高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）331拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（五大題型）

3．3．1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：拋物線的定義 4題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 6題型三：軌跡方程—拋物線 7題型四：拋物線距離和與差的最值問題 10題型五：拋物線的實際應(yīng)用 14

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識點詮釋：（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值（2）定義中的隱含條件：焦點不在準(zhǔn)線上，若在上，拋物線變?yōu)檫^且垂直與的一條直線．（3）拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化．知識點二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點O為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系．設(shè)（），那么焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為．設(shè)點是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合，將上式兩邊平方并化簡，得．①方程①叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，．知識點詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標(biāo)軸時，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的系數(shù)是焦點的對應(yīng)坐標(biāo)的4倍，比如拋物線的一次項的系數(shù)為，故其焦點坐標(biāo)是．一般情況歸納：方程圖象的開口方向焦點準(zhǔn)線時開口向右時開口向左時開口向上時開口向下④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項系數(shù)．用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論．⑤在求拋物線方程時，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來，不要遺漏某一種情況．【典型例題】題型一：拋物線的定義【典例11】（2024·高二·青海·期末）已知F為拋物線的焦點，點M在C上，且，則點M到y(tǒng)軸的距離為（

）A．6 B．5 C．4 D．【答案】C【解析】由題意及拋物線定義，點M到C的準(zhǔn)線的距離為6，所以點M到y(tǒng)軸的距離為.故選：C．【典例12】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）動點滿足方程，則點的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】由得，等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.【變式11】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）方程所表示的曲線為（

）A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線【答案】A【解析】化簡得，即動點到定點的距離與到直線的距離相等，且點不在直線上，故方程表示的曲線為拋物線．故選：A.【變式12】（2024·高二·上?！卧獪y試）設(shè)是直線l的法向量，A、B為兩個定點，，，P為一動點，若點P滿足：，則動點P的軌跡是（

）．A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【答案】B【解析】表示點P到直線l的距離，表示點P到點B的距離，由，得動點P到直線l的距離等于到點B的距離，且點B不在直線l上，故點P的軌跡為拋物線，故選：B【變式13】（2024·高三·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知點是拋物線上一點，若到拋物線焦點的距離為5，且到軸的距離為4，則（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8【答案】C【解析】由題意得，，其中，故，解得或8，故選：C【變式14】（2024·高二·陜西寶雞·期末）拋物線上與焦點的距離等于7的點的橫坐標(biāo)是（

）A．6 B． C． D．3【答案】C【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)點到的距離等于7，則，解得.故選：C.題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例21】（2024·高二·山東青島·期末）已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，請寫出一個拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】（任意一個均可以）【解析】與圓相切且與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線有，對應(yīng)的拋物線方程有：故答案為：（任意一個均可以）【典例22】（2024·高二·上?！て谥校╉旤c在坐標(biāo)原點，焦點在軸，且經(jīng)過的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】由題意，可設(shè)拋物線方程為，又拋物線經(jīng)過，所以，解得，所以所求拋物線方程為，故答案為：【變式21】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點為為拋物線上一點，若到軸的距離為5，且，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由拋物線，可得準(zhǔn)線方程為，因為，根據(jù)拋物線定義可知點到準(zhǔn)線的距離為，又因為到軸的距離為5，可得，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．【變式22】（2024·高三·江西南昌·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】根據(jù)題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上，不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由焦點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為可知，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【變式23】（2024·高三·北京·期中）已知拋物線頂點在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，從以下兩個條件中任選一個條件，使得拋物線開口向右，并根據(jù)所選條件寫出一個拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點；②經(jīng)過點.你所選的條件是，得到的一個拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】②【解析】頂點在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，開口向右的拋物線焦點在軸的正半軸上，因此條件①不可選，選擇條件②，設(shè)拋物線方程為，由拋物線經(jīng)過點，得，解得，所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：②；【變式24】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由橢圓的方程可得，所以橢圓的右焦點為2,0，所以，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：.題型三：軌跡方程—拋物線【典例31】（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點為動點，以線段為直徑的圓與軸相切．動點的軌跡的方程為.【答案】【解析】設(shè)，可得以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，由以線段為直徑的圓與軸相切，可得，整理得．故答案為：．【典例32】（2024·高三·福建寧德·期末）已知圓：與定直線：，動圓與圓外切且與直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【答案】【解析】設(shè)，動圓與圓外切且與直線相切，則有，化簡得.故曲線的方程為.故答案為：【變式31】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知點，在軸上，且，則外心的軌跡的方程；【答案】【解析】設(shè)外心為，且，，，由點在的垂直平分線上知由，得故即點G的軌跡S為：，故答案為：.【變式32】（2024·高二·遼寧沈陽·期中）已知點到定點的距離比它到軸的距離大，則，點的軌跡點的方程為．【答案】或【解析】依題意，得，即①，則，兩邊平方得，則②，兩邊平方得，整理得，即，可得或．當(dāng)時，②轉(zhuǎn)化為，所以，此時①轉(zhuǎn)化為，所以，所以點的軌跡的方程為或．故答案為:或．【變式33】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）寫出一個與直線相切，且與圓外切的圓的方程.【答案】（答案不唯一，只需滿足即可）【解析】如下圖所示：設(shè)所求圓的圓心為，圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓的半徑為，則，且圓心到直線的距離為，所以，點到點的距離等于點到直線的距離，所以，點的軌跡是以點為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)點的軌跡方程為，則，可得，所以，圓心的軌跡方程為，則，所以，圓心的坐標(biāo)可表示為，則圓的半徑為，所以，圓的方程為，故滿足條件的一個圓的方程為.故答案為：（只需滿足即可）.題型四：拋物線距離和與差的最值問題【典例41】（2024·高三·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知動點在拋物線上，，則該動點到點的距離與到軸的距離之和的最小值為.【答案】/【解析】由拋物線的方程為知，焦點為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義知動點到點的距離與到軸的距離之和可化為，當(dāng)三點共線，且在線段上時，有最小值，最小值為.故答案為：【典例42】（2024·高三·湖南·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點為，經(jīng)過點的直線與拋物線相交于兩點，且點恰為的中點，則.【答案】14【解析】由題意可得，設(shè)Ax1,過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義，得，故，因為的中點為，所以，可得，所以.故答案為：.【變式41】（2024·高二·上海·課后作業(yè)）已知拋物線，的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓C：上，則的最小值為.【答案】8【解析】如圖，過點向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)垂直于拋物線的準(zhǔn)線時，最小，此時線段與圓的交點為，因為準(zhǔn)線方程為，，半徑為，所以的最小值為.故答案為：8.【變式42】（2024·重慶九龍坡·三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為拋物線上的動點，在直線上的射影為，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)Px,y則，化簡整理得，所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓，拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，所以的最小值為.故答案為：.【變式43】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點，則的最大值是．【答案】4【解析】根據(jù)拋物線方程，可得，準(zhǔn)線方程為，作準(zhǔn)線l，M為垂足，又知，由拋物線的定義可得，故當(dāng)P，A，M三點共線時，取最大值，最大值為．故答案為：4.【變式44】（2024·陜西渭南·二模）若點A在焦點為F的拋物線上，且，點P為直線上的動點，則的最小值為.【答案】【解析】拋物線的焦點，準(zhǔn)線，設(shè)，則，解得，顯然，不妨設(shè)，關(guān)于直線的對稱點為，則因此，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，所以的最小值為.故答案為：【變式45】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線方程為，點，點在拋物線上，則的最小值為.【答案】3【解析】由題知點為焦點，由拋物線定義知就是點到準(zhǔn)線的距離，如圖，設(shè)點在準(zhǔn)線的射影為D，則，此時三點共線，即當(dāng)點縱坐標(biāo)為時，的值最小，最小值為.故答案為：3【變式46】（2024·廣東梅州·一模）已知點P，Q分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為【答案】【解析】由拋物線，可得焦點坐標(biāo)為F1,0，又由圓，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)定點，滿足成立，且，即恒成立，其中，代入兩邊平方可得：，解得：，，所以定點滿足恒成立，可得，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時，此時取得最小值，即，設(shè)Px,y，滿足，所以，，當(dāng)時，等號成立.所以的最小值為.故答案為：題型五：拋物線的實際應(yīng)用【典例51】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖①，上海黃浦江上的盧浦大橋，整體呈優(yōu)美的弧形對稱結(jié)構(gòu).如圖②，將盧浦大橋的主拱看作拋物線，江面和橋面看作水平的直線，主拱的頂端P到江面的距離為100m，且，則頂端到橋面的距離為（

）

A．50m B． C．55m D．【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，依題意可知，設(shè)拋物線方程為，其中為點到橋面的距離，則,解得．故選：A【典例52】（2024·高一·江蘇·期中）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為（

）

A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【答案】A【解析】以底部所在的直線為x軸，以線段CD的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系：

∴A(-40,0)，B(40,0)，E設(shè)拋物線的解析式為，將E0,200代入，得：200=a(0+40)(0-40)，解得：，∴拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，∴C（20，150），D(20,150)，∴CD=40m故選：A【變式51】（2024·全國·模擬預(yù)測）某社會實踐小組在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為21.6m，拱頂距水面10.9m，路面厚度約1m．若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】B【解析】以拱形部分的頂點為坐標(biāo)原點，水平線為x軸，垂直于軸，且方向向上，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為．易知拋物線過點，則，得，所以，所以．故選：B．【變式52】（2024·山西晉城·一模）吉林霧淞大橋，位于