2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義-分式方程

第06講分式方程

目錄

題型06根據(jù)分式方程解的情況求值

一、考情分析

題型07根據(jù)分式方程有解或無解求參

二、知識(shí)建構(gòu)

考點(diǎn)一解分式方程數(shù)

題型08已知分式方程有增根求參數(shù)

題型01判斷分式方程

題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)

題型02分式方程的一般解法

考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用

題型03分式方程的特殊解法

類型一分組通分法題型01列分式方程

類型二分離分式法題型02利用分式方程解決實(shí)際問題

類型一行程問題

類型三列項(xiàng)相消法

類型二工程問題

類型四消元法

類型三和差倍分問題

題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題

類型四銷售利潤問題

題型05解分式方程的運(yùn)用（新定義運(yùn)算）

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

＞能解可化為一元一次方程中考中本考點(diǎn)考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參

解分式方程

的分式方程問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和一次

函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，

分式方程的＞能根據(jù)具體問題的實(shí)際意

預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方

應(yīng)用義，檢驗(yàn)方程解的合理性

程含參問題（較難X分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)

生應(yīng)扎實(shí)掌握.

考點(diǎn)一解分式方程

分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

墻本思路將分式方程化為整式方程,再求就

常用方法1）去分班法12）換元法

1）找最司公分母,當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí).先分斜因式1

【奶錯(cuò)*】力行兩邊網(wǎng)?！鲆泄中迺r(shí).最初；「

極.因此分式方程定^聆IR.

2）去分母,方程兩邊都集最初公分母.約去分理.化為整式方程；

）解禁式方丹：

去分母法3

4）驗(yàn)根.把整我方內(nèi)的根代入最簡公分母-?—晝?cè)接玫?*

[

步驟

|*sat偽值-----■?!公分母

M是鼠方煙的?

1）設(shè)輔助來如數(shù)：

）日到關(guān)輔助未知數(shù)的新方程.求出輔助未如數(shù)的侑

帙無法2F1

3）把輔助卡知數(shù)的值代回酬式中.求出原來未知數(shù)的依：

4）檢契作粹.

增根的概念：在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根.

1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).

2.去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng).

3.分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.

4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方

程的根.

5.解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無意義的根，檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟.

題型01判斷分式方程

[例1]（2021?河南信陽.河南省淮濱縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列方程：①[+1=x；②等-3=。；③

告+*=3；④lg=l（a,6為已知數(shù)），其中分式方程有（）

X—11—XCLu

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】等號(hào)兩邊至少有一個(gè)分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；

【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知

數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵.

【變式1-1J（2022南明區(qū)二模）下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是（）

A.--3=-B.-x--y=5C.-=-+-D.—=1--

2523/7T322+xx

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷.

【詳解】解：人.方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；

B.方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；

C.方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，兀是常數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；

D.方程分母中含未知數(shù)x,故是分式方程，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)

分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）.

題型02分式方程的一般解法

[例2]（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）將方程告+3=符去分母，兩邊同乘（x-1）后的式子為（）

x—11—X

A.1+3=3x（1—%）B.1+3（%—1）——3%

C.x-1+3=-3xD.1+3（%—1）=3%

【答案】B

【分析】根據(jù)解分式方程的去分母的方法即可得.

【詳解】解：2+3=?，

兩邊同乘0-1）去分母，得1+3（x-1）=-3%,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，熟練掌握去分母的方法是解題關(guān)鍵.

【變式2-1](2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題)方程++巖=1的解為

【答案】%=4

【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出工的值.

【詳解】解：???圭+署=1,

方程兩邊同時(shí)乘以(％+2)(%-2)得，％-2+%+6=(%+2)(%-2),

2%+4=/—4,

???X2—2x—8=0,

(%—4)(x+2)=0,

???x=4或%=—2.

經(jīng)檢驗(yàn)％=—2時(shí)，％2一4=0,故舍去.

???原方程的解為：％=4.

故答案為：X=4.

【點(diǎn)撥】本題考查的是解分式方程，解題的關(guān)鍵在于注意分式方程必須檢驗(yàn)根的情況.

【變式2-2](2022.青海西寧.統(tǒng)考中考真題)解方程：島-&=0.

【答案】%=7

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】解：方程兩邊同乘X(久+1)(%-1),得4(久-1)-3(%+1)=0,

解得％=7,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=7時(shí)，x(x+1)(%-1)0,

所以，原分式方程的解為％=7.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程一定要驗(yàn)根.

【變式2-3](2022.山東濟(jì)南.統(tǒng)考中考真題)代數(shù)式三與代數(shù)式三的值相等，則x=_________.

x+2x-1

【答案】7

【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可.

【詳解】解：?.?代數(shù)式三與代數(shù)式卷的值相等，

X+ZX—L

.3=2

x+2x-1'

去分母

3(x-1)=2(久+2),

去括號(hào)號(hào)

3%—3=2%+4,

解得X=7,

檢驗(yàn):當(dāng)x=7時(shí),(x+2)(x-1)#=0,

，分式方程的解為％=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

【變式2-4](2022.湖南常德統(tǒng)考中考真題)方程|+七=5的解為.

【答案】％=4

【分析】根據(jù)方程兩邊同時(shí)乘以2x(*-2)，化為整式方程，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算即可求解，最后注意檢驗(yàn).

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以2支(久-2),

2X2(%—2)+2=5X(%—2)

解得X=4

經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解

故答案為：x=4

【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，解分式方程一定要注意檢驗(yàn).

方法技巧

解分式方程方法：先通過方程兩邊同乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最

二礪詼好口△赦才亡壬旦"I缶笈目八」'乙工旦白片缶笈

題型03分式方程的特殊解法

類型一分組通分法

方法簡介：如果整個(gè)方程一起通分，計(jì)算量大又易出錯(cuò)，觀察方程中分母的特點(diǎn)可聯(lián)想分組通分求解.

【例3】解方程：力-六12

x-4x-3

【詳解】解:原方程可變形為,

5—x5—x

(x—2)(x—1)(x—4)(x—3)

當(dāng)5-樣0時(shí)，(%-2)(%-1)=-4-3)解得＞1二|

當(dāng)5-x=0時(shí)，解得x2=5

經(jīng)檢驗(yàn)，xl=l,尤2=5都是原方程得解.

類型二分離分式法

方法簡介：每個(gè)分式的分母與分子相差1,利用這個(gè)特點(diǎn)可采用分類分式法求解

x+5,x+2x+3,x+4

［例4］解方程:------1------=-------1------

x+4x+1x+2x+3

【答案】x=-j.

【分析】先將原方程變形1+=+1+二=1+六+1+2，再進(jìn)一步化簡轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可.

【詳解】解:原方程可變形為，

1+—+1+—=1+-2—+1+-2—

x+4x+1x+2x+3

化簡得,

x+4x+1x+2x+3

2x4-52x4-5

即

(X+4)(X+1)(x+2)(x+3)

/.2x+5=0,

解得，x=—I，

檢驗(yàn),把尸-黃入(X+4)(%+1)(%+2)(%+3)#0,

，原方程的解為4-|.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了解分式方程，正確地將原方程變形是解決問題的關(guān)鍵.

類型三列項(xiàng)相消法

方法簡介:根據(jù)分式方程的結(jié)果特點(diǎn)，依據(jù)公式“康=>+，，化積為差，裂項(xiàng)相消,簡化難度

【例5］我們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，有些單位分?jǐn)?shù)可以拆成兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)的差，如*=,-)

623

111.111111

，請(qǐng)用觀察到的規(guī)律解方程上+(x+l)(x+2)+…+(x+9)(x+10)-x+10

1234‘2045‘623

該方程解是多少?

【答案】x=4

【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)規(guī)律化簡方程，然后解分式方程即可.

2225

【詳解】解：--------1F???4=------

x(x+l)(x+l)(x+2)---------(x+9)(x+10)----x+10

_2+2_2++2_2

原方程化簡為5

Xx+1x+1x+2x+9x+10x+10

即1-島5

x+10

方程兩邊同乘x(x+10),

得：5x=20,

解得x=4.

經(jīng)檢驗(yàn)x=4是原方程的解,

二原方程的解為％=4.

【變式5-1】因?yàn)橘?1_11

19X20—1920

11.11..11_1

所以w+2+…+----=-----1-------r??,-----------x1------親解答下列問題:

19X20223192020

(1)在和式三+/4—中z第九項(xiàng)是一；第n項(xiàng)是.

J.XZ3X4

1111

⑵解方程：(x+g2)4----------1-???-|--------------=------

(x+2)(x+3)(x+2001)(x+2002)x+2002

【答案】(1七篇,W1y

(2)x=2000

【分析】(1)根據(jù)已知式子的規(guī)律，即可求解;

(2)根據(jù)(1)的規(guī)律化簡方程為士-11,解分式方程，即可求解.

X+1x+2002x+2002

【詳解】(1)解：依題意，在和式卷+為+￡+…中，第九項(xiàng)是六;第拉頁是花占

J.XZNXJyXXUTT.xJitiJ.)

故答案為舟小?

111

(2)原方程可化簡為

X+1x+2002x+2002

方程兩邊同時(shí)乘(X+1)(%+2002)，得：久+2002-(%+1)=x+1,

解得：x=2000,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2000是原方程的解.

【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)字類規(guī)律題，解分式方程，找到規(guī)律，化簡方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2】探索研究:

請(qǐng)觀察：

1_1_1.

?X2+3X+2-

(x+l)(x+2)x+1%+21

②一-—二1_11

^X2+5X+6(x+2)(x+3)x+2%+31

③—:_1_11

^X2+7X+12(x+3)(x+4)x+3x+4

_1_11

—:

^X2+9X+20(x+4)(x+5)x+4x+5

(1)請(qǐng)寫出第〃個(gè)等式；

1

⑵解方程：石+再獲豆+9而店+/+7X+12+…+T+15X+56

x+8

1

⑶當(dāng)7"為正整數(shù)時(shí)，

/2+專+2+…+m2+17m+72

【答案】1____1

+(2n+l)x+n(n4-l)(x+n)(x+n+l)x+nx+n+1

(2)x=8

(3)—

'7m+9

【分析】(1)根據(jù)所給4個(gè)等式總結(jié)規(guī)律寫出第n個(gè)等式即可；

(2)由(1)所得規(guī)律解該分式方程即可，注意驗(yàn)算；

(3)由(1)所得規(guī)律變形計(jì)算即可.

1_11

【詳解】(1)解,,/①------------------

7,?k>x2+(2xl+l)x+lx(H-l)(x+1)(x4-1+1)x+1x+1+1

2)----------------1_11

^X2+(2X2+1)X+2X(2+1)(x+2)(x+2+l)x+2x+2+1

1_11

③-----------------

^X2+(2X3+1)X+3X(3+1)(x+3)(x+3+l)x+3x+3+1

1_11

④-----------------

^X2+(2X4+1)X+4X(4+1)(x+4)(x+4+l)x+4x+4+1

1_1

第n個(gè)等式為.2-+l)x+n(n+l)=(x+n)(x+n+l)

x+(2nx+nx+n+1

(2)解：----1—----1-----1------F…H------=--

x2+xX2+3X+2X2+5X+6X2+7X+12X2+15X+56X+8

1__1__1__1+1_____|_1_1+______1__1

xx+1x+1x+2x+2x+3x+3x+4x+7x+8x+8'

11_1

xx+8x+8

1_2

xx+8

解得：x=8,

經(jīng)檢驗(yàn)久=8是原方程的解；

2

I1用牛?2十6十12十20十m+17m+72

11111

=----1-----1-----1-----F—|-----------

1x22x33x44x5(m+8)(m+9)

1111111(?11

=1-2+2-3+3-4+4-5+，，，+mT8-mT9

1

=1-----------

m+9

_m+8

m+9?

故答案為：鬻

【點(diǎn)撥】本題考查分式運(yùn)算中的規(guī)律性問題，解分式方程.理解題意，找出所給等式中的規(guī)律，并能用此

規(guī)律計(jì)算是解題關(guān)鍵.

【變式5-3】探索發(fā)現(xiàn)：

1_]1.1_11.1_11

1X2-2/2X3"23/3X4-34..........

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：

(1)—=——-——二-

'74X5--------71X(71+1)---------'

(2)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：-^―?+/+白+....+；)

J.XZ5X4TiX(TLTJ.J

(3)利用規(guī)律解方程-x(x+l)+(x+l)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+4)+(x+4)(x+5)-x(x+5)

【答案】(i)mw；(2)w；(3)見解析.

【分析】(1)根據(jù)簡單的分式可得，相鄰兩個(gè)數(shù)的積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)之差，即可得到熹和菽裝5

(2)根據(jù)(1)規(guī)律將乘法寫成減法的形式，可以觀察出前一項(xiàng)的減數(shù)等于后一項(xiàng)的被減數(shù)，因此可得它

們的和.

(3)首先利用(2)的和的結(jié)果將左邊化簡，再利用分式方程的解法求解即可.

1_11

【詳解】解：(1)親=?巳

n(n+l)nn+1

故答案為1一U1

n+1

1111![1__1_n

(2)原式=1—~+~=1

334nn+1n+1n+1

(3)已知等式整理得：i111112x-l

x+1x+1x+2%+4x+5x(x+5)

所以，原方程即：--4-2x-l

X%+5x(x+5)

方程的兩邊同乘X萬+5),得：x+5-尤=2x-1,

解得：x=3,

檢驗(yàn)：把尤=3代入x(x+5)=24ro,

二原方程的解為：x=3.

【點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的歸納總結(jié)能力，關(guān)鍵在于根據(jù)簡單的數(shù)的運(yùn)算尋找規(guī)律，是考試的熱點(diǎn).

類型四消元法

方法簡介：當(dāng)方程中的分式互為倒數(shù)，或不同分式中的分母互為相反式，或方程中分子、分母的二次項(xiàng)與一次

項(xiàng)分別相同時(shí)，可考慮用換元法.

［例6］用換元法解分式方程號(hào)+空子=?時(shí)，若設(shè)號(hào)=y，則原方程可以化為整式方

.

【答案】5y2_3y+10=0

【分析】將六=y代入到原方程中，再進(jìn)行整理即可.

【詳解】解：設(shè)號(hào)=丫，

則方程號(hào)+號(hào)=|可以化為y+f=j，

整理得：5必一3y+10=0,

故答案為：5答一3y+10=0.

【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解分式方程，當(dāng)分式方程比較復(fù)雜時(shí)，通常采用換元法使分式方程簡化.

【變式6-1】閱讀與思考

閱讀下面的材料，解答后面的問題.

解方程：十一言=0.

解：設(shè)y=?,則原方程可化為y-：=。，方程兩邊同時(shí)乘y得P-4=0,

解得y=±2,

經(jīng)檢驗(yàn)：y=±2都是方程y-；=。的解，:當(dāng)y=2時(shí)，（=2,解得久=-1,

當(dāng)尸-2時(shí)，（=-2,解得久=］經(jīng)檢驗(yàn)：x=-1或%=加是原分式方程的解，

二原分式方程的解為x=-1或％=|,上述這種解分式方程的方法稱為“換元法”.

問題：

⑴若在方程中宇-T=。，設(shè)y=T,則原方程可化為.

ZXX—1X

⑵模仿上述換元法解方程：盤-三-9=0.

【答案】d）|y-i=o

⑵久=一（或X=-1

【分析】（1）設(shè)丫=U,則?=|y,士=i,據(jù)此求解即可；

（2）先把方程變形為言-答=0,再用換元法求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)y=U，原方程可化為—：=0，

故答案為：《丫一：=0

（2）解：口---9=-+9）=--,

'7x+2x-1x+2Kx-17x+2x-1

設(shè)丫=崇，原方程可化為y-1=0,

方程兩邊同時(shí)乘以y，得y2—9=0,

解得，y=±3,

經(jīng)檢驗(yàn)，y=±3都是原方程的解，

當(dāng)y=3時(shí)，有U=3,解得：X=-（，

當(dāng)y=-3時(shí)，有言=-3,解得：x=-］,

經(jīng)檢驗(yàn)：*=-（或x=-［都是原分式方程的解,

二原分式方程的解為X=-1或X=-?

【點(diǎn)撥】本題考查了用換元法解可化為一元二次方程的分式方程，解題的關(guān)鍵是正確使用換元法.

【變式6-2］用換元法解：肅-第=。.

【答案】答案見解析.

【分析】按照材料中分式方程換元的方法，可設(shè)y=含,原方程化為y-?=0,按照解分式方程的方法,

可求得y的值，進(jìn)而求得比的值.

【詳解】解：設(shè)y=含，則原方程化為y-?=0.

方程兩邊同時(shí)乘y,得

y2—1—0,

解得y=±1.

經(jīng)檢驗(yàn)：y=±1都是y-i=0的解.

當(dāng)y=1時(shí)，

方=1，

解得久=2.

當(dāng)丫=-1時(shí)，

X+1d

?=T,

解得x=0.

經(jīng)檢驗(yàn)：％=2和x=0都是原分式方程的解.

所以原分式方程的解為刀=2和x=0.

【點(diǎn)撥】本題主要考查分式方程的解法，牢記分式方程的解題步驟是解答的關(guān)鍵.

題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題

［例7］（2022.貴州畢節(jié).統(tǒng)考中考真題）小明解分式方程=急-1的過程下.

解：去分母，得3=2%-（3x+3）.①

去括號(hào)，得3=2%—3x+3.②

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得-久=6.③

化系數(shù)為1,得%=-6.④

以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是(

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】寫出分式方程的正確解題過程即可作出判斷.

【詳解】解：左=島-1,

去分母，得3=2x—(3x+3),

去括號(hào)，得3=2%-3%-3,

頁I彳導(dǎo)一2%+3%=-3—3,

合并同類項(xiàng)，得%=-6,

，以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是②.

故選：B

【點(diǎn)撥】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-1](2022?浙江臺(tái)州.統(tǒng)考中考真題)如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確

的，則圖中被污染的光的值是—.

先化簡，再求值：蕓+1,其中x=*

x-4

解：原式=蕓?0-4)+(久-4)

=3—%+%—4

=-1

【答案】5

【分析】根據(jù)題意得到方程蕓+1=-1,解方程即可求解.

x-4

【詳解】解：依題意得：―2+1=-1,即+2=0,

去分母得：3-x+2(x-4)=0,

去括號(hào)得：3-x+2x-8=0,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，戶5是方程的解,

故答案為：5.

【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn).

【變式7-2](2023?浙江嘉興統(tǒng)考中考真題)小丁和小迪分別解方程卷-當(dāng)=1過程如下：

小?。盒〉希?/p>

解：去分母，得％-(x-3)=x-2解：去分母，得X+(%-3)=1

去括號(hào)/得x—%+3=%—2去括號(hào)得%+%-3=1

合并同類項(xiàng)，得3=x-2合并同類項(xiàng)得2x-3=1

解得x=5解得x=2

二原方程的解是x=5經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的增根,原方程無解

你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“卡；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x”，并寫出你的解答過

程.

【答案】都錯(cuò)誤，見解析

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可.

【詳解】小丁和小迪的解法都錯(cuò)誤；

解：去分母，得x+(x-3)=x-2,

去才舌號(hào)，彳導(dǎo)2%-3=x-2,

解得，x=1,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是方程的解.

【點(diǎn)撥】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2023忻州市一模)小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)“?”看不清楚J+3=4

(1)她把這個(gè)數(shù)“?”猜成5,請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；

(2)小華的媽媽說：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x=2,原分式方程無解”，請(qǐng)你求出原分式方程中

“?”代表的數(shù)是多少？

【答案】(1)x=0；(2)原分式方程中“？”代表的數(shù)是-1.

【分析】(1)“？”當(dāng)成5,解分式方程即可,

(2)方程有增根是去分母時(shí)產(chǎn)生的，故先去分母，再將產(chǎn)2代入即可解答.

【詳解】(1)方程兩邊同時(shí)乘以(久-2)得

5+3Q—2)=-1

解得x=0

經(jīng)檢驗(yàn)，x=0是原分式方程的解.

(2)設(shè)？為m,

方程兩邊同時(shí)乘以。-2)得

m+3(%—2)=—1

由于％=2是原分式方程的增根,

所以把％=2代入上面的等式得

m+3(2-2)=-1

m=-1

所以,原分式方程中“?”代表的數(shù)是-1.

【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應(yīng)用.增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程

的分母為0的根.增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可

求得相關(guān)字母的值.

題型05解分式方程的運(yùn)用(新定義運(yùn)算)

【例8*2022.河南平頂山.統(tǒng)考二模定義運(yùn)算小癡=1+高，如：1※2=1+今=［則方程返修+1)=|

的解為()

11

A.%=1B.%=-1C.x=—D.%=-

22

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義得出方程1+福=|,再解分式方程，求出其解即可.

x+x+12

【詳解】解：由題意，得

.1_1

**2x4-1-2'

解得：X=|,

經(jīng)檢驗(yàn)，x1是方程的根，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查新定義和解分式方程，理解定義和求解分式方程是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1]（2023廣西大學(xué)附屬中學(xué)二模）對(duì)于實(shí)數(shù)。和b,定義一種新運(yùn)算“軟為：a⑤6=3，這里

a-b￡

等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算，例如：1⑤3=七=則方程x區(qū)2=三-1的解是（）

1—3Z8x—4

A.%=4B.%=5C.x=6D.x=7

【答案】B

【分析】根據(jù)題目中定義的新運(yùn)算，將％③2=￡-1轉(zhuǎn)換為分式方程，求解即可?

【詳解】解：根據(jù)題意02=2-1,

去分母得：1=2—Q—4),

解得：x=5,

將尤=5代入公分母x—4K0,

.'.X=5是原分式方程的解,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了定義新運(yùn)算以及解分式方程，理解題意，熟練掌握解分式方程的一般步驟是本題的關(guān)

鍵.

【變式8-2]（2022?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)。/，。保6=工+，.若

ab

。+1）⑤x=等，則x的值為.

【答案】-1/-0.5

【分析】根據(jù)新定義可得（x+1）區(qū)x=筌，由此建立方程等=汕解方程即可.

xz+xxz+xX

【詳解】解：*③b=

/,Y、C1,1x+l+x2x+l

..(%+l)0%=—+--^y=—,

又［G+1)⑤x=手

.2X+1_2X+1

x2+xx

.".(%2+x)(2x+1)—x(2x+1)=0,

.".(%2+%—x)(2x+1)=0,

/.x2(2x+1)=0,

,/(x+1)0%=即為W0,

.,.2x+1=0,

解得％=-l,

經(jīng)檢驗(yàn)X=-3是方程等=絲上的解，

2xA+xx

故答案為：.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于X的方程是解題的關(guān)

鍵.

【變式8-3](2022.四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題)對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,6,規(guī)定。十6=[—5,若(2x-1)十2=1,

則x的值為.

【答案】|

【分析】根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：由題意得：

---=1,

2X-12

等式兩邊同時(shí)乘以2(2%-1)得，

2—2.x+1=2(2%—1),

解得：久=*,

O

經(jīng)檢驗(yàn)，X=|是原方程的根，

O

?■?^=1,

O

故答案為：I.

O

【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解題的關(guān)鍵.

題型06根據(jù)分式方程解的情況求值

[例9](2020.黑龍江齊齊哈爾統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于尤的分式方程2=4+5的解為正數(shù)，則相的取值

范圍為（）

A.m<-10B.m<-10

C.m>-10且m=/^-6D.m>-10Bm=/^-6

【答案】D

【分析】分式方程去分母化為整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解為正數(shù)求出m的范圍即可.

【詳解】解：去分母得3%=-m+5（%-2）,

解得“=誓，

由方程的解為正數(shù)，得到m+10>0,且久42,機(jī)+10力4,

則m的范圍為zn>一10且m豐-6,

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式方程的計(jì)算，去分母化為整式方程，根據(jù)方程的解求出m的范圍，其中考慮

到分式方程的分母不可為零是做對(duì)題目的關(guān)鍵.

【變式9-1]（2020?四川瀘州?中考真題）已知關(guān)于x的分式方程三+2=-三的解為非負(fù)數(shù)，則正整數(shù)m

的所有個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，可得不等式，解不等式，即可

解題.

【詳解】解：去分母，得：m+2（尤-1）=3,

移項(xiàng)、合并，解得：,

■:分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

解得：m<5且n#3,

???m為正整數(shù)

，m=l,2,4,5,共4個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合條件的不等式的解.

【變式9-2]（2023鹽城市二模）關(guān)于x的分式方程吃+p=1的解為正數(shù)，貝必的取值范圍是_____.

x—22—x

【答案】a<5且a豐3

【分析】直接解分式方程，進(jìn)而利用分式方程的解是正數(shù)得出。的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合分式方程有意義的條

件分析得出答案.

【詳解】去分母得：l-a+2=x-2,

解得：x=5-a,

5-a>0,

解得：a<5,

當(dāng)x=5-a=2時(shí)，a=3不合題意，

故a<5且a中3.

故答案為a<5且a*3.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意義是解題關(guān)鍵.

【變式9-3]（2023.內(nèi)蒙古包頭.?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程空子-三=1的解是正數(shù)，則小的取值范

x—11-X

圍是______?

【答案】m>4且m豐5

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解表示出x，根據(jù)解為正數(shù)，求出a的范圍即可.

【詳解】解：去分母得：2x-m+3=x-l,

解得：x=爪一4,

1?該方程的解是正數(shù)

.'.m—4>0,

解得m>4,

又?.?當(dāng)機(jī)=5時(shí)，該分式方程的左邊兩項(xiàng)分母為0,

/.mH5,

故答案為：m>4且m豐5.

【點(diǎn)撥】本題考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判斷方法是解題

的關(guān)鍵.

【變式9-4J2023齊齊哈爾市二模湊使關(guān)于x的方程三|-二；=的解是正數(shù)雙的取值范圍是--

x+2X-1（,x++2工）（x—.1）

【答案】a<-1且a齊3.

【詳解】分析：解分式方程，用含。的式子表示無，由尤>0,求出。的范圍，排除使分母為0的?的值.

詳解：必—七=T一，

x+2XT（X+2J（x-l）

去分母得，（X+1）（尤-1）-尤（尤+2）=a,

去括號(hào)得，/-1---Zxua,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，-2x=a+1,

系數(shù)化為1得，了=*.

根據(jù)題意得，三>0,解得-L

當(dāng)x=1時(shí)，-2x1=°+1,解得a=-3；

當(dāng)x=-2時(shí)，-2x(-2)=a+l,解得a=3.

所以a的取值范圍是a<-1且W-3.

故答案為a<-1Ha#-3.

方法技巧

由分式方程的解的情況求字母系數(shù)的取值范圍，一般解法是：

①根據(jù)未知數(shù)的范圍求出字母的范圍；

②把使分母為0的未知數(shù)的值代入到去分母后的整式方程中，求出對(duì)應(yīng)的字母系數(shù)的值；

題型07很據(jù)分立萬桂有解取尢解求蓼數(shù)

【例10]（2022?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程白=三無解，則優(yōu)的值為（）

X2%+1

A.0B.4或6C.6D.0或4

【答案】D

【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當(dāng)爪-4=0時(shí)，當(dāng)爪-4力。時(shí)，

X=?；?%+1=0,進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】方程兩邊同乘％(2%+1)，得2(2%+1)=mx7

整理得(加一4)%=2,

;原方程無解，

???當(dāng)771—4=0時(shí),771=4；

當(dāng)tn—4W0時(shí)，%=0或2%+1=0,止匕時(shí)，x=-^―,

m-4

解得x=0或久=-|,

當(dāng)x=0時(shí)，x=-^―=。無解；

m-4

當(dāng)久=—J時(shí)，％=吃=一：，解得機(jī)=0；

Z771—4Z

綜上，根的值為?；?/p>