信號(hào)與系統(tǒng)-微分方程式的經(jīng)典解法(教學(xué)內(nèi)容)

§2.3微分方程經(jīng)典求解法1優(yōu)學(xué)課堂n階常系數(shù)微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order全響應(yīng)=齊次方程通解+非齊次方程特解（自由響應(yīng)）（受迫響應(yīng)）全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)（解齊次方程）（卷積法）

時(shí)域分析法（經(jīng)典法）變換域法（第四章拉普拉斯變換法）微分方程求解2優(yōu)學(xué)課堂n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述

一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則，均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。3優(yōu)學(xué)課堂

一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0

，響應(yīng)為時(shí)的方程的解，初始條件:齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式注意：重根情況處理方法（修改齊次解的形式）特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式（自由項(xiàng)）形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式，代入原方程，比較系數(shù)定出特解。經(jīng)典法完全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解4優(yōu)學(xué)課堂齊次微分方程特征方程特征根齊次解形式：（和特征根有關(guān)）齊次解線性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解5優(yōu)學(xué)課堂特征根齊次解的形式對(duì)于每一個(gè)單根k重實(shí)根k重復(fù)根線性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解給出一項(xiàng)6優(yōu)學(xué)課堂解：系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為求微分方程齊次解解：系統(tǒng)的齊次方程為例7優(yōu)學(xué)課堂自由項(xiàng)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解或當(dāng)a是k重特征根時(shí)當(dāng)a＋jb不是特征根當(dāng)a＋jb是特征根線性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解8優(yōu)學(xué)課堂如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

給定微分方程式這里為待定系數(shù)，將此式代入方程得到例：（1），自由項(xiàng)為，選特解函數(shù)式為9優(yōu)學(xué)課堂等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為10優(yōu)學(xué)課堂于是，特解為(2)

求出的齊次解和特解相加即得方程得完全解當(dāng)將其代入方程的右端，可求得自由項(xiàng)為很明顯，可選這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：11優(yōu)學(xué)課堂例：求微分方程的完全解解:齊次方程為

特征方程：特征根：該方程的齊次解為：此處，自由項(xiàng)即為激勵(lì)函數(shù)。其中中a=-1，與微分方程的一個(gè)特征根相同，因此特解為：線性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解12優(yōu)學(xué)課堂代入原微分方程得求得所以特解為完全解為代入初始條件求得所以有線性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解或?qū)憺?3優(yōu)學(xué)課堂

完全解中的齊次解稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng),特解稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng).特征方程根

i(i=1,2,…,n)稱為系統(tǒng)的“固有頻率”(或“自由頻率”)完全響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)上例中完全解的分解如下:14優(yōu)學(xué)課堂經(jīng)典法求解微分方程的流程將元件電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律用于給定電系統(tǒng)列寫微分方程齊次解（系數(shù)A待定）特解