2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：面積比例問(wèn)題（學(xué)生版+解析）

專(zhuān)題03面積比例問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

除了三角形、四邊形面積計(jì)算之外，面積比例也是中考題中常見(jiàn)的條件或結(jié)論，對(duì)面積比例的分析，往往

比求面積要復(fù)雜得多，這也算是面積問(wèn)題中最難的一類(lèi).

大部分題目的處理方法可以總結(jié)為兩種：(1)計(jì)算；(2)轉(zhuǎn)化.

本文結(jié)合19年各地中考題，簡(jiǎn)要介紹關(guān)于比例條件的一些運(yùn)用方法.

策略一：運(yùn)用比例計(jì)算類(lèi)

綜合與探究：如圖，拋物線y=&+/?+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為租(1＜加＜4).連接AC,BC,DB,DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

3

(2)ABCD的面積等于AAOC的面積的一時(shí)，求加的值；

4

【分析】

(1)可重設(shè)解析式為交點(diǎn)式：y=〃(x+2)(x-4),展開(kāi)得：y=ax2-2ax-Sa,常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，-8〃=6,

2

解得：a=--,故拋物線解析式為：y=--x+-x+6.

442

(2)考慮△AOC和△BCD并無(wú)太多關(guān)聯(lián)，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過(guò)面積比推導(dǎo)

△BCD的面積.

S2x6=6,

339

SBCD=工義SAOC=丁6=5,

此問(wèn)題變?yōu)槊娣e定值問(wèn)題，就不難了.

【小結(jié)】利用面積比計(jì)算出所求三角形面積，再運(yùn)用處理面積定值的方法即可解決問(wèn)題.

策略二：轉(zhuǎn)化面積比

如圖，B、。、C三點(diǎn)共線，考慮和△AC。面積之比.

轉(zhuǎn)化為底：

共高，面積之比化為底邊之比：則S鉆。：SAS=8D：C￡).

更一般地，對(duì)于共邊的兩三角形△A8D和△ACD,連接BC,與交于點(diǎn)E,則

SADRLD)：SArn=BM:CN=BE:CE.

A

B

7M

策略三：進(jìn)階版轉(zhuǎn)化

在有些問(wèn)題中，高或底邊并不容易表示,所以還需在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為其他線段比值，比如常見(jiàn)有：“A

字型線段比、“8”字型線段比.

“A”字型線段比：S^-.SACD=BD-CD=BA:AM.

"8'字型線段比：SABD:SACD=BD:CD=AB:CM.

以2019連云港中考填空壓軸為例：

[2019連云港中考】

如圖，在矩形A3CD中，AB=4,4)=3,以點(diǎn)C為圓心作C與直線助相切，點(diǎn)尸是C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

AP

連接AP交班＞于點(diǎn)T,則一的最大值是.

D

AB

【分析】

AP、AT均為動(dòng)線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉(zhuǎn)化線段.

構(gòu)造字型線段比：

工丁.pAPAQ

由平行得：一=—

ATAB

BC=3,BM=3x-=-,CM=3x-=—,PM=—+—=—

44444520

“1235414八）419-

MQ=——x—=——,AQ=4+--------=12,

203444

APAQ12

故最大值為——=一三=一=3.

ATAB4

思路2:構(gòu)造"8"字型線段比是否可行？

4PTPTP

雖然問(wèn)題是一的比值，為便于構(gòu)造“8”字，可轉(zhuǎn)化為“土匚+1”，即求」二的最大值,

ATATAT

過(guò)點(diǎn)尸作尸0〃A3交8。延寬線于。點(diǎn)，可得：IL=fQ；考慮到AB是定線段，故只要尸0最大即可.

ATAB

但是本題尸點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，故很難分析出點(diǎn)尸在何位置，尸。取到最大值，若尸點(diǎn)換個(gè)軌跡路線，或許就

很容易分析了.

。一、

,、、D

AB

二、典例精析

例一、

已知拋物線y=奴？+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,O)和點(diǎn)5(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)

點(diǎn).

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

(2)如圖，連接OP交BC于點(diǎn)。，當(dāng)乂。。：5ABM,=1:2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】

(1)y=-x2-2x+3;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).

(2)根據(jù)&迪：5兇如=1：2可得CD:BD=1:2,

故。點(diǎn)是線段8c靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，又8(-3,0)、C(0,3),

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2).

例二、

如圖，拋物線y=a、2+2x+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)3(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)3在原點(diǎn)的右側(cè))，與y

軸交于點(diǎn)C,OB=OC=3.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)如圖，連接3C,點(diǎn)。是直線3c上方拋物線上的點(diǎn)，連接C?,CD.OD交BC于點(diǎn)、F,當(dāng)

S&COF:SACDF=3:2時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)?

【分析】

（1）解析式：y=—x2+2x+3

（2）顯然△C。尸和△口）/共高，可將面積之比化為底邊之比.

OF:DF=S,COF：S、CDF=3:2,

思路1:轉(zhuǎn)化底邊之比為"A”字型線段比

在y軸上取點(diǎn)E（0,5）,（為何是這個(gè)點(diǎn)？因此此時(shí)OC:CE=3:2）

過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交無(wú)軸于G點(diǎn)，

EG與拋物線交點(diǎn)即為所求。點(diǎn)，

根據(jù)平行線分線段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直線EG解析式為：y=-x+5,

與拋物線聯(lián)立方程，得：一/+2》+3=-》+5,

解得：%,=1,x2=2.

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）.

思路2:轉(zhuǎn)化底邊之比為“8”字型線段比

過(guò)點(diǎn)。作。G//y軸交8C邊于點(diǎn)G,則一=——,又0c=3,故點(diǎn)G滿足。G=2即可.這個(gè)問(wèn)題設(shè)。點(diǎn)

FDDG

坐標(biāo)即可求解.

也可以構(gòu)造水平"8"字，過(guò)點(diǎn)。作。G//x軸交3c于點(diǎn)G,則為=器,又。2=3,...■DGMZ即可.但此

處問(wèn)題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議.

y

其實(shí)本題分析點(diǎn)的位置也能解：

思路3:設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為+2m+3）,

/QOAQ、

根據(jù)。尸：DF=3:2,可得尸點(diǎn)坐標(biāo)為一八一―m2+-m+-

[5555y

點(diǎn)、F在直線BC上,將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線3C解析式：y=-x+3,

3693。

——m2+—m+—=——m+3,

5555

解得叫=1,m2=2,

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）.

這個(gè)計(jì)算的方法要求能理解比例與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，即由。點(diǎn)坐標(biāo)如何得到F點(diǎn)坐標(biāo).

三、中考真題演練

1.（2023?山東青島?中考真題）許多數(shù)學(xué)問(wèn)題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察

撐開(kāi)后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線.在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y

軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)。為傘骨。4,的交點(diǎn).點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A,8在拋物線上，OA,08關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng).OC=1分米，點(diǎn)A至晨軸的距離是0.6分米，A,8兩點(diǎn)之間的距離是4分米.

圖①圖②

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵分別延寬A。，3。交拋物線于點(diǎn)RE,求E,尸兩點(diǎn)之間的距離；

（3）以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S-將拋物線向右平移；”（加＞0）個(gè)單位，得到一條

3.（2023?黑龍江?中考真題）如圖，拋物線丁=以2+版+3與工軸交于4（-3,0）,8（1,0）兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得SpBc=gsMe，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

4.（2023.湖北十堰?中考真題）4知拋物線了=加+在+8過(guò)點(diǎn)8（4,8）和點(diǎn)。（8,4）,與，軸交于點(diǎn)A.

（1）求拋物線的解析式；

⑵如圖1,連接點(diǎn)。在線段A3上（與點(diǎn)A,8不重合），點(diǎn)F是。4的中點(diǎn)，連接ED,過(guò)點(diǎn)。作

DE上FD交BC于點(diǎn)E,連接E尸，當(dāng)Q即面積是△>1￡）尸面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

5.(2023?湖南永州?中考真題)如圖1,拋物線＞=加+法+。(a,b,c為常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)網(wǎng)0,5),頂點(diǎn)坐

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)如圖1,直線0口,=工工交跖于點(diǎn)G,求9金的最大值;

%,ABOG

6.(2023?四川遂寧?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線＞=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（0,

4

0),對(duì)稱(chēng)軸過(guò)點(diǎn)8(2,0),直線/過(guò)點(diǎn)C(2,-2),且垂直于V軸.過(guò)點(diǎn)3的直線乙交拋物線于點(diǎn)版、N,交

直線/于點(diǎn)Q,其中點(diǎn)加、。在拋物線對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè).

（圖1）（圖2）

(1)求拋物線的解析式;

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q恰好在V軸上時(shí)，P為直線乙下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸Q、PO,其中PO交乙于點(diǎn)E,

設(shè)。OQE的面積為加，PQE的面積為$2.求號(hào)的最大值.

專(zhuān)題03面積比例問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

除了三角形、四邊形面積計(jì)算之外，面積比例也是中考題中常見(jiàn)的條件或結(jié)論，對(duì)面積比例的分析，往往

比求面積要復(fù)雜得多，這也算是面積問(wèn)題中最難的一類(lèi).

大部分題目的處理方法可以總結(jié)為兩種：(1)計(jì)算；(2)轉(zhuǎn)化.

本文結(jié)合19年各地中考題，簡(jiǎn)要介紹關(guān)于比例條件的一些運(yùn)用方法.

策略一：運(yùn)用比例計(jì)算類(lèi)

綜合與探究：如圖，拋物線了=辦2+區(qū)+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),3(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為機(jī)(1<4).連接AC,BC,DB,DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

3

(2)ABCD的面積等于AAOC的面積的一時(shí)，求機(jī)的值;

4

【分析】

(1)可重設(shè)解析式為交點(diǎn)式：y=a(x+2)(x-4),展開(kāi)得：y=ax2-2ax-8o,常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，-8a=6,

解得：a=~-,故拋物線解析式為：y=-±尤2+'X+6.

442

(2)考慮△AOC和△8CQ并無(wú)太多關(guān)聯(lián)，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過(guò)面積比推導(dǎo)

△BCD的面積.

SAOC=[X2X6=6,

33x9

S88=[XSAOC=-6=—,

此問(wèn)題變?yōu)槊娣e定值問(wèn)題，就不難了.

【小結(jié)】利用面積比計(jì)算出所求三角形面積，再運(yùn)用處理面積定值的方法即可解決問(wèn)題.

策略二：轉(zhuǎn)化面積比

如圖，B、D、C三點(diǎn)共線，考慮和面積之比.

轉(zhuǎn)化為底：

共高，面積之比化為底邊之比：則S鉆。：SACO=808.

更一般地，對(duì)于共邊的兩三角形△AB。和△ACD,連接BC,與AO交于點(diǎn)E,則

S:S=BM:CN=BE:CE.

ADRL)nACrUn

策略三：進(jìn)階版轉(zhuǎn)化

在有些問(wèn)題中，高或底邊并不容易表示，所以還需在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為其他線段比值，比如常見(jiàn)有："A

字型線段比、“8”字型線段比.

“A”字型線段比：SACD=BD:CD=BA:AM.

"8'字型線段比：SABD:SACD=BD:CD=AB:CM.

以2019連云港中考填空壓軸為例：

[2019連云港中考】

如圖，在矩形A3CD中，AB=4,4)=3,以點(diǎn)C為圓心作C與直線助相切，點(diǎn)尸是C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

AP

連接AP交班＞于點(diǎn)T,則一的最大值是.

D

AB

【分析】

AP、AT均為動(dòng)線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉(zhuǎn)化線段.

構(gòu)造字型線段比：

工丁.pAPAQ

由平行得：一=—

ATAB

BC=3,BM=3x-=-,CM=3x-=—,PM=—+—=—

44444520

“1235414八）419-

MQ=——x—=——,AQ=4+--------=12,

203444

APAQ12

故最大值為——=一三=一=3.

ATAB4

思路2:構(gòu)造"8"字型線段比是否可行？

4PTPTP

雖然問(wèn)題是一的比值，為便于構(gòu)造“8”字，可轉(zhuǎn)化為“土匚+1”，即求」二的最大值,

ATATAT

過(guò)點(diǎn)尸作尸0〃A3交8。延寬線于。點(diǎn)，可得：IL=fQ；考慮到AB是定線段，故只要尸0最大即可.

ATAB

但是本題尸點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，故很難分析出點(diǎn)尸在何位置，尸。取到最大值，若尸點(diǎn)換個(gè)軌跡路線，或許就

很容易分析了.

。一、

,、、D

AB

二、典例精析

例一、

已知拋物線y=奴？+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,O)和點(diǎn)5(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)

點(diǎn).

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

(2)如圖，連接OP交BC于點(diǎn)。，當(dāng)乂。。：5ABM,=1:2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】

(1)y=-x2-2x+3;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).

(2)根據(jù)&迪：5兇如=1：2可得CD:BD=1:2,

故。點(diǎn)是線段8c靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，又8(-3,0)、C(0,3),

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2).

例二、

如圖，拋物線y=a、2+2x+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)3(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)3在原點(diǎn)的右側(cè))，與y

軸交于點(diǎn)C,OB=OC=3.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)如圖，連接3C,點(diǎn)。是直線3c上方拋物線上的點(diǎn)，連接C?,CD.OD交BC于點(diǎn)、F,當(dāng)

S&COF:SACDF=3:2時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)?

【分析】

（1）解析式：y=—x2+2x+3

（2）顯然△C。尸和△口）/共高，可將面積之比化為底邊之比.

OF:DF=S,COF：S、CDF=3:2,

思路1:轉(zhuǎn)化底邊之比為"A”字型線段比

在y軸上取點(diǎn)E（0,5）,（為何是這個(gè)點(diǎn)？因此此時(shí)OC:CE=3:2）

過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交無(wú)軸于G點(diǎn)，

EG與拋物線交點(diǎn)即為所求。點(diǎn)，

根據(jù)平行線分線段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直線EG解析式為：y=-x+5,

與拋物線聯(lián)立方程，得：一/+2》+3=-》+5,

解得：%,=1,x2=2.

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）.

思路2:轉(zhuǎn)化底邊之比為“8”字型線段比

過(guò)點(diǎn)。作。G//y軸交8C邊于點(diǎn)G,則一=——,又0c=3,故點(diǎn)G滿足。G=2即可.這個(gè)問(wèn)題設(shè)。點(diǎn)

FDDG

坐標(biāo)即可求解.

也可以構(gòu)造水平"8"字，過(guò)點(diǎn)。作。G//x軸交3c于點(diǎn)G,則為=器,又。2=3,...■DGMZ即可.但此

處問(wèn)題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議.

y

其實(shí)本題分析點(diǎn)的位置也能解：

思路3:設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為+2m+3）,

/QOAQ、

根據(jù)。尸：DF=3:2,可得尸點(diǎn)坐標(biāo)為一八一―m2+-m+-

[5555y

點(diǎn)、F在直線BC上,將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線3C解析式：y=-x+3,

3693。

——m2+—m+—=——m+3,

5555

解得叫=1,m2=2,

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）.

這個(gè)計(jì)算的方法要求能理解比例與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，即由。點(diǎn)坐標(biāo)如何得到F點(diǎn)坐標(biāo).

三、中考真題演練

1.（2023?山東青島?中考真題）許多數(shù)學(xué)問(wèn)題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察

撐開(kāi)后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線.在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y

軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)。為傘骨。4,的交點(diǎn).點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A,8在拋物線上，OA,08關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng).OC=1分米，點(diǎn)A至晨軸的距離是0.6分米，A,8兩點(diǎn)之間的距離是4分米.

圖①圖②

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵分別延寬A。，3。交拋物線于點(diǎn)RE,求E,尸兩點(diǎn)之間的距離；

（3）以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S-將拋物線向右平移；”（加＞0）個(gè)單位，得到一條

3

新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為邑.若S2=：d，求”的值.

【答案】⑴y=-0.1Y+i；

⑵10

(3)2或4；

【分析】(1)根據(jù)題意得到CQD,42,0.6),B(-2,0.6),設(shè)拋物線的解析式為＞=。(彳-⑶?+%代入求解

即可得到答案；

(2)分別求出AO,8。所在直線的解析式，求出與拋物線的交點(diǎn)凡E即可得到答案；

(3)求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到S-表示出新拋物線找到交點(diǎn)得到邑，根據(jù)面積公式列方程求解即可

得到答案；

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-/z)2+A,由題意可得，

C(0,l),A(2,0.6),8(-2,0.6),

「?/?=0,k=lJ

把點(diǎn)A坐標(biāo)代入所設(shè)解析式中得：4々+1=0.6,

解得：a=-0.1,

y=-0.lx2+1；

(2)解：設(shè)AO的解析式為：y=kxx,8。的解析式為：y=k2x,

分另1J將42,0.6),5(—2,0.6)代入〉=匕%,y=左2兀得，

2kl=0.6,—2左2—0.6,

解得：履=0.3,k2=-0.3,

???AO的解析式為：y=0.3x,50的解析式為：y=-0.3x,

聯(lián)立直線解析式與拋物線得：0.3九=-O.lf+1,

解得玉=-5,x?=2(舍去)，

同理，解—0.3%=—O.L?+i,得七=5,5=-2(舍去)，

AF(-5,-1.5),灰5,—1.5),

產(chǎn)兩點(diǎn)之間的距離為：5-(-5)=10；

(3)解：當(dāng)y=0時(shí),-o.ix2+i=o,

解得：x=±A/10，

：.S]=?[加_（_如）卜1=而，

拋物線向右平移m（m>0）個(gè)單位，

y=-0.1（%-mf+1,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-0.1m2+1,

當(dāng)>=。時(shí)，一0.1（兀一w）2+1=0,解得：x=±V10+m,

22

/.S2=|x[710+m-（-y/i0+m）]x|-0.1m+1|=Vw|-0.1m+1|,

3

**$2=S5,

；.|X師=啊一0.1療+",

解得：叫=2,”=-2（不符合題意舍去），，%=4,m4=-4（不符合題意舍去），

綜上所述：相等于2或4；

2.（2023?吉林寬春?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線>=-/+次+2"是常數(shù)）

經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2）.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（加,0）,點(diǎn)8在該拋物線上，橫坐標(biāo)為其中〃7<0.

（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)8在x軸上時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）該拋物線與x軸的左交點(diǎn)為尸，當(dāng)拋物線在點(diǎn)P和點(diǎn)2之間的部分（包括P、8兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)

的縱坐標(biāo)之差為2-機(jī)時(shí)，求加的值.

（4）當(dāng)點(diǎn)8在無(wú)軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C,連結(jié)AC、BO.若四邊形AQBC的邊和拋物線有兩個(gè)

交點(diǎn)（不包括四邊形AOBC的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)/，線段8。的中點(diǎn)為。.當(dāng)以點(diǎn)C、

E、。、D（或以點(diǎn)C、F、。、D）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形AQBC面積的一半時(shí)，直接寫(xiě)出所

有滿足條件的機(jī)的值.

【答案】(l)y=-x2+2x+2；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)

⑵

(3)機(jī)=-1或m=—2

(4)m=—2+\/2或=2—2-J3或m=——

【分析】(1)將點(diǎn)(2,2)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；

(2)當(dāng)＞=0時(shí)，-X2+2X+2=0,求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)8在x軸上時(shí)，橫坐標(biāo)

為1-"2.其中7"＜。，得出冽=-即可求解；

(3)①如圖所示，當(dāng)1＜1一切＜1+JL即一步＜根＜0時(shí)，②當(dāng)I-WJNI+JL即時(shí)，分別畫(huà)出圖

形，根據(jù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2-%，建立方程，解方程即可求解；

(4)根據(jù)8在x軸的上方，得出-6＜加＜6,根據(jù)題意分三種情況討論①當(dāng)E是AC的中點(diǎn)，②同理當(dāng)尸

為4。的中點(diǎn)時(shí)，③gsAoc=SsF，根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)(2,2)代入拋物線〉=一/+云+2,得，

2=T+2"2

解得：b=2

J拋物線解析式為y=-幺+2%+2；

,**y——x2+2x+2=—(%—1)+3,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),

(2)解：由y=—X2+2x+2,

當(dāng)＞=0時(shí)，-%2+2尤+2=0,

解得：*1=1-6＞,12=1+6，

???拋物線上的點(diǎn)5在X軸上時(shí)，橫坐標(biāo)為1-相.其中"＜0.

l-m＞l

1—m=1+^3

解得：,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(〃?,0),

4(—指,。)；

(3)①如圖所示，當(dāng)1<1一根<1+JL即一指<〃2<0時(shí),

拋物線在點(diǎn)尸和點(diǎn)8之間的部分(包括P、8兩點(diǎn))的最高點(diǎn)為頂點(diǎn)，最低點(diǎn)為點(diǎn)。

:頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),尸(1-后0)

則縱坐標(biāo)之差為3-0=3

依題意，3=2-m

解得：，"=-1；

②當(dāng)1—相21+>/3，即機(jī)V-垂!時(shí)，

?：B(l-/n,-(l-w)2+2(l-/7i)+2),即80-加,—m2+3),

依題意，3-(-m2+3)=2-m,

解得：加=—2或相=1（舍去）,

綜上所述，m=-1或/=-2；

??1—y/3<1—nz<1+y/3

-y/3<m<5/3

??,以點(diǎn)C、E、0、。為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形AO5C面積的一半，線段3。的中點(diǎn)為。

??UBCD-°COD

???^ACOBC-—°CAOCTIuCBOC->°CBOC一—°CBCD丁c0COD

貝1JS^OBC—2SCEOD,

(2

」m—m+3

E-,------彳弋y——x2+2x+2,

(221k

2

即一“2+3cmc

+2x—F2,

22

解得：m=—y/2—2（舍去）或加=一2+0;

②同理當(dāng)尸為A0的中點(diǎn)時(shí)，如圖所示，SACF=S_CFO,sBCD=S.COD，則點(diǎn)C、F、0、O為頂點(diǎn)的四邊

解得：加=2-2百，

③如圖所示,

:以點(diǎn)C、E、0、。為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形AQBC面積的一半，線段3。的中點(diǎn)為。

??/S+SCDF=SFDB+SA0C

SCDF=_S—SCDF+S

即'_2+Sl-L/r2.C-ZJFA(yA(_O-C

,?5sAOC=sCDF,

：.CF=AO,

尸(-+3),

■:昆尸關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，

.-m+1—m

解得：m=—1,

綜上所述，加=—2+&或/"=2-2百或％=—].

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，熟

練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?黑龍江?中考真題)如圖，拋物線丁="2+灰+3與.丫軸交于4(-3,0),3(1,0)兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式.

BC

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得S.=；5ABc，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】(l)y=-f—2%+3

（2）存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（—2,3）或（3,-12）

【分析】（1）采用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A和點(diǎn)3坐標(biāo)直接代入拋物線>="2+法+3,即可求得拋物線的解析

式.

（2）過(guò)線段A3的中點(diǎn)且與8c平行的直線上的點(diǎn)與點(diǎn)8,點(diǎn)C連線組成的三角形的面積都等于;S“c，

則此直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，即可求得答案.

【詳解】（1）解：因?yàn)閽佄锞€>=西+法+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3,0）和點(diǎn)3（1,0）兩點(diǎn)，所以

儼-36+3=0

[〃+/?+3=0'

解得

Jtz=—1

[b=-2f

所以拋物線解析式為：J=-X2-2X+3.

（2）解：如圖，設(shè)線段A3的中點(diǎn)為。，可知點(diǎn)。的坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)。作與BC平行的直線/,假設(shè)與

拋物線交于點(diǎn)月，P2（月在8的左邊），（鳥(niǎo)在圖中未能顯示）.

設(shè)直線8c的函數(shù)解析式為y=履+4(左w0).

因?yàn)橹本€8C經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(1,0)和C(0,3),所以

肚+4=0

］偽=3，

12=—3

解得八2,

也=3

所以，直線BC的函數(shù)解析式為：y=-3x+3.

又學(xué)V/BC,

可設(shè)直線PA的函數(shù)解析式為y=-3尤+%,

因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(-1,0),所以

3+a=0.

解得仇=-3.

所以，直線＜2的函數(shù)解析式為y=-3尤-3.

根據(jù)題意可知,

C—Av

°DBC-2uABC?

又P\P$BC,

所以，直線々心上任意一點(diǎn)尸'與點(diǎn)8,點(diǎn)C連線組成的一P'BC的面積都滿足Sp，Bc=gs.c-

所以，直線4鳥(niǎo)與拋物線y=-Y-2x+3的交點(diǎn)4即為所求，可得

—3x—3=-—2%+3,

化簡(jiǎn)，得

%2—%—6=0,

解得玉=3,%2=-2,

所以，點(diǎn)《的坐標(biāo)為（-2,3）,點(diǎn)2的坐標(biāo)為（3,-12）.

故答案為：存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-2,3）或（3,-12）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程、一元一次方程等,

靈活結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?湖北十堰?中考真題）已知拋物線”加+法+8過(guò)點(diǎn)/4,8）和點(diǎn)C（8,4）,與V軸交于點(diǎn)A.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,連接A5,BC,點(diǎn)。在線段AB上（與點(diǎn)不重合），點(diǎn)廠是。4的中點(diǎn)，連接陽(yáng)，過(guò)點(diǎn)。作

尸。交于點(diǎn)E,連接政，當(dāng)防面積是面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解;

（2）待定系數(shù)法求得直線5c的解析式為y=-尤+12,設(shè)E（m,f7+12）（4＜加＜8）,過(guò)點(diǎn)E作EG_L交A8

的延寬線于點(diǎn)G,則NG=9O。，則G的坐標(biāo)為（祖,8）,得出△BGE是等腰直角三角形，設(shè)。?,8）,則

AD^t,DG=m-t,證明~AFQsGDE,相似三角形的性質(zhì)得出m-t=4,則DG=AF,可得AFD^GDE,

當(dāng)面積是△包>產(chǎn)面積的3倍時(shí)，HP^-DF2=1-ADxAFx3,即￡>F2=12AD，在RtAD尸中,

DF2^AD2+AF2^t2+42,解方程即可求解；

【詳解】（1）解：：拋物線>=加+灰+8過(guò)點(diǎn)3（4,8）和點(diǎn)6（8,4）,

.J16Q+4Z?+8=8

??164。+80+8=4

b=-

2

解得：J

18

???拋物線解析式為丁=一1—+:龍+8；

o2

（2）?..拋物線尤+8與y軸交于點(diǎn)A,

82

當(dāng)x=0時(shí)，y=8,

A（0,8）,則OA=8,

；3（4,8）,

AAB//x,AB=4,

:點(diǎn)尸是。4的中點(diǎn)，則尸（0,4）,

AB=AF=4,

設(shè)直線BC的解析式為y=依+"

?.?點(diǎn)8（4,8）和點(diǎn)C（8,4）,

.J8=4左+6

??14=8%+6

解得：U12

???直線BC的解析式為y=-x+12,

設(shè)_E（辦—根+12）（4<m<8）,

如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作前，回交45的延寬線于點(diǎn)6,則NG=90。，則G的坐標(biāo)為（根,8）,

圖1

,GE=8—(—機(jī)+12)=機(jī)—4,BG=m-4

：.BG=GE,

???△5GE是等腰直角三角形，

設(shè),則AD=t,DG=m-t,

*.*DE1FD,

???NFDE=90。,

,：ZFAD=ZG=ZFDE=90°f

JZAFD=90。—ZADF=NGDE,

：.-AFDs工GDE

.AD_AF

^~GE~~DG

.％_4

??一

m-4m-t

即(一4)%=(-4)(f+4)

m>4

m=Z+4

即m-t=4,

：.DG=AF,

:.AFD—.GDE

：.DF=DE,

又DELDF,

???.DEF是等腰直角三角形，

—DEF的面積為產(chǎn)，

:△ADF的面積為歹

2

當(dāng)跖面積是面積的3倍時(shí)

1.1

BP-DF2=-ADxAFx3

22

即2=12旬

在RtAD尸中，DF2^AD2+AF2^t2+42

AD2+AF2=12AD

八八⑵

解得：f=6-2岔或t=2百+6（舍去）

AD（6-2A/5,0）；

5.（2023?湖南永州?中考真題）如圖1,拋物線y=0^2+bx+c（。，人c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（0,5）,頂點(diǎn)坐

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖1,直線。尸:y="x交所于點(diǎn)G,求的最大值；

【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式坐標(biāo)公式和待定系數(shù)法分別求出。，b,C值，即可求出拋物線解析式.

（2）利用拋物線的解析式可知道3點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線8尸的解析式，從而設(shè)G（%,T〃+5）,根據(jù)直線。P

的解析式y(tǒng)=上》可推出從