2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（學(xué)生版）

專題15等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)一、符號法則與比較大小

實(shí)數(shù)的符號：

任意xwR,則x>O（x為正數(shù)）、％=0或xvO（x為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立.

兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：

①兩個(gè)同號實(shí)數(shù)相加，和的符號不變

符號語言：a>0,b>0=>a-^-b>0；

a<0,b<0=>a-\-b<0

②兩個(gè)同號實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)

符號語言：a>0,b>0^ab>0；

a<O,b<O^ab>Q

③兩個(gè)異號實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)

符號語言：a>0,Z?<0=>ab<Q

④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0

符號語言：xeR^>x2>0,x=0o%2=0.

比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：

對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)〃、b

①Q(mào)-Z?>Ooa>b；

②a-Z?vOoavb；

③a-〃=OoQ=b.

對于任意實(shí)數(shù)。、b,a>b,a=b,avb三種關(guān)系有且只有一種成立.

知識點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明

不等式與解不等式的主要依據(jù).

知識點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分

基本性質(zhì)有：

⑴對稱性：a>b<=>b<a

(2)傳遞性：a>b,b>c^a>c

(3)可力口性：a>人oQ+c>Z?+c(c￡R)

c>0^>ac>be

(4)可乘性：a>b,<c=0^>ac=be

c<0nac<be

運(yùn)算性質(zhì)有：

(1)可力口法貝U：a>b,c>d^a+c>b+d.

(2)可乘法貝!J：a>b>0,c>d>0na?c>b?d>0

(3)可乘方性：a>b>O,HGN*>b“>0

知識點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).

知識點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法

作差法：

任意兩個(gè)代數(shù)式〃、b,可以作差a-b后比較a-)與。的關(guān)系，進(jìn)一步比較，與b的大小.

@a-b>O<^a>b；

②Q—人vOoavb；

③a—b=Ooa=b.

作商法：

任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式。、b,可以作商a+人后比較0與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較。與人的大小.

b

?—>\<=>a>b；

b

?—a<b；

b

(§)—=1oa=b.

b

中間量法：

若且6>c,則a>c（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.

【題型歸納目錄】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

題型二：作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小

題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小

題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

【典例例題】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

例1.（2023?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺

寸長、寬、高之和不超過130cm,且體積不超過72000cm3,設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為。，

b,c（單位：cm）,這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）

A.<?+6+c<130且o/?c<72000B.a+6+c>130且abc>72000

C.<7+Z?+C<130J!Labc<72CXX）D.?+Z?+c>130j=LflZ?c>72000

例2.（2023?四川眉山?高一?？茧A段練習(xí)）將一根長為5m的繩子截成兩段，己知其中一段的長度為xm,若

兩段繩子長度之差不小于1m,則無所滿足的不等關(guān)系為（）

f2x-5>0、

A.I「B.2x-521或5-2無21

[0<尤<5

f5-2x>l；|2-^-5|>1

'|0<x<5'（尤<5

例3.（2023?西藏林芝?高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（）

A.某人月收入尤不高于2000元可表示為“x<2000”

B.某變量y不超過a可表示為"yWa”

C.某變量x至少為a可表示為

D.小明的身高xcm,小華的身高ycm,則小明比小華矮表示為“x>y”

變式1.（2023.黑龍江雙鴨山.高一?？计谥校┩瓿梢豁?xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工

資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工工人，瓦工y人，則請工人滿足的關(guān)系式是（）

A.5x+4y<200B,5x+4”200

C.5x+4y=200D.5%+4y4200

變式2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速

度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)100米以外（含100米）為安全區(qū).為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)

火索的長度龍（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）

XXX

A.4x—<100B.4x——>100C.4x——<100D.4x——>100

0.50.50.50.5

變式3.（2023?安徽蚌埠?高一蚌埠二中?？奸_學(xué)考試）在數(shù)軸上點(diǎn)A3對應(yīng)的數(shù)分別是久》，點(diǎn)A在表示-3

和-2的兩點(diǎn)之間（包括這兩點(diǎn)）移動(dòng)，點(diǎn)B在表示-1和0的兩點(diǎn)（包括這兩點(diǎn)）之間移動(dòng)，則以下四個(gè)代數(shù)式

的值，可能比2021大的是（）

A.b—aB.---

b-a

-1111

C.------D.-------

baab

題型二：作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小

例4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）比大?。?-#）A/5-2.

例5.（2023?湖南郴州?高一?？茧A段練習(xí)）已知M=/+5x+6,N=2x2+5x+S,則MN的大小關(guān)系是

例6.（2023?四川成都?高一?？茧A段練習(xí)）已知/=/-3,N=2x-5,則股與N的大小關(guān)系為

變式4.（2023.吉林長春.高一校考階段練習(xí)）設(shè)。、6為實(shí)數(shù)，比較兩式的值的大小：a2+b2

2a-2b-2（用符號>,之<,<或=填入劃線部分）.

變式5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）P=/+a+l,Q=——?jiǎng)tP,Q的大小關(guān)系為

變式6.（2023?上海寶山?高一?？计谥腥昕诠鹸<0,0<y<l,那么工，工，■!■從小到大的順序是

題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

例7.（多選題X2023?高一單元測試）如果名"。滿足cvbva,且acvO,那么下列不等式中一定成立的是

（）

A.ab>acB.（b-a）c>0

C.cb2=ab2D.ac（a-c）<Q

例8.（多選題）（2023?全國?高一專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（）

Qb

A.右a>Z?>0,貝！Jac?〉）/B.右3>6>0,則〃+：>/?+—

ba

C.若貝!1々2<々6D.若a<b<0,貝

ab

例9.（多選題）（2023?江蘇南京?高一江蘇省高淳高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a,b,cER,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.若etc?>be?,則B.若a<Z?<0,貝！>北

C.若c>a>b>（）,則----v-------D.若則Q—>b----

c—ac—bba

變式7.（多選題X2023?湖南長沙?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列不等式成立的是（）

A.若a>b,貝B.若?！?〉/?,貝！Jabv/

C.若ab=4,則a+/?N4D.若c>d,貝!Ja-d>b-c

變式8.（多選題X2023?寧夏吳忠?高一統(tǒng)考期中）若。,4。是不為0的實(shí)數(shù)，且。<小則下列不等式一定成

立的是（）

A.ac>bcB.c-3a>c-3bC.—>—D.a\a\<b\b\

ab

變式9.（多選題X2023?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末）若d>6>0,m>0,則下列不等式成立的是（）

A.a2>b2B.a3+b3<ab1+a1b

1,1—a+ma

C.a——<b——D.--------<—

abb+mb

題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

例10.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）證明下列不等式：

（1）已知e>f,c>0,求證歷

(2)已知”>6>0,c<d<0,求證:

例11.(2023?河北石家莊?高一校考期中XI)比較(尤+1)，+T+1)與(x+》+%+J)的大小.

(2)已知"仍>0,求證:J4

例12.(2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一統(tǒng)考期中)證明不等式.

(l)bc-ad>0,bd>0,求證：“十"W'十、；

ba

hhc

(2)已知〃>b>c>0,求證：---->---->----.

a—ba—ca—c

變式10.(2023?高一課時(shí)練習(xí))閱讀材料：

(1)若x>y>0,且加>0,貝!I有上〈匕?

xx+m

(2)^a<b,c<d,貝lj有a+cvb+d.

請依據(jù)以上材料解答問題：

nhc

已知mb,c是三角形的三邊，求證：片+―等<2.

b+ca+ca+b

變式11.(2023?河北衡水?高一校考階段練習(xí))己知12<a<60,15<6<36,求“-乃，丁的取值范圍.

題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小

例13,（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知a>b>c>d>0,則下列結(jié)論不正確的是（)

ab-ac

A.a+c>b+dB.ac>bdC.—>—D.->—

cddb

例14.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若則（）

A.a2>b2B.ac2>be1C.\a\>\b\D.\a\>b

例15.（2023?廣東深圳?高一深圳外國語學(xué)校?？计谥校┰O(shè)a、b、，c為實(shí)數(shù),且。<6<0,則下列不等式正

確的是（）

ba

A.~<vB.ac2<be2C.—>—D.\a\>\b\

abab

變式12.（2023?福建泉州?高一?？计谥校┤粢欢ǔ闪⒌氖牵?

A.a+c>b-\-cB.>b2

C.ac1>be1D.

ab

變式13.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知。力,GdeR,^a>b,c>d,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a-^-c>b+dB.a-c>b-d

—ab

C.ac>bdD.—>-

dc

變式14.（2023.安徽合肥.高一?？计谀┫铝忻}為真命題的是（）

A.若a>5>0,貝be?〉)/B.若a>6>0,則/>02

C.若貝Ui?〈從D-若a<b<°，貝—

題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

例16.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知0Wa+6<l,2Va-6<3,則6的取值范圍是.

ITJT

例17.（2023?江西贛州?高一上猶中學(xué)校考周測）若a,￡滿足則a-4的取值范圍是

例18.（2023?貴州貴陽?高一校聯(lián)考期中）已知l<a<3,-2<b<l,則a+2Z>的取值范圍是.

變式15.（2023?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知lVa+b?4,-l<a-b<2,貝U34+2b的

取值范圍是.

變式16.（2023?上海寶山?高一上海市吳淞中學(xué)校考階段練習(xí)）若l<a+b<4,-2<a-b<4,則a+36的取

值范圍是.

變式17.（2023?湖南衡陽?高一衡陽市一中?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)t5a-3匕的取值范

圍是?

變式18.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若a、夕滿-T足T一]TT貝"2a一4的取值范圍是

-11<x+y<2

變式19.（2023?吉林?高一吉林毓文中學(xué)校考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,>滿足八’,則3x+y的取值范

[0<%-y<1

圍為一.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?四川眉山?高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校考期末）已知l<x<3,-3<丫<1,則x-3y的取值范圍是

（）

A.（0,12）B.（-2,10）C.（-212）D.（。/0）

2.（2023?山東濟(jì)寧?高一曲阜一中?？计谀┮阎?<a—Z?<2,2<a+b<4,則3a+b的范圍是（）

A.（4,8）B.（6,10）C.（4,10）D.（6,12）

3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列各式中，不能判斷其符號的是（）

A.a2+a+lB.a2—a+1C.\a\+a+\D.a2+1a\-1

4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若貝ij（）

ab

A.a>Z?>0B.b<a<QC.a<0<bD.ab2<a2b

5.（2023.高一單元測試）設(shè)M=2a（a—2）+7,N=（a—2）（〃一3）,則有（）

A.M>NB.M>N

C.M<ND.M<N

6.（2023?廣西?高一校聯(lián)考期中）下列命題為真命題的是（）

A.若。<8<0,貝!Jac2Vbe2B.若貝IJ/vaOv/

C.若a>b,c>d,貝!Jac>Z?dD.若a>/?>c>0,貝1

ab

7.（2023?高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.^a>b>0,c<d<0,則一定有幺/B.若=>與，貝ij“>b

cdcc

〃+租a

C.若b>a>0,m>。,貝！J------->—D.若a>b,c<d,貝!—d

b+mb

8.（2023?江蘇鹽城?高一統(tǒng)考期中）設(shè)p=0,Q=V7-6，R=娓-日則P,Q,R的大小順序是（）

A.P>Q>RB.P>R>Q

C.R>P>QD.Q>R>P

二、多選題

9.（2023?浙江?高一校聯(lián)考期中）已知實(shí)數(shù)a>人>0>c>d,則下列不等式正確的是（）

A.ab>cdB.a-\-c>b+dC.ad2>be2D.—<^―

bead

10.（2023?云南玉溪?高一云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a,"c,d￡R,則下列結(jié)論正確的為（）

A.若a>b,c>d,貝B.若Z?<a<0,c<0,則（a—Z?）c>0

C.若歐2>be2,貝!D.若a>b,c>d,貝!Ja—d〉Z?—c

H.（2023?云南昆明?高一昆明一中統(tǒng)考期末）已知。，瓦。為實(shí)數(shù)，貝?。荩ǎ?/p>

A.若a>b,則a/〉人/B.若a>b,貝!Ja+c>Z?+c

--++*,八QQ+C__4_1*,?fibC

C.右〃>Z7>c>0,則D.右a>b>c>0,貝U->------

bb+ca—ba—c

12.（2023?吉林長春?高一校考階段練習(xí)）已知-2<a+b<4,2<2a—b<8,則下列不等式不正確的是（）

A.0<?<4B.0</?<2

C.-6<a+2b<6D.0<a+2b<8

三、填空題

13.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知0,c均為實(shí)數(shù)，有下列說法：

①若a<b<0,則/<〃；

②若［<c,則a<兒；

b

③若貝Uc—3vc—2Z?;

④若a>>，則

ab

其中，正確的結(jié)論是.（填序號）

14.（2023?北京?高一北京市十一學(xué)校校考期末）已知對于實(shí)數(shù)x,V,滿足|2%+3y|<10,