2022北京石景山高二(上)期末數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京石景山高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．直線的傾斜角為A． B． C． D．2．點(diǎn)到直線的距離等于A．7 B．5 C．3 D．23．已知，是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則4．已知平面的法向量為，，，平面的法向量為，2，，若，則A． B． C．1 D．25．下列雙曲線中以為漸近線的是A． B． C． D．6．若，，，，0，，，2，，則的值為A．3 B．4 C．7 D．157．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，和分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成角的余弦值是A． B． C． D．8．已知橢圓的焦點(diǎn)為，．過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為8，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．9．已知直線和圓，則直線與圓的位置關(guān)系為A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定10．我們知道：用平行于圓錐母線的平面（不過頂點(diǎn)）截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于)A． B． C． D．1二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積是．12．如果直線與直線垂直，那么．13．正方體的棱長(zhǎng)是1，則直線與平面所成角的大小為．14．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．15．在平面直角坐標(biāo)系中，到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之積等于2的軌跡記作曲線．對(duì)于曲線，有下列四個(gè)結(jié)論：①曲線是軸對(duì)稱圖形；②曲線是中心對(duì)稱圖形；③曲線上所有的點(diǎn)都在單位圓內(nèi)；④曲線上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（6分）已知點(diǎn)，，．求：（Ⅰ）邊上的中線所在直線的方程；（Ⅱ）三角形的面積．17．（8分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面．18．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，的外接圓為圓，直線的方程為．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，，求的值．19．（9分）如圖1，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形折起，使，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，如圖2．（Ⅰ）求二面角的大??；（Ⅱ）設(shè)，若所在直線與平面相交，求的取值范圍．20．（9分）橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．【分析】先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角．【解答】解：直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，又，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜率與傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由已知代入點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．【解答】解：由已知代入點(diǎn)到直線的距離公式可得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題．3．【分析】對(duì)于，與相交、平行或異面；對(duì)于，與相交或平行；對(duì)于，與相交或平行；對(duì)于，由線面垂直的性質(zhì)得．【解答】解：，是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，對(duì)于，若，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則由線面垂直的性質(zhì)得，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題．4．【分析】設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．由于，可得，因此實(shí)數(shù)使得．再利用向量共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．【解答】解：設(shè)平面的法向量，，，平面的法向量，2，．，，實(shí)數(shù)使得．，得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互平行的兩個(gè)平面的法向量共線的性質(zhì)、向量共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】利用雙曲線的漸近線方程，直接判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)榈臐u近線方程為：，所以選項(xiàng)正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．6．【分析】先求得，由此求得的值．【解答】解：依題意，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如圖，將平移到，平移到，則為直線與所成角棱長(zhǎng)為1，則，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分析可得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得的周長(zhǎng)為，則有，即可得的值，計(jì)算可得的值，將、的值代入橢圓的方程即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)為，，即橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且；又由的周長(zhǎng)為8，則有，變形可得，則；故要求橢圓的方程為；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程，注意的周長(zhǎng)為，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】由直線系方程可知直線過定點(diǎn)，再說明定點(diǎn)在圓內(nèi)，可得直線與圓的位置關(guān)系．【解答】解：由直線，得，可知直線過定點(diǎn)，化圓為，知圓心，半徑為2，，則在圓內(nèi)，直線與圓的位置關(guān)系為相交．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．10．【分析】過點(diǎn)作，垂足為，由已知條件可推得，，，在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，再結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：如圖①所示，過點(diǎn)作，垂足為，是母線的中點(diǎn)，圓錐的底面半徑和高均為2，，，在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，如圖②所示，設(shè)拋物線的方程為，為拋物線的焦點(diǎn)，，，解得，故該圓錐曲線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11．【分析】由棱錐的體積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換．【解答】解：是中點(diǎn)，．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查錐體體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】?jī)芍本€垂直則、前系數(shù)對(duì)應(yīng)相乘相加為0，解出即可．【解答】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得或0．故答案為：或0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩直線垂直滿足的公式，屬于簡(jiǎn)單題．13．【分析】根據(jù)題意，畫出直觀圖，直接作出直線與平面所成的角為，通過簡(jiǎn)單計(jì)算可得．【解答】解：根據(jù)題意，如上圖所示，連接與交于，易知：，平面，則有：，綜上可得：平面，故有：為直線與平面所成的角，那么，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．【分析】當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，過的切線與直線平行，設(shè)與平行，且與拋物線相切的直線為，由△可得，即可求解．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，過的切線與直線平行，設(shè)與平行，且與拋物線相切的直線為，聯(lián)立可得，由△可得，方程的解為，此時(shí)切點(diǎn)為，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)、切線問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．15．【分析】求出曲線的方程，利用曲線的對(duì)稱性可判斷①②的正誤；取點(diǎn)，可判斷③的正誤；由已知可得，令，可知函數(shù)有非負(fù)零點(diǎn)，求出的取值范圍，可判斷④的正誤．【解答】解：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，化簡(jiǎn)可得，即曲線的方程為．對(duì)于①，在曲線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，點(diǎn)在曲線上，故曲線為軸對(duì)稱圖形，①對(duì)；對(duì)于②，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，點(diǎn)在曲線上，故曲線為中心對(duì)稱圖形，②對(duì)；對(duì)于③，令，可得，解得，因?yàn)?，即點(diǎn)在單位圓外，③錯(cuò)；對(duì)于④，由可得，令，，若，則．若有一個(gè)正零點(diǎn)、一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，則，解得；若有兩個(gè)正零點(diǎn)，則，此時(shí)不等式組無解．綜上所述，，，④對(duì)．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程問題，圖形的對(duì)稱性，軌跡中的范圍問題等知識(shí)，屬于中等題．三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．【分析】（Ⅰ）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，從而求出邊上的中線所在直線的方程．（Ⅱ）由點(diǎn)，的坐標(biāo)求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角形面積公式即可求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ），，邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為．（Ⅱ）點(diǎn)，，直線的斜率為，直線的方程為，即，又，點(diǎn)到直線的距離為，又，三角形的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的一般方程，考查了點(diǎn)到直線距離公式以及三角形面積公式，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．17．【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行即可；（2）根據(jù)線面垂直得線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直．【解答】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，且．又因?yàn)椋?，所以，且．所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，，所以，又，、平面，所以平面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行，線面垂直，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）由已知可得圓心坐標(biāo)及半徑，則圓的方程可求；設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)可得弦心距，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求解．【解答】解：（Ⅰ）圓經(jīng)過點(diǎn)、、，，，圓心為，半徑為，則圓的方程為；設(shè)圓心到直線的距離為，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，，，得，則，，解得或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）用向量數(shù)量積計(jì)算二面角的余弦值；（Ⅱ）與平面相交，即為不平行，用求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意知、、兩兩垂直，建系如圖，，1，，，0，，，0，，，2，，，，，，，，，1，，令，0，，，1，，因?yàn)?，，是平面的法向量，因?yàn)椋?，是平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，因?yàn)闉殁g角，所以，所以．（Ⅱ）解：因?yàn)椋?，，所以?，，，0，，要使所在直線與平面相交，只要所在直線與平面不平行，即，解得．所以的取值范圍為，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二面角的計(jì)算問題，考查了直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題．20．【分析