2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第9章解三角形9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用9.3數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE1-9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用9.3數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：得到不行達(dá)兩點(diǎn)之間的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解實(shí)際問題中所涉及的名詞和一些術(shù)語，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．(難點(diǎn))2．能夠用正、余弦定理等學(xué)問和方法求解與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題．(重點(diǎn))1.通過應(yīng)用正、余弦定理求距離、高度、角度問題，培育直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).在實(shí)地測量工作中，常常遇到一些不便于干脆測量的情形．如圖是改革開放四十周年大型展覽的展館——國家博物館．現(xiàn)欲測量博物館正門柱樓頂部一點(diǎn)P離地面的高度OP(點(diǎn)O在柱樓底部)．在地面上的兩點(diǎn)A，B測得點(diǎn)P的仰角分別為30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米．思索：你能給出一種計(jì)算博物館正門柱樓頂部點(diǎn)P離地面的高度(即OP的長)的計(jì)算方法嗎？1．實(shí)際測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量上，依據(jù)測量須要適當(dāng)確定的線段叫做基線鉛垂平面與地面垂直的平面坡角坡面與水平面的夾角α為坡角坡比坡面的垂直高度與水平寬度之比坡比：i＝eq\f(h,l)仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)，視線與水平線的夾角2．方位角從指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角．如點(diǎn)B的方位角為α(如圖所示)．方位角的取值范圍：0°～360°.3．方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊． ()(2)兩個(gè)不行到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無法求得． ()(3)若P在Q的北偏東44°，則Q在P的東偏北44°． ()(4)如圖所示，該角可以說成北偏東110°. ()[提示](1)×.因?yàn)橐馊切?，至少要知道這個(gè)三角形的一條邊．(2)×.兩個(gè)不行到達(dá)的點(diǎn)之間的距離我們可以借助余弦定理求得．(3)×.若P在Q的北偏東44°，則Q在P的南偏西44°.(4)×.題圖中所標(biāo)角應(yīng)為方位角，可以說成點(diǎn)A的方位角為110°.[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知兩座建筑A，B與規(guī)劃測量點(diǎn)C的距離相等，A在C的北偏東40°，B在C的南偏東60°，則A在B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°B[因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.即北偏西10°.]3．某人從A處動(dòng)身、沿北偏西60°行走2eq\r(3)km到達(dá)B處，再沿正東方向行走2km到達(dá)C處，則A，C兩地的距離為________km.2[如圖所示，∠ABC＝30°，又AB＝2eq\r(3)，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2eq\r(3)×2×eq\f(\r(3),2)＝4，AC＝2，所以A，C兩地的距離為2km.]4．在相距2千米的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C兩點(diǎn)之間的距離．[解]如圖所示，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，∴由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠CBA)，得eq\f(2,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝eq\r(6)，即A，C兩點(diǎn)之間的距離為eq\r(6)千米.測量距離問題【例1】要測量對(duì)岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C，D兩點(diǎn)，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之間的距離．[思路探究]將題中距離、角度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．[解]如圖所示，在△ACD中，∠ACD＝75°+45°＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝45°+30°＝75°，剛∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\UP12(2)－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)，∴A，B之間的距離為eq\r(5)km.三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略(1)解決三角形中與距離有關(guān)的問題，若在一個(gè)三角形中，則干脆利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要依據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切危倮谜?、余弦定理求解?2)解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還須要求出哪些元素，敏捷應(yīng)用正、余弦定理來解決．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C點(diǎn)觀測燈塔A的方位角為65°.問貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是多少？[解]在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20×sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．答：貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是10eq\測量高度問題【例2】如圖所示，A、B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測得∠ABD＝45°，其中D點(diǎn)是C點(diǎn)到水平面的垂足，求山高CD.[解]由于D點(diǎn)為C點(diǎn)到水平面的垂足，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山高CD為800(eq\r(3)＋1)m.解決測量高度問題的一般步驟(1)畫圖：依據(jù)已知條件畫出示意圖．(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形．(3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何學(xué)問與平面幾何學(xué)問，留意方程思想的運(yùn)用．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500mD[由題意畫出示意圖，設(shè)塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)，負(fù)值舍去．]測量角度問題【例3】甲船在A處視察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船速度的eq\r(3)倍，問甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能在最短時(shí)間內(nèi)追上乙船？此時(shí)乙船行駛了多少海里？[解]設(shè)甲船沿直線AC與乙船同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成△ABC，如圖．設(shè)乙船速度為v海里/時(shí)，則甲船速度為eq\r(3)v海里/時(shí)，用時(shí)為th.由題意得BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，∠ABC＝120°.由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－eq\f(a,2)(舍去)或vt＝a，∴BC＝a海里．在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.故甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進(jìn)才能在最短時(shí)間內(nèi)追上乙船，此時(shí)乙船行駛了a海里．測量角度問題畫示意圖的基本步驟eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為________．eq\f(\r(21),14)[在△ABC中，AC＝20，AB＝40，∠CAB＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋402－2×20×40×cos120°＝2800，∴BC＝20eq\r(7)，∴cos∠ACB＝eq\f(202＋20\r(7)2－402,2×20×20\r(7))＝eq\f(2\r(7),7)，∴sin∠ACB＝eq\f(\r(21),7).由題意，得θ＝30°＋∠ACB，∴cosθ＝cos(30°＋∠ACB)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2\r(7),7)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(21),7)＝eq\f(\r(21),14).]求解速度問題[探究問題]1．某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)，從A到B，方位角是50°，距離是4km；從B到C，方位角是80°，距離是8km；從C到D，方位角是150°，距離是6km，試畫出示意圖．[提示]如圖所示：2．在探究1中，若投遞員想在半小時(shí)之內(nèi)，沿小路干脆從A到C，則此人的速度至少是多少km/h？[提示]如探究1圖，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos150°)＝eq\r(80＋32\r(3))，則此人的最小速度為v＝eq\f(\r(80＋32\r(3)),\f(1,2))＝8eq\r(5＋2\r(3))(km/h)．3．在探究1中若投遞員以24km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路干脆由A到C追投遞員，問在C點(diǎn)此人能否與投遞員相遇？[提示]投遞員到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小時(shí))＝30(分鐘)，追投遞員的人所用時(shí)間由探究2可知t2＝eq\f(4\r(5＋2\r(3)),16\r(7))≈0.275小時(shí)＝16.5分鐘．由于30＞16.5＋10，所以此人在C點(diǎn)能與投遞員相遇．【例4】如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)動(dòng)身沿一條直線馬路以50公里/時(shí)的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向?yàn)槠囆旭偡较?，汽車開動(dòng)的同時(shí)，在距汽車動(dòng)身點(diǎn)O的距離為5公里、距離馬路途的垂直距離為3公里的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車動(dòng)身想把一件東西送給汽車司機(jī)．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少公里？[思路探究]依據(jù)已知圖形構(gòu)造三角形，利用余弦定理建立速度與時(shí)間的函數(shù)求解．[解]作MI垂直馬路所在直線于點(diǎn)I，則MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝eq\f(4,5).設(shè)騎摩托車的人的速度為v公里/時(shí)，追上汽車的時(shí)間為t小時(shí)，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×eq\f(4,5)，即v2＝eq\f(25,t2)－eq\f(400,t)＋2500＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－8))eq\s\UP12(2)＋900≥900，∴當(dāng)t＝eq\f(1,8)時(shí)，v取得最小值為30，∴其行駛距離為vt＝eq\f(30,8)＝eq\f(15,4)(公里)．故騎摩托車的人至少以30公里/時(shí)的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了eq\f(15,4)公里．解決實(shí)際問題應(yīng)留意的問題(1)首先明確題中所給各個(gè)角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再依據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最主要的一步．(2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確運(yùn)用正、余弦定理解決問題．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°的方向上，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它接著沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，則此船的航行速度為()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí) B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí) D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)D[如圖，由題意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝75°－30°＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))海里，因此該船的航行速度為eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/時(shí))．]方案設(shè)計(jì)問題【例5】如圖，要測量山頂上的電視塔FG的高度，已知山的西面有一棟樓AC(該樓的高度低于山的高度)．試設(shè)計(jì)在樓AC上測山頂電視塔高度的測量、計(jì)算方案．[解]設(shè)在樓頂C看塔頂、塔底的仰角分別是α、β，從樓頂下B點(diǎn)看塔底的仰角為γ，測出BC＝h.如圖，在△BCF中，BC＝h，∠CBF＝eq\f(π,2)－γ，∠BCF＝eq\f(π,2)＋β，∠BFC＝γ－β.由正弦定理，得eq\f(BF,sin∠BCF)＝eq\f(BC,sin∠BFC)，即eq\f(BF,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))＝eq\f(h,sinγ－β)，所以BF＝eq\f(hcosβ,sinγ－β).在Rt△BEF中，有BE＝BFcosγ＝eq\f(hcosβcosγ,sinγ－β).在Rt△CGM中，CM＝BE，∠GCM＝α，則MG＝CMtanα＝eq\f(hcosβcosγtanα,sinγ－β).在Rt△CFM中，CM＝BE，∠FCM＝β，則MF＝CMtanβ＝eq\f(hcosβcosγtanβ,sinγ－β)＝eq\f(hcosγsinβ,sinγ－β).從而電視塔的高FG＝MG－MF＝eq\f(hcosγcosβtanα－sinβ,sinγ－β).方案設(shè)計(jì)問題的一般思路(1)明確目標(biāo)，讀題并畫出圖形，明確所求元素及其所在的三角形；(2)依據(jù)定理分析元素，在相應(yīng)的三角形中依據(jù)正弦定理或余弦定理分析所須要的元素，再確定哪些可求；(3)確定方案，依據(jù)分析，將確定要測量的量代入求解，得到結(jié)論．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])5．某中學(xué)校內(nèi)內(nèi)有一個(gè)“湖泊”，湖的兩側(cè)有一個(gè)音樂教室和一個(gè)圖書館，如圖，若設(shè)音樂教室在A處，圖書館在B處，為測量A，B兩地之間的距離，某同學(xué)選定了與A，B不共線的C處，構(gòu)成△ABC，以下是測量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測量∠A，AC，BC；②測量∠A，∠B，BC；③測量∠C，AC，BC；④測量∠A，∠C，∠B.其中肯定能唯一確定A，B兩地之間的距離的全部方案的序號(hào)是________．②③[①測量∠A，AC，BC，已知兩邊及對(duì)角，由正弦定理可知，三角形可能有2個(gè)解，不能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；②測量∠A，∠B，BC，已知兩角及一邊，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；③測量∠C，AC，BC，已知兩邊及夾角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；④測量∠A，∠C，∠B，知道三個(gè)角度值，三角形有多數(shù)多組解，不能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離．綜上，肯定能唯一確定A，B兩地之間的距離的全部方案的序號(hào)是②③.]學(xué)問：1．測量距離問題包括兩種狀況(1)測量一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)到另一個(gè)不行到達(dá)點(diǎn)之間的距離．(2)測量兩個(gè)不行到達(dá)點(diǎn)之間的距離．第一種狀況事實(shí)上是已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，用正弦定理即可解決(如圖1)；對(duì)于其次種狀況，首先把求不行到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形邊長的問題，然后把BC，AC轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的點(diǎn)與不行到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題(如圖2)．圖1圖22．測量底部不行到達(dá)的建筑物的高度問題．由于底部不行到達(dá)，這類問題不能干脆用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．3．測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最終將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．方法：運(yùn)用正、余弦定理解決實(shí)際問題的基本步驟(1)分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個(gè)或幾個(gè)三角形)．(2)建模：依據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型．(3)求解：利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解．(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問題，從而得出實(shí)際問題的解．1.如圖所示，在河岸AC上測量河的寬度BC，測量下列四組數(shù)據(jù)，較相宜的是()A．a(chǎn)，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γD[由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故選D.]2．臺(tái)風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40km處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2hB[設(shè)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)th，城市B處在危急區(qū)，