2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法學(xué)案新人教B版選修1-2

PAGEPAGE12．2.2反證法1.了解反證法的基本思想．2.理解反證法的證明思路．3.會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題．反證法(1)定義由證明p?q轉(zhuǎn)向證明：﹁q?r?…?t，t與假設(shè)沖突，或與某個(gè)真命題沖突，從而判定﹁q為假，推出q為真的方法叫做反證法．(2)應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟①分清命題的條件和結(jié)論；②做出與命題結(jié)論相沖突的假定；③由假定動(dòng)身，應(yīng)用正確的推理方法，推出沖突的結(jié)果；④斷定產(chǎn)生沖突結(jié)果的緣由，在于起先所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真．1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)反證法屬于間接證明問題的方法．()(2)反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是演繹推理．()(3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出沖突．()答案：(1)√(2)×(3)√2．應(yīng)用反證法推出沖突的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件運(yùn)用()①結(jié)論的否定，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原命題的結(jié)論．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③答案：C3．命題“△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b”的結(jié)論的否定應(yīng)當(dāng)是()A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)≤bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≥b答案：B用反證法證明否定性命題如圖，設(shè)SA、SB是圓錐的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)．求證：AC與平面SOB不垂直．【證明】假設(shè)AC⊥平面SOB，因?yàn)橹本€SO在平面SOB內(nèi)，所以AC⊥SO.又SO⊥底面，所以SO⊥AB.因?yàn)锳B∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.故平面SAB∥底面．這與已知條件沖突，所以假設(shè)不成立．即AC與平面SOB不垂直．eq\a\vs4\al()(1)用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不行能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較詳細(xì)，適合運(yùn)用反證法．(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟1.已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求證：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.證明：假設(shè)a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因?yàn)閍d－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，則a＝b＝c＝d＝0，這與已知條件ad－bc＝1沖突，故假設(shè)不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.2．已知三個(gè)正數(shù)a，b，c，若a2，b2，c2成公比不為1的等比數(shù)列，求證：a，b，c不成等差數(shù)列．證明：假設(shè)a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，又a2，b2，c2成公比不為1的等比數(shù)列，且a，b，c為正數(shù)，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，從而a＝c＝b，這與a，b，c互不相等沖突．故a，b，c不成等差數(shù)列．用反證法證明唯一性命題求證：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行．【證明】已知：點(diǎn)P在直線a外．求證：過點(diǎn)P與直線a平行的直線有且只有一條．證明如下：因?yàn)辄c(diǎn)P在直線a外，所以點(diǎn)P和直線a確定一個(gè)平面，設(shè)該平面為α，在平面α內(nèi)，過點(diǎn)P作直線b，使得b∥a，則過點(diǎn)P有一條直線與a平行．假設(shè)過點(diǎn)P還有一條直線c與a平行，因?yàn)閍∥b，a∥c，所以b∥c，這與b、c相交于點(diǎn)P沖突，故假設(shè)不成立．即過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行．eq\a\vs4\al()證明“有且只有一個(gè)”的問題，須要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個(gè)”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出沖突，所以用反證法證其唯一性就較簡潔明白．已知a≠0，證明方程ax＝b有且只有一個(gè)根．證明：由于a≠0，因此方程至少有一個(gè)根x＝eq\f(b,a)，假如方程不止一個(gè)根，不妨設(shè)x1，x2是它的兩個(gè)不同的根，即ax1＝b，①ax2＝b.②①－②得a(x1－x2)＝0.因?yàn)閤1≠x2，所以x1－x2≠0，所以應(yīng)有a＝0，這與已知沖突，故假設(shè)不成立．所以，當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax＝b有且只有一個(gè)根．用反證法證明“至多”“至少”命題設(shè)f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1，1]，證明：當(dāng)b＜－2時(shí)，f(x)在其定義域內(nèi)至少存在一個(gè)x，使|f(x)|≥eq\f(1,2)成立．【證明】假設(shè)不存在x∈[－1，1]使|f(x)|≥eq\f(1,2)成立，則對(duì)隨意x∈[－1，1]都有－eq\f(1,2)＜f(x)＜eq\f(1,2)成立．當(dāng)b＜－2時(shí)，x＝－eq\f(b,2)＞1，所以f(x)在[－1，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(－1)＝1－b＋c＜\f(1,2)，,f(1)＝1＋b＋c＞－\f(1,2)))?b＞－eq\f(1,2)，與b＜－2沖突．故假設(shè)不成立，因此當(dāng)b＜－2時(shí)，f(x)在其定義域內(nèi)至少存在一個(gè)x，使|f(x)|≥eq\f(1,2)成立．eq\a\vs4\al()(1)對(duì)于結(jié)論中含有“至多”“至少”等詞語的命題，若干脆從條件推證，解題方向不明確，過程不行推想，不易證明，則可考慮用反證法證明．(2)留意“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”“都是”的否定形式分別為“一個(gè)也沒有”“至少有兩個(gè)”“不都是”．設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，求證：a2＋a＜2與b2＋b＜2至多有一個(gè)成立．證明：因?yàn)閍＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，因?yàn)閍＞0，b＞0，所以ab＝1.假設(shè)a2＋a＜2與b2＋b＜2同時(shí)成立，則由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；同理0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1沖突，故a2＋a＜2與b2＋b＜2至多有一個(gè)成立．1．解題、證題時(shí)要向著“正難則反”的思路進(jìn)行思索．2．反證法中的沖突(1)與假設(shè)沖突，與已知沖突．(2)與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明白的結(jié)論沖突．(3)與公認(rèn)的簡潔事實(shí)沖突．運(yùn)用反證法必需先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的．1．反證法是()A．從結(jié)論的反面動(dòng)身，推出沖突的證法B．對(duì)其否命題的證明C．對(duì)其逆命題的證明D．分析法的證明方法解析：選A．反證法是先否定結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出沖突，從而確定結(jié)論的真實(shí)性．2．用反證法證明命題“設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析：選A．“至少有一個(gè)”的反面是“一個(gè)也沒有”，故選A．3．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù))”時(shí)，應(yīng)假設(shè)__________．解析：a，b全為0的否定是a，b不全為0.答案：a，b不全為0(a，b為實(shí)數(shù))4．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是__________．解析：至少有兩個(gè)的否定是至多有一個(gè)．答案：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是()A．有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角B．有三個(gè)內(nèi)角是鈍角C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角D．沒有一個(gè)內(nèi)角是鈍角解析：選C．“最多有一個(gè)”的反設(shè)是“至少有兩個(gè)”．2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A．確定是異面直線B．確定是相交直線C．不行能是平行直線D．不行能是相交直線解析：選C．假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面沖突，故c與b不行能是平行直線．故應(yīng)選C．3．否定結(jié)論“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)解析：選D．自然數(shù)a、b、c中奇數(shù)、偶數(shù)的可能狀況有：全為奇數(shù)，恰有一個(gè)偶數(shù)，恰有兩個(gè)偶數(shù)，全為偶數(shù)．剔出結(jié)論即為反設(shè)．4．設(shè)x>0，則方程x＋eq\f(1,x)＝2sinx的根的狀況是()A．有實(shí)根 B．無實(shí)根C．恰有一實(shí)根 D．無法確定解析：選B．x>0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不行能同時(shí)取得，所以x＋eq\f(1,x)＝2sinx無實(shí)根．5．設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2解析：選C．若a，b，c都小于2，則a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6②，明顯①，②沖突，所以C正確．6．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP，用反證法證明時(shí)的假設(shè)為________________．解析：反證法對(duì)結(jié)論的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的對(duì)立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相沖突，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.正確依次的排列為________．解析：反證法的步驟是：先假設(shè)命題不成立，然后通過推理得出沖突，最終否定假設(shè)，得到命題是正確的．答案：③①②8．已知x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)假設(shè)應(yīng)為________．解析：“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒有”，故假設(shè)應(yīng)為“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)．答案：x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)9．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16a2－4(－4a＋3)＜0，,Δ2＝(a－1)2－4a2＜0，,Δ3＝4a2－4(－2a)＜0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＜－1或a＞\f(1,3)，,－2＜a＜0，))即－eq\f(3,2)＜a＜－1，所以當(dāng)a≥－1或a≤－eq\f(3,2)時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根．10．證明：對(duì)于直線l：y＝kx＋1.不存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y＝ax(a為常數(shù))對(duì)稱．證明：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝ax對(duì)稱，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(1)直線l：y＝kx＋1與直線y＝ax垂直；(2)點(diǎn)A、B在直線l：y＝kx＋1上；(3)直線AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))在直線y＝ax上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ka＝－1，①,y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，②,\f(y1＋y2,2)＝a\f(x1＋x2,2).③))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝3x2－1))得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2,⑤由④知x1＋x2＝eq\f(2k,3－k2)，代入⑤整理得ak＝3.這與①?zèng)_突．所以假設(shè)不成立，故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝ax對(duì)稱．[B實(shí)力提升]11．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是________(填序號(hào))．解析：若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出．若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，則a2＋b2＞2，故④不能推出．對(duì)于③，即a＋b＞2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2沖突，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.答案：③12．若a、b、c、d都是有理數(shù)，eq\r(c)、eq\r(d)都是無理數(shù)，且a＋eq\r(c)＝b＋eq\r(d)，則a與b，c與d之間的數(shù)量關(guān)系為__________，________．解析：假設(shè)a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理數(shù))，于是b＋m＋eq\r(c)＝b＋eq\r(d)，所以m＋eq\r(c)＝eq\r(d)，兩邊平方整理得eq\r(c)＝eq\f(d－c－m2,2m).左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，沖突，因此a＝b，從而c＝d.答案：a＝bc＝d13．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．若f(c)＝0，且0＜x＜c時(shí)f(x)＞0.(1)證明：eq\f(1,a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；(2)試用反證法證明：eq\f(1,a)＞c.證明：(1)因?yàn)閒(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2.因?yàn)閒(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的一個(gè)根，又因?yàn)閤1x2＝eq\f(c,a).所以x2＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≠c))，所以eq\f(1,a)是f(x)＝0的另一個(gè)根，即eq\f(1,a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)．(2)由第一問知eq\f(1,a)