2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：四邊形（解答題二）

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之四邊形（解答題二）

—.解答題（共19小題）

1.在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,4B=AC,點。、E在邊BC上，且ND4E=45°,BD

=3,CE=4,求。E的長.

解:如圖2,將△A3。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)9?！愕弥?連結(jié)匹'.

由旋轉(zhuǎn)的特征得,NB=NACD',AD^AD',BD=CD'.

VZBAC=90°,ZDAE=45°,

：.ZBAD+ZEAC^45°.

'：ZBAD=ZCAD',

：.ZCAD'+ZEAC=45°,即NEA。'=45°.

：.ZDAE=ZD'AE.

在△ZME和AE1中，

AD=AD',ZDAE=ZD'AE,AE=AE,

.?.①____.

：.DE=D'E.

又,：/ECD=ZECA+ZACD'=/ECA+/B=9Q°,

.?.在RtZXEQy中，②____.

,:CD'=BD=3,CE=4,

：.DE=D'E=?_____.

圖1圖2

【問題解決】

上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：；“②”處應(yīng)填：；“③”處

應(yīng)填：

劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能

以不變應(yīng)萬變.

【知識遷移】

如圖3,在正方形ABC。中，點E、尸分別在邊8C、上，滿足的周長等于正方形ABC。的周

長的一半，連結(jié)AE、AF,分別與對角線交于M、N兩點.探究BM、MN、ON的數(shù)量關(guān)系并證明.

圖3圖4圖5

【拓展應(yīng)用】

如圖4,在矩形A8C。中，點E、尸分別在邊BC、CD上,且NEAF=/C￡F=45°.探究BE、EF、

。廠的數(shù)量關(guān)系：(直接寫出結(jié)論，不必證明).

【問題再探】

如圖5,在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點。、E在邊AC上，且/￡>BE=45°.設(shè)A。

=x,CE=y,求y與尤的函數(shù)關(guān)系式.

最后，劉老師總結(jié)到：希望同學(xué)們在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思

維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.

2.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,點E在邊AB上，.

請從“①NB=NAED；②AE=BE,AE=CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上(填

序號)，再解決下列問題：

(1)求證：四邊形8CDE為平行四邊形；

(2)若AQJ_A8,A￡)=8,8c=10,求線段AE的長.

問題情境：如圖1,四邊形ABCD是菱形，過點A作AE1BC于點E,過點C作CFLAD于點F.

猜想證明：

(1)判斷四邊形AEC尸的形狀，并說明理由；

深入探究：

(2)將圖1中的AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AHG,點E,8的對應(yīng)點分別為點G,H.

①如圖2,當(dāng)線段A8經(jīng)過點C時，G8所在直線分別與線段AD,。交于點M,N.猜想線段CH與

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)直線G”與直線CD垂直時，直線GH分別與直線AD,CO交于點M,N,直線AH與線段CO交

于點。.若A8=5,BE=4,直接寫出四邊形4WN。的面積.

4.nABCD中，E,尸為對角線AC上兩點，且AE=CR連接BE,DF.求證3石=。?

5.如圖，在菱形ABC。中，點E,尸分別在邊BC和C￡＞上，B.ZAEB=ZAFD.求證：BE=DF.

6.如圖，在菱形ABCD中，AB^lOcm,ZABC=60°,E為對角線AC上一動點，以DE為一邊作/DEF

=60°,交射線BC于點F,連接8E,。凡點E從點C出發(fā)，沿CA方向以每秒2c機的速度運動

至點A處停止.設(shè)△BEE的面積為ycwA點￡的運動時間為尤秒.

(1)求證：BE=EF；

(2)求y與x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求尤為何值時，線段的長度最短.

ADAD

備用圖

7.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABC。，要求大家利用它制作一個底面為正方形的

禮品盒.小明按照圖2的方式裁剪（其中AE=FB）,恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一

圖3圖4

（1）直接寫出一的值;

（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇

卡紙型號型號I型號II型號ni

規(guī)格（單位：cm）30X4020X8080X80

單價（單位：元）3520

現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE,所的比例，制作棱長為10c/n的正方

體禮品盒.如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙

的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情

況），給出所用卡紙的總費用.

（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙,

不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜

合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡

紙僅供作草稿用)

型號m

8.如圖1,將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形A8CD

(1)試判斷四邊形4BCZ)的形狀，并說明理由；

(2)已知矩形紙條寬度為2cm,將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時，四邊形A8CD的面積為8cm2,求此

時直線A。、C。所夾銳角N1的度數(shù).

9.如圖，點A、B、M、E、尸依次在直線/上，點A、B固定不動，且AB=2,分別以A3、所為邊在直

線/同側(cè)作正方形ABC。、正方形EFGH,ZPMN=90°,直角邊MP恒過點C,直角邊恒過點

(1)如圖1,若BE=10,EF=12,求點〃與點2之間的距離；

(2)如圖1,若BE=10,當(dāng)點M在點8、E之間運動時，求HE的最大值；

(3)如圖2,若8尸=22,當(dāng)點E在點8、尸之間運動時，點M隨之運動，連接CH,點。是CH的中

圖1圖2

10.綜合與實踐

問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的

中心。處，并繞點。旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形ABC。重疊部分的面積變化情況.

操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點。處，在旋轉(zhuǎn)過程中：

(1)若正方形邊長為4,當(dāng)一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當(dāng)一條直角邊

與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為.

(2)若正方形的面積為S,重疊部分的面積為Si,在旋轉(zhuǎn)過程中Si與S的關(guān)系

為.

類比探究：如圖1,若等腰直角三角板的直角頂點與點O重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別角交正

方形兩邊于E,尸兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結(jié)論3￡+。F=魚。。，請你幫他進行證明.

拓展延伸：如圖2,若正方形邊長為4,將另一個直角三角板中60。角的頂點與點。重合，在旋轉(zhuǎn)過程

中，當(dāng)三角板的直角邊交于點斜邊交于點N,且時，請求出重疊部分的面積.

(參考數(shù)據(jù)：sinl5°=屈瑪,cosl5°=tanl5°=2-百)

AD

F

BC

圖1

n.【模型建立】

(1)如圖1,己知△ABE和△BCD,AB±BC,AB=BC,CD1BD,AE±BD.用等式寫出線段AE,

DE,CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,在正方形A8CZ)中，點E,尸分別在對角線8。和邊CD上，AELEF,AE=EF.用等式

寫出線段BE,AD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)如圖3,在正方形A8CD中，點E在對角線8。上，點歹在邊CZ)的延長線上，AE_LEF,AE=EF.用

等式寫出線段BEAD的數(shù)量關(guān)系，并說明理

A

由.圖1圖2圖3

12.追本溯源

題(1)來自于課本中的習(xí)題，請你完成解答,提煉方法并完成題(2).

(1)如圖1,在△ABC中，8。平分NABC,交AC于點。，過點。作的平行線，交A8于點E,

請判斷的形狀，并說明理由.

方法應(yīng)用

(2)如圖2,在口中，BE平分/ABC,交邊于點E,過點A作AF,BE交DC的延長線于點

F,交于點G.

①圖中一定是等腰三角形的有

A.3個

A4個

C.5個

D6個

②已知A8=3,BC=5,求CF的長.

圖1圖2

13.如圖1,E、F、G、H分別是口ABC。各邊的中點，連接AF、CE交于點連接AG、CH交于點N,

將四邊形AMCN稱為口ABCZ)的“中頂點四邊形”.

圖1圖2圖3

(1)求證：中頂點四邊形AMCN為平行四邊形;

(2)①如圖2,連接AC、BD交于點0,可得M、N兩點都在BD上，當(dāng)。A3CD滿足時，

中頂點四邊形AMCN是菱形；

②如圖3,已知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點四邊形，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊

形.(保留作圖痕跡，不寫作法)

14.如圖，在四邊形ABC。中，點E、F、G、H分別是各邊的中點，S.AB//CD,AD//BC,四邊形EFGH

是矩形.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)若矩形EFGH的周長為22,四邊形A8C。的面積為10,求A8的長.

15.如圖，菱形ABC。中，點E,歹分別是AB,BC邊上的點，BE=BF,求證：NDEF=/DFE.

16.在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對角線等于邊長的四倍，某數(shù)學(xué)興趣小組以此為方向

對菱形的對角線和邊長的數(shù)量關(guān)系探究發(fā)現(xiàn)，具體如下：如圖L

(1)?四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,AO=CO,BO=DO.

.".A^^AO^BO2

又：AC=2A0,BD=2BO,

：.AB2=+.

化簡整理得AC2+BD2=.

［類比探究］

(2)如圖2,若四邊形A2CD是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數(shù)量關(guān)系.

［拓展應(yīng)用］

(3)如圖3,四邊形ABC。為平行四邊形，對角線AC,2。相交于點。，點E為AO的中點，點廠為

的中點，連接EF,若AB=8,BD=8,AC=12,直接寫出￡尸的長度.

17.一副三角板分別記作△ABC和△OEF,其中NA8C=NQEF=90°,ZBAC=45°,ZEDF=30°,

AC=DE.作8M_LAC于點M,EN：LDF于點、N,如圖1.

D

BC

備用圖

(1)求證：BM=EN；

(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C,點A

與點。重合，將圖2中的△OCT繞C按順時針方向旋轉(zhuǎn)a后，延長交直線。尸于點P.

①當(dāng)a=30°時，如圖3,求證：四邊形CNPM為正方形；

②當(dāng)30°<a<60°時，寫出線段MP,DP,的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)60°<a<120°時，直接寫

出線段MP,DP,CQ的數(shù)量關(guān)系.

18.如圖，在口ABCZ)中，E,尸是對角線2。上的點，5.DE^BF.求證：Z1=Z2.

19.康康在學(xué)習(xí)了矩形定義及判定定理1后，繼續(xù)探究其它判定定理.

(1)實踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點記為O;

②以點。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段。4、OB、OC、OD；

③順次連結(jié)所得的四點得到四邊形ABCD.

于是可以直接判定四邊形ABC。是平行四邊形，則該則定定理是：.

(2)猜想與證明

通過和同伴交流，他們一致認(rèn)為四邊形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對

角線相等的平行四邊形是矩形.并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程.

已知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，AC=BD.

求證：四邊形ABCD是矩形.

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之四邊形（解答題二）

參考答案與試題解析

一.解答題（共19小題）

1.在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,點。、E在邊上，且NZME=45°,BD

=3,CE=4,求。E的長.

解：如圖2,將△A3。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AC?,連結(jié).

由旋轉(zhuǎn)的特征得，ZB=ZACD',AD=AD',BD=CD'.

VZBAC=90°,ZDAE^45°,

：.ZBAD+ZEAC=45°.

'：ZBAD=ZCAD',

：.ZCAD'+ZEAC=45°,即NEA。'=45°.

：.ZDAE^ZD'AE.

在和△￡）'AE中，

AD^AD',ZDAE^ZD'AE,AE^AE,

；?①____.

:.DE=D'E.

又：NEC。=ZECA+ZACD'=ZECA+ZB=90°,

.?.在RtZVEO中，②____.

':CD'=BD=3,CE=4,

:.DE=D‘.

【問題解決】

上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：△ADE四△A。'E；"②“處應(yīng)填：EC2+CD'2=ED'2

處應(yīng)填：5.

劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能

以不變應(yīng)萬變.

【知識遷移】

如圖3,在正方形ABC。中，點￡、尸分別在邊BC、CD±,滿足的周長等于正方形ABCD的周

長的一半，連結(jié)AE、AF,分別與對角線交于M、N兩點.探究BM、MN、ON的數(shù)量關(guān)系并證明.

圖3圖4圖5

【拓展應(yīng)用】

如圖4,在矩形A8CD中，點E、尸分別在邊8C、CD±,且NCEF=45°.探究8￡、EF、

。廠的數(shù)量關(guān)系：后產(chǎn)=量層+2。尸（直接寫出結(jié)論,不必證明）.

【問題再探】

如圖5,在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點。、E■在邊AC上，且/D8E=45°.設(shè)A。

=x,CE=y,求y與無的函數(shù)關(guān)系式.

最后，劉老師總結(jié)到：希望同學(xué)們在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思

維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】【問題解決】①AADE注△A?E；②EC?+C?2=ED'2；③5；

【知識遷移】DN2+BM2^MN2,理由見解析過程；

【拓展應(yīng)用】28爐+2。尸=石尸，理由見解析過程；

【問題再探】，=等翳?

【分析】【問題解決】由“SAS”可證△ADEg/XAOE,可得DE=D'E.由勾股定理可求解；

【知識遷移】由“SSS”可證絲AF'F,可得NEAF=/F'AF,由“ASA”可證△ABM0△A。//,

可得AAf=A”，BM=DH,由“SAS”可證可得MN=HN,由勾股定理可求解；

【拓展應(yīng)用】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得DF=GH=GM,BE=BM,由勾股定理

可得(G77+BE)2+BG2=￡7/2,即可求解；

【問題再探】利用全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)分別求出EF,DF的長，由勾股定理可求解.

【解答】解：【問題解決】：如圖2,將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AC。'，連結(jié)即'.

由旋轉(zhuǎn)的特征得，ZB=ZACDr,AD=AD',BD=CD'.

,：ZBAC=90°,ZDAE=45°,

：.ZBAD+ZEAC^45°.

,：ZBAD^ZCAD',

：.ZCAD'+ZEAC=45°,即/EA。'=45°.

：.ZDAE=ZD'AE.

在△D4E和△〃'AE中，

AD=AD'

Z.DAE=^D'AE,

.AE=AE

:.AADE出AAD'E(SAS).

:.DE=D'E.

又,：NECD^ZECA+ZACD'=NEC4+NB=90°,

.?.在RdEC/y中，EC2+CD'2=ED'2,

,:CD'=BD=3,CE=4,

:.DE=D'E=5.

故答案為：①△ADE2AAD，E；?EC2+CD'2=ED'2；③5；

【知識遷移】。解+8序=腦72,理由如下：

如圖，將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AOP,過點。作。交邊AP于點H,連結(jié)

NH.

圖3

由旋轉(zhuǎn)得：AE=AFr,BE=DF',ZBAE=ZDAFr.

由題意得：EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE,

：.EF=DF+BE=DF^DF'=F'F.

在AkAM和/中，

AE=AFr

EF=FF'，

AF=AF

AAAEF^AF'F(SSS),

：.ZEAF=ZF'AF.

又BD為正方形ABCD的對角線，

ZABD=ZADB=45°,

■:DHJLBD,

：.ZADH=ZHDB-ZAZ)B=45°,

在△ABM和△ADH中，

NBAM="AH

AB=AD,

ZABM=乙ADH

：.AABM^AADH(ASA),

：.AM=AHfBM=DH,

在△AMN和中，

AM=AH

乙MAN=乙HAN,

AN=AN

：.△AMN之AAHN(SAS),

：.MN=HN.

在RtLHND中,DN2+DH2=HN2,

:.DN2+BM2=MN2；

【拓展應(yīng)用】如圖4所示，延長EP交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將繞著點A

順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AG8,連接HM,HE.過點//作X。，直線8C與。，

AADF^AAG/f,

:.DF=HG,AD^AG,

'：ZCEF=45°=NBEM,/MBC=90°,

/.ABEM是等腰直角三角形，

:.BE=BM,

由【知識遷移】知絲△AER則A8=AREH=EF,

則由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH1,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又：所=HE,DF=GH=GM,BE=BM,

：.(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(。產(chǎn)+8爐)=EF2,

：.EF1=2BEi+2DF2.

故答案為：EF2=2BE1+2DF2；

【問題再探】如圖，將ABEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BE'C,連結(jié)E'D,過點E作EG_L

BC,垂足為點G,過點E'作EG'LBC,垂足為G',過點E'作E'F//BA,過點。作。尸〃BC

交AB于點H,E'F、DF交于點F,

"BE',EG=E'G',BG=BG

VZABC=90°,ZDBE=45°,

：.ZCBE+ZDBA=45°.

：.ZC'BE'+NZ)5A=45°,即NZ)5E'=45°.

在△EBD和△￡，中,

BE=BEr

乙DBE=乙DBE'，

-BD=BD

???△EBD義AE’BD(SAS).

：.DE=DE',

VZABC=90°,AB=4,BC=3,

：.AC=y/AB2+BC2=5,

又,.?A￡)=%,CE=y,

：.DE'=DE=5-x-y.

U：DF//BC,

:./ADH=NC,ZAHD=ZABC=90°,

???△AHDS^ABC,

4HHDD%4

艮

BC74C-以HX

4B455-HD=營％,

4

-4X

-5-

A.Q

同理可得：EG=ey,GC=gy,

43

B8G3-

：.E'Gr-h---5y

9：E'G'LAB,ZABC=90°,

：.E'G'//BC//FD.

又,：E'F//AB,ZFHG'=ZAHD=90°,

四邊形正'G'//為矩形.

424

ZF=90°,FH=E'G'=|y,DF=DH+FH=|x+|y,

4R42

：.FE'=HG'=HB-BG'=4-^x-(3-|y)=1+]y,

在RtZW即中，E'F2+DF2^E'D2.

：.(1-|x+|y)2+(|x+|y)2=(5-x-y)2.

21X-60

解得

y=5x-28'

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

2.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,點E在邊A8上，①或②.

請從“①②AE=BE,AE=CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上(填

序號)，再解決下列問題：

(1)求證：四邊形8CZJE為平行四邊形；

(2)^AD±AB,AD=8,BC=10,求線段AE的長.

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力.

【答案】(1)①或②，證明見解析；

(2)6.

【分析】(1)證明BC〃Z)E或8E=C￡>,再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論;

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得。E=8C=10,再由勾股定理求出AE的長即可.

【解答】解：(1)選擇①或②，證明如下：

選擇①，；/B=/AED,

：.BC//DE,

'JAB//CD,

.?.四邊形BCDE為平行四邊形；

選擇②，:AE=BE,AE=CD,

：.BE=CD,

'：AB//CD,

四邊形BCDE為平行四邊形；

故答案為：①或②；

(2)由(1)可知，四邊形BCDE為平行四邊形，

：.DE^BC=10,

'：AD±AB,

：.ZA=90°,

：.AE=yJDE2-AD2=V102-82=6,

即線段AE的長為6.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理得知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

3.綜合與探究

問題情境：如圖1,四邊形ABCD是菱形，過點A作AE1BC于點E,過點C作CF±AD于點F.

猜想證明：

(1)判斷四邊形AEC尸的形狀，并說明理由；

深入探究：

(2)將圖1中的△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AHG,點E,B的對應(yīng)點分別為點G,H.

①如圖2,當(dāng)線段AH經(jīng)過點C時，GH所在直線分別與線段AD,CD交于點,M,N.猜想線段CH與

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)直線G8與直線CD垂直時，直線GH分別與直線A￡),CD交于點M,N,直線AH與線段CO交

于點。.若AB=5,BE=4,直接寫出四邊形的面積.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀.

【答案】（1）四邊形AECF為矩形，理由詳見解析；（2）①CH=MD,理由詳見解析.②;或y.

【分析】（1）根據(jù)矩形的判定方法（有三個角是直角的四邊形是矩形）很容易證出；

（2）①方法一可先證絲△ZMC,得出AM=AC,減去公共邊得出方法二證以絲

工MHD,可直接得出CH=MD；②對于旋轉(zhuǎn)的存在性問題，首先分類討論，根據(jù)情況畫出草圖，再利

用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)或相似進行計算即可，需要主要的是四邊形的面積是不規(guī)則，

需要用去用三角形面積的和差解決.

【解答】解：（1）四邊形AECB為矩形.理由如下：

'：AE.LBC,CF±AD,

：.ZAEC=90°,ZAFC=90°,

..?四邊形ABC。為菱形，

：.AD//BC,

：.ZAFC+ZECF=180°,ZECF=180°-ZAFC=90°

，四邊形AECP為矩形.

（2）①CH=MD.理由如下：

證法一：

..?四邊形42。為菱形，

：.AB=AD,ZB=ZD.

/\ABE旋轉(zhuǎn)得到△AHG,

：.AB=AH,ZB=ZH.

C.AH=AD,NH=/D.

'：ZHAM=ZDAC,

：.AM=AC,

：.AH-AC=AD-AMf

:.CH=MD.

證法二：

如圖，連接HD

???四邊形ABC。為菱形，

：.AB=AD,ZB=ZADC,

VAABE旋轉(zhuǎn)得到△A"G,

：.AB^AH,/B=NAHM,

：.AH=AD,NAHM=NADC,

：.ZAHD=NADH,

：./AHD-ZAHM=ZADH-ZADC,

：.NMHD=NCDH,

■:DH=HD,

：.ACDH^/\MHD,

:.CH=MD.

②情況一：如圖，當(dāng)點旋轉(zhuǎn)至的延長線上時，止匕時四邊形

G8AGHLCD,S4,

\"AB=5,BE=4,

由勾股定理可得AE=3,

AABE旋轉(zhuǎn)到△AHG,

：.AG=AE=3fGH=BE=4,/H=/B,

■:GNLCD,

:.GN=AE=3,

：?NH=1,

9：AD//BC,

：.ZGAM=ZB,

rGMAE

tanZGAM—tanZB,即---=—,

AGBE

Q7

解得GM=1，則

4,4

*.*tanZH=tanZB,

???在Rt^QNH中，QN=J

q

.119

*,*S四邊形=-S叢QNH=QN=4.

情況二：如圖，當(dāng)點G旋轉(zhuǎn)至BA上時，GH±CD,止匕時S四邊形AAflv°=孚

H

同第一種情況的計算思路可得：NH=I,QN=^,AG=3,MH=1,

1163

*,?S四邊形AMNQ=S/\QNH~S/\AMH=2MLz*QN—*AG=彳.

963

綜上，四邊形AMV0的面積為一或一.

44

【點評】本題主要考查了四邊形綜合以及菱形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握這些

基礎(chǔ)知識是解題關(guān)鍵.

4.0ABC。中，E,尸為對角線AC上兩點，且AE=CR連接BE,DF.求證

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得A2=C￡>,AB//CD,則而即可根據(jù)“SAS”

證明△BAEg/kOCT,則

【解答】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

C.AB^CD,AB//CD,

:./BAE=/DCF,

在△BAE和△DCF中，

AB=CD

^BAE=LDCF,

AE=CF

:.LBAE忠ADCF(SAS),

：.BD=DF.

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△BAE0△OCF是解

題的關(guān)鍵.

5.如圖，在菱形ABC。中，點、E,尸分別在邊BC和上，且即.求證：BE=DF.

【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】證明見解析.

【分析】由菱形的性質(zhì)推出A8=A。，NB=/D.由AAS推出即可證明8E=DR

【解答】證明：?..四邊形ABC。是菱形，

：.AB=AD,NB=/D.

在△ABE和△ADF中,

Z-B—Z-D,

乙AEB=乙4皿

(AB=AD,

：.AABE^AADF(A4S),

：.BE=DF.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由菱形的性質(zhì)推出AABE以

6.如圖，在菱形ABC。中，AB=lOcm,ZABC=60°,E為對角線AC上一動點，以DE為一邊作NDEF

=60°,交射線BC于點凡連接8E,。凡點E從點C出發(fā)，沿CA方向以每秒2c機的速度運動

至點A處停止.設(shè)△BEE的面積為yew?,點￡的運動時間為尤秒.

(1)求證：BE=EF；

(2)求y與x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求尤為何值時，線段。廠的長度最短.

備用圖

【考點】四邊形綜合題.

【答案】(1)證明詳見解答；

(2)-V3.?+10A/3X(0<XW5)；

(3)當(dāng)尤=|時，線段。F的長度最短.

【分析】(1)設(shè)。與E尸相交于點證明△BCEgZkOCE(SAS),可得/CBE=/CDE,BE=DE,

利用三角形外角性質(zhì)可得NCZ)E=NCFE,即得/C2E=NCBE,即可求證；

(2)過點E'作EMLBC于N,解直角三角形得到EN=CE?sin60°,CN=CE,cos60°,可得BN=BC

-CN,由等腰三角形三線合一可得2凡即可由三角形面積公式得到y(tǒng)與尤的函數(shù)表達式，最后由0<

2xW10,可得自變量x的取值范圍；

(3)證明△DEE為等邊三角形，可得BE=DF,可知線段。尸的長度最短，即BE的長度最短，當(dāng)BE

LAC時，BE取最短，又由菱形的性質(zhì)可得△ABC為等邊三角形，利用三線合一求出CE即可求解；

【解答】(1)證明：設(shè)CD與E尸相交于點

AD

???四邊形ABC。為菱形，；.BC-=DC,NBCE=/DCE,AB〃CD,

VZABC=60°,

：.ZDCF=60°,

在△BCE和△0CE中，

BC=DC

Z.BCE=Z.DCE,

CE=CF

：.ABCE^ADCE(SAS),

：.ZCBE=ZCDE,BE=DE,

?I/DMF=/DEF+/CDE=/DCF+NCFE,

又?：NDEF=NDCF=60°,

：.ZCDE=ZCFE,

；?/CBE=/CFE,

：.BE=EF；

(2)解：過點E作硒于N,

?：BE=EF,

：.BF=2BN,

???四邊形ABC。為菱形，ZABC=60°,

：.BC=AB=lQcm,ZACB=ZBCD=60°,即NECN=60°,

*.*CE=2xcm,

V3/—1

：.EN=CE^in60°=2x-=\3xCem),CN=CE?cos600=2x-=x

22

：.BN=BC-CN=\O-x(cm),

BF—2(10-x)cm,

：.y=%BF?EN=1x2(10-x)xV3x=-VS^+IOVSX,

V0<2x^l0,

；.0<xW5,

.*.y=—VSA^+IOA/SX(0〈XW5)；

(3)解:?：BE=DE,BE=EF,

:.DE=EF,

VZDEF=60°,

???△OEb為等邊三角形，

：.DE=DF-EF,

；?BE=DF,

???線段。尸的長度最短，即BE的長度最短，當(dāng)3EJ_AC時，5E取最短，如圖,

???四邊形A5CZ)是菱形，

：.AB^BC,

VZABC=60°,

???△ABC為等邊三角形，

.\AE=AB=AC=10cm,

VBEXAC,

1

??CE=-^AC=ScTnj

.CE5

??x=2=2，

...當(dāng)尤=搟時，線段。尸的長度最短.

【點評】本題是菱形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直

角三角形，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)

鍵是掌握菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì).

7.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙A3C。，要求大家利用它制作一個底面為正方形的

禮品盒.小明按照圖2的方式裁剪（其中AE=FB）,恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一

圖1圖2圖3圖4

⑴直接寫出豢勺值;

（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇

卡紙型號型號I型號II型號III

規(guī)格（單位：cm）30X4020X8080X80

單價（單位：元）3520

現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE,EF的比例，制作棱長為10。"的正方

體禮品盒.如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙

的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情

況），給出所用卡紙的總費用.

（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙,

不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜

合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡

紙僅供作草稿用）

型號m

【考點】四邊形綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】⑴2；

(2)C；

(3)需要卡紙見解答過程；設(shè)計示意圖見解答過程；58元.

【分析】(1)由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH=DH,四邊形EFMW是正方形，得到

即AG=EF,即可求解；

(2)根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；

(3)由題意可得，每張型號III卡紙可制作10個正方體，每張型號H卡紙可制作2個正方體，每張型號

I卡紙可制作1個正方體，即可求解.

【解答】解：(1)如圖2：

A

E

F

B

上述圖形折疊后變成如圖3：

圖3

由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

?/四邊形EFNM是正方形，

：.EM=EF,即AG=EF,

：.GH+AG=AE+FB+EFfBPAH=AB,

?:AH=DH,

ADAH+DH

—=------=2,

ABAB

的值為2；

AB

（2）根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應(yīng)面上，“祥”和“意”在對應(yīng)面上，而對應(yīng)面上

的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，

二?C選項符合題意，

故答案為：C；

（3）需要卡紙如表所示；理由如下：

卡紙型號型號I型號n型號III

需卡紙的數(shù)量（單位：張）132

所用卡紙總費用（單位：元）58

根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為5o機，如圖4,則要制作一個邊長為10。M的正方體的展開圖

形為：

圖5

型號n卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖6：

型號u

圖6

型號I卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖7：

型號I

圖7

，可選擇型號III卡紙2張，型號n卡紙3張，型號I卡紙1張，則10X2+2X3+1X1=27（個），

,所用卡紙總費用為:20X2+5X3+3X1=58（元）.

【點評】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等知識，掌握相

關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

（1）試判斷四邊形A8CC的形狀，并說明理由；

（2）已知矩形紙條寬度為2c〃z,將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時，四邊形ABCD的面積為8c〃P,求此

時直線A。、C。所夾銳角N1的度數(shù).

【考點】菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.

【專題】創(chuàng)新題型；幾何直觀.

【答案】（1）菱形，證明詳見解析；（2）30°.

【分析】（1）通過兩組對邊相互平行的四邊形可得ABCD是平行四邊形，再通過等寬即高相等和利用

等面積證邊相等即可；

（2）利用面積公式把邊長求出來，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值或者含有30°的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】（1）四邊形ABC。是菱形，理由如下：如圖作垂足為X,CG±AD,垂足為G,

???兩個紙條為矩形，

C.AB//CD,AD//BC,

四邊形ABC。是平行四邊形，

?/S^ABCD=AB'CH=AD'CG,且C”=CG,

：.AB=AD,

四邊形ABC。是菱形.

H

D

圖1圖2

(2)如圖，作AM_LCD,垂足為M,

S菱形ABCD=CD*AM=8。川,且2cm,

.*.CD=4cmf

.\AD=CD=4cm,

再RtZXADM中,sinZl=^=1,

.?.Zl=30°.

【點評】本題主要考查了菱形判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和判定和矩形的性質(zhì)以及含有30°的

直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.如圖，點A、B、M、E、產(chǎn)依次在直線/上，點A、8固定不動，且AB=2,分別以AB、EF為邊在直

線/同側(cè)作正方形ABC。、正方形EFGHNPMN=90°,直角邊MP恒過點C,直角邊M