2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)與圖形的存在性復(fù)習(xí)講義

函數(shù)與圖形的存在性復(fù)習(xí)講義

知識(shí)必備

圖形判定方法

①定義：有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形.

等腰三角形

②定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”

①定義：有一個(gè)角是直角的三角形.

直角三角形

②勾股定理的逆定理：某兩邊的平方和等于第三邊的平方，即（a2+b2=c2

①判定定理1：SSS——三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

②判定定理2：SAS——兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

全等三角形③判定定理3:ASA——兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

④判定定理4：AAS——兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑤判定定理5:HL——斜邊與直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

①兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

②三邊法：三組邊的比對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

③兩邊及其夾角法：兩組邊的比對(duì)應(yīng)相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

④平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

這是判定二角形相似的一種有效方法，相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型,如圖所

相似三角形示，在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形

A

AA

5Z---------------XCD-----------------C

“A”型“x”型

①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

符號(hào)語(yǔ)言:TAB〃DC,AD〃BC,四邊形ABCD是平行四邊形.

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形符號(hào)語(yǔ)言：：AB=DC,AD=BC,四邊形ABCD是平行四邊形.

③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

符號(hào)語(yǔ)言:：AB〃DC,AB=DC,.?.四邊形ABCD是平行四邊形.

④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.

符號(hào)語(yǔ)言:；NABC=/ADC,NDAB=NDCB,四邊形ABCD是平行四邊形.

⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

符號(hào)語(yǔ)言:：OA=OC,OB=OD,.?.四邊形ABCD是平行四邊形

圖形判定方法

①定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

矩形②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）.

特殊

平行菱形

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

四邊

符號(hào)語(yǔ)言：：AB=BC=CD=DA,四邊形ABCD是菱形.

形

③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或'對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）.

符號(hào)語(yǔ)言：：ACLBD,四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形ABCD是菱形

①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等.

②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角.

正方形

③先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進(jìn)行判定

方法技巧

L等腰三角形的判定中常用分類討論,即討論何為腰，何為底，可利用“兩圓一線”的方法如圖1,以AB

為邊構(gòu)造等腰三角形，可以分別以A,B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，則圓上的點(diǎn)到A（或B）的距離都等于AB

長(zhǎng)；以AB為底時(shí)，構(gòu)造其垂直平分線，則垂直平分線上的點(diǎn)到A,B的距離都相等.

\E

，，?、、，Z、、

/''/，*'

A；—B?

?'1C?>AB

\///

、、、、?，//\，

、、t，/、、//

…一、、，，

:尸

圖1圖2

2.直角三角形的判定類比等腰三角形的判定，需討論誰(shuí)為直角邊，誰(shuí)為斜邊，可利用“兩線一圓”的方法.

如圖2,以AB為直角邊時(shí)，分別過(guò)A,B作線段AB的垂線；以AB為斜邊時(shí)，作以AB為直徑的圓.

3.全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件.若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則

找它們的夾角或第三邊對(duì)應(yīng)相等；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組邊對(duì)應(yīng)相等；若已知一邊一角對(duì)應(yīng)

相等，則找另一組角對(duì)應(yīng)相等，若已知一組邊為已知一組角的鄰邊，還可找這個(gè)角的另一組鄰邊對(duì)應(yīng)相等.

4.當(dāng)題目是文字語(yǔ)言描述全等三角形或相似三角形時(shí)，要注意頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題，即對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)要分類討論,

不要丟解.

5.平行四邊形的存在有以下兩種情況：

⑴三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：以任意兩點(diǎn)所連線段為邊，過(guò)第三個(gè)點(diǎn)作平行且相等的線段即可；

⑵兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：以兩定點(diǎn)所連線段為邊或?qū)蔷€構(gòu)造平行四邊形.

6.證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對(duì)角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等.若

題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直，常采用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)判定.

7.圖形的存在性問(wèn)題，我們的解法都是假設(shè)圖形存在，然后利用其性質(zhì)，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并驗(yàn)證.如果不

符合題意，則圖形不存在.

題型一：角的存在性

例：如圖，拋物線y=--X2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(3,2),且與直線y=-x+:交于B,C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,m).

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE,x軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PA的最小值；

⑶設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn),在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使/AQM=45。？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【解析】⑴將點(diǎn)B的坐標(biāo)(4,m)代入y--x+^,得m=-4+(=-去點(diǎn)B的坐標(biāo)為(小一g).

得2,1解得「一

(-8+4b+c=-I2'

???拋物線的解析式為y=-1%2+%+1.

⑵由⑴知c(o,9

設(shè)D(w-1彥+n+3,0<71<4,則E(n>-n+￡),故DE=

—|(n-2￥+2,.'.當(dāng)n=2時(shí),DE有最大值2,此時(shí)D(2,

如圖1,作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1,連接A'D,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P,則PD+PA=PD+PA'^PD+PA

的最小值為AD.

???2(3,2),4(—1，2),A'D=J(-l-2)2+(2-1)2=手，即P。+P4的最小值為手.

⑶假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)Q,使^AQM=45。,如圖2所示.

：拋物線的解析式為y=-|%2+%+|=-|(x-l)2+4,

，M(1,4).作AHJ_直線x=l于點(diǎn)H,連接AM,AQ,MQ,HQ.

?/A(3,2),H(l,2),AH=MH=2.

ZAQM=45°,ZAHM=90°,

???4AQM=jzXHM,.-.AQM夕卜接圓的圓心為H,如圖3,

QH=HA=HM=2.

設(shè)Q(o,t),則J(0—1)2+(t—2)2=2,解得t=2+百或t=2-?

符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,2-百)或(0,2+V3).

歸納總結(jié)

角的存在性問(wèn)題包含求特殊角(如30。，45。等)和相等的角的存在性，求特殊角時(shí)常用到構(gòu)造直角三角形

等知識(shí)，求相等的角時(shí)則可能用到平行中的內(nèi)錯(cuò)角相等、等腰三角形的底角相等等性質(zhì).注意分類討論，不要

丟解.

跟蹤訓(xùn)練

1-L如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的對(duì)稱軸為直線.x=-1,,且拋物線經(jīng)過(guò)B(l,0),C(0,3)兩點(diǎn)與x軸交

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖1,在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；

⑶如圖2,點(diǎn)Q為直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，若乙CBQ=45。,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

1-2.如圖拋物線y=收+9+2交x軸于A,B兩點(diǎn)交y軸于點(diǎn)C,且乙BCO=/.CAB,tanzBCO=j.

⑴求拋物線的解析式；

⑵將拋物線向下平移t(t〉O))個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)拋物線與線段OA有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的取值范

圍或者t的值；

(3)分別以線段AC的端點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AC為一邊作一個(gè)與乙4BC相等的角，角的另一邊與拋物線交于點(diǎn)P,求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

題型二：等腰三角形的存在性

例：如圖，拋物線y=a久2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn)交y軸于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,4),對(duì)稱軸交x軸

于點(diǎn)H,直線y=科久+1交x軸于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E,交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)G.

⑴求出a,b,c的值.

⑵點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△DGM是以DG為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)

【解析】(I：.拋物線頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,4),.?.設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-I)2+4(aH0).將C(0,3)代入y=

a(x—l)2+4得a+4=3,解得a=-1,

拋物線的解析式為y=-(%—l)2+4,

即y=—x2+2x+3,?t.a=-1,=2,c=3.

⑵當(dāng)y=0時(shí),1x+1=0,解得x=-2,

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,0);

當(dāng)x=l時(shí),y=[x+1=*

..?點(diǎn)G的坐標(biāo)為

DH=1-(-2)=3,GH=J

DG=>/DH2+GH2=—.

2

分兩種情況考慮（如圖）：

①當(dāng)DG=DM時(shí),HG=HMi，

???點(diǎn)Mx的坐標(biāo)為

②當(dāng)GD=GM時(shí),GM2=GM3=當(dāng)，

???點(diǎn)Mz的坐標(biāo)為。，手），點(diǎn)M3的坐標(biāo)為吟斗

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1--1）或（1，亨）或（1，粵9.

探究等腰三角形的存在性，可以先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用等腰三角形的腰長(zhǎng)相等建立方程求坐標(biāo).等腰三

角形的討論分三種情況，即三個(gè)點(diǎn)各為頂角頂點(diǎn)，但有的問(wèn)題會(huì)有所限制，從而減少討論的分類.

2-1.如圖直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)

為A.點(diǎn)P以每秒四個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合）,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)M.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)N,連接MN交BC于點(diǎn)Q,當(dāng)瑞=|時(shí)，求t的值；

（3）如圖2,連接AM交BC于點(diǎn)D,當(dāng)△PDM是等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值.

圖1圖2

題型三：直角三角形的存在性

例:如圖1拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(6,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,直線AD交y軸于點(diǎn)

E.

⑴求拋物線的解析式.

(2)如圖2,將△40E沿直線AD平移得到.△NMP.

①當(dāng)點(diǎn)M落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

②在△NMP移動(dòng)過(guò)程中，存在點(diǎn)M使AMBD為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解析】⑴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6)=a(x2-4x-12)=ax2-4ax-12a(a*0),

⑵由⑴知，拋物線的解析式為y=—)2+2*+6=——2)2+8,則D(2,8).

設(shè)直線AD的解析式為產(chǎn)mx+t(m邦)，則｛［黑仁8。解得^1=2,

故直線AD的解析式為y=2x+4.

設(shè)點(diǎn)N(n,2n+4),由于MN=OA=2,故點(diǎn)M(n+2,2n+4).

①將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得2n+4=-|(n+2)2+2(n+2)+6,

解得n=-2±2低故點(diǎn)M的坐標(biāo)為((2次，4%)或(-2遍，-4遍).

②?..點(diǎn)M(n+2,2n+4),點(diǎn)B,D的坐標(biāo)分別為(6,0),(2,8),

二BD2=(6-2尸+82,BM2=(n-4)2+(2n+4)2,DM2=n2+(2n-c4)2.

當(dāng)ZBMD為直角時(shí)，由勾股定理得6-2)2+82=(n-4)2+(2n+4)2+n2+(2n-4尸.解得n=零紅;

當(dāng)ZMBD為直角時(shí)，同理可得n=-4;

當(dāng)/MDB為直角時(shí)，同理可得n=J

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為((-2,-4)或缺號(hào))或(曾亂汽叵)或(號(hào)叵弋叵)

歸納總結(jié)

直角三角形的存在問(wèn)題和等腰三角形的存在問(wèn)題類似，需要先利用分類討論的思想確定直角頂點(diǎn)的位置，

再利用勾股定理等知識(shí)求解.

跟蹤訓(xùn)練

3-1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)B

的坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對(duì)稱軸方程為x=l.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，在線段

BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AMBN的

面積為S,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

⑶在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使AMBN為直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

題型四：全等三角形的存在性

例:如圖1,拋物線y=收+板一3與x軸交于A(-1,O),B(3,O)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)N是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且。N=a,點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接QO,QO與拋物線的

對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,連接MN,當(dāng)MN平分/OMD時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

(3攻口圖2,直線BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E,P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出APCE與AACD全等時(shí)點(diǎn)P

的坐標(biāo).

【解析】⑴：拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)

(2)如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H.

?.,MNSp^-ZOMD,.\ZOMN=ZDMN,

又：DM//ON,ZDMN=ZMNO,

ZMNO=ZOMN,.\OM=ON=V2.

在RtAOHM中,NOHM=90o,OH=l,

???HM=VOM2-OH2=J(V2)2-1=1,

①當(dāng)M的坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，直線OM的解析式為y=x.

依題意得x-x2-2x-3,

Ajj/g3+V213—V21

解得.

???點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，

???點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為警

②當(dāng)M的坐標(biāo)為(I,-D時(shí)，直線OM的解析式為y=-x,同理可求Q2(手，-手).

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(手，乎)或(號(hào)1，-號(hào)1).

(3)由題意可知C(0,-3),D(L-4),；.A(-l,0),

AC=，(一1-0)2+(0+33=V10,

AD=。(一1一+(0+4<=2V5,

CD=1(0-1尸+(—3+4-=V2.

:直線BC經(jīng)過(guò)B(3,O),C(O,-3),

，直線BC的解析式為y=x-3.

V拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,而直線BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E,

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,-2),

???CE=J(0—l)2+(—3+2)2=V2.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),

則CP2=(%-0)2+(y+3)2,EP2=(x-I)2+(y+2)2.

?/CE=CD,/.APCEACD全等有兩種情況.

⑴若PC=AC,PE=AD,BPAPCE^AACD,

則[(比-0)2+(y+3)2=10,

人」l(x-I)2+(y+2)2=20,

叫[x.…=-3,,rx{,=--61,,

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,-4)或(-1,-6).

(ii)若PC=AD,PE=AC,即△PCEgAADC,

則