浙江省亳州市2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

亳州市20172018學(xué)年度第一學(xué)期期末高二質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.橢圓的焦距為（）A．B．C．D．2.已知是等差數(shù)列的第項(xiàng)，則（）A．B．C．D．3.已知向量，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值是（）A．B．C．D．4.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．B．C.D．5.在中，已知，則（）A．B．C.或D．6.“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C.充要條件D．既不充分也不必要條件7.若坐標(biāo)原點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則（）A．B．C.D．8.若，且，則下列不等式成立的是（）A．B．C.D．9.已知，則直線與平面交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C.D．10.如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)為（）A．B．C.D．11.設(shè)，則的最小值是（）A．B．C.D．12.已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系，（其中為正常數(shù)，）且.若等式成立，則正整數(shù)的所有可能取值之和為（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.命題“”的否定為．14.在平行六面體中，為與的交點(diǎn).若，則向量可以用表示．15.若等比數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，則該數(shù)列的公比的取值范圍是．16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若直線上存在點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知，求：（1）；（2）與所成角的余弦值.18.在等差數(shù)列中，，公差，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，求.19.已知命題恒成立；命題方程表示雙曲線.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.在中，角對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若的外接圓半徑為，試求該三角形面積的最大值.21.如圖所示，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為是側(cè)棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的大小為，求四棱錐的體積.22.在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，三個(gè)內(nèi)角滿足.（1）若頂點(diǎn)的軌跡為，求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線交圓于不同的兩點(diǎn)（其中在的右側(cè)），求四邊形面積的最大值.試卷答案一、選擇題15:BDDAC610:ADCDB11、12：CB二、填空題13.，14.15.16.2三、解答題17.解：（1）因?yàn)閍∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，解得x＝2,y＝－4，這時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2,－4,－1)．又因?yàn)閎⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．（2）由（1）得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，設(shè)(a＋c)與(b＋c)所成角為θ，因此cosθ＝eq\f(5－12＋3,\r(38)·\r(38))＝－eq\f(2,19).18.解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，.（2）若成等比數(shù)列，則，即，∴∵，∴.19.解：（1），∵，∴，故命題為真命題時(shí)，．（2）若命題為真命題，則，所以，因?yàn)槊}為真命題，則至少有一個(gè)真命題，為假命題，則至少有一個(gè)假命題，所以一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題.當(dāng)命題為真命題，命題為假命題時(shí)，，則，或；當(dāng)命題為假命題，命題為真命題時(shí)，，舍去．綜上，，或.20.解：（1）又.，又，，，即21.解：（1）如圖①，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，易知又，∴四邊形為平行四邊形，∴.又三棱柱是正三棱柱，∴為正三角形，∴.∵平面，,而，∴平面.又，∴平面.而平面，所以平面平面.（2）（方法一）建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得.設(shè)為平面的一個(gè)法向量.由得即.顯然平面的一個(gè)法向量為，所以，即.所以.（方法二）如圖②，延長(zhǎng)與交于點(diǎn),連接.∵,為的中點(diǎn)，∴也是的中點(diǎn), 又∵是的中點(diǎn),∴.∵平面,∴平面.∴為平面與平面所成二面角的平面角.所以,∴. ∵作B1MA1C1與A1C1交于點(diǎn)M，∵正三棱柱ABCA1B1C1∴B1MAA1C1D，∴B1M是高，所以22.解：（1）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由正弦定理.∵，∴.∵∴即.由橢圓定義知，B點(diǎn)軌跡是以C，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，半焦距為，短半軸長(zhǎng)為，中心在原點(diǎn)的橢圓（除去左、右頂點(diǎn)）.∴B點(diǎn)的軌跡方程為.（2）易知直線的斜率存在，設(shè)，，，即，因?yàn)?設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，，，由，，，，.而，，易知，，，時(shí)取到，.亳州市20172018學(xué)年度第一學(xué)期期末高二質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)參考答案123456789101112BDDACADCDBCB13．，14．15．16．217.解：（1）因?yàn)閍∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，解得x＝2,y＝－4，這時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2,－4,－1)．又因?yàn)閎⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．……5分（2）由（1）得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，設(shè)(a＋c)與(b＋c)所成角為θ，因此cosθ＝eq\f(5－12＋3,\r(38)·\r(38))＝－eq\f(2,19).……10分18.解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，.……6分（2）若成等比數(shù)列，則，即，∴∵，∴.……12分19.解：（1），∵，∴，故命題為真命題時(shí)，．……5分（2）若命題為真命題，則，所以，……7分因?yàn)槊}為真命題，則至少有一個(gè)真命題，為假命題，則至少有一個(gè)假命題，所以一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題.……9分當(dāng)命題為真命題，命題為假命題時(shí)，，則，或；當(dāng)命題為假命題，命題為真命題時(shí)，，舍去．綜上，，或.……12分20.解：（1），……8分又，，……10分，即……12分21.解：（1）如圖①，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，易知又，∴四邊形為平行四邊形，∴.又三棱柱是正三棱柱，∴為正三角形，∴.∵平面，,而，∴平面.又，∴平面.而平面，所以平面平面.……6分（2）（方法一）建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得.設(shè)為平面的一個(gè)法向量.由得即.顯然平面的一個(gè)法向量為，所以，即.所以.……12分（方法二）如圖②，延長(zhǎng)與交于點(diǎn),連接.∵,為的中點(diǎn)，∴也是的中點(diǎn), 又∵是的中點(diǎn),∴.∵平面,∴平面.∴為平面與平面所成二面角的平面角.所以,∴. ∵作B1MA1C1與A1C1交于點(diǎn)M，∵正三棱柱ABCA1B1C1∴B1MAA1C1D，∴B1M是高，所以……12分22.解：（1）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由正弦定理.∵，∴.∵∴即.由橢圓定義知，B點(diǎn)軌跡是以C，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，半焦距為，短半軸長(zhǎng)為，中心在原點(diǎn)的橢圓（除去左、右頂點(diǎn)）.∴B點(diǎn)的軌跡方程為.………5分