2024年中考數(shù)學(xué)考前沖刺復(fù)習(xí)：與圓有關(guān)的計算之求陰影部分面積

專題03與圓有關(guān)的計算

題型解讀

模型①陰影部分面積計算

方法一直接利用公式法求陰影部分面積

方法二直接或構(gòu)造和差法求阻影部分面積

求陰影部分面積方法總結(jié)

方法三利用等積轉(zhuǎn)換法求陰影部分面積

方法四利用容斥原理求陰影部分面積

求陰影部分面積在考試中主要考查學(xué)生對圖形的理解和數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識能力具有一定的難

度.一般考試中選擇題或填空題型較多，熟練掌握扇形面積、弧長的計算、等邊三角形的判

定和性質(zhì)，特殊平行四邊形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

模型02陰影部分周長計算

求陰影部分弧長或周長的計算，掌握弧長計算方法是正確計算的前提，求出相應(yīng)的圓心角度

數(shù)和半徑是正確計算的關(guān)鍵.該題型一般考試中選擇題或填空題型較多，圓心角是圓

的半徑為R的扇形面積為S,則S扇形=二達(dá)2或S扇形（其中/為扇形的弧長）.熟練

3602

應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.

模型03與最值相關(guān)的計算

陰影部分面積和周長中求最值，此題有一定的難度，解題中注意掌握輔助線的作法，注意掌

握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.本題考查中經(jīng)常與軸對稱--最短路線問題、勾股定理、

等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識點(diǎn)相結(jié)合，解

這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，屬

于中考選擇或填空題中的壓軸題.

模型構(gòu)建

模型01陰影部分面積計算

考I向I預(yù)I測

陰影部分面積計算問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作

為其中一問，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關(guān)鍵是將所給問

題抽象或轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積進(jìn)行求解，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

答I題I技I巧

第一

確定弧所對的圓心，（找圓心）

步：

第二

連接圓心與弧上的點(diǎn)；（連半徑）

步：

第三確定圓心角度數(shù)（有提示角度的話注意求解相應(yīng)角，沒有提示角度的話一般為特

步：殊角，大膽假設(shè)小心論證）

第四

把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積進(jìn)行求解

步：

例1.（2023?四川）

1.一個商標(biāo)圖案如圖中陰影部分，在長方形ABCD中，AB=6cm,3c=4cm,以點(diǎn)A為

圓心，AD為半徑作圓與54的延長線相交于點(diǎn)F則陰影部分的面積是（）

A.(4K+4)CHI2B.(4TI+8)cm2C.(8re+4)cm2D.(47t-16)cm2

例2.(2023?湖北)

2.如圖，在ABC中，ZA=90°,A8=3,AC=6,0是8c邊上一點(diǎn)，以。為圓心的半圓分

別與A8,AC邊相切于兩點(diǎn)，則圖中兩個陰影部分面積的和為.

A

D,

BOC

模型02陰影部分周長計算

考I向I預(yù)I測

陰影部分弧長或周長計算該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難

度，該題型主要考查求與弧結(jié)合的不規(guī)則圖形的周長，準(zhǔn)確應(yīng)用弧長公式是解題的關(guān)鍵.但

許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而

轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的長度問題.

答I題I技I巧

第一步：觀察圖形特點(diǎn)，確定弧長和線段長；

第二步：利用弧長公式求長度；

第三步：求圖形中其它邊的長度；

例1.（2023?河北）

3.如圖，正方形ABCD的邊長為2,分別以3,C為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓相

較于點(diǎn)尸，那么圖中陰影部分①的周長為,陰影部分①②的總面積為.

例2.（2023?浙江）

4.如圖，正方形ABC。中，分別以B,。為圓心，以正方形的邊長。為半徑畫弧，形成樹

葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的周長為―.

模型03與最值相關(guān)的計算

考I向I預(yù)I測

圓的弧長與面積和最值相關(guān)的計算主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各

地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出

現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查軸對稱-----最短路徑問題、勾股定理、

三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”“點(diǎn)到直線距離垂線段最短”

等，但許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，

從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題，進(jìn)而解決求陰影部分的最值問題.

答I題I技I巧

第一步：觀察圖形特點(diǎn)，確定變量和不變的量（一般情況下弧長固定，線段長變化）

利用將軍飲馬或者“兩點(diǎn)之間線段最短，，“點(diǎn)到直線距離垂線段最短，，等知識點(diǎn)進(jìn)

第二步：

行轉(zhuǎn)化

第三步：牢記弧長公式，求對弧長和線段長；

第四步：利用數(shù)形結(jié)合思想注意確定最值；

例1.（2023?江蘇）

5.如圖，點(diǎn)C為。圓。上一個動點(diǎn)，連接

二，BC,若。4=1,則陰影部分面積的最小

值為（）

n

O1--------------------

A萬白1]_c萬1

交D.-------

4442*284

例2.（2022?浙江）

6.如圖，。。是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心,4忘為半徑的圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）,弦A8

經(jīng)過點(diǎn)尸，則圖中陰影部分面積的最小值為（）

3232

A.8兀B.—7iC.8TT-16D.——8A/3

33

例3.（2023?吉林）

7.如圖，在RtABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,以AB直徑作圓，P為BC邊

的垂直平分線DE上一個動點(diǎn)，則圖中陰影部分周長的最小值為.

強(qiáng)化訓(xùn)練

（2023?江蘇）

8.如圖，在RtZkABC中，/A=9（T,AB=3,AC=4,以。為圓心的半圓分別與AB、AC邊

相切于“E兩點(diǎn)，且。點(diǎn)在5c邊上，則圖中陰影部分面積箍=（）

15036

A?！?C.5—71D.-----------71

-744949

（2022?湖北）

9.如圖，在Rt,ABC中，ZC=90°,AB=6,AD是/BAC的平分線,經(jīng)過A,。兩點(diǎn)的

圓的圓心。恰好落在A5上，一。分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F.若圓半徑為2.則陰影

部分面積（）.

（2023.安徽）

10.如圖是某芯片公司的圖標(biāo)示意圖，其設(shè)計靈感源于傳統(tǒng)照相機(jī)快門的機(jī)械結(jié)構(gòu)，圓。

中的陰影部分是一個正六邊形，其中心與圓心。重合，且AB=BC,則陰影部分面積與圓

的面積之比為（）

11.如圖所示，。。是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，4為半徑的圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（應(yīng)，行）,

弦AB經(jīng)過點(diǎn)P,則圖中陰影部分面積的最小值等于（）

（2023?山東）

12.如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A8兩點(diǎn)，分別以兩點(diǎn)為圓心，畫與

X軸相切的兩個圓，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,1）,則?圖中兩個陰影部分面積的和是（)

11

A.—兀B.—7iC.7iD.4兀

24

（2023?山西）

13.如圖，在中，ZC=90°,N5=30。，點(diǎn)。在A5上，以。為圓心作圓與3C相

切于點(diǎn)。，與A3、AC相交于點(diǎn)E.F；連接A。、FD,若。的半徑為2.則陰影部分面

3333

（2023?黑龍江）

14.如圖，ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,分別以點(diǎn)A,3為圓心，AC,的

長為半徑作圓，分別交AB于點(diǎn)DE,則弧C￡＞弧CE和線段OE圍成的封閉圖形（圖陰影部

分）的面積（結(jié)果保留萬）

（2022?河南）

15.在矩形ABCD中，AB=4,AD=4&,以8c為直徑作半圓（如圖1）,點(diǎn)尸為邊8上

一點(diǎn).將矩形沿3尸折疊，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AO上（如圖2）,則陰影部分周

長是.

圖1圖2

（2022.內(nèi)蒙古）

16.如圖，在MAO8中，ZAOB=90°,以。為圓心，的長為半徑的圓交邊于點(diǎn)。,

點(diǎn)C在邊OA上且C￡>=AC,延長8交的延長線于點(diǎn)E.

（2）已知sinNOC￡>=1,AB=4右,求AC長度及陰影部分面積.

通關(guān)試練

17.如圖，在以點(diǎn)。為圓心的半圓中，AB為直徑，且AB=4,將該半圓折疊，使點(diǎn)A和點(diǎn)

B落在點(diǎn)。處，折痕分別為EC和FD,則圖中陰影部分面積為（）

A-4^-fB-46Tc-2^-fD-2^-T

18.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是A8中點(diǎn)，在A。上取一點(diǎn)G,以點(diǎn)

G為圓心，G。的長為半徑作圓，該圓與3c邊相切于點(diǎn)凡連接。E,EF,則圖中陰影部

分面積為（）

C.2兀+6D.5兀+2

19.如圖，四邊形A8CQ為正方形，邊長為4,以5為圓心、8C長為半徑畫A5,E為四邊

形內(nèi)部一點(diǎn)，且3EJ_CE,N8CE=30。，連接AE,求陰影部分面積（）

A.4兀-26B.6萬C.4%-2-2&D.4萬-3-2百

20.如圖，正三角形ABC的邊長為4cm,D,E,F分別為BC,AC,AB的中點(diǎn)，以A,B,

C三點(diǎn)為圓心，2cm為半徑作圓.則圖中陰影部分面積為（）

C.(4班-2兀)cm2D.(271-273)cm2

21.如圖，在RtZXAOB中，ZAOB=9Q0,04=2,0B=l,將Rt/VlOB繞點(diǎn)。順時針旋

轉(zhuǎn)90°后得RtAFOE,將線段EF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段￡?,分別以O(shè),E為圓心，

OA.ED長為半徑畫弧A尸和弧。尸，連接4）,則圖中陰影部分面積是（）

5TC771

A.7iB.TT+5C.--------D.-----

2424

22.如圖，在半徑為2.圓心角為90°的扇形Q4B中，8C=2AC，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿OfA

的方向運(yùn)動到點(diǎn)A停止.在點(diǎn)。運(yùn)動的過程中，線段30,8與BC所圍成的區(qū)域（圖中

陰影部分）面積的最小值為（）

23.如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=3,尸是A3中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作弧

交于點(diǎn)E,以點(diǎn)8為圓心，時為半徑作弧交8C于點(diǎn)G,則圖中陰影部分面積的差E-S?

24.如圖，在半徑為4的扇形048中，ZAOB=90°,點(diǎn)C是A8上一動點(diǎn)，點(diǎn)。是0c的

中點(diǎn)，連結(jié)并延長交。2于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積的最小值為（）

C

AB

\\/E

O

A.4萬一4B.4^---C.2萬一4D.2^--—

33

25.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=6,AD是/B4C的平分線，經(jīng)過A,。兩點(diǎn)

的圓的圓心。恰好落在A3上，。分別與48、AC相交于點(diǎn)E、E若圓半徑為2.則陰影

部分面積=.

26.如圖，在RtABC中，ZA=30°,8C=2石，點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，以。為圓心，OC長

為半徑的圓與A3相切于點(diǎn)。，交AC于另一點(diǎn)E,點(diǎn)尸為優(yōu)弧DCE上一動點(diǎn)，則圖中陰影

部分面積的最大值為.

A

BC

27.如圖，點(diǎn)C為:圓。上一個動點(diǎn)，連接AC,BC,若。4=1,則陰影部分面積的最小

4

值為.

oB

28.如圖所示，。。是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，4為半徑的圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（及，&）,

弦AB經(jīng)過點(diǎn)P,則圖中陰影部分面積的最小值=.

29.如圖，扇形。中，OA=R,NAOB=60。，C為弧A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。為。3上一動點(diǎn),

連接4XDC,當(dāng)陰影部分周長最小時，tan/ADC等于.

30.如圖，扇形AOB中，ZAOB=nO°,M切弧AB于點(diǎn)C,切。4,08分別于點(diǎn)，E,

若04=1,則陰影部分面積的周長為.

3

31.如圖，在中，OA=2,0B=3,AB=-,將493繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)45。后得到

△COD,則圖中陰影部分（邊A3掃過的圖形）的周長為.

32.如圖，在一AfiC中，ZACB=90°,以點(diǎn)C為圓心，C4長為半徑的圓交A3于點(diǎn)。.

⑴若NB=25。，求A￡）的度數(shù)；

⑵若。是的中點(diǎn)，且AB=4,求陰影部分（弓形）的面積.

33.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑作圓0,分別交AC,BC于點(diǎn)DE.

⑴求證：BE=CE;

⑵當(dāng)NBAC=40。時，求NAOE的度數(shù)；

（3）過點(diǎn)E作圓。的切線，交AB的延長線于點(diǎn)F,當(dāng)AO=BE=2時，求圖中陰影部分面積.

34.如圖，ABC中，ZACB=90°,/胡。的平分線交BC于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，OC長

為半徑作圓.

(1)求證：A8是，：O的切線；

(2)^ZCAO=30°,OC=4,求陰影部分面積.

參考答案：

1.A

【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，圓的面積，陰影部分的面積等于長方形ABC。的

面積加上;圓形的面積，再減去VCBP的面積.

4

【詳解】解：由題意知AF=AD=3C=4cm,BF=AF+AB=10cm,

陰影部分的面積S=42-2C+工TTAD?-12尸?2C

42

1,1

=6x4+—71x4——xl0x4

42

=24+471-20

=4兀+4,

故選A.

2.5一%##一》+5

【分析】連接OD,OE,可證四邊形ADOE是正方形，^AD=DO=OE=AD=rf貝1J

EC=AC-AE=6-r,證明，AC5s通過對應(yīng)邊成比例求出r,則陰影部分面積之

和等于S枷減去S正方形ARE,再減去」和△￡OC所包含扇形的面積之和.

【詳解】解：如圖，連接OO,OE,

以。為圓心的半圓分別與AB,AC邊相切于。，石

兩點(diǎn),

/.OD±AB,OE1AC,

ZA=90°,

1?四邊形ADOE是矩形，

又OD=OE9

???四邊形ADOE是正方形，

AD=DO=OE=AD,ZDOE=90。,

ZA=ZOEC=90°,ZACB=AECO,

??ACBs/ECO,

.ACAB

'~EC~~EO'

設(shè)AD=DO=OE=AD=r,貝！JEC=AC—AE=6—r,

?6_3

6-rr'

解得Y=2,

AD=DO=OE=AD=2,

/DOE=90。,

12f)°_OH°1

DOB和△EOC所包含扇形的面積之和為：一—xnr2=-nx22=?t,

，圖中兩個陰影部分面積的和為：SABC-S正方形3OE-兀=gx3x6-22-7t=5-7t,

故答案為：5-兀.

【點(diǎn)撥】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，扇形面積

計算等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是證明ACBs"CO,求出半徑r.

3.7T+22\/3-------

3

【分析】連接PB、PC,作尸F(xiàn)LBC于歹，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NPFC=60。，解直

角三角形求出所、PF,根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】解：連接PB、PC,作尸于歹，

PB=PC=BC=2,

.?.△P3C為等邊三角形，

ZPBC=NPCB=60°,ZPBA=30°,

:.PF=PB.sin60°=2x?=g,

2

二陰影部分①的周長=+

30%x26071x2

++2

180180

=71+2

陰影部分①②的總面積=[S扇形.-（S扇物附-S皿）]X2

30TTX22f607TX22一；X2XG

360―[360x2

=2百一拳，

故答案為：乃+2；2^/3---.

【點(diǎn)撥】本題考查的是扇形面積、弧長的計算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，正方形性質(zhì)，掌

握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

4.兀a

【分析】由圖可知，陰影部分的周長是兩個圓心角為90。、半徑為。的扇形的弧長，可據(jù)此

求出陰影部分的周長.

【詳解】解：四邊形A3CD是正方形，邊長為。，

:.AB=CB=AD=CD=a,ZB=ZD=90°,

樹葉形圖案的周長=2乂桀/=

lol）

故答案為：兀a.

【點(diǎn)撥】本題考查了弧長的計算，關(guān)鍵是牢記弧長公式.

5.C

【分析】連接A3、連接OC',根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OD,進(jìn)而得到CD的長,

根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】解：連接AB,OC,AC,BC,

要使陰影部分的面積最小，需要滿足四邊形AOBC的面積最大，只需滿足，ABC的面積最大

即可，

從而可得當(dāng)點(diǎn)C位于弧A2的中點(diǎn)C'時，ABC的面積最大,

連接。C,則OCUAB于。，

DC'=OC'-OD=1--,

2

「?S四邊形AOBC'=SAOB+SMU=5X

X1TT

扇形A03的面積=也」=工，

3604

，陰影部分面積的最小值=工-包，

42

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查的是扇形面積計算、垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公

式是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】由題意當(dāng)時，陰影部分的面積最小，求出A8的長，乙4。9的大小即可

解決問題.

【詳解】解：由題意當(dāng)。尸，A3'時，陰影部分的面積最小，

:P(2,2),

--OP=yl22+22=25/2，

-：OA'=OB'=4^/2，

:.PA，=PB，=dOB。-OP。=J(4也丁_(2應(yīng)J=2瓜,

276廣

.\tanz.A'OP=tanz_B'OP--產(chǎn)=Js

2V2

,^A'OP=^B'OP=60°,

：N409二120。，

120；r4

；.S而S?OA'B'-SAA'OB"='(^)_1,4J6.2J2=--8A/3，

36023

故答案為：D.

【點(diǎn)撥】本題考查扇形的面積的計算、勾股定理以及垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解當(dāng)

OPLA7T時，陰影部分的面積最小，屬于中考?？碱}型.

-c4%

7.8+——

3

【分析】首先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)將AP+CP的長度轉(zhuǎn)化為AP+3P的長度，求出AP+的

的最小值，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AP和CP的長，并證明△ACP是等邊三角形,

據(jù)此求出圓心角NAEC的大小，即可計算出AC的長度，用AC的長度加上AP+CP的長度

即為陰影部分的周長.

【詳解】解：如圖，連接CE,連接BP

?.?尸為3C邊的垂直平分線OE上一個動點(diǎn),

.,.點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線DE對稱,

:.CP=BP,

:.AP+CP=AP+BP

,當(dāng)動點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時AP+3尸最小，此時AP+CP最小,

?.ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,

/.AB=2AC=8?AE=4,

:.CP=AP=ACf

「.△AC尸是等邊三角形，

:.ZAPC=60°,

:AP-^CP=AP+BP=AB=8,

口口口八人八m“白,、rc60°X乃X4八47r

陰彭部分的周長取小值為8H——8+——.

lot）3

4yr

故答案為8+.

【點(diǎn)撥】本題主要考查弧長的計算以及利用垂直平分線的性質(zhì)求兩線段長度和的最小值，陰

影部分的周長可以分為AC和AP+CP兩部分的長度分別計算然后求和即可.

8.D

【分析】連接O2OE,設(shè)（。與BC交于M、N兩點(diǎn)，易得四邊形ADOE是正方形，即可

得到NDOM+/EON=90。，然后設(shè)OE=x,由CO￡s。陰，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成

比例，即可求得x的值，然后根據(jù)S陰影=SABC-S正方形AZ）O￡一（S扇形OOM+S扇彩EON）求解即可?

【詳解】解:連接8,0萬,設(shè)：。與BC交于M、N兩點(diǎn)，

NC

：AB.AC分別如，。于DE兩點(diǎn),

ZADO=ZAEO=90°,

X-.-ZA=90°,

二四邊形ADOE是矩形,

:OD=OE,

二四邊形ADOE是正方形,

:.ZDOE=90°f

.,.ZDOM+/EON=94。,

^OE=x,貝ijAE=AD=OD=x,EC=AC-AE=4-x.

ZC=ZC.ZCEO=ZA=90°,

/.COEsCBA,

CEOE

4-x_x

43

12

解得％=亍，

?，-S陰影=^.ABC~S正方形々JOE一(S扇形DQM

15036

------------71

4949

故選D.

【點(diǎn)撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，以及扇

形的面積，此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

9.C

【分析】連接OD,OF.首先證明ODIIAC,推出S陰=5扇形OFA，再證明AAOF是等邊三角

形即可解決問題.

【詳解】解：連接OD,OF.

/AD是NBAC的平分線，

.,.zDAB=zDAC,

.「OD=OA,

.\zODA=zOAD,

.-.zODA=zDAC,

/.ODllAC,

.-，zODB=zC=90°,

??SAAFD-SAOFAJ

--S陰=5扇形OEA,

.「OD=OA=2,AB=6,

：OB=4,

/.OB=2OD,

/.ZB=3O°,

：NA=60。，

/OF=OA,

「.△AOF是等邊三角形，

/.ZAOF=60°,

.?$陰=$扇形OFA=K"=里.

3603

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)

鍵是添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

10.B

【分析】根據(jù)題意，設(shè)正六邊形的邊長為1,進(jìn)而求出圓的面積以及圓的內(nèi)接正六邊形面積,

進(jìn)一步計算可得答案.

【詳解】解：如圖所示，連接。4,OB,OC

設(shè)正六邊形的邊長為1,則。4=1,ZAOB=60°,OA=OB

493為等邊三角形，貝|NBQ4=NOB4=60。，OA=OB=AB=1,AC=2,

：.ZBCO=ZBOC,

又?：NABO=NBCO+NBOC,

ZBCO=ZBOC=30°,則ZAOC=90°,

；.OC=NAC2-AO。=也，即圓的半徑為百，

所以圓的面積為3萬，正六邊形的面積為6%40s=6xiABOAsin60°=6xixlxlx—=,

AAOB2222

則陰影部分面積與圓的面積之比為工=3，

3萬2萬

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓面積的計算，正六邊形的性質(zhì)，正確作出輔助線和正確的識別圖形是

解題的關(guān)鍵.

11.D

【詳解】由題意當(dāng)OPLAB時，陰影部分的面積最小，

/P（V2，6）,

/.OP=2,\OA=OB=4,

：PA=PB=2四,

/.tanzAOP=tanzBOP=73,

/.zAOP=zBOP=60°,

/.ZAOB=120°,

_4204？2A16萬-12有

.陰一、扇形OAB-OAAOB-------------------------X4>/5XZ------------------------

36023

【分析】先利用切線的性質(zhì)得到。A的半徑為1,再根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性得到點(diǎn)B

的坐標(biāo)為（-2,-1）,同理得到OB的半徑為1,則可判斷OA與OB關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，。

A的陰影部分與0B空白的部分的面積相等，所以圖中兩個陰影部分面積的和等于。A的面

積，然后根據(jù)圓的面積公式計算.

【詳解】解：1?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,1）,且。A與x軸相切，

的半徑為1,

,點(diǎn)A和點(diǎn)B是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2,-1）,

同理得到。B的半徑為1,

二。A與。B關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，

??.OA的陰影部分與OB空白的部分完全重合，

.-,OA的陰影部分與0B空白的部分的面積相等，

二圖中兩個陰影部分面積的和=兀」2=兀.

故選c.

【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性：反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對

稱圖形，對稱軸分別是：①第二、四象限的角平分線y=-x；②第一、三象限的角平分線y=x；

對稱中心是：坐標(biāo)原點(diǎn).

13.C

【分析】連接0。，OF,證明推出S陰影=s扇形。"，再證明是等邊三角形

即可解決問題.

【詳解】解：連接0。，OF.

。與3C相切,

:.ZODB=90°.

,.?"=90。，

.\ZODB=ZC,

:.OD//AC,

...uAFD~°OFA，

?二S陰影=S扇形0E4,

/ZB=30°,

：.ZBAC=6O°,

:OF=OA,

/.AO廠是等邊三角形,

/.ZAOF=60°,

_60?I?2?_2%

:3陰影=3扇形。網(wǎng)=———=-?

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

14.4兀一8

【分析】根據(jù)S空白=2x（SABC~S扇形CW），S陰影—SABC-S空白，計算求解即可.

【詳解】W：:ZACB=90°,AC=BC=4,

???Swc=Jx4x4=8，S扇形加=^^=27，S空白=2x（8-2萬）=16-4萬，

，s陰影=S,MC-S空白=8—（16—4萬）=4萬一8，

故答案為：4萬-8.

【點(diǎn)撥】本題考查了扇形的面積.解題的關(guān)鍵在于正確表示陰影部分的面積.

15.立"+4##4+0萬

【分析】根據(jù)折疊和直角三角形的邊角關(guān)系可求出乙42年45。，進(jìn)而求出陰影部分所在的圓

心角的度數(shù)為90°,求出8歹和BF的長再進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：設(shè)陰影部分所在的圓心為O,如圖，連接?？?/p>

1?四邊形ABC。是矩形,

.?.zABC=zA=90°,

由折疊得，BE=BC=4衣

?,AB=4,

-AE=y/BE2-AB2=4

,\AB=AE,

ZABE=ZAEB=1(180°-90°)=45°

ZOBE=90°-ZABE=90°-45°=45°,

:OB=OF

.\ZOBF=ZOFB=45°

ZBOF=180。—45°-45°=90°

的長=型佇&L后,

180

BF=yJOB2+OF2=J(2回+(2行了=4,

：.陰影部分周長=0"+4

故答案為：血兀+4.

【點(diǎn)撥】本題考查折疊軸對稱，直角三角形的邊角關(guān)系，弧長的計算，掌握弧長計算方法是

正確計算的前提，求出相應(yīng)的圓心角度數(shù)和半徑是正確計算的關(guān)鍵.

16.(1)證明見詳解；

(2)AC=3,陰影部分面積為三-4萬.

【分析】(1)連接O。，證明NODE=90。即可；

(2)在放△OC。中，由勾股定理求出。C.ODC。，在MAOCE中，由勾股定理求出OE,

用AOCE的面積減扇形面積即可得出陰影部分面積.

【詳解】(1)證明：連接

：OD=OB

.,2OBD=NODB

\'AC=CD

：.Z.A=z.ADC

.2ADC=NBDE

：.Z.A=z_EDB

：Z.AOB=90°

/.zA+zABO=90°

.?.NODB+NBDE=9。。

即OD_LCE,

又。在；。上

是圓的切線；

（2）解：由（1）可知，zODC=90°

在Rf/kOCD中，sinZOCD=-=—

5OC

.?.設(shè)OD=OB=4x,貝ijOC=5x,

..CD=y/0C2-0D2=,J（5X）2+（4X）2=3尤

：.AC=3x

：.OA=OC+AC=Sx

在放△0A8中：OB2+O^=AB2

即：（4好+（8%2）=（4灼2

解得％=1,（-1舍去）

"03,0C=5,OB=OD=4

4OF

在RMOCE中,sinZOCD=-=—

5CE

.?.設(shè)OE=4y,貝I]CE=5y,

：OE2+OC2^CE2

（4y）2+52=（5y）2

解得y=g，（'舍去）

.--0E=4y=y

S*也可」x型X5-4.竺-4%

陰黑2360233

.?.陰影部分面積為弓-4%.

【點(diǎn)撥】本題考查切線的判斷和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、陰影部分面積的求法，解題的

關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)求出相應(yīng)的邊長，并能將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形

與扇形面積的差.

17.D

【分析】根據(jù)題意求得AC=OC=OD=DB=1,CD=2,EC=石2一=豆，進(jìn)一步求出^EOF

是等邊三角形，然后根據(jù)S陰二S長方形CDFE-（S半圓-S長方形CDFE）+2（S扇形OEF-S^EOF）即可求得.

【詳解】:AB是直徑，且AB=4,

.\OA=OE=2,

?.?使點(diǎn)A和點(diǎn)B落在點(diǎn)O處，折痕分別為EC和FD,

.-.AC=OC=OD=DB=I,

-CD=2,EC=JOE2_OC2=5

「.△EOF是等邊三角形,

/.ZEOF=60°,

S半圓二—7TX22-2^,S長方形CDFE=2xJ§=2

--S陰=S長方形CDFE-(S半圓-S長方形CDFE)+2(SOEF-SAEOF)=4A/3-2^+2(2^/3)-2y/3——

故選D.

【點(diǎn)撥】此題主要考查扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟知翻折變換的性質(zhì).

18.B

【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO=BC=6,ZADC=zC=90°=zA=zB,A2=Cr>=4,由切

線的性質(zhì)可得即可證四邊形GECD是正方形，可得GD=GP=C￡>=CF=4,由

面積的和差可求陰影部分面積.

【詳解】如圖，連接GR

1?四邊形ABC。是矩形

:.AD^BC^6,NAOC=NC=90°=ZA=N8,AB=CD=4

:點(diǎn)E是AB中點(diǎn)

:.AE=BE=2

?：BC與圓相切

:.GF±BC,且NA￡)C=NC=90°

二四邊形GFCD是矩形,

又：GD=DF

四邊形GbCD是正方形

:.GD=GF=CD=CF=4

：.BF=BC-FC=2

■:S陰影=(S四邊形ABFZ)-S^AED-S^BEF)+(S扇形GDF-S^GDF)

「.S陰影=(--------—x6x2——x2x2)+(4兀-—x4x4)=4兀.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式，熟

練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

19.C

【分析】過E點(diǎn)作于M點(diǎn)，作硒，48于7\^點(diǎn)，利用解含特殊角的直角三角形,

得到BM=^-EM,根據(jù)BM+MC=BC=4,求出EM,進(jìn)而求出3M,依據(jù)NE

3

±AB,EMLBC,且NABC=90。，可知四邊形8MEN是矩形，則有NE=BM=1,根據(jù)

S陰影二S扇形A5C—^/\ABE-'△BEC即可求解.

【詳解】過E點(diǎn)作現(xiàn)LL8C于M點(diǎn)，作ENJ_A3于N點(diǎn)，如圖，

AD

BMC

:BEA_CE,

.,.NBEC=90。,

/ZBCE=3O°,

:.AEBC=60°,

.?.在ROEMC中，

.,.tanzECM=-^^=tan30°=^-,

MC3

：.MC=6EM,

,.在Rt^EBM中,

EM

:Xmz_EBM=---=tan60°=J3，

BM

3

.BM+MC=BC=4,

.?里EM+6EM=4,

3

1.EM=6

：.BM=^-EM=—x^/3=l,

33

\NE_LAB,EM工BC,_&zABC=90°,

四邊形BMEN是矩形，

：.NE=BM=\,

\AB=BC=4,NABC=90。，

SAAB￡=-^xABxNE=；x4xl=2,5AB￡C=；xBCxEM=-^-x4x-\/3=2-\/3,

,90°21

S扇形.=萬義48"妍=萬義4X-^4TT

S陰影=S扇形ABC_SAABE'-S^BEC=4萬-2-2百,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、扇形的面積公式和解含特殊角的直角三角形等知識，求出

EM、EN是解答本題的關(guān)鍵.

20.C

【分析】連接AD,由等邊三角形的性質(zhì)可知AD，BC,NA=NB=NC=60。,根據(jù)S陰影=SAABC-3s

扇形AEF即可得出結(jié)論.

【詳解】連接AD,

/△ABC是正三角形，

「.AB=BC二AC=4,zBAC=zB=zC=60°,

?.BD=CD,

/.AD±BC,

「?AD=^AB2-BD2=742-22=273，

/.S陰影=S4ABC-3s扇形AEF=;x4x2班-'。"義'乂3=（4四-2兀）cn?,

/360

【點(diǎn)撥】本題考查了有關(guān)扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

21.C

【分析】本題考查的是扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式

為$=更二.作于人根據(jù)勾股定理求出根據(jù)陰影部分面積=Y4DE的面積

360

+VEOF的面積+扇形AOF的面積-扇形OEF的面積、利用扇形面積公式計算即可.

【詳解】解：作。于"，

:ZAOB=90°,OA=2,OB=1,

■-AB^ylo^+OB2^y/5,

由旋轉(zhuǎn)，得EOFmBOA,

:.ZOAB=ZEFO,

NFEO+ZEFO=/FEO+ZHED=90°,

:/EFO=/HED,

."HED=/OAB,

:ZDHE=ZAOB=90°,DE=AB,

:DHE^BOA(AAS),

:.DH=OB=1,

陰影部分面積=VADE的面積四EOF的面積+扇形AO下的面積一扇形下的面積

=lx3xl+lxlx2+22^i-22^

22360360

51

---------71

24

故選：C.

22.B

【分析】當(dāng)點(diǎn)。在線段。4上時，易得當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時，陰影部分面積最小，連接OGBC,

過點(diǎn)。作SLQ4于點(diǎn)”，如圖，分別求出最小陰影部分面積比較即可得到陰影部分最小

面積.

【詳解】當(dāng)點(diǎn)。在線段04上時，易得當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時，陰影部分面積最小，連接0cBe

過點(diǎn)。作CHLOA于點(diǎn)兒如圖,

:.CH=-OC=l,

2

2

?.?ZBOC=-x90°=60°,

3

c60c22

=^77?x31x2?

JOU5

S陰=S扇形BOC+SNOC-S—OB=§乃+；x2xl一;x2x2="1九一1；

2

廠?線段50、8與5C所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為]?-L

故答案為B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，圓心角定理以及三角形及扇形的面積求法，討論動點(diǎn)的

位置作輔助線把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差是解題的關(guān)鍵.

23.A

【分析】根據(jù)圖形可以求得正的長，然后根據(jù)圖形即可求得R-§2的值.

【詳解】解：?.?在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,/是AB中點(diǎn)，

:.BF=BG=2f

「?S1-§矩形ABC。一§扇形ADE-S扇形5GF+^2，

90-^x3290-^x2213乃

..S,-S,=4x3------------------------------=12--------,

123603604

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

24.B

【分析】由題意可知點(diǎn)。在以O(shè)為圓心2為半徑的圓弧上，則可知當(dāng)AE與小圓O相切于

。時，OE最大，即^AOE的面積最大，此時陰影部分的面積取得最小值，由此求解即可.

【詳解】?.?點(diǎn)。是0。的中點(diǎn)，OD=2,

.?.點(diǎn)D在以O(shè)為圓心2為半徑的圓弧上，

可知當(dāng)AE與小圓。相切于。時，OE最大，即△AOE的面積最大，此時陰影部分的面積

取得最小值，

\OA=2OD=4,

sinZOAE=^-=—,]U!jZOAE=30°,

OA2

「NA08=90。,

4a

：.OE=OAtmZOAE=^^,

3

一）陰影一?扇形Q45一》OAE-^717

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形，求不規(guī)則圖形的面積，切線的性質(zhì)，正確得出當(dāng)

AE與小圓。相切于。時，OE最大，即的面積最大，此時陰影部分的面積取得最小

值是解題的關(guān)鍵.

22TT

25.—?##——

33

【分析】連接OD,OF.首先證明OD〃AC,推出S陰=S扇形。.，再證明.4?尸是等邊三

角形即可解決問題.

【詳解】解：連接OD,OF.

AD是/BAC的平分線,

OD=OA,

:.ZODA=ZOAD,

:.ZODA=ZDAC,

:.OD//ACf

:.ZODB=ZC=90°,

一口AFD~°OFA，

S陰=S扇形0網(wǎng),

OD=OA=2,AB=6,

:,OB=4f

:.OB=2OD,

.-.Zfi=30°,

.\ZA=60°,

OF=OA,

.ZAO尸是等邊三角形，

二.NAO/=60。，

__60K-22_2K

一陰影部分一扇形—360-3'

2兀

故答案為：y.

【點(diǎn)撥】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)

鍵是添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

2

26.2H—71

3

【分析】根據(jù)5療5稱。GE+S.DER可得當(dāng)。工LOE時，陰影部分面積最大，再S*S

扇彩ODE-SQEO+SADEF,即可求得陰影部分面積的最大值.

【詳解】解:連接。E,OD,

,?,Rt-ABC中，ZA=30°,BC=26，

?"上=￥=6,

tan30°4

「AB為。的切線,

ZADO=90°f

:.AO=2OD,ZAOD=60°,

:OD=OE=OC,

:.AC=AO+OC=3OD=6,ZkODE為等邊三角形，

:.DE=OE=OD=OC=2,

'-'S陰跖S弓形DGE+S^DEF

.?.當(dāng)。尸時，陰影部分面積最大，止匕時O尸與。E交于G,

：NDOG="OG=30。，Z￡>GO=90°,

/.OG=OD-cos30°=2x=A/3,G尸=OG+O尸=2+6，

2

「?S陰影二S扇形ODE-S^DEO+S^DEF

昌？2x(2+.

【點(diǎn)撥】本題考查不規(guī)則圖形面積的計算，解直角三角形，垂徑定理等.掌握割補(bǔ)法將陰影

部分正確分割，并能理解當(dāng)?shù)紫嗤瑫r高越大三角形的面積越大是解題關(guān)鍵.

Z/.---------

42

【分析】連接A8OC'、AC'、BC',根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出進(jìn)而得到CD的

長，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】

取弧A8的中點(diǎn)C,連接AAOC