2024年中考數(shù)學暑假復習講義：幾何最值問題專項復習講義

第9章幾何最值問題

9.1簡單的最值問題

方法說明

“和最小”問題常見的問法是，在一條直線上找一點，使得這個點與兩個定點距離的和最小(“將軍飲馬”問題)。

方法歸納

⑴如圖，在直線I上找一點B，使得線段AB最小。過點A作ABL,垂足為B,則線段AB即為所求。

A*A

-------------1-----------0------------1

B

(2)如圖在直線1上找一點P,使得PA+PB最小。過點B作關于直線1的對稱點B；AB與直線1交于點P.此時P

A+PB最小，則點P即為所求。

⑶如圖，在/AOB的邊AO,BO上分別找一點C,D,使得PC+CD+PD最小。過點P分別作關于AO,BO的對稱點

E,F,連接EF,并與AO,BO分別交于點C,D,此時PC+CD+PD最小廁點C,D即為所求。

⑷如圖，在NAOB的邊AO,BO上分別找一點E,F,使得CE+EF+DF最小。分別過點C,D作關于AO.BO的對稱

點C,D,連接CD,并與AO,BO分別交于點E,F,此時CE+EF+DF最小，則點E,F即為所求。

典型例題

類型一兩點之間線段最短

例1如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=|x2+bx+c與坐標軸交于A(0,-2),B(4,0)兩點，直線BC:y=-2x+8

交y軸于點C。點D為直線AB下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為G,DG分別交直線BC,AB于

點E,F0

⑴求拋物線y=72+匕久+°的表達式。

⑵當GF=泄，連接BDF的面積。

(3)①H是y軸上一點，當四邊形BEHF是矩形時，求點H的坐標。、義I

②在①的條件下，第一象限有一動點P,滿足PH=PC+2,^APHB周長的最小值。\\/

思路點撥\/

(1)拋物線有2個系數(shù)待定才巴點A,B的坐標代入求解即可。____kJ__

(2)易得EF〃y軸，則△FBGs^ABO,已知GF的長度，易求得點G的坐標，代入求IX]

得點D與F的坐標，再求△BDF的面積就不難了。

(3)@當四邊形BEHF是矩形時根據(jù)矩形的性質易得點H和點B到EF的距離相等，進而得到點E,F,G的

坐標，再求點H的坐標。

②本題求△PHB周長的最小值，關鍵在于把△PHB的周長轉化為PC+PB+7,當點B.P和C這三點共線時,△P

HB的周長取最小值。

解題過程

解:⑴；拋物線y=^x2+bx+c過A(0,-2),B(4,0)兩點,-,n，解得

[b=一一..拋物線的表達式為y=”—白—2。

lc=-222

(2)VB(4,0),A(0—2),???OB=4,OA=2o

i

：GF_Lx軸,OA_Lx軸，，在RtAABO和RtAFGB中,tanNAB。=—=—,gp-=且,GB=1,OG=OB-

OBGB4GB

GB=4—1=3,.?.當x=3時,=:X9—|X3-2=-2,D(3,-2),GD=2,FD=GD-GF=2-|=|,.-.SBDF=/DF.

“13T3

BG=-x—x1——

224o

(3)①如圖，過點H作HM±EF于Mo

四邊形BEHF是矩形,，EH〃BF,EH=BF,ZHEF=ZBFEO

,/ZEMH=ZFGB=90°,.\△EMH△FGB(AAS),MH=GB,EM=FGO

???HM=OG,OG=GB=\0B=2O

?；A(0,—2),B(4,0),.?.直線AB的解析式為y=*2.

設E(a,-2a+8),F(a,V2a-2)o

由MH=BG得a-0=4-a,解得a=2,E(2,4),F(21),/.FG=1O

EM=FG,二4—yH=l,yH=3,H(0,3)?

②如圖,BH=70H2+OB?=V32+42=5。

VPH=PC+2,.\APHB的周長=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7。

PC+PB>BC,當點P在BC上時,PC+PB=BC的值最小，此時△PHB的周長最小。

???BC=<OC2+OB2=V82+42=4V5,.\APHB的周長的最小值為4V5+7。

例2如圖所示，拋物線與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,且OA=2,OB=4,OC=8拋物線的對稱軸與直線BC

交于點M,與x軸交于點N。

⑴求拋物線的解析式。

(2)若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P,C,M為頂點的三角形與△MNB相似?若存在，求出點P

的坐標，若不存在，請說明理由。

(3)D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達x軸上的點E,再走到拋物線對稱軸上的點F,最后返回

到點Co要使動點G走過的路程最短，請找出點E,F的位置，寫出坐標，并求出最短路程。

(4)點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰RtACQR?若存

在,求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由。

思路點撥

(1)先求點A.B.C的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可。

(2)由于△MNB為直角三角形，因此點P只能在點M的上方。因為NPMC是銳角，所以只需分兩種情況進行

討論求解。

(3)本題是典型的兩定兩動型最短路徑問題，可以參考本節(jié)“方法歸納”中第4點的方法。

(4)分為點Q在點C的左側或右側共2種情況進行討論，構造三垂直得到全等進行求解。

解題過程

解:⑴???OA=2,OB=4,OC=8,.?.點A,B,C的坐標分別為(-2,0),(4,0),(0,8)。

4a—2b+c=0ci=-1

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,則在6a+4b+c=0,解得b=2，，拋物線的解析式為y=-x2+2x

、c=8(c=8

+8。

⑵存在.理由如下。

①當NCPM=90。,以P,C,M為頂點的三角形與△MNB相似時,PC〃x軸,.?.點P的坐標為(1,8)。

②當NPCM=90°時，在RtAOBC中，設/.CBO-a,tana=tanZ.CBO=—=-=2,since=cosa=

OB4V5V5

在RtANMB中,NB=4-1=3,8M=弛=3V5O

cosa

22

同理可得MN=6,.-.BC=V8+4=4:b,；.CM=BC=MB=V5O

在RtAPCM中,NCPM=/OBC=a,PM="=堂=三,二PN=MN+PM=6+三=二。點P的坐標為（

sina—=222

>/5

(以)。

C衣p

/

A.

0\\N\x

綜上所述，點P的坐標為(1,8)或(1-y)。

⑶作點C關于函數(shù)對稱軸的對稱點C(2,8),作點D關于x軸的對稱點D,連接CD交x軸于點E,交函數(shù)的對

稱軸于點F。

:點G走過的路程為DE+EF+FC=D'E+EF+FC>C。,.?.點E.F為所求的點。

,/D為CO的中點,；?D(0,4),D'(0.-4)o

,-1C(0,8),直線C'D的解析式為y=6x-4,當y=6x-4=0時，解得x=|,當x=l時,y=2,點E,F的坐標分別為(|,

o),((1,2),.,.點G走過的最短路程為CD'=J(2—0)2+(8+4曰=?何。

①如圖，當點Q在y軸的右側時，過點Q作y軸的平行線交x軸于點N,交過點C的x軸平行線于點M。

ZMQC+ZRQN=90°,ZRQN+ZQRN=90°,.\ZMQC=ZQREO

ZANQ=ZQMC=90°,QR=QC,△ANQ^AQMC(AAS),QN=CM0

設點Q的坐標為3f2+2x+8),x=-x2+2x+8,解得%=上咨=甘，舍去)，，點Q的坐標為

石)1+V33)

②當點Q在y軸的左側時，同理可得，點Q的坐標為(上/,"=2)。

綜上所述，點Q的坐標為(手)牛)或(上汽,杵亙)。

舉一反三

[1]如圖，二次函數(shù)y=x2-（m+l）x+m（m是實數(shù)，且的圖象與x軸交于A,B兩點（點A在點B的

左側）,其對稱軸與x軸交于點C,已知點D位于第一象限，目在對稱軸上，ODJ_BD，點E在x軸的正半軸上Q

C=EC,連接ED并延長交y軸于點F,連接AF。

⑴求A,B,C三點的坐標（用數(shù)字或含m的式子表示）。

⑵已知點Q在拋物線的對稱軸上，當仆AFQ的周長的最小值等于爭寸，求m的值。

（備用圖）

【2】如圖,。0為等邊.△48C的外接圓，半徑為2,點D在劣弧.-48上運動（不與點A.B重合），連接DA,DB.

DC0

（1）求證:DC是乙MB的平分線。

（2）四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數(shù)嗎?如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由。

（3）若點M,N分別在線段CA,CB上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點D運動到每一個確定的位置，△

DMN的周長有最小值t，隨著點D的運動，t的值會發(fā)生變化，求所有t值中的最大值。

BC

9.2線段差最大問題

方法說明

“差最大”問題常見的問法是，在一條直線上找一點，使得這個點與兩個定點距離的差最大。

方法歸納

⑴如圖.當點A,B在直線1的同側時，連接AB并延長交直線1于點P,此時PA—PB|最大。

AA

?K

B、、、B

?A

1V1

⑵如圖.當點A,B在直線1的異側時，作點B關于直線I的對稱點B',連接AB并延長交直線1于點P.此時IPA-P

B|最大。

AA

*?、、"

/________u________/

.______________IP

BB

典型例題

例3在平面直角坐標系xOy中，把與x軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”。如圖，拋物線J:y

2

=|x-|x-2的頂點為D,交x軸于點A,B(點A在點B左側)，交y軸于點C。拋物線L2與Lx是“共根拋物線”,

其頂點為P=

(1)若拋物線L2經(jīng)過點(2,-12),求L2對應的函數(shù)表達式。

(2)當BP—CP的值最大時，求點P的坐標。

⑶設點Q是拋物線Li上的一個動點，且位于其對稱軸的右側。若△DPQ與^ABC相似，求其“共根拋物

線”Lz的頂點P的坐標。

(備用圖)

思路點撥

⑴先求出Li與x軸的交點，再用交點式表示L2的解析式，代入點(2,—12)的坐標即可。

⑵線段差最大問題，兩定點在直線的異側時，需要作對稱再連接。根據(jù)拋物線的對稱性得點B關于拋物線對

稱軸的對稱點為A,因此，連接AC與對稱軸交于一點，該點即為所求。

⑶根據(jù)已知條件可得△ABC的形狀大小不變，當△DPQ與4ABC相似時.進行分類討論，利用相似三角形對應

邊成比例求出對應邊的長，再得到點P的坐標。本題由于/PDQ不可能是直角，所以只需分為NDPQ或/DQP為

直角進行分類討論即可。

解題過程

解:⑴當y=0時,#-1%-2=0,解得X1=-l,x2=4,.\A(-l,0),B(4,0),C(0,-2)o

設拋物線L2的解析式為丫=2支+1)依-4)把(2,-12)代入得y=a(x+l)(x-4)化簡得-12=—6a,解得a=2,.?.拋物線的解

析式為.y=2(%+1)(%-4)=2%2-6%-8。

(2)拋物線L2與Li是“共根拋物線”,A(-l,0),B(4,0),拋物線Lx,L2的對稱軸是直線%=|,點P在直線%

=|上,；.BP=AP。

如圖.當點A,C,P共線時,BP—PC的值最大，此時點P為直線AC與直線x=|的交點。

???直線AC的解析式為y=-2x-2,P(|，一5)。

(3)由題意彳導.AB=5,CB=2V5,CA=V5,AB2=BC2+AC2,???乙ACB=90°,CB=2CA。

：y=#-1%-2=施-，-務?.頂點D的坐標為(|'-.

由圖可知，NPDQ不可能是直角。

①如圖，當ZDPQ=90。且4QDP-AABC時，黑=至=上

UrDCN

設Q(x-|x2-|x-2),則P(I#_)|x-2),.-,DP=)2_|x_2_(W)十一|久+1QP=x_I。

2

PD=2QP,■-2x-3=|x-|x+看解得,;xx=y,%2=|(舍去)"?P(|)7)。

②如圖，當/DPQ=90。且ADQP^AABC時，同理可得PQ=2PDO

由x-|=%?-3久+解得%i=|,%2=|（舍去）,P?

③如圖，當/DQP=90。且4PDQ^AABC時，瞿=嚷=

DQBC2

過點Q作QMXPD于乂廁4QDMsPDQ,...需=券=J

9.3造橋選址問題

方法說明

造橋選址問題來源于教材。如圖，A和8兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使

從A到B的路徑AMNB最短?（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）

我們把河的兩岸看成兩條平行線a和b（如圖），N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b,交直線a于點

M,這樣，上面的問題可以轉化為下面的問題：當點N在直線b的什么位置時,AM+MN+NB最?。?/p>

方法歸納

造橋選址問題主要有兩大類型，兩個定點位于定長線段運動路線的同側或異側。解決此類問題的方法常常是

利用平移（或構造平行四邊形）進行解決。

（1）如圖,a〃b,N為直線b上的一個動點,MNLb,交直線a于點M,求AM+MN+NB最小值。

A

如圖，過點A作AA，〃MN,且使得AAr=MN,,則四邊形AA'NM為平行四邊形,AM=AN。連接AB,與直線b

交于點N；當點N位于點N時,AM+MN+NB最小。

(2)如圖，長度不變的線段CD在直線1上運動，在直線1上找到使得AC+BD最小的CD的位置。分別過點A,

D作AA，〃CD,DA，〃AC,AA與DA交于點A；再作點B關于直線1的對稱點B；連接AB與直線1交于點D；當點D

位于點D時CD的位置即為所求。

BB

??

__一一一一?----r—，

CDCD\D'

典型例題

例4如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A,B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B,D

兩點,D(—4,5),且與直線DC父于另點E。

⑴求拋物線的解析式。

(2)F為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點Q,F,E,B為頂點的四邊形是

以BE為邊的菱形。若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由。

(3)P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M,連接ME,BP,探究EM+MP+PB是否存在最

小值。若存在，請求出這個最小值及點M的坐標；若不存在，請說明理由。

思路點撥

(1)由點D的坐標得到正方形的邊長，進而求出點B的坐標，再代入拋物線的解析式中即可。

(2)本題是兩定兩動型菱形存在性問題，可以先使得△BEF是以BE為邊的等腰三角形，再確定點Q的位置。

(3)本題屬于造橋選址問題的一種變式，由于PM長度固定，求EM+MP+PB的最小值可轉化為求EM+PB的最

小值，先平移再對稱即可。

解題過程

解:⑴：四邊形ABCD為正方形,D(-4,5),正方形ABCD的邊長為5,OB=AB-AO=5-4=1,.?.點B的坐標為

(1,0)。

???拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B,D兩點,?-.(、，解得［b=2拋物線的解析式為y=%2+2%-

(16-4o+c=5=-3

3。

(2)存在，理由如下。

【方法一】

①如圖，以點B為圓心，BE為半徑畫圓，并與拋物線的對稱軸交于點F。

分別過點F,E作FQ〃BE,EQ〃BF,且FQ與EQ交于點Q,則四邊形BFQE為菱形。

VB(l,0),E(2,5)?BE2=(2—I)2+(5-0)2=26。

設拋物線的對稱軸與x軸交于點G,則G(-l,0),.\BG=2o

在RtABGF中，F(xiàn)G=y/BF2-BG2=V26-4=V22,--.尸(一】V22),

當點F位于x軸下方時，同理可得F(-l--V22),

Q

A

②如圖，以點E為圓心，BE為半徑畫圓，并與拋物線的對稱軸交于點F。

分別過點F,B作FQ〃BE,BQ〃EF,且FQ與BQ交于點Q,則四邊形BEFQ為菱形。

設拋物線的對稱軸與DE交于點H，則H(-1,5),.\EH=3O

22

在RtAEFH中,FH=VEF-EH=V26-9=V17,.-.F(—1，5-V17)o

當點F位于DE上方時，同理可得F(-l，5+VT7)O

綜上所述，以點Q,F,E,B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形時，點F的坐標為

(-1，5+V17),(-］，5-V17),(-1,辰或(-1--V22),

:點D,E關于拋物線對稱軸對稱，六點E的坐標為(2,5),.二BE2=(2-I)2+(5-0)2=26。

2

???拋物線的解析式為y=%+2%-3,.?.對稱軸為直線x=-lo

設點F的坐標為(一l,m),點Q的坐標為(s,t)。

①當四邊形BEFQ為菱形時,BE=EF,.?.點B向右平移1個單位向上平移5個單位得到點E,點Q向右平移1

個單位向上平移5個單位得到點F。

，S+1=—1(m=5+V17__

t+5=zn解得｛s=-2，，點F的坐標為(一1，5+舊)或(一1,5-舊)。

26=(2+I)2+(m-5)2(t=±V17

②當四邊形BEQF為菱形時,BE=QE。

s—1=-1(s=°

同理可得t-5=m解得k=5士原，點F的坐標為(-1，值)或

26=(s-+(t—5尸1nl=+V22

(-L-V22)O

綜上所述，點F的坐標為(-1，5+V17),(-1，5-V17),(-1，息)或(-L-V22).

⑶存在，理由如下。

【方法一】

如圖，連接OM，作點O關于拋物線對稱軸的對稱點B；連接BMBE,則B,M=OMo

：P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線,垂足為M,.\PM=1O

VB(1,0),0(1,0),；.MP=OB=1,MP//OB,B'(—2,0),；.四邊形OBPM為平行四邊形,，PB=OM=B'M,AEM+MP+PB

=EM+1+B'M>1+B'EO

設BE與拋物線的對稱軸交于點M',則點M與M重合時EM+MP+PB最小。

點E的坐標為(2,5),直線B'E的解析式為y==(x+2)。

當x=-l時,y=3乂+2)=，..點M的坐標為(-1,今,；.EM+MP+PB的最小值為B"E+1=

444

J（—2—2尸+（0_+1=俯+1,.當點M的坐標為（-1-3時,EM+MP+PB取最小值且最小值為聞+

【方法二】

設拋物線的對稱軸交x軸于點夕（-1，0）,將點B，向左平移1個單位得到點夕’（-2,0）。

連接B"E,交函數(shù)的對稱軸于點M,過點M作MP±y軸廁點P.M為所求的點，此時EM+MP+PB為最小。

B'B"=PM=1,,且B'B'〃PM,；.四邊形B"B'PM為平行四邊形，B"M=B'P=BP,AEM+MP+PB=EM+1+M

B"N1+B"E,...當點E,M,B”三點共線時,EM+MP+PB最小，最小值為1+B"E的長度。

由點B",E的坐標得，直線B"E的解析式為y=+2）。

當x=-l時,y=久久+2）=點M的坐標為（-1,EM+MP+PB的最小值為B〃E+1=

【總結】此類造橋選址問題，可以先平移（構造平行四邊形）再對稱，也可以先對稱再平移（構造平行四邊形）。

至一反二

[4]如圖,拋物線y=-/+3久+4與x軸交于A,B兩點（點A位于點B的左側）,與y軸交于C點，拋物線的

對稱軸1與x軸交于點N,長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運動。

（1）直接寫出A,B,C三點的坐標。

⑵求CP+PQ+QB的最小值。

（3）過點P作PM±y軸于點CPM和小QBN相似時，求點Q的坐標。

9.4胡不歸問題

方法說明

如圖，在/AOB的邊0B上有一點P,當點P位于什么位置時,AP+kOP(0<k<l)最小?此類問題俗稱“胡不歸問

題

方法歸納

如圖，在0B的下方作射線0C，使得sinZBOC=ko過點P作PHXOC于H,當點A,P,H三點共線時,AP+kQP

(0<k<l)最小。

C

備注：①題目中要求mAP+nOP(m>n>0)的最小值時，常常進行提公因式，變形為根陰+的形式；②

題目中已知動點速度，要求動點運動時間最少時，常常把求時間的問題轉化為求路程的問題。

典型例題

例5如圖,已知點A(-8,0),點B(-5,-4),直線y=2x+m過點B交y軸于點C,交x軸于點D,拋物線y^ax2+^x

+c經(jīng)過點A,C,D,連接AB,ACO

(1)求拋物線的表達式。

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由。

(3)E為直線AC上方的拋物線上一點，且tanNECA=/求點E的坐標。

乂

ww

A\-/D°\*A\rVD°\

(備用圖)

(4)N為線段AC上的動點，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BN運動到點N,再以每秒

6個單位長度的速度沿線段NC運動到點C,又以每秒1個單位長度的速度沿線段CO向點O運動，當點P運動

到點O后停止，請直接寫出上述運動時間的最小值及此時點N的坐標。

思路點撥

(1)把點B的坐標代入直線解析式，再求出點C,D的坐標，用待定系數(shù)法求拋物線的表達式即可。

(2)觀察圖形可知△ABC為直角三角形，且/BAC=90。。只需根據(jù)點A,B,C的坐標求出三邊長，用勾股定理的

逆定理進行證明即可。

(3)由(2)的結論可得tanzBCX=^=因此只需作點B關于AC的對稱點F,連接CF并與拋物線交于一點

E,點E即為所求。

(4)由于速度是已知的，那么運動時間的最小值即可轉化為求BN+^NC的最小值，也就是我們說的胡不歸問

題。再觀察易得sin"CF=sinzFCX=嚼=唱因此只需過點N作CF的垂線段NM,當點B,N,M三點共線時運動

DC5

時間取最小值。

解題過程

解:⑴?.?直線y=2x+m過點B(-5,—4),交y軸于點C,.一4=2x(-5)+m,解得m=6,:.C(0,6)o

2

把A(—8,0),C(0,6)代入y=aX+^x+a得｛0=6?屋2+c,解得?二；.?.拋物線的表達式為y=^+

—x+6

4o

(2)△ABC為直角三角形，且/BAC=90。,理由如下。

2222222

:點A(-8,0),B(-5,-4),C(0,6),AAB=(-8+5)+(0+4)=25,AC=(-8+0)+(0-6)=100,BC=

(一5+0)2+(-4-6)2=125,AC2+AB2=BC2,：.AABC為直角三角形，且/BAC=90。。

(3)由(2)得AB=5,AC=10,.\tanZBCA=襄=|=tan/ECA,zBCX=zFCX.

如圖，延長BA至F,使AF=AB,連接CF廁點B,F關于點A對稱廁F(-11,4),BC=FCO

VZBAC=ZFAC=90。,；.ZBCA=/FCA,.?.點E為直線CF與拋物線的交點。

T"土=",解得卜=5,,直線CF的解析式為y=會+6。

y=+6

...由，解得(113500\

11，，點E的坐標為

y=-1xz2H?——％+?6r\1112V

y44

(4)【方法一】

如圖，過點N作NMXCF于點M,過點B作BM'XCF于點M：并與AC交于點N'o

???AB=S,CF=BC=V125=5V5,sin^ACF=sin^BCA=—=MN=—NC

BC55Q

22

???SBCF=^BF-AC=^CF-BM',BM'=失手==4V5,.-.CM'=A/BC-BM'=3圾

222

設M'(m'-m+6),；.CM'?=m+gm+)6—6)=|||m=45,解得利==33/5(舍去)。

B(-5,-4),直線BM，的解析式為y=

???A(-8,0),C(0,6),...直線AC的解析式為y=9+6。

4

(1163

y———x——(x=—6z八

???由32，解得V_3,.??點N的坐標為(-6，|)。

y^-x+6{y~2、2)

\4

由題可知，點P的運動時間t=-+^+—=BN+-NC+6=BN+MN+6>BM'+6^4^+6,.,.當點

1V515

N與N重合且點M與M重合時，點P的運動時間取最小值，最小值為4V5+6,此時點N的坐標為(-6，|)。

【方法二】

過N作MN_LBC于M,過F作FM'XBC交AC于N,連接FN,則FN=BN0

AB=5,BC=7125=5V5,???sm^BCA=—=MN=

BC5NCV5o

；C0=6,.?.點P的運動時間t=攀+矍+牛=BN+MN+6=FN+MN+62FM'+6。

當F,N,M三點共線時,t最小。

■.-AC=10,BC=5V5,sm^ABC=若="=器,；.FM'=4V5,.\點P運動時間t的最小值為4V5+6。

BC5BF

由直線BC的表達式y(tǒng)=2x+6得點D的坐標為(-3,0)。

FD=，(一11+3尸+42=4V5,點D與點M重合，則點N(即N)為直線FD與直線AC的交點。

由點A(—8,0)和C(0,6)得直線AC的表達式為y=；x+6.

4

由點F(-l1,4)和D(-3,0)得直線FD的表達式為y=-|x-|o

y=+6(x=—6z

4i夕解得第=3,???止匕時點N的坐標為(—6,。

!y=-2%-22

9.5阿氏圓問題

方法說明

如圖，在。O上有一點P,當點P位于什么位置時AP+k-BP最小?

此類問題俗稱“阿氏圓問題二當前后兩項的系數(shù)都不唯一時，常常提取公因式進行轉化。例如，3AC+2BC

=3伽+|呵。

方法歸納

⑴如圖,。0的半徑為r,且r=k-OB,點P為。0上的一個動點，求AP+k-BP的最小值。連接0B,并在0B上取

一點B',使得（OB'=kr?再連接OP,PB',!J!|AOPB'^AOBP,^.PB'=k-BP。所以AP+k-BP=AP+PB2AB;當點A,

PB三點共線時AP+k-BP最小。

AA

pP

⑵如圖,。O的半徑為r,且r=k-OB,點P為。0上的一個動點，求AP+k-BP的最小值。連接0B,并在0B的延

長線上取一點B1使得（OB'=什,,再連接OP,PB',!J1I|AOPB'-AOBP,^PB'=k-BP,

所以AP+kBP=AP+PB*AB;當點A,PB三點共線時,AP+kBP最小。

⑶阿氏圓定理(全稱：阿波羅尼斯圓定理)：如圖，一動點P到兩定點A,B的距離之比等于定比m:n,則P

點的軌跡是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓。這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿

波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，該圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓。

/U

萬一丁一7B

典型例題

2

例6如圖,已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象經(jīng)過點C(2,—3),且與x軸交于原點及點B(8,0)o

(1)求二次函數(shù)的表達式。

(2)求頂點A的坐標及直線AB的表達式。

(3)判斷△ABO的形狀，試說明理由。

(4)若點P為。。上的動點，且。O的半徑為2V2,一動點E從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段

AP勻速運動到點P,再以每秒1個單位長度的速度沿線段PB勻速運動到點B后停止運動，求點E的運動時間t

的最小值。

思路點撥

⑴根據(jù)待定系數(shù)法才巴點B,C,0的坐標代入解析式進行求解。

⑵進行配方或直接用頂點坐標公式得到點A的坐標，再用待定系數(shù)法求直線AB的解析式。

(3)根據(jù)拋物線的對稱性易得△ABO為等腰三角形，再觀察發(fā)現(xiàn)它可能還是等腰直角三角形。因此需要把3條

邊都求出來，再用勾股定理的逆定理進行判定即可。

(4)求點E的運動時間t的最小值，其實就是求^AP+BP的最小值。由于點P為。0上的一個動點，因此該問

題為阿氏圓問題。在0A上取一點D,使得。。=|r=&,再根據(jù)相似，把|AP轉化為PD,連接BD并與。0交于

一點，該點即為運動時間最小時的點P的位置。

解題過程

解:⑴；二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#))的圖象經(jīng)過原點,.,.c=0,.,.二次函數(shù)的表達式為y=ax2+bx(a力0)。

把B(8,0),C(2,-3)代入,得｛冷之二;，解得［匚十?.二次函數(shù)的函數(shù)表達式為y=評一2%。

(2):y=_2久=；(%—4乃一4,...拋物線的頂點A(4.-4)O

設直線AB的函數(shù)表達式為y=kx+m,把A(4,-4),B(8,0)代入，得｛曾:黑:不,解得｛一二匕，?直線AB的函數(shù)表

達式為y=x-8o

(3)△ABC是等腰直角三角形，理由如下。

【方法一】

如圖過點A作AF±OB于點F,則F(4,0),.\ZAFO=ZAFB=90°,OF=BF=AF=4,AAFO,AAFB均為等腰直

AABO的三個頂點分別是O(O,O),A(4,-4),B(8,0),；.OB=8—0=8,OA=y/OF2+FA2=7(4-0)2+(-4-0)2=

22222

4V2AB=VXF+BF=J[0-(-4)]2+(8—4<=4/,;.OA=OB,且OB=OA+AB,：.AABC是等腰直角三

角形。

(4)由題可知，動點E的運動時間為t=1AP+PBO在OA上取點D,使得OD=連接PD,???券=券=2。

APpnAO11

ZAOP=NPOD,△APOSPDO,...絲=吆=吧=2,PD==-AP,：.t=-AP+PB=PD+PB>BD

PDODOP22O

當點B,P,D三點共線時，t取最小值，最小值為BD的長。

如圖，過點D作DGXOB于點G,DG=OD-s譏45。=1,OG=OD-cos45°=1,.?.動點E的運動時間最小值

為t=BD=VDG2+GB2=JF+(8—1)2=5值

舉一反三

【7】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4,--4),B(0,4)兩點直線AC:y=-6交y軸于點

C。點E是直線AB上的動點，過點E作EF±x軸交AC于點F,交拋物線于點G。

(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達式。

⑵連接GB,EO,當四邊形GEOB是平行四邊形時,求點G的坐標。

⑶①在y軸上存在一點H,連接EH,HF,當點E運動到什么位置時，以A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形?求出此

時點E,H的坐標。

9.6費馬問題

方法說明

如圖，已知△ABC,在平面內(nèi)確定一點P,使得PA+PB+PC的值最小。此類問題稱為“費馬問題”，而所求的

點P稱為“費馬點二

備注：費馬問題是著名的幾何極值問題。費馬曾提出一問題征解：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個

三角形的三個頂點的距離之和為極小?！彼拇鸢甘牵寒斎切蔚娜齻€角均小于120。時，所求的點為三角形的正等

角中心；當三角形有一內(nèi)角大于或等于120。時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點。在費馬問題中所求的點稱為費

方法歸納

1.PA+PB+PC的值最小

如圖，已知△ABC,在平面內(nèi)確定一點P，使得PA+PB+PC的值最小。上

B+PC的值最小。/

2.mPA+PB+PC的值最小

如圖,已知△ABC,在平面內(nèi)確定一點P,使得V3PA+PB+PC的值最小。將4PAC繞點A逆時針旋轉120°

至小PAC,連接PP'O當點P在BC上時,V3PA+PB+PC的值最小。

備注：當系數(shù)不為1時，常?？紤]構造一個特殊的三角形，利用三角函數(shù)進行轉化。如以PA為腰構造一個頂

角為120。的等腰三角形，則底邊是PA的收倍；以PA為腰構造一個等腰直角三角形，則斜邊為PA的或倍。

典型例題

例7如圖1在4ABC中,NC=90o,NABC=30°,AC=l,D為AABC內(nèi)部的一動點(不在邊上)，連接BD,將線段BD

繞點D逆時針旋轉60。,使點B到達點F的位置；將線段AB繞點B順時針旋轉60。,使點A到達點E的位置，連接

AD,CD,AE,AF,BF,EF。

E

(1)求證:△BDA^ABFE0」

(2)?CD+DF+FE的最小值為___。/

②當CD+DF+FE取得最小值時，求證:AD//BFOA至~

(3)如圖2,M,N,P分別是DF,AF,AE的中點，連接MP,NP,在點D運動的過程中，請判斷NM

PN的大小是否為定值。若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由。

圖1

圖