2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式第2課時基本不等式的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE6-第2課時基本不等式的應(yīng)用關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一利用基本不等式求參數(shù)范圍例1設(shè)a>b>c，且eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(m,a－c)恒成立，求m的取值范圍．[解析]由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0.∴原不等式等價于eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c,b－c)≥m.要使原不等式恒成立，只需eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c,b－c)的最小值不小于m即可．∵eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c,b－c)＝eq\f(a－b＋b－c,a－b)＋eq\f(a－b＋b－c,b－c)＝2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b－c,a－b)＝eq\f(a－b,b－c)，即2b＝a＋c時，等號成立，∴m≤4，即m的取值范圍為{m|m≤4}．[歸納提升]1.恒成立問題常采納分別參數(shù)的方法求解，若a≤y恒成立，則a≤ymin；若a≥y恒成立，則a≥ymax.將問題轉(zhuǎn)化為求y的最值問題，可能會用到基本不等式．2．運用基本不等式求參數(shù)的取值范圍問題在高考中常常出現(xiàn)，在解決此類問題時，要留意發(fā)掘各個變量之間的關(guān)系，探尋思路，解決問題．【對點練習(xí)】?若對隨意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,5)))))__.[解析]因為x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，所以有eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值為eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5).題型二基本不等式的實際應(yīng)用例2如圖所示動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)要使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？[分析](1)已知a＋b為定值，可用基本不等式求ab的最大值．(2)已知ab為定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．[解析](1)設(shè)每間虎籠長xm，寬ym，則由條件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy.方法一：由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，所以2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3.))故每間虎籠長4.5m，寬3m時，可使面積最大．方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3,2)y.因為x>0，所以9－eq\f(3,2)y>0，所以0<y<6，S＝xy＝(9－eq\f(3,2)y)y＝eq\f(3,2)(6－y)·y.因為0<y<6，所以6－y>0，所以S≤eq\f(3,2)·[eq\f(6－y＋y,2)]2＝eq\f(27,2).當(dāng)且僅當(dāng)6－y＝y(tǒng)即y＝3時等號成立，此時x＝4.5.故每間虎籠長4.5m，寬3m時，可使面積最大．(2)由條件知S＝xy＝24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l，則l＝4x＋6y.方法一：因為2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.))故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最?。椒ǘ河蓌y＝24，得x＝eq\f(24,y).所以l＝4x＋6y＝eq\f(96,y)＋6y＝6(eq\f(16,y)＋y)≥6×2eq\r(\f(16,y)·y)＝48.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16,y)＝y(tǒng)即y＝4時，等號成立，此時x＝6.故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小．[歸納提升]在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時應(yīng)留意的問題(1)設(shè)變量時一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域．(3)在定義域內(nèi)只需再利用基本不等式，求出函數(shù)的最值．(4)回到實際問題中去，寫出實際問題的答案．【對點練習(xí)】?如圖，要設(shè)計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(如圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告牌面積最小？[解析]設(shè)矩形廣告牌的高為xcm，寬為ycm，則每欄的高和寬分別為(x－20)cm，(eq\f(y－25,2))cm(x>20，y>25)，兩欄面積之和為2(x－20)·eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，∴廣告牌的面積S＝xy＝x(eq\f(18000,x－20)＋25)＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，整理得S＝eq\f(360000,x－20)＋25(x－20)＋18500.∵x－20>0，∴S≥2eq\r(\f(360000,x－20)×25x－20)＋18500＝24500.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(360000,x－20)＝25(x－20)時等號成立，此時有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝eq\f(18000,x－20)＋25，得y＝175.即當(dāng)x＝140，y＝175時，S取得最小值為24500.故當(dāng)廣告牌的高為140cm，寬為175cm時，可使矩形廣告牌的面積最?。`區(qū)警示易錯問題——忽視等號成立的條件或等號成立的一樣性例3已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為(B)A．1＋eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)[錯解]∵x>0，y>0，∴1＝x＋2y≥2eq\r(2xy)，∴8xy≤1.∴xy≤eq\f(1,8)，∴eq\f(1,xy)≥8.∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(8)＝4eq\r(2).故eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為4eq\r(2).[錯因分析]上述在求解過程中運用了兩次基本不等式：x＋2y≥2eq\r(2xy)，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(1,xy))，但這兩次取等號的條件需滿意x＝2y與x＝y(tǒng)，自相沖突，所以等號取不到．[正解]∵x＋2y＝1，x>0，y>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(x＋2y)(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))＝3＋eq\f(x,y)＋eq\f(2y,x)≥3＋2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,y)＝eq\f(2y,x)，即x＝eq\r(2)y時，等號成立)．∴x＝eq\r(2)－1，y＝1－eq\f(\r(2),2).故當(dāng)x＝eq\r(2)－1，y＝1－eq\f(\r(2),2)時，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)有最小值，為3＋2eq\r(2).[方法點撥]連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時，要留意各不等式取等號時條件是否一樣，若不能同時取等號，則連續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時要對原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱只蚝喜ⅲ钡饺〉忍柕臈l件成立．學(xué)科素養(yǎng)基本不等式求最值基本不等式在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大(小)值問題的有力工具．例4求函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋2),2x＋5)的最大值．[分析]把eq\r(x＋2)看成一個整體→函數(shù)轉(zhuǎn)化為用eq\r(x＋2)來表示→找出其內(nèi)在的形式特點→用基本不等式來處理．[解析]設(shè)t＝eq\r(x＋2)≥0，則x＝t2－2.于是y＝eq\f(t,2t2＋1)(t≥0)．當(dāng)t＝0時，y＝0.當(dāng)t>0時，y＝eq\f(1,2t＋\f(1,t))≤eq\f(1,2\r(2t·\f(1,t)))＝eq\f(\r(2),4).當(dāng)且僅當(dāng)2t＝eq\f(1,t)，即t＝eq\f(\r(2),2)時，y有最大值為eq\f(\r(2),4).由eq\r(x＋2)＝eq\f(\r(2),2)，解得x＝－eq\f(3,2).即x＝－eq\f(3,2)，y有最大值為eq\f(\r(2),4).[歸納提升]利用基本不等式求最值時，需滿意“一正，二定，三相等”的條件，假如形式不滿意，要首先化簡整理，使其變?yōu)闈M意條件的形式，進(jìn)而求得最值．課堂檢測·固雙基1．若x>2，則x＋eq\f(4,x－2)的最小值為(C)A．2 B．4C．6 D．8[解析]令t＝x－2，則t>0，x＋eq\f(4,x－2)＝t＋eq\f(4,t)＋2≥2eq\r(t·\f(4,t))＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(4,t)，即t＝2，x＝4時，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x－2)(x>2)的最小值為6.2．設(shè)x>0，y>0，x＋y＝4，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為__eq\f(9,4)__.[解析]∵x＋y＝4，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))(x＋y)＝eq\f(1,4)(5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y))，又x>0，y>0，則eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)時取等號)，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥eq\f(1,4)×(5＋4)＝eq\f(9,4).3．已知x>0，y>0，且x＋4y＝1，則xy的最大值為__eq\f(1,16)__.[解析]xy＝eq\f(1,4)x·4y≤eq\f(1,4)(eq\f(x＋4y,2))2＝eq\f(1,16)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y＝eq\f(1,2)時取等號．4．建立一