及其概率教程文件

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》主講：譚玉順2/5/2025第一章隨機(jī)事件與隨機(jī)變量隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)事件及其概率條件概率與獨(dú)立性隨機(jī)變量隨機(jī)變量分布2/5/2025在一定條件下，必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象。例1在平面上給一個三角形，則三個內(nèi)角之和為180度。（一）．隨機(jī)現(xiàn)象1.2隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件與樣本空間2/5/2025高等數(shù)學(xué)是研究確定性現(xiàn)象，主要研究函數(shù)注：本課程主要工具是微積分，如極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)，級數(shù)，定積分，二重積分等例2在一個大氣壓下，沒有加熱到100度不會沸騰。2/5/2025大量性隨機(jī)現(xiàn)象：可以在完全相同的條件下重復(fù)出現(xiàn)。例如拋硬幣。概率論只研究大量性隨機(jī)現(xiàn)象在完全相同的條件下重復(fù)出現(xiàn)時所表現(xiàn)出來的規(guī)律性。問題：隨機(jī)現(xiàn)象難道還有規(guī)律性嗎？隨機(jī)現(xiàn)象所表現(xiàn)出來的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律。2/5/2025概率論和數(shù)理統(tǒng)計的研究對象：概率論和數(shù)理統(tǒng)計是研究（大量性）隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。概率論和數(shù)理統(tǒng)計的研究方法：概率論研究方法是提出數(shù)學(xué)模型，然后研究它們的性質(zhì)，特點(diǎn)和規(guī)律性。數(shù)理統(tǒng)計是以概率論的理論為基礎(chǔ)，利用對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察所取得的數(shù)據(jù)資料來提出數(shù)學(xué)模型，并加以應(yīng)用。2/5/2025（二）隨機(jī)試驗(yàn)觀察一定條件下發(fā)生的隨機(jī)現(xiàn)象稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述條件：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2.試驗(yàn)之前能確定所有可能發(fā)生的結(jié)果，并且規(guī)定每次試驗(yàn)有且僅有一個結(jié)果出現(xiàn)；3.試驗(yàn)之前不能確定將會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。例1拋一枚硬幣。例2從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品。2/5/2025E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重。隨機(jī)試驗(yàn)的例子2/5/2025（三）樣本空間試驗(yàn)的每一個基本結(jié)果稱為一個樣本點(diǎn),記為;實(shí)驗(yàn)E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為,即

＝{1,2,…,n};.由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為一個基本事件,記為{}.

在概率論中討論一個隨機(jī)試驗(yàn)時，首先要求明確它的樣本空間。樣本空間可以根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的內(nèi)容來決定。但寫法不一定惟一。2/5/2025鑒于寫出樣本空間的重要性，舉一些例子。例5拋一枚硬幣觀察正反面出現(xiàn)的情況。正面Heads反面Tails例6拋二枚硬幣觀察它們正反面出現(xiàn)的況。2/5/2025例7從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。例8從包含兩件次品（記作）和三件正品（記作）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。）和三件正品（記作）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。2/5/20252/5/2025例9向某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點(diǎn)與目標(biāo)的距離。例10向某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點(diǎn)的分布情況。2/5/2025（四）．隨機(jī)事件例8從包含兩件次品（記作）和三件正品（記作）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。）和三件正品（記作）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。=“沒有抽到次品”2/5/2025=“抽到一個次品”=“抽到兩個次品”注意：它們都是樣本空間的子集（樣本點(diǎn)組成的集合）。2/5/2025樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。常用表示隨機(jī)事件。規(guī)定：隨機(jī)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)事件A

中有某一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)。記作這樣集合論就和概率論聯(lián)系起來了。2/5/2025

1.包含關(guān)系

“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為A

BA＝B

A

B且B

A.(五)隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算2/5/20252.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作ABn個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作2/5/20253.積事件:A與B同時發(fā)生，記作A

B＝ABn個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作A1A2…An2/5/20254.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生.2/5/20255.互斥的事件：AB＝

2/5/20256.互逆的事件

A

B＝,且AB＝

2/5/2025運(yùn)算律1、交換律：A

B＝B

A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A

B)

C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，(AB)

C＝(AC)(B

C)4、對偶(DeMorgan)律：2/5/2025例11：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：2/5/2025二、概率的定義及其運(yùn)算從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?事件A的概率應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？2/5/2025定義

事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).即

(一)頻率與概率2/5/2025

歷史上曾有人做過試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機(jī)會均等。

實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.50052/5/2025

頻率的性質(zhì):(1)0

fn(A)

1；(2)fn(

)＝1；fn(

)=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(A

B)＝fn(A)＋fn(B).實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值附近，可將此穩(wěn)定值可以反映事件A發(fā)生的可能性大小，作為事件A的概率。記作P(A).2/5/2025(二）古典概型與概率一個隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為滿足以下性質(zhì)：（1）樣本點(diǎn)總數(shù)有限，即有限；（2）每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等，即稱滿足以上2個性質(zhì)的模型為古典概型。2/5/2025

設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個數(shù)為N(A)，以N()記樣本空間

中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)：(1)0

P(A)

1；(2)P(

)＝1；P(

)=0(3)AB＝，則

P(A

B

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:2/5/2025例12:有三個都是獨(dú)生子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則三個家庭中至少有一個男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩N(

)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}2/5/2025例13（摸求問題）設(shè)合中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從合中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5一般地，設(shè)合中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是2/5/2025例14（分求問題）將3個球一個一個的隨機(jī)的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n個球隨機(jī)地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：2/5/2025某班級有n個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?N個人生日各不相同的概率2/5/2025例15（分組問題）30名學(xué)生中有3名運(yùn)動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動員的概率；（2）3名運(yùn)動員集中在一個組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動員;B:3名運(yùn)動員集中在一組一般地，把n個球隨機(jī)地分成m組(n>m),要求第i組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：2/5/2025例16（抽樣檢驗(yàn)）如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，我們采用有放回抽樣和無放回抽樣n次，問剛好有k件次品的概率為多少？2/5/2025（三）幾何概率基本思想：（１）如果一個隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間

充滿某個區(qū)域，其度量（長度、面積、體積等）大小可以用Ｓ

表示；（２）任意點(diǎn)落入度量相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的.譬如在樣本空間

中有一單位正方形Ａ和直角三角形Ｂ，而點(diǎn)落入?yún)^(qū)域Ａ和區(qū)域Ｂ是等可能的，因?yàn)檫@兩個區(qū)域面積相等；（３）若事件Ａ為

中的某個子區(qū)域，其度量大小可以用ＳＡ表示，則事件Ａ的概率為Ｐ（Ａ）＝ＳＡ／Ｓ

（=A的測度/的測度）2/5/2025例17會面問題：甲乙兩人約定在周末８時到９時在某地會面，先到者等候２０分鐘，若對方仍未到達(dá)，則離去，求兩人能會面的概率。例18從［０，１］中隨機(jī)取兩個數(shù)，求其積不小于２／９其和不大于１的概率。2/5/2025例19P11蒲豐投針問題（略）2/5/20252/5/2025(四)概率的公理化定義

注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義.2/5/20251.定義

若對隨機(jī)試驗(yàn)E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)非負(fù)性:

P(A)≥0；(2)規(guī)范性:P(

)＝1； (3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率。2/5/20252．一般概率的性質(zhì)性質(zhì)1：

性質(zhì)2：（有限可加性）設(shè)

兩兩互不相容，則性質(zhì)3：2/5/2025

性質(zhì)4設(shè)則推論：設(shè)則反之不成立。推廣：

性質(zhì)5：（并定理）推論：2/5/2025推廣：2/5/2025例２０某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報2/5/2025例２１

在1

10這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率，（2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。解:設(shè)A—取到的數(shù)能被2整除;Ｂ—取到的數(shù)能被3整除故2/5/2025乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念2/5/2025加法公式：設(shè)完成一件