高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第18講 2.1坐標(biāo)法

.1坐標(biāo)法TOC\o"1-3"\h\u題型1兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用 1題型2中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用 4知識(shí)點(diǎn)一.數(shù)軸上的基本公式如果數(shù)軸上點(diǎn)A（x1），B（x2），線段AB的中點(diǎn)為M（x），則(1)向量AB的坐標(biāo)為x2-x1;(2)|AB|=|AB|=|x2-x1|;(3)x=x1知識(shí)點(diǎn)二.平面直角坐標(biāo)系中的基本公式已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，M（x，y）是線段AB的中點(diǎn)，則(1)AB=(x2-x1,y2-y1);(2)|AB|=|AB=(3)x=x1+x2知識(shí)點(diǎn)三.坐標(biāo)法通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算等解決問(wèn)題.這種解決問(wèn)題的方法稱為坐標(biāo)法.題型1兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【方法總結(jié)】1.對(duì)兩點(diǎn)間距離公式的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）公式中，點(diǎn)A，B的位置沒(méi)有先后之分，即距離公式還可以寫(xiě)為|AB|=（（2）坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間的距離公式是數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式的推廣.（3）若B點(diǎn)為原點(diǎn)，則AB=|OA|=x（4）若A，B兩點(diǎn)在x軸上，或在與x軸平行的直線上，此時(shí)AB|=|x2-x1|(5)若A，B兩點(diǎn)在y軸上，或在與y軸平行的直線上，此時(shí)AB|=|y2-y1|注意：（4）（5）在應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)實(shí)際情況去掉絕對(duì)值號(hào)，解題更容易.（6）在數(shù)軸上，點(diǎn)A（x1），B（x2），用絕對(duì)值定義兩點(diǎn)間的距離，表示為d（A，B）=|x1-x2|若A，B，C是數(shù)軸上任意三點(diǎn)，則d（A，B）≤d（A，C)+d(B,C)·【例題1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)軸上的點(diǎn)P到A(?9)的距離是它到B【答案】?5或3【分析】設(shè)點(diǎn)P(x)【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)P故|即(解得：x=?5或故點(diǎn)P的坐標(biāo)為?5或3【變式1-1】1.（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)軸上A(?2),【答案】12;(4)【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的點(diǎn)的幾何意義直接求得答案.【詳解】數(shù)軸上A(?2),B(10)它們的中點(diǎn)坐標(biāo)為10+(?2)2【變式1-1】2.（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)軸上，A(?1),B(【答案】2【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)數(shù)量的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)軸上A(?1),B(所以AB=解得：x=2【變式1-1】3.（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知a的坐標(biāo)為-1，b的坐標(biāo)為5，求下列向量的坐標(biāo)．（1）a?b；（2）14b+【答案】（1）-6；（2）14【分析】由向量a的坐標(biāo)為-1，向量b的坐標(biāo)為5，根據(jù)數(shù)軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解⑴⑵⑶⑷中的向量的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由題意，向量a的坐標(biāo)為-1，向量b的坐標(biāo)為5，（1）根據(jù)數(shù)軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得a?b的坐標(biāo)為（2）根據(jù)數(shù)軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得14b+（3）根據(jù)數(shù)軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得?2a+3b（4）根據(jù)數(shù)軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得3a?2b【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算，以及向量模的計(jì)算，其中解答中熟記數(shù)軸上向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式1-1】4.（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為x1，x2，根據(jù)下列條件，分別求點(diǎn)A的坐標(biāo)（1）x2=?5，（2）x2=?1，【答案】（1）x1=?8；（2）x【分析】（1）由向量BA的坐標(biāo)為x1（2）由|AB【詳解】由題意，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為x1，x（1）由向量BA的坐標(biāo)為x1?(?5)=?3，所以（2）由|AB|=?1?x1【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算，以及向量模的計(jì)算，其中解答中熟記數(shù)軸上向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式1-1】5.（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)軸上，已知A3，B?1，則AB=【答案】41【分析】利用數(shù)軸上的距離公式和中點(diǎn)公式，即得解【詳解】由題意，AB=|?1?3|=4，AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：4，1題型2中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用【方法總結(jié)】中點(diǎn)公式的兩個(gè)應(yīng)用（1）知二求一．從公式上看，只要知道公式等號(hào)兩邊的任意兩個(gè)量，可求第三個(gè)量.（2）從圖象上看，只要知道圖象上任意的兩點(diǎn)，可求第三個(gè)點(diǎn).【例題2】（2022秋·江蘇連云港·高二江蘇省海州高級(jí)中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)A(8,10),A．(2,7) B．(4,14) C．(2,14) D．(4,7)【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出答案.【詳解】由題意得：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為8?42,10+4故選：A.【變式2-1】1.（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知A?1,2，BA．1,?1 B．?2,3 C．2,?3 D．1【答案】A【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】由A?1,2，B利用中點(diǎn)坐標(biāo)可知，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(?1+32,故選：A.【變式2-1】2.（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知線段AB的端點(diǎn)A3,4及中點(diǎn)O0,3，則點(diǎn)A．32,72 B．?3,2 C．【答案】B【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)B(x,y)，AB的端點(diǎn)A3,4及中點(diǎn)O0,3，則0=故選：B.【變式2-1】3.（2021秋·河北衡水·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)（0，2）是點(diǎn)（－2，b）與點(diǎn)（2，4）的對(duì)稱中心，則b=___________.【答案】0【分析】由中心對(duì)稱的含義即得.【詳解】∵點(diǎn)（0，2）是點(diǎn)（－2，b）與點(diǎn)（2，4）的對(duì)稱中心，∴b+4=2×2，即b=0.故答案為：0.【變式2-1】4.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知△ABC三邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別為P3,?2，Q1,6【答案】(?2,?6)【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】設(shè)A(x1,y因?yàn)椤鰽BC三邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別為P3,?2，Q1,6由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，x1+x2=6x1故頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,?6).故答案為：(?2,?6).【變式