2024年中考數(shù)學(xué) 方程思想復(fù)習(xí)講義

方程思想復(fù)習(xí)講義

方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想，對(duì)某些直接求解困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能找出題

目中已知和未知之間的等量關(guān)系，通過(guò)設(shè)未知數(shù)建立方程（組），使未知參與運(yùn)算過(guò)程，問(wèn)題便容易解決了.

1.方程思想在代數(shù)中的應(yīng)用

方程思想在代數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在列方程解應(yīng)用題，方程思想解決不等問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等

方面的問(wèn)題中.

例1甲乙兩人從相距27km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行,3小時(shí)相遇，相遇后兩人各用原來(lái)的速度繼

續(xù)前進(jìn)，甲到達(dá)B地比乙到達(dá)A地早1小時(shí)21分，求兩人的速度.

分析：這是一道“行程問(wèn)題”的應(yīng)用題，它的基本關(guān)系是“路程=速度x時(shí)間「結(jié)合本題的具體內(nèi)容可找出以下

等量關(guān)系：

甲行3小時(shí)的路程+乙行3小時(shí)的路程=27km,

2727.7

-----=------1—

lim光乙定20,

于是通過(guò)設(shè)未知數(shù)布列方程組.

解：設(shè)甲的速度為每小時(shí)xkm,乙的速度是每小時(shí)ykm,根據(jù)題意，得

3x+3y=27

27_27]7

,xy20

解得仁::或『二'I'

經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程組的解，但[[I,；*不合題意，舍去

答：甲的速度是每小時(shí)5km,乙的速度是每小時(shí)4km.

此題根據(jù)“行程的問(wèn)題”的公式及實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系建立方程組得到解答的.

例2某工廠生產(chǎn)某種型號(hào)的收音機(jī)，每臺(tái)成本為30元，若由本廠門市部直接銷售，每臺(tái)售價(jià)為64元，但門

市部每月需要費(fèi)用6000元，若通過(guò)商場(chǎng)間接銷售，廠家按每臺(tái)56元的出廠價(jià)給商場(chǎng)，試問(wèn)采取哪種銷售辦法使

工廠的經(jīng)濟(jì)效益更好？

分析：此題初看起來(lái)，似乎無(wú)從下手，但利用方程思想尋求題目中的相等關(guān)系，找出使得兩種銷售方法獲得

經(jīng)濟(jì)效益相同的每月各應(yīng)售出收音機(jī)的臺(tái)數(shù)(設(shè)未知數(shù)列方程，求出數(shù)據(jù)作為分界點(diǎn)),再把方程改為不等式，便能

求得結(jié)果.

解：設(shè)每月兩種銷售方法各售出這種型號(hào)的收音機(jī)x臺(tái)，使工廠的經(jīng)濟(jì)效益相同，于是，得

(64—30)x—6000=(56—30)x,

解得x=750.

若直接銷售大于間接銷售的經(jīng)濟(jì)效益，則有

(64—30x)—6000>(56—30)x,

解得x>750.

若直接銷售小于間接銷售的經(jīng)濟(jì)效益，則有

(64-30)x-600<(56-30)x,

解得x<750.

答：每月銷售大于750臺(tái)時(shí)，直接銷售獲經(jīng)濟(jì)效益更高；當(dāng)月銷售量少于750臺(tái)時(shí)，間接銷售獲經(jīng)濟(jì)效益更

高.

解決不等關(guān)系，有時(shí)用方程思想進(jìn)行突破，往往取得很好的效果.

例3已知拋物線y=aY+.+電力0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2),點(diǎn)(2,0)在拋物線上，求這條拋物線的解析

式.

分析：拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-白鏟)，根據(jù)這個(gè)公式并結(jié)合題目條件，可列出關(guān)

ZQ4a

于a、b、c的兩個(gè)方程；又點(diǎn)(2,0)在拋物線上，根據(jù)點(diǎn)在圖像上的概念，可列出關(guān)于a、b、c的第三個(gè)方程.

解：根據(jù)題意，得

b.

-----=4,

2a

4a-b2__2解得

4a'

4。+2b+c=0,

???所求拋物線的解析式為y=-|x2+4%-6.

用待定系數(shù)法建立方程（組），通過(guò)求解方程（組）確定函數(shù)的解析式，是方程思想在函數(shù)問(wèn)題中的重要應(yīng)用.

此題還有其他解法，請(qǐng)讀者分析探討.

2.方程思想在直線形中的應(yīng)用

方程思想在直線形中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在利用比例線段，線段間的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)建立方程（組）求

解相關(guān)問(wèn)題.

例1已知如圖1-20,AABC中,AD平分Z.BAC,DE||AC,EF〃BC,AB=15,AF=4,求DE的長(zhǎng).

分析：題目中有平行線，又有角平分線，必存在相等的線段，要求DE的長(zhǎng)，由題意可求得4E=

DE.CF=DE,,于是可由DEIMC通過(guò)比例線段建立比例式求解.

解:：AD平分NB4C,

:.z.1=z2,

???DE\\ACf

Z.2=Z-ADE,圖1-20

z.1=乙ADE,

??.AE=DE,

??.EF\\BC,

??.DE=CF,

設(shè)。￡=居,則AE=CF=x,

由DE〃AC,得

DE_BE

AC-ABf

口口x15-x

即k*，

解得x=6或x=-10.

經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的根，但x=-10不合題間，舍去.

；.DE的長(zhǎng)為6.

例2如圖1-21.在梯形ABCD中MB=6,BC=V13,CD=3,DA=VIU,求這個(gè)梯形的面積.

分析：梯形的上、下底是已知的，關(guān)鍵是梯形的高，由題意先作出高線，通過(guò)設(shè)未知數(shù)先求出高，再計(jì)算

梯形面積.

解：作DF1AB,CE14B,,垂足分別為F、E.設(shè)AF=x,BE=y.由題意有

%+y=3,

10-x2=13-y2,

X=1,

解得

.y=2.

DF=V10-X2=3,

S.BCD=抑+為x3號(hào).

此題通過(guò)線段間的關(guān)系建立方程組，用勾股定理求出高，再求梯形的面積，若直接設(shè)高為未知數(shù)，也可通

過(guò)列方程求解.

例3已知如圖1-22,DEFG是AABC的內(nèi)接正方形,D在AB上,E、F在BC上,G在AC±,AH±BC于H,交

DG于P,若BC=6cm,AH=4cm,求正方形DEFG的邊長(zhǎng).

分析:由于DG〃:BC,AADGS^ABC,AP、AH分別是AADG和AABC的高，由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等

于相似比通過(guò)設(shè)未知數(shù)建立方程可求得正方形的邊長(zhǎng).

解:設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為xcm.

VDG/7BC,

.'.△ADG^AABC,

DG_AP

BC-AH'圖1-22

即已一

64

解得x=2.4(cm).

正方形DEFG的邊長(zhǎng)為2.4cm.

3.方程思想在解直角三角形中的應(yīng)用

方程思想在解直角三角形中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：利用三角形的邊的兩種表示形式建立方程(組)，應(yīng)用勾股

定理建立方程(組)，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程，利用三角函數(shù)定義建立方程.

例1如圖1-23,河對(duì)岸邊有一點(diǎn)A,在河的一邊沿河岸取兩點(diǎn)B、C,使得AABC=60°,^ACB=45。,量得

BC=30血,求河寬（精確到0.1m）

A

解：作4。1BC于D,設(shè)AD=x.

???乙ABC=60°,

ADxV3

BD——=x,

tanz.ABCtan60°3

???ACB=45°

圖1-23

ADx

?*,DC———x.,

tan乙4cBtan45°

VBC=BD+DC=30m,

???——x+%=30,

3

解得x=15(3-V3)~19.0(m)

答:河寬約19.0m.

此題利用線段BC長(zhǎng)的兩種表示形式日久+"口30建立方程的，也可以利用三角函數(shù)定義tanzXBC=

券(8=￡)建立方程求解?

例2如圖1-24,AABD中,NC=90。,,從A、B引兩條中線AE、BD,它們的長(zhǎng)分別為5和同,，求cosZBAC

的值.

圖1-24

解:設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

TAE、BD是△ABC的兩條中線，

???CE^-BC=-,CD=-AC=-,

2222

在RtAAEC和RtABDC中，由勾股定理，有

f包+一

+針=（同）；

解得｛Mi'

c=Va2+b2=V60=2V15,

cosZ-BAC=-=—7==—V15.

c2V1515

此題根據(jù)R3ACE、R3BCD中三邊之間的關(guān)系,利用勾股定理建立方程組求解的.

例3如圖1-25,AABC中,/?=90。,口是BC邊上一點(diǎn),DE_LAB于E,/ADC=45。,若tanz_D4E=BE=3,求

AABD面積.

解:???tanzDXF=隼=芻設(shè)DE=k,AE=5k,

AD=yjDE2+AE2=V26/c,BD=y/BE2+DE2=V9+fc2,

???ZXDC=45°,

???AC=ADsin^ADC=V13fc,

Z-BED="=90°,NB為公共角，

BED△BCA,

.DE_BD

''AC~AB"

□nk_，9+H

因y/13k-3+5k，

解得1￡=2或卜=-J

經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的根，但k=-（不合題意，舍去.

DE=k=2,AB=3+5k=13,

SABD="鳥?DE=jx13x2=13.

此題利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)建立方程求解的，也可以利用三角函數(shù)定義（sinB=案=第建立

\DL）AD/

方程求解.此題的另外解法略.

4.方程思想在圓中的應(yīng)用

有關(guān)圓中的計(jì)算問(wèn)題，往往利用方程或方程組求得.求角的度數(shù)，常利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)和三

解形內(nèi)角和定理（或推論）尋找等量關(guān)系列出方程（組）；求線段的長(zhǎng)，常用勾股定理、比例關(guān)系、相交弦定理及推論、

切割線定理及推論、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系等列出方程（組）.

例1如圖1-26,已知PAB、PCD是。O的兩條割線.4P=40。,且AB=BD=

近，連結(jié)AD,求"DP度數(shù)

解:連結(jié)AC、BD.

AB=-BD=-CD,

Z1=z.2=43,

設(shè)的度數(shù)為X,乙的度數(shù)為

=N2=N34DPy,圖1-26

四邊形ABDC為0O的內(nèi)接四邊形，

???zl+z2+z3+/.ADP=180°,

即3x+y=18O,①

???N2是AADP的外角,

Z2=ZP+ZADP,

即x=40+y,②

解由①、②組成的方程組，得

(x=55,

ly=15.

NADP的度數(shù)為15°.

此題是應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理推論建立方程組求解的.

例2如圖1-27,已知EB是。0直徑BC切。。于點(diǎn)B,BC=EB=6,CD切。。于D交BE的延帳線于A,求AD、

AE的長(zhǎng).

解連結(jié)OD.

CD是。。的切線，

OD±AC.

圖1-27

?/EB是＜30直徑,EB=BC=6,

。。的半徑為3,（OD=3,VBC切。O于點(diǎn)B,

BCXAB.

???AADO=/.ABC=90°,

又：/A為△4D0和△ABC的公共角，

???△A。。AABC,

AD_OD

''AB~CBf

即&=；①

AE-V62

AD為。O的切線,AEB為。O割線，

???AD2=AE-AB,

即AD2=AE{AE+6）,②

解由①、②組成的方程組，得

(AD=4,

lAE=2.

所以AD、AE的長(zhǎng)分別為4、2.

此題是應(yīng)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、切割線定理布列方程組求解的.也可應(yīng)用勾股定理(4/+0D2=

4。2)建立第二個(gè)方程求解.

例3如圖1-28,已知。O是四邊形ABCD的外接圓,AB=)DC=6霽=如A、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,PQ切

CDN八

又UPD=/.CPB,

圖1-28

PAD△PCB,

PA_PD_AD_1

PC~PB~CB-2’

解得喘士

經(jīng)檢驗(yàn)是方程組的解.

PQ=7PA?PB=,7x(7+9)=4V7.

此題是根據(jù)相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例建立方程組求解的.

練習(xí)3

1.甲、乙兩組工人合做某項(xiàng)工作，10天以后，甲組另有任務(wù)，乙組再單獨(dú)做2天才完成，如果單獨(dú)完成這

項(xiàng)工作，甲組比乙組可以快4天，求各組單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需要的天數(shù).

2.服裝廠批發(fā)某種服裝，每套定價(jià)200元,對(duì)于購(gòu)買10-25套之間的顧客，廠家有兩種優(yōu)惠辦法：第一種

全部七五折賣給顧客，第二種先免費(fèi)送給顧客一套，其余的服裝全部按八折賣給顧客，問(wèn)選擇哪種方法，使得購(gòu)

進(jìn)的總錢數(shù)較少？

3.如圖1-29,ABCD是一矩形紙片，E是AB上一點(diǎn)，且BE:EA=5:3,EC=15V^把ABCE沿折痕EC向

上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD上,設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F,求AB、BC的長(zhǎng).

4.如圖430,在RtAABC

BC

圖1-29

中.NC=90°,D是BC中點(diǎn),DE14B,垂足為E,tanfi=|,AE=7,,求DE的長(zhǎng).

D

圖1-30

5.如圖1-中,NC=9(T,D是BC邊上一點(diǎn),BD=22,cosB=￡,tanN2DC=［，求AC的長(zhǎng).

圖1-31

6.如圖1-32,,已知AB、CD是。O的兩條平行弦,(OE1CD,垂足為E,OE交AB于F