2024年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊全冊基礎(chǔ)知識點總結(jié)匯編

2024年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊全冊基礎(chǔ)知識點總結(jié)匯

編(精心整理)

21.1一元二次方程

知識點——元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的

方程，叫做一元二次方程。

注意一下幾點：

①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。

知識點二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0(aW0).其中，ax?是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一

次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。

知識點三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方

程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。

典型例題：

m2-l

1、已知關(guān)于x的方程(m+G)x+(m-3)T=0是一元二次方程，求m的值。

21.2降次一一解一元二次方程

21.2.1配方法

知識點一直接開平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接

開平方。一般地，對于形如x2=a(aN0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得

Xi-Vo,X2=-y/ci.

(2)直接開平方法適用于解形如x2=p或(^lx+a)2=p(^lW0)形式的方程，如果pNO,就可

以利用直接開平方法。

(3)用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方

根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

(4)直接開平方法解一元二次方程的步驟是：

①移項；

②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1;

③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；

④解一元一次方程，求出原方程的根。

知識點二配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把

一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。

配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；

(2)方程兩邊都除以二次項系數(shù)；

(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；

(4)若等號右邊為非負(fù)數(shù)，直接開平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知識點一公式法解一元二次方程

(1)一般地，對于一元二次方程ax,bx+cRQWO),如果b?-4acN0,那么方程的兩個

—b±Jb—A-cic

根為x=----N-------------,這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，

2a

我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法

叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=O(a#0)的過程。

(3)公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a^=0),一般a化為正值

②確定公式中a,b,c的值，注意符號；

③求出b2-4ac的值；

④若b,TacNO,則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b?-4ac<0,則

方程無實數(shù)根。

知識點二一元二次方程根的判別式

式子b2-4ac叫做方程ax?+bx+c=O(aW0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，

即△=b?-4ac.

21.2.3因式分解法

知識點一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一邊化為0,而另一邊分解成兩個一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求

兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的詳細(xì)步驟：

①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0;

②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和

完全平方公式；

③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知識點二用合適的方法解一元一次方程

方法名稱理論依據(jù)適用范圍

直接開平方法平方根的意義形如x'p或(mx+n)2=p(p^O)

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解法當(dāng)ab=O,則a=0或b=0一邊為0,另一邊易于分解成兩個一

次因式的積的一元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

若一元二次方程x?+px+q=O的兩個根為Xi,X2,則有xi+x2=-p,xix2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aW0)有兩個實數(shù)根Xi,X2,則有Xi+x=--,XiX=-

2a2a

22.3實際問題與一元二次方程

知識點一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：

(1)審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間

的等量關(guān)系。

(2)設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。

(3)歹上列方程是關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等含義，然

后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。

(5)驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。

（6）答：寫出答案。

知識點二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型

（1）數(shù)字問題

三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個數(shù)為X,則另兩個數(shù)分別為X-1,x+lo

三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個數(shù)為X,則另兩個數(shù)分別為X-2,x+2。

三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c,則這個三位數(shù)是

100a+10b+c.

（2）增長率問題

設(shè)初始量為a,終止量為b,平均增長率或平均降低率為x,則經(jīng)過兩次的增長或降低后

2=

的等量關(guān)系為a（1±尤）bo

（3）利潤問題

利潤問題常用的相等關(guān)系式有：

①總利潤:總銷售價-總成本；

②總利潤=單位利潤X總銷售量；

③利潤;成本X利潤率

（4）圖形的面積問題

根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)

式表示出來，建立一元二次方程。

中考回顧

1.（2017四川綿陽中考）關(guān)于x的方程2/力〃xW=0的兩個根是-2和1,則的值為（C）

A.-8B.8C.16D.-16

2.（2017新疆中考）已知關(guān)于x的方程/以-a=0的一個根為2,則另一個根是（A）

A.-3B.-2C.3D.6

3.（2017河南中考）一元二次方程2/-5廠2旬的根的情況是（B）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

4.（2017青海西寧中考）若荀,豆是一元二次方程/抬x巧力的兩個根，則錯誤!未找到引用

源。蒞為錯誤!未找到引用源。的值是巫

5.（2017內(nèi)蒙古赤峰中考）如果關(guān)于x的方程4k2/0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m

的取值范圍是加＜2.

6.（2017四川成都中考）已知荀,苞是關(guān)于x的一元二次方程x^x+a^的兩個實數(shù)根，且

錯誤!未找到引用源。=10,則錯誤!未找到引用源。

4

模擬預(yù)測

1.方程系以T2旬的兩個根為（D）

A.荀二一2，茍=6B.荀=-6,涇之

C.荀二-3,茍ND.茍二一4,也3

2.對形如（x/勿）2司的方程，下列說法正確的是（C）

A.都可以用直接開平方得廣-勿上錯誤!未找到引用源。B.都可以用直接開平方得

上錯誤!未找到引用源。

C.當(dāng)77^0時，直接開平方得產(chǎn)-勿士錯誤!未找到引用源。D.當(dāng)時,直接開平方得

產(chǎn)-〃上錯誤!未找到引用源。

3.三角形的兩邊長分別為2和6,第三邊是方程/-10x^214）的解，則第三邊的長為

（A）

A.7B.3

C.7或3D.無法確定

4.為解決群眾看病貴的問題，有關(guān)部門決定降低藥價,對某種原價為289元的藥品進(jìn)行連

續(xù)兩次降價后為256元，設(shè)平均每次降價的百分率為工則下面所列方程正確的是

A

A.289(1x)2=256B.256(1-T)2=289C.289(1-2^)=256

D.256(1-2x)-289

5.若關(guān)于x的一元二次方程("-1)系用的常數(shù)項為0,則力的值等于()

A.1B.2C.1或2D,0

解析：|由常數(shù)項為零，知/2-3加2可，解之，得勿k1,生之.又二次項系數(shù)勿TWO,所以勿WL

綜上可知，"=2.故選B.

6.若關(guān)于x的一元二次方程/-3x-2a-0有兩個實數(shù)根，則a可取的最大負(fù)整數(shù)

為.

施晅由題意可知/內(nèi)/8a20,故避誤!未找到引用源。，所以a可取的最大負(fù)整數(shù)

為T.

7,已知荀,在是關(guān)于x的一元二次方程系—(2加3)x癡巾的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足

荀依2年，則/的值是.

解析：|因為一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以「(2加3)『―4"2為，即加譚誤!未

找到引用源。；由根與系數(shù)的關(guān)系可知不切2=2勿城3,所以2加34，得/1=T,痣=3,故勿=3.

8.某地特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價為40元/千克，如果按60元/千克出售，那么平均每

天可售出100kg.后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售量可增加

20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請回答：

(1)每千克核桃應(yīng)降價多少元？

⑵在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的

幾折出售？

⑴設(shè)每千克核桃應(yīng)降價x元，根據(jù)題意，得

(60-才-40)錯誤!未找到引用源。-2240.

化簡，得/-10^24-0.

解得荀刊，蒞力.

答：每千克核桃應(yīng)降價4元或6元.

（2）由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元，因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克

核桃應(yīng)降價6元.此時，售價為604書4（元），所以錯誤!未找到引用源。100%=90%.

答:該店應(yīng)按原售價的九折出售.

第22章二次函數(shù)知識點歸納及相關(guān)典型題

第一部分基礎(chǔ)知識

1.定義：一般地，如果丁=/+5x+c(q,仇°是常數(shù)，awO),那么y叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)丁=以2的性質(zhì)

(1)拋物線>=依2的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸.

(2)函數(shù)丁=依2的圖像與“的符號關(guān)系.

①當(dāng)a>0時o拋物線開口向上o頂點為其最低點；

②當(dāng)a<0時o拋物線開口向下o頂點為其最高點.

(3)頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為y=ax2(a2。).

3.二次函數(shù)丁=以2+公+0的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)y=ax2+6x+c用配方法可化成：

y=入)2+上的形式，其中”=--―,k=.

la4a

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①y=ax?；(2)y=ax~+k;(§)y-a(x-/i)~;(4)y-a(x-h)2+k;(5)y-ax2+bx+c.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下；

時越大，拋物線的開口越小；時越小，拋物線的開口越大。

②平行于y軸(或重合)的直線記作％=兒特別地，y軸記作直線x=0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的

開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.

8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

(1)公式法：y=ax2+bx+c=c^x+—+,

I2aJ4a

???頂點是(-2,女匕生)，對稱軸是直線》=-2.

2a4a2a

(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x-九)2+左的形式，得到頂

點為(3左)，對稱軸是直線％=近

(3)拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點的連線

的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失.

9.拋物線y=ox7+6x+c中，a,b,c的作用

(1)。決定開口方向及開口大小，這與y=依2中的。完全一樣.

(2)匕和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yuad+bx+c的對稱軸是直線

%=,故：①0=0時，對稱軸為y軸；②2〉0(即a、b同號)時，對稱軸在y軸

laa

左側(cè)；③2<0(即a、b異號)時，對稱軸在y軸右側(cè)，“左同右異”.

a

(3)C的大小決定拋物線y=ad+6x+c與y軸交點的位置.

當(dāng)x=0時，y=c,拋物線y=ax?+6x+c與y軸有且只有一個交點(0,c):

①c=0,拋物線經(jīng)過原點；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半軸.

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

y=ax2%=0(y軸)(0,0)

當(dāng)a>0時

y=ax2+k%=0(y軸)(0,k)

開口向上

y=a(x-h)2x-h(A.O)

當(dāng)a<0時

y=a{x-hf+kx-h(h,k)

開口向下b

y=ax1+bx+cx=---/b4ac-b2\

la

2a94〃

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：ynaf+fcc+c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(x-獷+4.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)X］、x2,通常選用交點式：y=?(%-x^x-x^).

12.直線與拋物線的交點

（1）y軸與拋物線y=ax?+6x+c得交點為（0,c）.

（2）與y軸平行的直線％="與拋物線丁=ax1+6x+c有且只有一個交點（%,+劭+°）.

（3）拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)y=ax?+6x+c的圖像與％軸的兩個交點的橫坐標(biāo)修、%2,是對應(yīng)一元二次

方程aY+法+c=。的兩個實數(shù)根.拋物線與％軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次

方程的根的判別式判定：

①有兩個交點oA>00拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）oA=0o拋物線與x軸相切；

③沒有交點oA<0o拋物線與x軸相離.

（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有。個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的

縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為則橫坐標(biāo)是OX?+8x+c=上的兩個實數(shù)根.

（5）一次函數(shù)y=kx+n（kH0）的圖像/與二次函數(shù)y=ax?+法+《”0）的圖像G的交點，

由方程組F=履:"的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時o/與G

y=ax+Zzx+c

有兩個交點；②方程組只有一組解時o/與G只有一個交點；③方程組無解時o/

與G沒有交點.

（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=ax?++c與x軸兩交點為

A（xP0）,B（X2,0）,由于X］、％是方程ax?+/?x+c=0的兩個根，故

中考回顧

1.（2017天津中考）已知拋物線4"3與x軸相交于點46（點/在點￡左側(cè)），頂點為

〃平移該拋物線，使點〃平移后的對應(yīng)點"'落在X軸上，點￡平移后的對應(yīng)點夕落在y

軸上，則平移后的拋物線解析式為(A)

A.產(chǎn)/+2戶1B.y=x-^2^-1C.D.y-x-Q.x-Y

C.abc<0,Z?2-4ac<0

D.abcX),52-4ac<0

3.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考)如果關(guān)于x的方程4戶2/0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m

的取值范圍是勿e.

4.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考)如圖，二次函數(shù)y=ax2Mx九gwo)的圖象交x軸于46兩點，

交y軸于點〃，點￡的坐標(biāo)為(3,0),頂點。的坐標(biāo)為(1,4).

備用圖

(1)求二次函數(shù)的解析式和直線龍的解析式；

(2)點〃是直線M上的一個動點，過點〃作x軸的垂線，交拋物線于點M,當(dāng)點〃在第一象

限時，求線段期長度的最大值；

⑶在拋物線上是否存在異于氏〃的點。，使△龍。中M邊上的高為2錯誤!未找到引用

源。，若存在求出點。的坐標(biāo);若不存在請說明理由.

國(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-

:?點庾3,0)在該二次函數(shù)的圖象上,

.：0=a（3—1）"題,解得:a--l.

二二次函數(shù)的解析式為y=-x+2x+3.

:,點〃在y軸上，所以可令產(chǎn)0,解得:尸3.

.:點〃的坐標(biāo)為（0,3）.

設(shè)直線血的解析式為y=kx丹，把（3,0）代入得3A刊R,解得:A=-1.

.：直線血的解析式為y=-x+3.

（2）設(shè)點〃的橫坐標(biāo)為"（加0）,則〃（勿，-加3）,-in+2m+3）,

制人-勿*勿+3-（-加3）=4+3片T,"1-三+；錯誤！未找到引用源。，冏/最大值為錯

誤!未找到引用源。

⑶如圖，過點。作0G〃y軸交物于點G,作四LM于點〃則QHN錯誤!未找到引

用源。

設(shè)Q{x,~x+2x+3）,則G（x,-才+3）,

QG=I~x彳2x城3-（-x城3））=!~x+3x.

丁△〃如是等腰直角三角形，

.：N3N5°,.：N2=N1N5°.

.：sinNl二錯誤!未找到引用源。，二06%.

得/-半埒X14,

當(dāng)r2代xN時，/KT6<t）,方程無實數(shù)根.

當(dāng)-X抬x=—4時，解得：荀=—1,苞3,0（4,七），Q（—1,0）.

模擬預(yù)測

1.已知二次函數(shù)9二左系與工內(nèi)的圖象與x軸有交點，則K的取值范圍是（D）

A.k<3B.4⑶且KWOC.AW3D.KW3,且KW0

2.若點〃(-2,%),MT,%)1(8,%)在拋物線尸逐誤!未找到引用源。a?攵x上,則下列結(jié)

論正確的是(C)

A.K@B.%&C.%55D.Xi<>3<>>

鹿》=-2時，％=-錯誤！未找到引用源。/企尸-錯誤！未找到引用源。(-2尸企X

(-2)-2-4-6,

產(chǎn)T時,左二濯誤!未找到引用源。/也產(chǎn)Y昔誤!未找到引用源。(-1)*X(-1)=潞誤！

未找到引用源。-2=-2錯誤!未找到引用源。，

產(chǎn)8時,為二避誤！未找到引用源。入2廣端誤！未找到引用源。8^2X8-32^16—16.

S,-16<-6<-2錯誤!未找到引用源。，二故選C.

3.已知一元二次方程ax2%x+c=0(a?)的兩個實數(shù)根豆,蒞滿足xv+x2=^和苞?涇二3,則二

次函數(shù)y=ax+bx+c(a*)的圖象有可能是()

解析：：.荀+蒞4二力昔誤!未找到引用源。4

.：二次函數(shù)的對稱軸為廣/昔誤!未找到引用源。N

:%?蒞=3,錯誤!未找到引用源。=3.

當(dāng)aX時，c>0,二二次函數(shù)圖象交于y軸的正半軸.

4.小明在用“描點法”畫二次函數(shù)y=ax2Mx九的圖象時，列了如下表格:

??????

X-2-1012

-6錯-2錯-2錯

誤！誤！誤！

y???未找-4未找-2未找???

到引到引到引

用用用

源。源。源。

根據(jù)表格中的信息回答問題:該二次函數(shù)y=ax+bx+c在x=3時,-4.

5.若關(guān)于x的函數(shù)y=kx彳2xT與x軸僅有一個公共點，則實數(shù)K的值為F0或A=~L

6.拋物線y=-V+bx+c的圖象如圖，若將其向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長

度，則平移后的解析式為.

解析：|由題中圖象可知，對稱軸x=l,所以-錯誤!未找到引用源。=1,即5=2.

把點(3,0)代入y=-x2x+c,得c=3.

故原圖象的解析式為y=-x+2x+3,即y=-(xT)04,然后向左平移2個單位，再向下平

移3個單位，得p=-(x-16)之％-3,即y-/-2x|答案：|尸-系_2x

7.如圖①，若拋物線的頂點A在拋物線。上,拋物線。的頂點人也在拋物線上(點A

與點，不重合)，我們把這樣的兩拋物線"?；シQ為“友好”拋物線，可見一條拋物線的

“友好”拋物線可以有很多條.

(1)如圖②，已知拋物線Lx-8x+i與y軸交于點C,試求出點。關(guān)于該拋物線對稱軸

對稱的對稱點〃的坐標(biāo)；

(2)請求出以點〃為頂點的心的“友好”拋物線A的解析式，并指出乙與心中y同時隨x

增大而增大的自變量的取值范圍；

(3)若拋物線片Si(XR)②切的任意一條“友好”拋物線的解析式為尸&(X-力尸”,請寫出

囪與色的關(guān)系式，并說明理由.

.二產(chǎn)25-2)2".

?：頂點為(2,-4),對稱軸為x%

設(shè)xR,則尸4,.：C(0,4).

?:點。關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點〃的坐標(biāo)為(4,4).

(2):?以點〃(4,4)為頂點的〃的友好拋物線乙還過點(2,/),.：乙的解析式為

尸-25")2題..：乙與乙中y同時隨X增大而增大的自變量的取值范圍是2WxW4.

(3)3i=~a，2,

理由如下：：?拋物線￡i的頂點4在拋物線心上,拋物線心的頂點方也在拋物線￡i上,

.：可以列出兩個方程錯誤!未找到引用源。￡

(k=+n.②

由①+②)、得(a七2)(力-力)2；=0,??4二-〃2.

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

知識點一旋轉(zhuǎn)的定義

在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點。轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點

。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。

知識點二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾

角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

理解以下幾點：

（1）圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心

的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改

變，只改變了圖形的位置。

知識點三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖

旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）

對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。

步驟可分為：

①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；

②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）

③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點；

④接：即連接到所連接的各點。

23.2中心對稱

知識點一中心對稱的定義

中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個圖形重合，那么

就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。

注意以下幾點：

中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；

只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180。兩個圖形能夠完全重合。

知識點二作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形

要作出一個圖形關(guān)于某一點的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點關(guān)于對稱

中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。

知識點三中心對稱的性質(zhì)

有以下幾點：

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心

平分；

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；

(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或共線)且相等。

知識點四中心對稱圖形的定義

把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么

這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

知識點五關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個點關(guān)于原點對稱，它們的坐標(biāo)符號相反，即點p(x,y)

關(guān)于原點對稱點為(-x,-y)o

中考回顧

L（2017四川綿陽中考）下列圖案中，屬于軸對稱圖形的是（A）

ABCD

2.（2017天津中考）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中，可以看作

是軸對稱圖形的是（C）

禮迎全運

ARCD

3.（2017內(nèi)蒙古呼和浩特中考）圖中序號⑦②③④對應(yīng)的四個三角形，都是△45。這個圖

形進(jìn)行了一次變換之后得到的，其中是通過軸對稱得到的是（0A）

A.①B.②C.③D.?

解析::?軸對稱是沿著某條直線翻轉(zhuǎn)得到新圖形,

.：通過軸對稱得到的是①故選A.

4.（2017西寧中考）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（A）

A.等邊三角形B.平行四邊形C.正六邊形D.圓

5.（2017江蘇淮安中考）點尸（1,-2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（C）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（-1,-2）D.（-2,1）

畫）（1,-2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（-1,-2），故選C.

6.（2017四川宜賓中考）如圖，在矩形ABCD中,BC電CD=Q,將△板沿旗折疊，使點4恰

好落在對角線切上的點分處，則龍的長是（C）

A.3B.錯誤!未找到引用源。C.5D.錯誤！未找到引

C

用源。R

解析：：?在矩形被力中，N陰爐90°,

且由折疊可得△應(yīng)7Z△應(yīng)4

.：NBFE5°,AE=EF,AB=BF,

在Rt/\ABD中,AB=CD$,BC=AD4,

根據(jù)勾股定理得切=10,即777-10-6=4,

設(shè)EF-AE-x,則有ED1-x,

根據(jù)勾股定理得/弘2=（8））2,

解得X」,所以屬8-3巧,故選C.

7.（2017山東棗莊中考）如圖,把正方形紙片胸先沿對邊中點所在的直線對折后展開,

折痕為MN,再過點6折疊紙片，使點A落在脈上的點分處,折痕為BE.若AB的長為2,則

陽的長為（B）

A.2B.錯誤!未找到引用源。C.錯誤!未找到引用源。D.1

解析：|：?四邊形施力為正方形，止2,過點夕折疊紙片，使點A落在脈上的點尸處，.:

除浪=2,%1,則在Rt△頗中，司/=錯誤!未找到引用源。，故選B.

8.（2017湖南長沙中考）如圖，將正方形第W折疊,使頂點A與或邊上的一點〃重合（〃

不與端點重合），折痕交47于點瓦交BC于點F,邊Z夕折疊后與邊

無交于點G.設(shè)正方形屈力的周長為力,蘇的周長為n,則錯誤！未

找到引用源。的值為（B）

A.錯誤！未找到引用源。B.錯誤！未找到引用源。C.錯誤！未找到引用源。D.隨

〃點位置的變化而變化

邂近設(shè)組乂如1■于則應(yīng)白昔誤！未找到引用源。-X,酹身*昔誤!未找到引用源。-y,7

/EHG挈。，，/DHE+/CHG50.

[NDHE+/DEH由?！?

.：/DEH=/CHG,

又.；/D=/60°,ADEHs△CHG,

.：錯誤!未找到引用源。，即錯誤!未找到引用源。黑=：=率，

.：CG=錯誤!未找到引用源。，於錯誤!未找到引用源。，

△狽的周長27=曲工創(chuàng)面*昔誤!未找到引用源。，

在Rt△府中m+Dm=Ek

即錯誤！未找到引用源。川二錯誤！未找到引用源。，

整理得錯誤！未找到引用源。昔誤！未找到引用源。，

.：□二曲6Mt誤！未找到引用源。.

故錯誤！未找到引用源。.故選B.

模擬預(yù)測

1.下列標(biāo)志中，可以看作是中心對稱圖形的是（D）

?&S0

ABCD

2.下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（B）

OAeK

ABCD

3.如圖，把一張矩形紙片被初沿對角線2。折疊，點8的對應(yīng)點為與優(yōu)相交于點

瓦則下列結(jié)論一定正確的是（）

D.——

AB

A.ZDAB'=ZCAB'B./ACD=/B'CD

C.AD=AED.AE=CE

4.如圖，把一張長方形紙片對折,折痕為Z員再以28的中點0為頂點把平角NZ加三等分,

沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以。為頂點的等腰三角形，那么剪出的

等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（D）

A.正三角形B.正方形

C.正五邊形D.正六邊形

解析:根據(jù)第一次對折以及三等分平角可知將3600進(jìn)行6等分,即多邊形的中心角為

60°,由最后的剪切可知所得圖形符合正六邊形特征.故選D.

5.如圖，直線1是四邊形ABCD的對稱軸.若冊@，有下面的結(jié)論：（DAB//CD-,②4c_1股

③40=0C；④岱比:其中正確的結(jié)論有.（填序號）

答案：①②③

6.如圖，在四邊形ABCD中，點胴N分別在AB,BC上，將/XBMN沿的翻折，得△的,若加

//AD,FN//DC,則ZB=95°

解析：|VFN//DC,.：NBNF=4。=70°.

TMF〃AD,二NBMF=NA工。0°.

由翻折知，Nb=NA

又:/BMF+NB+/BNF+/F460°,

.：100°+NBH0°+NE60°,

.：N/=N必錯誤！未找到引用源。斗5°.

7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，若△被7與△4BG關(guān)于點七成中心對稱,則對稱中心點￡

的坐標(biāo)是（3,T）

----r-K'-?-'-r'xAf.-l.-1-----

-：5

?pliCii???

---「國工飛之

't4'''Ai''

8.在RtAJ^r中，/BAC馮0°,AB4,M為邊死上的點，連接加（如圖）.如果△四沿直線

加翻折后，點，恰好落在邊ZC的中點處,那么點〃到力。的距離是2.

A

解析:加圖，過點〃作戚LZC于N,8、二\

公，

由折疊性質(zhì)可知，N9仁N創(chuàng)45。.

:?點夕恰好落在邊的中點處，

.:心2ZA6

：24謠=90°,

/.ACAM=ZAMN^°.

.：MN=AN.

由得錯誤!未找到引用源。，

.：錯誤!未找到引用源。.

.：MN=2.

9.△板1在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.

(1)作出△的7關(guān)于y軸對稱的△4BG,并寫出△43G各頂點的坐標(biāo)；

(2)將△板向右平移6個單位，作出平移后的△45C,并寫出△45G各頂點的坐標(biāo)；

(3)觀察△4BG與氏G,它們是否關(guān)于某直線對稱?若是,請在圖上畫出這條對稱軸.

M：|(1)△4BG如圖，4(O,4),B(2,2),G(1,1).(2)△AM如

圖.4(6,4),3(4,2),G(5,1).(3)Z^4BG與△45G關(guān)于直線封對稱.如圖.

第二十四章圓

24.1.1圓

知識點一圓的定義

圓的定義：

第一種：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所

形成的圖形叫作圓。固定的端點。叫作圓心，線段0A叫作半徑。

第二種：圓心為0,半徑為r的圓是所有到定點。的距離等于定長r的點的集合。

比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運用集合的觀

點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。

知識點二圓的相關(guān)概念

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。

(2)?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把

圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

(3)等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。

(4)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完

全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直徑

知識點一圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。

知識點二垂徑定理

(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑

為MD,AB是弦，且CDLAB,

AC=BC

垂足為C

AM-BM

垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

如上圖所示，直徑MD與非直徑弦AB相交于點C,

,CD±AB

AC=BC?AM=fi

?

AD-BD

注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不

是直徑，否則結(jié)論不成立。

24.1.3瓠、弦、圓心角

知識點弦、弧、圓心角的關(guān)系

(1)弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相

等，所對的弦也相等。

(2)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。

(3)注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等,

所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、

弦不一定相等。

24.1.4圓周角

知識點一圓周角定理

(1)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角的一半。

(2)圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦

是直徑。

(3)圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　?/p>

是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩

類。

知識點二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)

圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接

多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：(1)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

(2)四個內(nèi)角的和是360°

(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角

24.2點、直線和圓的位置關(guān)系

24.2.1點和圓的位置關(guān)系

知識點一點與圓的位置關(guān)系

(1)點與圓的位置關(guān)系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內(nèi)三種。

(2)用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)。。的半徑是r,點P到圓的距離0P=d,則有：

點P在圓外<=>d>r；點p在圓上Qd=r；點p在圓內(nèi)d<ro

知識點二(1)經(jīng)過在同一條直線上的三個點不能作圓

(2)不在同一條直線上的三個點彳一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點可以

作圓，且只能作一個圓。

知識點三三角形的外接圓與外心

(1)經(jīng)過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

(2)外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

知識點四反證法

(1)反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正

確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。

(2)反證法的一般步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛

盾的結(jié)論；

③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系

知識點一直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。

(2)直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示

若設(shè)。。的半徑是r,直線1與圓心0的距離為d,則有：

直線1和。0相交U>d<r；

直線1和。。相切C=>d=r；

直線1和。0相離d>r。

知識點二切線的判定和性質(zhì)

(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。

(3)切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過

圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

知識點三切線長定理

(1)切線長的定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這

點到圓的切線長。

(2)切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓

心的連線平分兩條切線的夾角。

(3)注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度

量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個

是切點。

知識點四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個三角

形叫做圓的外切三角形。

(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。

(3)注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時,

過三角形的頂點和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。

(4)直角三角形內(nèi)切圓半徑的求解方法：

①直角三角形直角邊為a.b,斜邊為c,直角三角形內(nèi)切圓半徑為r.a-r+b-r=c,

彳導(dǎo)u~\~b—c

~2°

②根據(jù)三角形面積的表不方法：—ab=—(?+/?+c)r,r=————.

22a+b+c

24.3正多邊形和圓

知識點一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n(n是大于2的自然數(shù))等份，順次連接各

分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

知識點二正多邊形的性質(zhì)

(1)各邊相等，各角相等；

(2)都是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸，每一條對稱軸都經(jīng)過n邊形的中心。

(3)正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。

(4)所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都

經(jīng)過正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n邊形也是中心對稱

圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。

(5)正n邊形的每一個內(nèi)角等于("-2)x180。,中心角和外角相等，等于幽。

nn

24.4弧長和扇形面積

知識點一弧長公式1=理

180

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2nR,所以n。的圓心

角所對的弧長的計算公式L=2X2nR二型。

360180

知識點二扇形面積公式

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=RR2,所以圓心角

為n°的扇形的面積為S扇麥嚶。

360

比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：

2

o_n7iRYITIR1八17n匚匚…17n

S扇形=與鼠=而又萬氏二萬,凡所以S扇形

知識點三圓錐的側(cè)面積和全面積

圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開，容易得到圓錐的側(cè)面展

開圖是一個扇形。設(shè)圓錐的母線長為/,底面圓的半徑為r,那么這個扇形的半徑為/,

扇形的弧長為2nr,因此圓錐的側(cè)面積6圓錐側(cè)=，2”./=乃〃。圓錐的全面積為

S圓錐全=5圓錐側(cè)+5底="'+"°

中考回顧片、

1.(2017甘肅天水中考)如圖，絲是。。的直徑，弦CDLAB,Z

B

況以W°錯誤！未找到引用源。，

則S陰影=(B)

A.2nB.錯誤！未找到引用源。nC.錯誤！未找到引用源。nD.錯誤!未找到

引用源。n

2\（2017四川中考）如圖，四是。。的直徑,且四經(jīng)過弦切的中點H,已知

cos/曲/錯誤！未找到引用源。，區(qū)片5,則掰的長度為D)

A.錯誤！未找到引用源。B.錯誤！未找到引用源。

C.1D.錯誤！未找到引用源。

3.（2017甘肅蘭州中考）如圖，在。。中，錯誤!未找到引用源。，點〃在。0

上，N6K以25°,

則NZ加=(B)

A.45°B.50°C.55°D.60°

4.（2017山東青島中考）如圖，也是。。的直徑，點月在。0上，若NZ切=20。，則N

8少的度數(shù)為（B）

A.100°B.110°C.115°D.120°

5.（2017湖北黃岡中考）如圖，在。。中，2_1_a；/4后70。，則乙4%的

度數(shù)為（B）

A.30°B.35°C.45°D.70°

6.（2017福建中考）如圖,48是。。的直徑是。。上位于四異側(cè)的兩點.下列四個角

中，一定與NZ0互余的角是(D)

A.ZADCB.NABDC.NBACD.ZBAD

7.（2017貴州黔東南州中考）如圖，。。的直徑四垂直于弦曲,垂足為E,

N4=15°,半徑為2,則弦切的長為(A

A.2B.-1C.錯誤！未找到引用源。D.4\

模擬預(yù)測

L如圖，點4目。在。。上，//￡。=32°,ZACO^38°,貝UZBOC等于

(B)

A.60°B.70°C.120°

蟹如如圖，過點/作。。的直徑，交。。于點D.

在△如￡中，丁如二如，

.：ZBOD=ZOBA+ZOAB^ZX32°=64°.

同理可得，NCOD=/OCA+N6MG2X38°=76

.：ZBOC=Z.BOD+ZCOD=140°,故選D.

2.如圖,16是0。的弦，半徑如-2,//如=120。，則弦/￡的長是(B)

A.2錯誤!未找到引用源。B.2錯誤!未找到引用源。C.

07。

錯誤!未找到引用源。D.3錯誤!未找到引用源。

3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。,戶是錯誤!未找到引用源。上一點，且錯誤!未找到引用

源。，連接6F并延長交加的延長線于點回連接/C

若NN比?05°，/物廣25°，則N￡的度數(shù)為(B

B.50°C,55°D,60°

4.如圖是△/回的外接圓，/尻60。，0。的半徑為4,則/。的長等于

(A)

A.4錯誤!未找到引用源。B.6錯誤!未找到引用源。C.2錯誤!未找到引用源。

5.如圖，/￡是。。的直徑，弦CD交AB于點反且AE=CD$,N的。=錯

A

誤!未找到引用源。N9必，則O。的半徑