解讀初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)理念

..word.zl解讀初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)〔2021年版〕，聚焦“圖形與幾何〞教學(xué)一、從課程目標(biāo)看幾何教學(xué)㈠課程目標(biāo)從?雙基?到?四基?，從?兩能?到?四能?㈡“雙基〞為什么要開展為“四基〞㈢關(guān)于數(shù)學(xué)的“根本思想〞㈣“根本思想〞與幾何教學(xué)㈤關(guān)于數(shù)學(xué)的“根本活動經(jīng)歷〞㈥“根本活動經(jīng)歷〞與幾何教學(xué)㈦從“兩能〞到“四能〞的意義㈧怎樣才能有效地引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)而提出問題二、從?課標(biāo)2021年版?核心概念看幾何教學(xué)㈠關(guān)于空間觀念㈡關(guān)于幾何直觀㈢關(guān)于推理能力三、從課程內(nèi)容的變化看幾何教學(xué)㈠將具體內(nèi)容進(jìn)一步捋順㈡為落實(shí)“幾何直觀〞能力的培養(yǎng)?課標(biāo)2021年版?新增內(nèi)容㈢?課標(biāo)2021年版?適度增加幾何證明內(nèi)容㈣?課標(biāo)2021年版?減少了一些必要性不大或難以被學(xué)生理解的“圖形與幾何〞內(nèi)容四、案例分析與教學(xué)思考案例1：等腰三角形〔1〕設(shè)計(jì)與思考案例2：中考幾何動態(tài)壓軸題的解題分析解讀新課標(biāo)，聚焦幾何教學(xué)一、從課程目標(biāo)看幾何教學(xué)㈠課程目標(biāo)從?雙基?到?四基?，從?兩能?到?四能?新課標(biāo)〔2021年版〕在總目標(biāo)中規(guī)定，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：⒈獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步開展所必需的數(shù)學(xué)的根底知識、根本技能、根本思想、根本活動經(jīng)歷。⒉體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)展思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。⒊了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度。從目標(biāo)的3個條目來看，目標(biāo)1被簡稱為獲得“四基〞，目標(biāo)2簡稱為提高“四能〞，目標(biāo)3那么是開展情感態(tài)度價值觀。課程目標(biāo)代表了設(shè)計(jì)者對于“通過學(xué)習(xí)學(xué)生將獲得什么〞這一根本問題的答復(fù)，同時也明確了教師“為什么教〞的教學(xué)目的。目標(biāo)含蓋了1-9年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此，從“雙基〞到“四基〞，從“兩能〞到“四能〞，被看成新課標(biāo)〔2021版〕關(guān)于課程目標(biāo)的重大進(jìn)展，甚至不少人將其視做這次課標(biāo)修訂的標(biāo)志之一。㈡“雙基〞為什么要開展為“四基〞三個理由：第一：因?yàn)椤半p基〞僅僅涉及三維目標(biāo)中的一個目標(biāo)——“知識與技能〞。而新增的數(shù)學(xué)的根本思想、根本活動經(jīng)歷那么涉及了三維目標(biāo)中的另外二個目標(biāo)——“過程與方法〞和“情感態(tài)度價值觀〞。第二：強(qiáng)調(diào)“雙基〞，教學(xué)實(shí)施中易造成“以本為本〞，見物不見人，而教育必須以人為本，新增的二條就直接與人相關(guān)，也符合“素質(zhì)教育〞的理念。第三：僅有“雙基〞還難以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，“雙基〞只是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的一個根底。只有知識、技能、思想、經(jīng)歷的綜合，才是開展創(chuàng)新型人才的要素和機(jī)制。㈢關(guān)于數(shù)學(xué)的“根本思想〞⒈課標(biāo)的措詞是數(shù)學(xué)的“根本思想〞，而不是數(shù)學(xué)的“根本思想方法〞。數(shù)學(xué)方法不同于數(shù)學(xué)思想?！皵?shù)學(xué)思想〞往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的。“數(shù)學(xué)方法〞往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。數(shù)學(xué)思想常常通過數(shù)學(xué)方法去表達(dá)；數(shù)學(xué)方法又常常反映了某種數(shù)學(xué)思想。教師在講授數(shù)學(xué)方法時應(yīng)該努力反映和表達(dá)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精華。⒉數(shù)學(xué)的根本思想數(shù)學(xué)抽象的思想：通過數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法那么，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科及其眾多的分支。數(shù)學(xué)推理的思想：通過數(shù)學(xué)推理，進(jìn)一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以豐富和開展。數(shù)學(xué)模型的思想：通過數(shù)學(xué)模型，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的社會效益，又反過來促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的開展。數(shù)學(xué)審美的思想：通過數(shù)學(xué)審美，看到數(shù)學(xué)“透過現(xiàn)象看本質(zhì)〞、“和諧統(tǒng)一眾多事物〞中美的成分，感受到數(shù)學(xué)“以簡馭繁〞、“天衣無縫〞給我們帶來的愉悅，并且從“美〞的角度發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)。⒊數(shù)學(xué)根本思想的派生與演變㈣“根本思想〞與幾何教學(xué)重視數(shù)學(xué)思想教學(xué)，是數(shù)學(xué)教育的一個共識和傳統(tǒng)，思想即意識，也有學(xué)者通俗地把“數(shù)學(xué)思想〞說成“將具體的數(shù)學(xué)知識都忘掉以后剩下的東西〞，也就是所謂的“知識易忘、意識永存〞。根本思想的提出，幫助我們從具體的思想方法，特別是一些“解題方法〞中“跳〞出來，去思考數(shù)學(xué)開展依賴的更為本質(zhì)的東西。這正是我們課堂教學(xué)中所要追求的教育價值。教材是溝通教與學(xué)的橋梁，但教材不可能把各種數(shù)學(xué)思想像表達(dá)知識一樣直接寫在課本中，因?yàn)檫@樣做學(xué)生無法吸收。但教材會根據(jù)?新課標(biāo)?的要求把思想滲透在教學(xué)內(nèi)容中，作為教師就需要通過鉆研教材把數(shù)學(xué)思想挖掘出來，通過適宜的呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生逐步感悟它們，掌握它們。㈤關(guān)于數(shù)學(xué)的“根本活動經(jīng)歷〞⒈根本活動經(jīng)歷的界定跟“數(shù)學(xué)的根本思想〞一樣，新課標(biāo)也沒有對“數(shù)學(xué)的根本活動經(jīng)歷〞展開具體的論述，這樣，就留給了我們思考與研究的空間。什么是數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷？聽課、作筆記、寫練習(xí)、作作業(yè)、答復(fù)以下問題、發(fā)表見解、作業(yè)講評、訂錯、糾錯、考試這一些我們司空見慣的教學(xué)場景是不是數(shù)學(xué)活動，廣義的講答案是肯定的。當(dāng)然，合作交流、小組討論、探討分析、參觀實(shí)踐也是不同形式的數(shù)學(xué)活動，這里提供不同學(xué)者對它的界定：⑴史寧中，柳海民?素質(zhì)教育的根本目的與實(shí)施路徑?一文中〔教育研究20071〔8〕〕指出：“根本活動經(jīng)歷是指學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)歷。〞⑵X奠宙，竺仕芬，林永偉?“根本活動經(jīng)歷〞的界定與分類?一文中〔數(shù)學(xué)通報(bào)，2021〔5〕〕指出：“數(shù)學(xué)經(jīng)歷，依賴所從事的數(shù)學(xué)活動具有不同的形式。大體上可以有以下不同的類型：直接數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷〔直接聯(lián)系日常生活經(jīng)歷的活動所獲得的經(jīng)歷〕、間接數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷〔創(chuàng)設(shè)實(shí)際情景構(gòu)建數(shù)學(xué)模型所獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)歷〕、專門設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷〔由純粹的數(shù)學(xué)活動所獲得的經(jīng)歷〕、意境聯(lián)結(jié)性數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷〔通過實(shí)際情景意境的溝通。借助想象，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)〕。〞⑶單在天、景敏?數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷及其對于教學(xué)的影響?一文中〔課程、教材、教法2021〔5〕〕指出：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷的內(nèi)容包括數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)活動過程中的體驗(yàn)。〞⑷徐斌艷?面向根本活動經(jīng)歷的教學(xué)設(shè)計(jì)?一文中〔中學(xué)數(shù)學(xué)月刊2021〔2〕〕指出：“我們還可以將根本活動經(jīng)歷進(jìn)一步細(xì)化，它包括根本的數(shù)學(xué)操作經(jīng)歷；根本的數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)歷〔歸納的經(jīng)歷，數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計(jì)推斷的經(jīng)歷，幾何推理的經(jīng)歷等〕；發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的經(jīng)歷。〞⒉根本活動經(jīng)歷的認(rèn)識⑴根本活動經(jīng)歷是在特定的數(shù)學(xué)活動中積累的。這些活動都必須有明確的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和數(shù)學(xué)目的，表達(dá)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。⑵根本活動經(jīng)歷是一種組合體，包括了數(shù)學(xué)活動中主觀體驗(yàn)以及獲得的客觀認(rèn)識；包括數(shù)學(xué)活動結(jié)果，更包括活動的過程。⑶數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷的類型目前還沒有統(tǒng)一，但其核心應(yīng)該是如何思考的經(jīng)歷，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)展思考。⑷數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷最終可以幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺，這種直覺一旦生成，那么在后續(xù)的學(xué)習(xí)和問題解決中將起到重要作用。數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷即是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，也是學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識和實(shí)踐的根底。⑸根本活動經(jīng)歷的積累，大致需要經(jīng)過“經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移〞的過程，首先，需要經(jīng)歷，無論是生活中的經(jīng)歷，還是學(xué)習(xí)活動中的經(jīng)歷，對于學(xué)生根本經(jīng)歷的積累都是必需的，但僅有經(jīng)歷是不夠的，還需要學(xué)生在活動中充分調(diào)動數(shù)學(xué)思維，將活動所得不斷內(nèi)化和概括，并最終遷移到其他的活動和學(xué)習(xí)中。㈥“根本活動經(jīng)歷〞與幾何教學(xué)數(shù)學(xué)也是一門實(shí)踐性科學(xué)，許多數(shù)學(xué)問題的解決，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)都離不開實(shí)踐。體驗(yàn)數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)才能獲得經(jīng)歷。因此在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)過程性教學(xué)，概念的形成過程、定理的發(fā)現(xiàn)過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、問題解決后的反思過程、應(yīng)創(chuàng)設(shè)適宜的情境讓學(xué)生自己去提出問題、解決問題，教給學(xué)生研究問題的套路，在猜想——論證——驗(yàn)證的過程中，體會數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程，積累經(jīng)歷。如：學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)時，針對邊、角、對角線由特殊到一般的探索、歸納，形成結(jié)論并加以論證形成知識。就是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的根本方法：特殊到一般，具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)。又如：在探討等腰三角形的性質(zhì)時讓學(xué)生通過動手實(shí)驗(yàn)剪一剪，折一折，在實(shí)驗(yàn)中猜想歸納出等腰三角形的性質(zhì)，形成數(shù)學(xué)經(jīng)歷。再如：探討三角形內(nèi)角和之間的關(guān)系時，可以畫銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，通過量角器測量計(jì)算三個內(nèi)角和或把三個內(nèi)角剪下來拼在一起等方法進(jìn)展實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中總結(jié)經(jīng)歷，形成知識和能力。㈦從“兩能〞到“四能〞的意義數(shù)學(xué)家認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)的起源和開展就是由問題引起的，數(shù)學(xué)就是在不斷地發(fā)現(xiàn)和提出問題并不斷地解決問題中前進(jìn)的，數(shù)學(xué)教學(xué)也是圍繞不斷產(chǎn)生的新問題進(jìn)展的。新課標(biāo)〔2021年版〕把原來的“兩能〞〔分析問題和解決問題的能力〕開展成“四能〞〔發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力〕的做法表達(dá)了“從頭到尾〞思考問題的理念，倡導(dǎo)一種問題意識，改變己往問題總是由教師提出，學(xué)生的任務(wù)就是如何解決問題的“短板〞現(xiàn)象，對我們的課堂教學(xué)方式將起著深遠(yuǎn)的影響。㈧怎樣才能有效地引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)而提出問題⒈營造寬松和諧的學(xué)習(xí)氣氛，讓學(xué)生敢于提出問題⒉構(gòu)建熟悉有趣的生活情境，讓學(xué)生善于提出問題⒊創(chuàng)設(shè)開放性、探索性問題情境，讓學(xué)生勇于提出問題二、從核心概念看幾何教學(xué)課程內(nèi)容〔課標(biāo)2021年版〕在P5頁給出了數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識。這十個核心概念詞，用黑體字印出，并逐個對其含義進(jìn)展界定。又在P61頁“教材編寫應(yīng)表達(dá)整體性〞中說，它們是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心，也是教材的主線。在P59頁第2自然段中強(qiáng)調(diào)在設(shè)計(jì)試題時，應(yīng)該關(guān)注并且表達(dá)本標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)思路中提出的幾個核心詞。圖形與幾何是初中階段學(xué)習(xí)的主要數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域之一，圖形與幾何的教學(xué)核心價值是開展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和數(shù)學(xué)思維其中數(shù)學(xué)思維包括數(shù)學(xué)抽象概括和數(shù)學(xué)推理。㈠關(guān)于空間觀念空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。根據(jù)課標(biāo)對空間觀念的描述，空間觀念是一種能力，在這定義中，更加強(qiáng)調(diào)了抽象概括和形象思維，對教材的編寫以及引例的選用起到了指引作用。空間觀念的培養(yǎng)應(yīng)在幾何的過程性教學(xué)中加以落實(shí)。㈡關(guān)于幾何直觀幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。這里的利用圖形描述和分析是“執(zhí)果索因〞式的倒推分析法，是一種根本且重要的推理方法，也說明了初中對于推理加強(qiáng)了要求。接著給出幾何直觀的價值：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)變得簡明〔這里含有把復(fù)雜化為簡單的思想〕、形象〔這里含有數(shù)形結(jié)合的思想〕……幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解〔理解以不同程度的推理作為手段〕數(shù)學(xué)。㈢關(guān)于推理能力推理能力的開展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的根本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)歷和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)〔包括定義、公理、定理等〕和確定的規(guī)那么〔包括運(yùn)算的定義、法那么、順序等〕出發(fā)，按照邏輯推理的法那么證明和計(jì)算。在解決問題過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用與證明結(jié)論。課標(biāo)在這一界定的論述較長，表達(dá)了三個含義：第一個含義：界定了培養(yǎng)推理能力在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)領(lǐng)域內(nèi)的重要地位。在新課標(biāo)第61頁又再一次做了強(qiáng)調(diào)：推理能力包括合情推理和演繹推理，無論是“數(shù)與代數(shù)〞、“圖形與幾何〞還是“統(tǒng)計(jì)與概率〞的內(nèi)容編排中，都要盡可能地為學(xué)生提供觀察、操作、歸納、類比、猜想、證明的時機(jī)，開展學(xué)生的推理能力。第二個含義：用分析法給出了推理能力的定義。其中在合情推理中的“直覺〞，在這里也看成是一種能力，就是未經(jīng)邏輯推理的直觀，它僅僅以已經(jīng)獲得的感性認(rèn)識和累積起來的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)歷為根底。第三個含義：給出了這兩種推理的功能和關(guān)系。三、從課程內(nèi)容的變化看幾何教學(xué)㈠將具體內(nèi)容進(jìn)一步捋順⒈加細(xì)各分支內(nèi)容的邏輯體系如人教版修訂后的教材體系〔表中括號數(shù)字為課時數(shù)〕七年級上冊〔62〕七年級下冊〔62〕第1章有理數(shù)〔19〕第2章整式的加減〔8〕第3章一元一次方程〔19〕第4章幾何圖形初步〔16〕第5章相交線與平行線〔14〕第6章實(shí)數(shù)〔8〕第7章平面直角坐標(biāo)系〔7〕第8章二元一次方程組〔12〕第9章不等式與不等式組〔11〕第10章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述〔10〕八年級上冊〔62〕八年級下冊〔62〕第11章三角形〔8〕第12章全等三角形〔11〕第13章軸對稱〔14〕第14章整式的乘法與因式分解〔14〕第15章分式〔15〕第16章二次根式〔9〕第17章勾股定理〔9〕第18章平行四邊形〔15〕第19章一次函數(shù)〔17〕第20章數(shù)據(jù)的分析〔12〕九年級上冊〔62〕九年級上冊〔44〕第21章一元二次方程〔13〕第22章二次函數(shù)〔12〕第23章旋轉(zhuǎn)〔9〕第24章圓〔16〕第25章概率初步〔12〕第26章反比例函數(shù)〔8〕第27章相似〔14〕第28章銳角三角函數(shù)〔12〕第29章投影與視圖〔10〕與實(shí)驗(yàn)版教材體系比較，主要有如下幾點(diǎn)變化：⑴“實(shí)數(shù)〞提到“平面直角坐標(biāo)系〞與“不等式與不等式組〞之前⑵“三角形〞移后，與“全等三角形〞“軸對稱〞集中安排⑶“一次函數(shù)〞移后⑷“分式〞提前⑸“二次根式〞提到“勾股定理〞之前⑹“二次函數(shù)〞提前，加強(qiáng)其與“一元二次方程〞的聯(lián)系⑺“反比例函數(shù)〞后移⒉將“空間與圖形〞改成“圖形與幾何〞，根本上予以重寫，從“點(diǎn)、線、面、角〞的“雙基〞條目開場，而不管小學(xué)是否已經(jīng)引進(jìn)過。㈡為落實(shí)“幾何直觀〞能力的培養(yǎng)?課標(biāo)2021年版?新增內(nèi)容⒈結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置〔新課標(biāo)P38〕⒉對給定的正方形，會選擇適宜的直角坐標(biāo)系，寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，體會可以用坐標(biāo)刻畫一個簡單圖形⒊在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置〔新課標(biāo)P39〕⒋坐標(biāo)與坐標(biāo)運(yùn)動〔新課標(biāo)P39〕⒌理解兩點(diǎn)間距離的意義，能度量兩點(diǎn)間的距離〔新課標(biāo)P31〕⒍能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角〔新課標(biāo)P33〕⒎了解多邊形的定義，多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對角線等概念〔其中正多邊形的概念放入“圓〞一章中〕〔新課標(biāo)P34〕⒏了解等圓、等弧的概念〔新課標(biāo)P35〕⒐了解中心對稱、中心對稱圖形的概念〔新課標(biāo)P37〕?課標(biāo)2021年版?中，增加了多處有關(guān)借助于幾何圖形了解或理解概念及運(yùn)用幾何作圖解決問題的內(nèi)容目標(biāo)。對于第三學(xué)段的學(xué)生而言，已具備一定的空間想象能力和根本的作圖技能，借助于圖形那么有利于他們描述和分析問題，通過形象的圖表，同時采用數(shù)形結(jié)合的策略，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明。㈢?課標(biāo)2021年版?適度增加幾何證明內(nèi)容⒈新增：探索并證明平行線的判定定理〔新課標(biāo)P32〕⒉新增：探索并證明角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上〔新課標(biāo)P33〕⒊?課標(biāo)2021年版?明確將“公理〞一詞統(tǒng)一改為“根本實(shí)事〞，并由?實(shí)驗(yàn)稿?中的6條根本領(lǐng)實(shí)改為現(xiàn)行的9條根本領(lǐng)實(shí)。?課標(biāo)2021年版?另一變化在于加強(qiáng)了幾何證明內(nèi)容。相對于?實(shí)驗(yàn)稿?，這一局部的最大改動是將原來的“公理〞一詞統(tǒng)一改為“根本領(lǐng)實(shí)〞這既防止了誤用“公理〞這一通用術(shù)語，又明確了學(xué)生在實(shí)際中可以直接運(yùn)用的幾何結(jié)論。同時，?課標(biāo)2021年版?還將原先的上些默認(rèn)的“類公理〞列為需要證明的定理，這一改變既與相關(guān)內(nèi)容要求相匹配，又有利于鍛煉學(xué)生探索解決幾何證明問題方法的能力。㈣?課標(biāo)2021年版?減少了一些必要性不大或難以被學(xué)生理解的“圖形與幾何〞內(nèi)容⒈刪去：“梯形的概念和性質(zhì)〞在尺規(guī)作圖中明確“不要求寫出作法〞⒉刪去：了解鏡面對稱，能利用對稱軸進(jìn)展圖案設(shè)計(jì)⒊刪去：視點(diǎn)、視角、盲區(qū)；了解并欣賞一些有趣的圖形；知道物體的陰影是怎么形成的；能根據(jù)光線的方向辯論事物的陰影。⒋刪去：能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，探索圖形之間的變換關(guān)系⒌刪去：能夠按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形?課標(biāo)2021年版?在“圖形與幾何〞內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)上的變化，無疑給教材的編寫，教學(xué)實(shí)踐和教學(xué)評價帶來了變化，在落實(shí)與貫徹新課標(biāo)的過程中終將以數(shù)學(xué)課堂作為依托，以一線教師的工作為支撐，在具體的教學(xué)實(shí)踐中得以貫徹實(shí)現(xiàn)。四、案例分析與教學(xué)思考案例1：基于“中數(shù)核心概念、思想方法教學(xué)設(shè)計(jì)〞下的等腰三角形〔1〕設(shè)計(jì)與思考等腰三角形〔第一課時〕教學(xué)設(shè)計(jì)與思考一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：人教版課標(biāo)教材八年級上冊“12.3等腰三角形〔第一課時〕〞內(nèi)容解析：這節(jié)課主要是學(xué)習(xí)等腰三角形的兩條性質(zhì)：“等邊對等角〞和“三線合一〞。因?yàn)榈妊切问禽S對稱圖形，所以可以借助軸對稱來研究等腰三角形的特殊性質(zhì)。首先，通過剪紙得出概念，再觀察實(shí)驗(yàn)得出性質(zhì)，最后推理證明、論證性質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷了探究——實(shí)驗(yàn)——發(fā)現(xiàn)——猜想——論證的研究幾何圖形問題的全過程，從而領(lǐng)會這種研究數(shù)學(xué)問題的根本思想方法及其步驟。這節(jié)課的內(nèi)容，不僅是對前面所學(xué)知識的運(yùn)用，也是今后學(xué)習(xí)中證明角相等、線段相等，以及直線垂直和求有關(guān)角的重要工具?；诖?，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：掌握等腰三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：〔1〕了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)。〔2〕通過折紙實(shí)驗(yàn)探索等腰三角形的性質(zhì)，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、推理、交流等活動，體驗(yàn)數(shù)學(xué)證明的必要性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)說理的習(xí)慣?！?〕逐步滲透分類討論，轉(zhuǎn)化思想、方程建模的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的分析、綜合能力。目標(biāo)解析：讓學(xué)生經(jīng)歷剪紙折疊活動和通過電腦動畫顯示，培養(yǎng)他們觀察、分析和進(jìn)展科學(xué)的聯(lián)想，并猜想性質(zhì)；讓學(xué)生在探索性質(zhì)的證明時，由折疊的折痕，聯(lián)想引頂角的平分線作輔助線，也可以引底邊的中線或高線，運(yùn)用三種不同的輔助線，完成將等腰三角形的分割，分別應(yīng)用“SAS〞，“SSS〞和“HL〞三種方法證明；經(jīng)過證明后的命題，獲得了性質(zhì)定理，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，并能夠?qū)崿F(xiàn)三種語言的互譯，從中有意識的培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力；讓學(xué)生經(jīng)歷性質(zhì)的應(yīng)用過程中，體會分類思想，培養(yǎng)思維的縝密性。體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想的解題策略，同時，在幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題中，積累方程建模的經(jīng)歷。感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已有的認(rèn)知根底有：〔1〕學(xué)生對等腰三角形并不陌生，小學(xué)已有接觸；〔2〕學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)概念和軸對稱的知識；〔3〕學(xué)生根本能別離出定理的條件和結(jié)論兩局部。也能用符號表示推理。但是相對于上一章，推理的依據(jù)多了，圖形、題目的復(fù)雜程度也增加了，具體地容易出現(xiàn)以下三種障礙：〔1〕證明的思路不清晰，〔2〕證明過程的分析問題的能力有待提升，書寫還欠標(biāo)準(zhǔn)。〔3〕需作輔助線時，學(xué)生往往只畫不寫或?qū)懚蝗只蚍噶诉壿嬪e誤?；诖?，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：等腰三角形性質(zhì)的證明及其應(yīng)用。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)〔一〕創(chuàng)設(shè)情境問題：〔1〕把一X長方形的紙片對折，并剪下陰影局部〔如教科書圖13.3-1〕，再把它展開，得到一個什么圖形？〔2〕上述過程中得到的△ABC有什么特點(diǎn)？〔3〕除了剪紙的方法，還可以怎樣作出一個等腰三角形？〔設(shè)計(jì)意圖〕通過剪紙，展示、比較、交流，溝通圍繞著本節(jié)課的核心目標(biāo)，貼近學(xué)生的“最近開展區(qū)〞，有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與提升學(xué)習(xí)興趣，并能自然地引出學(xué)習(xí)對象，指向并形成問題的平臺?！捕辰?gòu)活動：探究猜想問題：〔1〕等腰三角形是軸對稱圖形嗎？〔2〕把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角?！?〕對于一般的等腰三角形除了兩腰相等以外又有哪些性質(zhì)呢？說說你的猜想?！苍O(shè)計(jì)意圖〕通過認(rèn)知與活動相結(jié)合的方式，層層設(shè)問，通過師生互動，直觀感知，操作確認(rèn)，形成有遞進(jìn)關(guān)系的認(rèn)知通道，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，逐步積累科學(xué)的認(rèn)知方法，結(jié)合數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，形成解決問題的根本經(jīng)歷?！踩硵?shù)學(xué)化認(rèn)識：性質(zhì)的證明問題：〔1〕性質(zhì)1的條件和結(jié)論分別是什么？〔2〕用數(shù)學(xué)符號如何表達(dá)條件和結(jié)論？〔3〕如何證明？〔4〕由性質(zhì)1的證明過程的啟發(fā)，你能證明性質(zhì)2嗎？〔設(shè)計(jì)意圖〕通過對性質(zhì)定理的證明，關(guān)注學(xué)生自然語言到數(shù)學(xué)語言的認(rèn)識。培養(yǎng)學(xué)生的語言轉(zhuǎn)化能力，體驗(yàn)性質(zhì)的正確性，提高演繹推理能力。增強(qiáng)理性認(rèn)識，使學(xué)生明白什么是證明，為什么要證明，如何證明。ABABC圖〔1〕DE211、判斷：〔投影顯示〕〔1〕如圖〔1〕，∵AB=AC，∴∠1=∠2〔等邊對等角〕〔2〕如圖〔2〕，∵AB=AC，∴∠B=∠C〔等邊對等角〕ABCABC圖〔2〕2、填空：〔投影顯示〕如圖〔3〕,在△ABC中，AB=AC〔1〕∵AD⊥BC，∴∠=∠，=；〔2〕∵AD是中線，∴⊥，∠=∠；1ABDC21ABDC2圖〔3〕〔借題發(fā)揮：師：如圖〔3〕過BC的中點(diǎn)作AD⊥BC，對不對？師：如圖〔3〕作∠A的平分線AD使AD⊥BC，對不對？〕〔設(shè)計(jì)意圖〕穩(wěn)固性質(zhì)2知識，使學(xué)生懂得“三線合一〞的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系。建立正確的推理方法和證明規(guī)那么。防止學(xué)生對“三線合一〞性質(zhì)的條件和結(jié)論產(chǎn)生混淆。3、口答：〔投影顯示〕等腰三角形的一個底角等于70°，那么它的另外兩個角分別是多少度？等腰三角形的一個頂角等于70°，那么它的另外兩個角分別是多少度？等腰三角形的一個角等于70°，那么它的另外兩個角分別是多少度？等腰三角形的一個角等于90°，那么它的另外兩個角分別是多少度？等腰三角形的一個角等于120°，那么它的另外兩個角分別是多少度？〔設(shè)計(jì)意圖〕通過變式練習(xí)，表達(dá)層次清楚的遞進(jìn)關(guān)系來到達(dá)培養(yǎng)學(xué)生歸納探究能力以及培養(yǎng)思維的縝密性，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力。滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想。ABDCABDC圖〔4〕且BD=BC=AD。求△ABC各角的度數(shù)。ABDABDC圖〔5〕005、如圖〔5〕，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)?！苍O(shè)計(jì)意圖〕此題是第四題的平行型問題設(shè)計(jì)。目的是為了及時穩(wěn)固解題方法，提高學(xué)生解決問題的能力?！参濉惩卣寡由臁?〕課堂小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)所學(xué)內(nèi)容以及內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法。〔2〕數(shù)學(xué)小日記XX日期今天數(shù)學(xué)課的課題所學(xué)的重要知識理解得最好的地方疑惑〔或還需進(jìn)一步理解的地方〕對課堂表現(xiàn)的評價〔包括對自己、同學(xué)、教師〕所學(xué)內(nèi)容在日常生活中的舉例〔3〕作業(yè)布置：課本P56習(xí)題12.3第1、4、6、8題〔設(shè)計(jì)意圖〕拓展延伸環(huán)節(jié)以課堂小結(jié)、數(shù)學(xué)小日記、作業(yè)布置三個局部組成。借助學(xué)習(xí)方式的變化，提升學(xué)生的認(rèn)知水平。真正實(shí)現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的開展〞。五、教學(xué)思考：關(guān)于“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法教學(xué)設(shè)計(jì)〞框架構(gòu)造的分析與思考㈠欄目組成⒈內(nèi)容和內(nèi)容解析⒉目標(biāo)和目標(biāo)解析⒊教學(xué)問題診斷分析⒋教學(xué)支持條件分析⒌教學(xué)過程分析⒍目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)㈡欄目具體解析⒈內(nèi)容和內(nèi)容解析⑴內(nèi)容：對當(dāng)前“核心概念〞的內(nèi)涵和外延作簡要說明⑵內(nèi)容解析：重點(diǎn)是在提醒內(nèi)涵的根底上，說明概念的核心之所在，并對概念在中學(xué)教學(xué)中的地位進(jìn)展分析，對其中隱含的思想方法要作出明確表述。在此根底上說明教學(xué)重點(diǎn)。⒉目標(biāo)和目標(biāo)解析⑴目標(biāo)：用“了解〞、“理解〞、“掌握〞以及相應(yīng)的行為動詞“經(jīng)歷〞、“體驗(yàn)〞、“探究〞等表述目標(biāo)。⑵目標(biāo)解析：對“了解〞、“理解〞、“掌握〞以及“經(jīng)歷〞、“體驗(yàn)〞、“探究〞的含義進(jìn)展解析。一般地，核心概念的教學(xué)目標(biāo)都應(yīng)進(jìn)展適當(dāng)分解。強(qiáng)調(diào)把能力、態(tài)度等“隱性目標(biāo)〞融合到知識、技能等“顯性目標(biāo)〞中，以防止空洞闡述“隱性目標(biāo)〞，使目標(biāo)對教學(xué)具有有效的導(dǎo)向作用。⒊教學(xué)問題診斷分析根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維民展理論，對本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)展預(yù)測，并對進(jìn)展成因分析，在上述根底上指出教學(xué)難點(diǎn)。具體做法，可從認(rèn)知分析入手，即分析學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知根底〔包括知識、思想方法和思維開展根底〕，對照教學(xué)目標(biāo)還需要具備哪些條件，通過已有根底和目標(biāo)之間的差異比較，分析教學(xué)中可能出現(xiàn)的障礙。本欄目的內(nèi)容應(yīng)做到言之有物，以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體進(jìn)展說明。⒋教學(xué)支持條件分析〔根據(jù)需要設(shè)置〕為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)教學(xué)問題診斷分析和學(xué)習(xí)行為分析，分析應(yīng)當(dāng)采用哪些教學(xué)支持條件，以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)展數(shù)學(xué)思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。⒌教學(xué)過程分析·教學(xué)過程的設(shè)計(jì)一定要建立在前面諸項(xiàng)分析的根底上，做到前后照應(yīng)?！ひ獜?qiáng)調(diào)教學(xué)過程的內(nèi)在邏輯線索，這一線索的構(gòu)建可以從數(shù)學(xué)概念和思想方法的發(fā)生開展〔基于內(nèi)容解析〕、學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程兩個方面的融合來完成。學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程應(yīng)當(dāng)以學(xué)習(xí)行為分析為依據(jù)，即在對學(xué)生應(yīng)該做什么、能夠做什么和怎樣做才能實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)展分析的根底上得出思維過程的描述。其中，應(yīng)突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過程，突出思想方法的領(lǐng)悟過程分析?！そ虒W(xué)過程設(shè)計(jì)以“問題串〞方式呈現(xiàn)為主，在每一個問題后，要寫出問題設(shè)計(jì)意圖〔基于教學(xué)問題診斷分析、學(xué)生學(xué)習(xí)行為分析等〕、師生活動預(yù)設(shè)，以及需要概括的概念要點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)展的技能訓(xùn)練，需要培養(yǎng)的能力。這里，要特別注意對如何滲透、概括和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法作出明確表述?！そ虒W(xué)設(shè)計(jì)一般可以借助于以下的根本構(gòu)造提升學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性：問題情境——建構(gòu)活動——數(shù)學(xué)化認(rèn)識——根底性訓(xùn)練——拓展延伸。⒍目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)課堂教學(xué)的目標(biāo)是否達(dá)成，需要通過一定的習(xí)題、練習(xí)進(jìn)展檢測。值得強(qiáng)調(diào)的是，對于每一個〔組〕習(xí)題或練習(xí)都要寫明設(shè)計(jì)止的〔至少要做到心中有數(shù)〕，以加強(qiáng)檢測的針對性、有效性。案例2：中考幾何動態(tài)壓軸題的解題分析一、什么叫解題分析：解題分析就是把一道題和題的解作為研究對象，把怎樣解、為什么這樣解、還能怎么解作為研究目標(biāo)。是針對解題策略、解題思想、解題方法的顯性描述。二、幾何動態(tài)探究題的解題分析〔一〕解題分析的操作步驟1、做什么：弄清題目的條件和結(jié)論并進(jìn)展觀察與表征〔1〕讀題目，標(biāo)條件〔數(shù)據(jù)〕：在圖形上標(biāo)出問題的條件和由條件能簡單得到的結(jié)果；〔2〕看圖形，找特征：發(fā)現(xiàn)動態(tài)過程中什么變了，什么沒變，最顯著的特征是什么并別離出根本圖形；〔3〕結(jié)論是什么？由結(jié)論立即能看出需要什么？2、怎么做：溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系〔1〕化動為靜：以分類討論思想為指導(dǎo)，分解動態(tài)過程，并畫出相應(yīng)圖形；〔2〕直觀猜想：以數(shù)形結(jié)合思想為依據(jù)，通過畫圖、測量、猜想〔幾何證明往往是可以看出來的〕特殊化與一般化概括出圖形的構(gòu)造特征、相互關(guān)系；〔3〕演算或證明：利用函數(shù)思想或方程思想由圖形屬性，根據(jù)根本圖形的位置、大小、形狀、構(gòu)造建立數(shù)量關(guān)系。3、為什么這樣做〔揭露本質(zhì)，暴露思維過程〕：溝通條件與結(jié)論的依據(jù)是什么？表達(dá)了數(shù)學(xué)思想方法是什么？動態(tài)生成中變化的是什么？不變的是什么？所生成的規(guī)律和相關(guān)圖形的性質(zhì)又是什么？〔1〕探究結(jié)論可靠嗎？思考證明過程的合理性〔是否步步有據(jù)、是否有條理、是否簡約明了〕；〔2〕是分哪幾步做的？觀察——猜想——演算或證明①怎樣觀察？讀題目、畫圖形、標(biāo)條件〔數(shù)據(jù)〕、想根本圖形；②怎樣得到猜想？化動為靜、分解動態(tài)過程、特殊化與一般化、畫出圖形利用幾何直觀；③怎樣證明或演算？發(fā)現(xiàn)根本圖形由位置關(guān)系導(dǎo)出數(shù)量關(guān)系。4、還能怎么做？還能怎么做的潛臺詞是“不這樣做〞。那么我們否認(rèn)關(guān)鍵步驟看看是否還有別的途徑解決問題，這是一種思考方式，無論結(jié)果是否能一題多解，都能抑制思維定勢提高我們的思維水平，豐富我們的想象力！這是解題高手的重要特質(zhì)！〔二〕應(yīng)用舉例〔2021XX市質(zhì)檢卷題21解題分析〕題目：21．(總分值13分)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm．動線段DE(端點(diǎn)D從點(diǎn)B開場)沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時運(yùn)動停頓．過點(diǎn)E作EF∥AC交AB于點(diǎn)F(當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，EF與CA重合)，連接DF，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒(t≥0)．(1)直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；(2)在這個運(yùn)動過程中，△DEF能否為等腰三角形？假設(shè)能，請求出t的值；假設(shè)不能，請說明理由；(3)設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個運(yùn)動過程中，MN所掃過的面積．解題分析：1、做什么：觀察與表征如圖1〔1〕讀題目、標(biāo)數(shù)據(jù)如圖1，并由條件簡單得出的結(jié)果有：如圖1①等腰△ABC底邊上的高==6②當(dāng)運(yùn)動停頓時，E點(diǎn)與C點(diǎn)重合BD=16－4=12③由速度為1㎝/s可知運(yùn)動時間0≤t≤12〔2〕看圖形，找特征①動線段DE＝4cm，端點(diǎn)D從點(diǎn)B開場，運(yùn)動過程中△DEF邊DF、EF變，DE不變恒等4②動態(tài)過程中EF∥AC，由此別離出根本圖形〔A型相似〕△FBE∽△ABC，那么恒有eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,BC)〔3〕結(jié)論是什么？由結(jié)論立即能看出需要什么？①第〔1〕問易得BE＝(t＋4)cm，EF＝eq\f(5,8)(t＋4)cm．〔這里有個小陷阱，假設(shè)選E為主動點(diǎn)那么易造成錯解BE＝t，想想為什么？〕②第〔2〕問△DEF能否為等腰三角形，由△DEF在運(yùn)動過程中位置、大小、形狀一直在變，所以有可能是等腰三角形，只須執(zhí)果索因求出存在的t值就行。并且由于△DEF形狀的不確定需要分三種情況分類討論。③第〔3〕問M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，由于運(yùn)動過程中DF、EF始終在△ABC內(nèi)，所以MN所掃過的圖形一定在△ABC內(nèi)，是何形狀看不出來，需要畫出草圖，利用幾何直觀采用特殊化與一般化的思想進(jìn)一步探究。2、怎么做〔第〔2〕問已趨明朗，這里重點(diǎn)分析第〔3〕問〕〔1〕化動為靜：運(yùn)用端值原理〔特殊化的一種〕畫出t＝0，t＝12時線段MN的位置如圖2∥=〔2〕直觀猜想：t＝0時，MN是△F〔D〕E的中位線，MNeq\f(1,2)DE；∥=∥=t＝12時，M′N′是△〔F〕D〔E〕的中位線M′N′eq\f(1,2)DE；∥=MN所掃過的圖形會是平行四邊形嗎？由條件知假設(shè)N點(diǎn)的移動路徑是線段，那么由MN∥M′N′，可知點(diǎn)M移動的路徑也是線段，那么N點(diǎn)移動的路徑是線段嗎？會是怎樣的一條線段？B、N、N’會在同一條直線上嗎？猜想：N點(diǎn)移動的路徑是等腰三角形的腰AC邊上的中線BP的一局部，畫出草圖。〔此時由確定M、N移動的路徑轉(zhuǎn)化為確定N點(diǎn)的移動路徑，問題由復(fù)雜邁向了簡單，并且確定了腰上的中線為探究目標(biāo)〕探究：△ABC中，BP是邊上AC的中線，E為BC邊任意一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF∥AC交AB于點(diǎn)F，BP于點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q會是線段EF的中點(diǎn)嗎？聯(lián)想根本圖形“三A圖〞：△ABC中,EF∥BC,D為BC邊上任意一點(diǎn)，連接AD交EF于點(diǎn)G，那么有?；氐皆}中那么有，∵CP=PA，∴EQ=QF，Q為EF的中點(diǎn)，∵E為BC邊任意一點(diǎn)且EF∥AC，∴動線段EF的中點(diǎn)必在中線BP上。〔3〕演算與證明，解：(1)BE＝(t＋4)cm，EF＝eq\f(5,8)(t＋4)cm．(2)分三種情況討論：①當(dāng)DF＝EF時，有∠EDF＝∠DEF＝∠B，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，∴t＝0．②當(dāng)DE＝EF時，∴4＝eq\f(5,8)(t＋4)，解得：t＝eq\f(12,5)．③當(dāng)DE＝DF時，有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ABC．∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(EF,BC)，即eq\f(4,10