2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：方程與不等式

中考專題復(fù)習(xí)之方程與不等式

知識梳理

1.一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=O（a,b,c是常數(shù)，aRO）.在解一元二次方程時，應(yīng)按方程的特點(diǎn)選擇方法，主要方法包括：①直

接開平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.一元二次方程的求根公式是：x=色等也02-4aC>0）.

（注意符號問題）

2.解分式方程的基本思想

將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，轉(zhuǎn)化的方法有兩種：①去分母法；②換元法.

3根的判別式

一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式為A=b2-4ac.

當(dāng)4>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即

_-b+y/b2-4ac_-b-y/b2-4ac

一，比2=一無一；

當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根%1=%2=-^；

當(dāng)△<（）時，方程沒有實(shí)數(shù)根.

4.一元二次方程兩根之間的關(guān)系

若一元二次方程ax2+bx+c0（ci豐0）的兩個實(shí)數(shù)根為犯,如則/+%2=-**1*2=5（注意兩根的和是g

2

的相反數(shù)）.以。xlt尤2為根的一元二次方程是X-（%1+X2~）X+%1%2=0.

5.不等式的解法

解一元一次不等式和解一元一次方程類似.不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不

等號的方向必須改變.

6.一元一次不等式組的解集

由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況見下表:

不等式組(a<b)圖示解集口訣

{x>bx>b大大取大

b

{x<bx<a小小取小

ab

x>aa<x<b大小、小大中間找

ab

(x<hI1.0小小、大大找不到

ab

典型例題

例1

不等式3x-5>5x-ll的正整數(shù)解的個數(shù)為().

A.OB.lC.2D.3

解析解不等式3x-5打x-11,得x<3，則其正整數(shù)的解有1,2,3,所以正整數(shù)解的個數(shù)為3個，選D.

例2

若巴普過=°，則x+y的值為().

A.-1或-7B.-7C.-1D.7

解析因?yàn)榱⑼凉?4)、0

所以x+3r0且|%2-9|+(y+4)2=0,

所以x六3且I，一9|+(y+4)2=0.

又因?yàn)橛忠?|+(y+4)2=0且|%2-9|>0,(y+4)2>0,

所以|%2-9|=0且(y+4)2=0,

所以x=±3,y=-4.

因?yàn)閤齊3,

所以x=3,

所以x+y=3+(-4)=-l.

故選C.

例3

某電器商家，計劃購進(jìn)電視機(jī)、洗衣機(jī)、冰箱總數(shù)為40臺，而現(xiàn)在商家打算總共用12萬元，各種家電價格

如下表所示.

家電種類進(jìn)價/(元/臺)售價/(元/臺)

冰箱50005480

洗衣機(jī)20002280

電視機(jī)25002600

(1)若總共用的資金不超過12萬，買進(jìn)的洗衣機(jī)和冰箱數(shù)量相同，電視機(jī)不超過洗衣機(jī)數(shù)量的三倍，請問商家

有幾種購買方式？

(2)針對上述3種電器，商家推出“滿1000元送50元家電消費(fèi)券一張，多買多送"在⑴的條件下，若三種電

器都售完，商家預(yù)計最多送出多少張消費(fèi)券？

解析(1)設(shè)購買冰箱的數(shù)量是x臺，則購進(jìn)洗衣機(jī)的數(shù)量是x臺，電視機(jī)的數(shù)量為(40-2x)臺，根據(jù)總共用的資

金不超過12萬和電視機(jī)不超過洗衣機(jī)數(shù)量的三倍列不等式組，即

r40-2x<3x

|5000x+2000x+2500(40-2z)&120000

解得：8WxW10.

因?yàn)閤是整數(shù)，

所以x可以為8,9,10.

有三種方案如下.

方案一：冰箱8臺，洗衣機(jī)8臺，電視機(jī)24臺.

方案二：冰箱9臺，洗衣機(jī)9臺，電視機(jī)22臺.

方案三：冰箱10臺，洗衣機(jī)10臺，電視機(jī)20臺.

⑵題中要求最多送出的消費(fèi)券，滿1000元送50元消費(fèi)券，多買多送，所以要根據(jù)售價總額來求出最大售

價，即可求出最多消費(fèi)券.設(shè)售價總額為y元，

由題意得,y=5480x+2280x+2600(40-2x)=2560x+104000

所以當(dāng)x=10時,y最大=2560x10+104000=129600,

故送出的消費(fèi)券的張數(shù)為：129600勺000=129.6句30(張).

則商家預(yù)計最多送出消費(fèi)券130張.

例4

某項(xiàng)工程，如果由甲'乙兩隊承包,2|天完成,需付180000元；由乙'丙兩隊承包,3：天完成，需付1500

00元；由甲、丙兩隊承包，2t天完成，需付160000元.現(xiàn)在工程由一隊單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪

個隊承包費(fèi)最少？

解析設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x,y,z天完成，

X912,x=4

仁+；總解得”6.

l+l=i(z=10

Vxx20

再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付U,V,W元，

(—(a+v)=80000

5(u=45500

{+w)—15000,解得v=29500,

20,,、.z-nnn(lV=10500

(cos+a)=16000

因?yàn)楸牪荒茉谝恢軆?nèi)完成，

所以丙隊舍去.

因?yàn)榧钻爢为?dú)承包的費(fèi)用：445500X4=182000)(元);

乙隊單獨(dú)承包的費(fèi)用：29500X6=177000(元).

又因?yàn)?77000<182000,

所以由乙隊承包費(fèi)用最少.

雙基訓(xùn)練

1.若x=6是關(guān)于x的方程3x+4m-30=0的解，則m的值為().

A.0B.lC.2D.3

2.一元一次方程學(xué)-芽=0解為().

Zo

A.OB.-1C.1D.2

3.已知代數(shù)式等與代數(shù)式|x-|的和為5,則x的值為().

A.4B.5C.6D.7

4.解方程號1—等=3時，去分母后，正確的結(jié)果是().

A.4x-l-15x+3=18B.4x-2-15x-3=18

C.4x-2-15x-9=18D.4x-2-15x+9=18

5.一件商品的原價是100元，經(jīng)過兩次提價后的價格為121元，如果每次提價的百分率都是x,根據(jù)題意，下

面列出的方程正確的是().

A.100(l+x)=121B.100(l-x)=121

C.100(1+x)2=121D.100(1-x)2=121

6.方程%2-5%+5=0的根為().

A5+V5B.XC.2D.3

222

7.已知m,n是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個相等的實(shí)數(shù)根，且滿足'+；=3,則m的值為(

).

A.-lB彳或—1理C彳D.-1

8.方程x2-6x+5=。的兩個根分別為.xi網(wǎng)廁衛(wèi)+包的值為().

%2

A.-B.--C.-D.-

5555

9.已知卜：:2是方程組(^~y=:的解,則m和n的值分別為().

(y—T{x—ny—b

A.1,4B.4,1C.2.-1D.-2,1

10.一元二次方程%2—5%+4=。根的情況為().

A.有一個根B.有兩個相等的實(shí)根

C.有兩個不相等的實(shí)根D.無解

11.已知實(shí)數(shù)a力b,且滿足（（a+I）?=3-3（a+1）,（b+1產(chǎn)=3-3（6+1）廁5+用勺值為（）.

A.23B.-23C.-2D.-13

12.用配方法解方程4%2-12%-1=0酒昉后的方程為（）.

X.（2x-3）2=0B,（2久+3）2=0

C.（2x-3）2=10D.（2x+3）2=10

13.若關(guān)于x的一元二次方程fc%2-9%+6=。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）.

A.kr0B.k*27

C.k加且k<4D.k>-

88

14已知（f（;+3）的值為0,則X的值為（）.

kl-3

A+3B.-3C.8D.-3或8

15.畢業(yè)班同學(xué)合影拍照，已知沖一張底片需要0.8元，洗一張相片需要0.35元，在每位同學(xué)得到一張照片,

共用一張底片的前提下，平均每人分?jǐn)偟腻X不超過0.5元，那么參加合影的同學(xué)人數(shù)為（）.

A.至多6人B.至少6人C.至多5人D.至少5人

（5x—1>3（x+1）

16.不等式組11V73'的解集是（）.

-X—1<7—x

2

A.x>2B.x<4

C.x<2或x>4D.2<x<4

17.關(guān)于x的分式方程士-六=1無解，則n的取值范圍為,

18.不等式2+?〉》+等的解是—.

DO

19.當(dāng)k取何值時,（（k+1）久2-4依+3=0分別有兩個不相等實(shí)數(shù)解？

20.某公司做電飯鍋促銷活動，按照進(jìn)價提高35%,然后“打九折，外送30元”的廣告，每個電飯鍋?zhàn)詈笕匀猾@

利200元，則每臺電飯鍋進(jìn)價是多少元?

能力提升

21.設(shè)二元一次方程4x+3y-12=0,5x+3y-18=0,x+y+k=0有公共解，則k的值是().

A.-3B.-2C.-1D.0

22.方程程-表=黑去分母后的結(jié)果為().

X.x2+3x-4=0B.x2—5x—2=0

C,x2+3%-2=0D.x2—E>x+4=0

2

23.如圖所示，已知拋物線%=-x+4x和直線y2=2久.我們約定：當(dāng)x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為

yi,y2,若.yi豐發(fā),取yi,y2中的較大值記為N;若％=乃,記M="=y2.

下列判斷:①當(dāng)X>2時,N=y2；

②當(dāng)x<0時,X值越大,N值越大；

③使得N大于4的x值不存在；

④若N=2廁x=l.其中正確的判斷有().

A.1個B.2個

C.3個D.4個第23題圖

2

24.關(guān)于方程ax-(3a+l)x+2(a+1)=0有兩個不相等的實(shí)根xx,x2，.且有-xtx2+x2=1-a,則a的

值為().

A.1B.-1C.1或-1D.2

25.已知方程|x—3k=5(x-fc)+1的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍為」

26.已知5%a+2b-5_4y3a-b-3=9是二元一次方程，那么a+3b=_.

9

27.若方程組二M廁3(x+y)-(3x-5y)的值是」

28.解不等式方程組：｛盤宣.

29.某物體從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)所用時間為7s,其運(yùn)動速度V(m/s)關(guān)于時間t(s)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.某學(xué)習(xí)小組

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：該物體前進(jìn)3s運(yùn)動的路程在數(shù)值上等于矩形AODB的面積.由物理學(xué)知識還可知：該物體前t(3<tW

7)s運(yùn)動路程在數(shù)值上等于矩形AODB的面積與梯形BDNM的面積之和.

根據(jù)以上信息，完成下列問題：

(1)當(dāng)3<tW7時用含t的式子表示V.

(2)分別求物體在0<t<3和3<t<7時運(yùn)動路程S(m)關(guān)于時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式；

并求該物體從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)中總路程的總時所用的時間.

第29題圖

30.某食品加工廠準(zhǔn)備研制加工兩種口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力.現(xiàn)在主要原料有

可可粉410克，核桃粉520克.計劃利用兩種主要原料，研制加工上述兩種口味的巧克力共50塊.加工一塊原味核

桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一塊益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克.加工一塊原味

核桃巧克力的成本是L2元，加工一塊益智核桃巧克力的成本是2元.設(shè)這次研制加工的原味巧克力x塊.

（1）求該工廠加工這兩種口味的巧克力有哪幾種方案？

⑵設(shè)加工兩種巧克力的總成本為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明哪種加工方案使成本最低.總成本最低

是多少元？

拓展資源

31.已知關(guān)于x,y的方程組『:③］二4J。其中-3至1,給出下面結(jié)論

⑦［J：］是方程組的解；②當(dāng)a=-2時，x,y的值互為相反數(shù)；③當(dāng)a=-1時，方程組的解也是方程x+y=4-a

的解;④若爛1,則iWyWk其中正確的是（）.

A.①②B.②③C.②③④D.①③④

32.已知關(guān)于x的方程kx2+（1--1=0,下列說法正確的是（）.

A.當(dāng)k=0時，方程無解

B.當(dāng)k=1時，方程有一個實(shí)數(shù)解

C.當(dāng)k=-11時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解

D.當(dāng)kH0時，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)解

33.若關(guān)于t的不等式組｛，工恰有三個整數(shù)解，則關(guān)于x的一次函數(shù)y=-a的圖像與反比例函數(shù)y

=等的圖像的公共點(diǎn)的個數(shù)是.

34.若x,y,z為整數(shù)，且滿足不等式「二'則x的最小值為」

35解方程組：［J溫層1。

1-5DCCDC6-10CCAAC11-16ACCCBD

17.-6<n<218.x<—

19.k>可亙或k<上/20.約為1070元

21-24BABC225.k<*6.827.16

fx=4

28.,,_8

1y~s

29.(1)V=2t-4;⑵S=1/吧7丫所用時間為6秒

30.(1)有三種方案.方案一：原味核桃巧克力18塊，益智核桃巧克力32塊；

方案二：原味核桃巧克力19塊，益智核桃巧克力31塊；

方案三：原味核桃巧克力20塊，益智核桃巧克力30塊.

⑵當(dāng)原味核桃巧克力20塊，益智核桃巧克力30塊時，總成本最低為84元

31.解方程組.+3y=4Ja(x=l+2a

(x-y=3a(y=1-a

因?yàn)?30a01,

所以