2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：圓的性質(zhì)及相關(guān)計算

中考專題復(fù)習(xí)之圓的性質(zhì)及相關(guān)計算

知識梳理

1.圓的定義

在同一平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫作圓.以點

O為圓心的圓寫作“。0”，讀作“圓O”.圓指的是封閉的曲線，而不是圓面.

2.點與圓的位置關(guān)系

設(shè)。O的半徑為r,則點P與。O的位置關(guān)系如下：

(1)點P在。O上:OP=r.

(2)點P在。O內(nèi):OP<r.

(3)點P在。O外:OP>r.

3.證明幾個點在同一個圓上的方法

要證明幾個點在同一個圓上，只要證明這幾個點與一個定點的距離相等.

4.確定圓的條件

(1)經(jīng)過一個已知點能作無數(shù)個圓.經(jīng)過一個已知點并確定圓的半徑同樣也能作無數(shù)個圓，這些圓的圓心構(gòu)成一

個圓.

(2)經(jīng)過兩個已知點A,B能作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.

(3)同一平面內(nèi)，不在同一條直線上的三個點確定一個圓.(過三個已知點作圓時要考慮圓的存在性和唯一性.)

5三角形的外接圓、外心的概念

經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫作三角形的外接圓，外接圓的圓心叫作三角形的外心，這個三角形叫作圓的內(nèi)接

三角形.

三角形的外心是內(nèi)接三角形三條邊的垂直平分線的交點.

對于不同的三角形，三角形外心的位置也不同，具體如下：

(1)銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部.

(2)直角三角形的外心在直角三角形的斜邊的中點上.

(3)鈍角三角形的外心在三角形的外部.

6.圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸.圓的對稱軸有無數(shù)條.

注意：對稱軸是直線，所以不能說圓的每一條直徑都是它的對稱軸.

7.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.

推論：

(1)平分弦的直徑也垂直于弦，并且平分弦所對的弧.(如果其中的弦為直徑，則不成立.因為兩條直徑總是互相

平分的)

(2)平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦.

(3)弦心距：圓心到圓的一條弦的距離叫作弦心距.

利用垂徑定理及其推論進行相關(guān)證明時，常需要作出弦心距，垂足為弦的中點.

8.圓心角、圓周角的相關(guān)定理及推論

圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么

它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

推論：(1)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。圓周角所對的弦是直徑.

(2)同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.

(其中同弧或等弧不能改為同弦或等弦.一條弦對應(yīng)的圓周角分布在弦的兩側(cè)，并且兩側(cè)圓周角之間互為補角)

在圓心角和圓周角的關(guān)系中，所有圓心角和圓周角的等量關(guān)系都要通過它們所對的弧進行轉(zhuǎn)換.9.圓的內(nèi)接四

邊形的概念

圓的內(nèi)接四邊形中，四邊形的對角互補.

圓的內(nèi)接平行四邊形為矩形.

圓的內(nèi)接梯形一定為等腰梯形.

10.弧長及扇形的面積、弓形的面積

⑴在半徑為r的圓上，圓心角a所對的弧長1的計算公式為1=黑.

loO

由上述弧長公式可推出：n=竺”,「=理.

nrmt

(2)如果扇形的半徑為r,圓心角為a,扇形的弧長為I,那么扇形面積的計算公式為:5=喏=衿

DOUZ

如果弓形的面積是S,弓形所在扇形的面積是S1,圓心角是a,扇形的兩條半徑與弓形的弦所形成的三角形

面積是S2,則當(dāng)a=180。時，S=Si；當(dāng)a<180°時,.S=S、-S?;當(dāng)a>180°時,S=S"S2.

11.圓錐及其相關(guān)計算

圓錐可以看作是一個直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作圓錐的側(cè)

面.無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條斜邊叫作圓錐的母線，另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫作圓錐的底面.如果記圓錐的高線

長為h,底面半徑為r,母線長為1,則/+產(chǎn)=p

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線長1(也表示圓錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑),弧

長是圓錐的底面周長C=2兀r,側(cè)面積S-Tirl.

側(cè)

圓錐的側(cè)面積與底面積的和叫作圓錐的全面積(或表面積)：Sx=nrl+nr2.

注意：不同公式中字母1的含義不同，須區(qū)分.

12.直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離，判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有以下兩種方法.

(1)代數(shù)法：把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，消去x或y整理成一元二次方程后，計算判別式/=b2-

4ac.

△>0^^線1與。C相交線1與。C有兩交點；

A=0聿線1與。C相切通線1與。C有一交點；

A<0漏線1與。C相離U直線1與。C無交點.

(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系.

d<r聿線1與。C相交通線I與0c有兩交點；

d=ru直線1與OC相切u直線1與。C有一交點;

d>r聿線1與。C相離鏡線1與。C無交點.

13.圓的切線方程

若圓的方程為好+必=產(chǎn)點p（Xo打）在圓上，則過P點且與該圓相切的切線方程為xox+yoy=r.

22

經(jīng)過圓（%-a）+（y-bY=產(chǎn)上一點P（Xo,y0）的切線方程為（等—。丫+（中一b?=r.

14.直線與圓相交

直線與圓相交時,若1為弦長，d為弦心距,r為半徑,則有產(chǎn)=d2+擲/=求弦長或已知弦長

求其他量的值時，一般用此公式.

15.圓與圓的位置關(guān)系

（1）圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.

（2）判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法如下：

①幾何法：設(shè)兩圓圓心分別為01,02,半徑為「1"2（匕豐「2）,則有

|。1。2I>71+72G）。1與19。2相離白肓4條公切線；

1。1。21=G+「2。。1與。。2外切怎3條公切線；

|ri-r2|<|。1。2|<7+「22=OO1與。。2相交u有2條公切線;

|OiO2|=\n-r2\O5與。。2內(nèi)切演1條公切線；

\OrO2\<|r!-r2|O。］與OO2內(nèi)含u有。條公切線.

②代數(shù)法：

方程組二:有兩組不同的實數(shù)解u兩圓相交；

有兩組相同的實數(shù)解U兩圓相切；

無實數(shù)解U兩圓外離或內(nèi)含.

典型例題

例1

矩形ABCD中,AB=Scm.BC=3有cm,點P在邊AB上，且BP=3AP,如果。P是以點P為圓心，PD為半徑的

圓，那么下列說法正確的是（）.

A.點B,C均在。P外B.點B在OP外、點C在。P內(nèi)

C.點B在。P內(nèi)、點C在。P外D.點B,C均在0P內(nèi)

解析若求點B,C與。P位置關(guān)系，只需要比較PD與PB,PC的大小即可.

如圖所示，因為ABCD為矩形，

所以AB=DC=8cm,BC=AD=3&cm.

因為AB=8cm,BP=3AP,

所以AP=2cm,PB=6cm,

例1圖

所以在RtAAPD中,DP=y/AP2+AD2=J22+（3V5）2=V49=7cm

同理:在RtAPCB中,PC=<PB2+BC2=9cm

因為PB<DP<PC,

所以點B在。P內(nèi)、點C在。P外.故選C.

例2

如圖所示，在△ABC中，點D是/BAC的平分線上一點,BDLAD于點D,過點D作DE〃AC,交AB于點E.求證:

點E是經(jīng)過A,B,D三點的圓的圓心.解析若要證明點E是經(jīng)過A,B,D三點的圓的圓心，換句話說也就是證明A

E=ED=EB即可.

因為AD平分/CAB,

所以/CAD=/DAB.

又因為DE〃AC,

所以NCAD=/ADE,

所以/DAB=/ADE,

例2圖

所以△ADE為等腰三角形，即AE=ED.

又因為BDXAD.

所以/DAB+/ABD=NADE+/EDB=90。.

又因為NDAB=/ADE,

所以NABD=/EDB,

所以△EBD為等腰三角形，即ED=EB,

所以AE=ED=EB,

所以點E是經(jīng)過A,B,D三點的圓的圓心.

例3

如圖所示，在RtAABC中,/ACB=9(F,AC=BC=1,將RtA4BC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30。后得到RtAADE，點B經(jīng)

過路徑為弧BD,則圖中陰影部分的面積是.

解析RtAABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)30。后得到Rt△ADE,,AB繞A

點旋轉(zhuǎn)形成扇形BDA,旋轉(zhuǎn)過程中RtAABC面積保持不變.

如圖所示，S陰影=S弱形人+S△八ED-S△人

因為SAED=SABC

所以S=S扇形BDA-

例3圖

_30TTX(V2)2_n

因為S梯形BDA

360

所以聯(lián)建.

例4

如圖⑴所示，在RtAABC中,NACB=9(r,AC=6cm,BC=8cm,P為BC的中點，動點Q從點P出發(fā)，沿射線PC方

向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓，設(shè)點Q運動的時間為ts.

(1)當(dāng)t=1.2時，判斷直線AB與。P的位置關(guān)系,并說明理由.

⑵已知OO為公ABC的外接圓，若。P與。O相切，求t的值

AAA

(2)(3)

例4圖

解析⑴如圖⑵所示，過P作PDXAB于D,若要判斷直線AB與。P的位置關(guān)系，比較PD與PQ的長度的大小

即可.

在RtAPDB中，因為P為BC的中點，所以PB=4cm.

因為NB=/B,NACB=9(r,NPDB=90。，

所以△PDBS/\ACB.所以瞳=言

因為ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,

所以AB=10cm,

所以處=空今U=芻

ACPD6PD

所以PD=2.4cm.

當(dāng)t=1.2時,PQ=2xl.2=2.4(cm).

因為PD=2.4cm=PQ,

所以直線AB與OP的位置關(guān)系為相切.

(2)如圖(3)所示，連接OP.

因為NACB=90。,所以AB為。0的直徑，所以0B=5cm.

因為P點在。0的內(nèi)部，所以。P與。0只可以內(nèi)切，即有|r0-r0|=OP.

因為0點和P點分別為AB和CB的中點，

所以在RtAABC中,OP=|XC=3,

所以\rp-r0\=OP為|2t-5|=3,

所以t=l或4.

雙基訓(xùn)練

1.下列正確說法的個數(shù)是().

(1)弧分為優(yōu)弧和劣弧兩種；

(2)直徑是弦；

(3)圓心角相同的扇形面積相等；

(4)長度相等的弧是等??；

(5)三點可以確定一個圓.

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.矩形ABCD中,AB=6,AD=8,AC與BD交于O,若以。點為圓心，使得矩形的四個頂點均在圓外，則圓的半徑

可能為().

A.4B.5C.6D.7

3.如圖所示,。O的半徑為4cm,且OE=EB,/BEC=30。廁CD的長為（）.DA

A.lcmB.2V15cm

C.V15cmD.V3cmB

4.已知A（2,0）,B（4,0）,以C點為圓心,半徑為2的圓經(jīng)過A,B兩點，則C點的坐標(biāo)為（）.

A.(2,V3)B.(4-V3)

C.(3,V3)D.(3,V3)ng((3<-V3)第3題圖

5.如圖所示,AB是。O的切線,B為切點,AO與。O交于點C,若/BAO=40。,則/OCB的度數(shù)為（）.

A.40°B.50°C.65°D.75°

6.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，油面寬AB為6dm,如果再注入一些油后，油面寬AB上升Id

m,油面的寬變?yōu)?dm,圓柱形油槽的直徑MN為（）.

A.6dmB.8dmC.10dmD.12dm

第S題圖第6題圖

7.如圖所示,AB,CD是。O的兩條直徑，且CE〃AB,下列說法不正確的是（）.

A.ZOCE=ZDOAB.弧DA與弧BC相等

C.弧BC與弧AE不相等D.若連接OE,則2/DCE=/DOE

第7題圖第8題圖

8.如圖所示,。O是正△ABC的外接圓,D為。O上一點，且BD=CD,則四邊形OBDC為（）.

A.正方形B.菱形C矩形D.任意四邊形

9.已知AB,CD是長度相等的兩條不同的弦，那么弧AB與弧CD所對應(yīng)扇形的面積分別記為S1和S2,兩

者的關(guān)系是（）.

A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不能確定

10.如圖所示,四邊形ABCD是菱形,NA=6（T,AB=2,扇形BEF的半徑為2,圓心角為60°,則圖中陰影部分的面

積是（）.

271V3

AA.------------B胃-遮

32

「V3

C.TE-------D.7T—V3

2

11.如圖所示,ABLCD,旦AB為。O的直任若AB=4廁弧CD與弧AD的長的和為（

第10題圖

。.|兀

A.兀/2B.兀C.2兀

第11題圖

12.如圖所示，圓錐形的煙囪帽底面半徑為15cm,母線長為20cm,制作這樣一個煙囪帽所需要的鐵皮面積至

少是（）.

A.1507Tcm2B.3007rcm2C.6007rcm2D.150cm2

13.將一個圓心角為90。的扇形圍成圓錐的側(cè)面，則該圓錐的側(cè)面積SM和底面積SM的關(guān)系為（）.

側(cè)=底B.S=2sLO'肉=3S底D.S肉=轉(zhuǎn)底

A$S側(cè)底

14.如圖所示，在。O中,NADB=NABC=60o,AB=l,貝!JSAABC=

15.如圖所示,AB是。O的直徑，點C,D都在OO上，連接CA,CB,DC,DB.已知ZD=30°,BC=3,,則AB的長是―

16.已知教學(xué)樓內(nèi)有2個教室A,B需要接入網(wǎng)線，教室A,B分別位于半徑為50m半圓弧的三等分的位置，

現(xiàn)要在樓道安裝路由器，樓道正好位于圓的直徑上，則最少需要網(wǎng)線—.

17.矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm..以點A為圓心，作半徑為8cm的。O,則B,C與。O的位置關(guān)系分別

是____-

18.如圖所示，在。O中,CD14B于E,AB為。O的直徑，其中CD=6cm,BD=5cm,則半徑為.

19.如圖所示，在。O中，直徑AB1CD于點E,乙40。=120。,則劣弧COD的度數(shù)為.

第18題圖

第19題圖第20題圖

20.如圖所示，四邊形ABCD中有一點O,且已知△40。與△40B為等腰三角形，AO=OD=OB,ZDAB=ZD

CB=80°,貝!!/CDO+NCBO=.

能力提升

21.已知任意一點A到OO上的點的最小距離為3cm,最大距離為11cm，則。O的半徑為（）.

A.8cmB.14cmC.4cm或7cmD.7cm

22如圖所示,。A與。B外切于點D,PC,PD,PE分別是圓的切線,C,D,E是切點，若NCED=xO,NECD=yO,0B的半

徑為R,則劣弧DE的長度是（）.

B兀(90-y)R

/I.

90,90

CTT(180-X)7?D"(180-y)R

,1801180

第22題圖

23.如圖所示，在0O中,E,F分別是弦AB和CD的中點,OE=OF,則下列說法中正確個數(shù)有（）.

（1）OE±AB;（2）OF±CD;（3）ZAEF=ZCFE;⑷ZOEF=ZOFE.

24如圖所示，點P是等邊三角形ABC外接圓OO上的點，在以下判斷中，不正確的是（）.

A.當(dāng)弦PB最長時,△APC是等腰三角形

B.當(dāng)小APC是等腰三角形時,PO,AC

C.當(dāng)PO_LAC時,/ACP=30。

D.當(dāng)NACP=30。時,△BPC是直角三角形

25.已知在。O中,半徑為2,弦.AB=2但弦AC=2值,，則NBAC為（）.

A.15°B.30°C.75°D.15°或75°

26.如圖所示,已知點A,B,C,D都在上，弧CD的度數(shù)等于84°,CA是/OCD的角平分線，則/ABD+NCAO=

D

第26題圖

27.已知在。0中上有A,B,C三點且AB=AC,圓心O到AB的距離為3,AB=8,則BC=—.

28.如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1,以頂點A,B為圓心，1為半徑的兩弧交于點E,以頂點C,D

為圓心，1為半徑的兩弧交于F,則EF的長為—.

29.如圖所示，已知OO中，直徑AB，弦CD,沿CD將弓形CAD翻折，點A與圓心O恰好重合,已知圓的半徑

為2,則月牙形(圖中實線圍成的部分)的面積是—.

第29題圖

30.如圖所示，三個小正方形的邊長都為1,則圖中陰影部分面積的和是.(結(jié)果保留兀)

拓展資源

31.已知0O中，如圖所示，動弦CD在弧AGB上滑動，且C與A,D與B不重合,E,F為AB上的點，弦CD的長度

為定值,EC±CD,FD±CD下列說法不正確的個數(shù)有().

(1)OE=OF;

(2)AE=FB;

(3)若過。點作直線OH1.CD于H,OH為定值；

(4)四邊形ECDF的面積不是定值.

A.OB.lC.2D.3第31題圖

32如圖所示有一四邊形形狀的鐵皮ABCD,BC=CD,AB=2AD,/ABC=NADB=90°

(1)求/C的度數(shù).

(2)以C為圓心，CB為半徑作圓弧BD得一扇形CBD,剪下該扇形并用它圍成一個圓錐的側(cè)面，若已知BD=

a,求該圓錐的底面半徑.

c

第32題圖

33.如圖⑴所示,△ABC中,CA=CB,點O在高CH±.(0D1C4于點D,(0E1CB于點E,以0為圓心,OD為半徑

作OO.

(1)求證:。0與CB相切于點E.

(2)如圖⑵所示，若。0過點H,且.AC=AB=6,,連接EH,求△的面積和tanZBHE的值

第33題圖

34如圖所示，已知AB是OO的直徑，點C在。0上，過點C的直線與AB的延長線交于點P,AC=PC,

乙COB=2乙PCB.

(1)求證:PC是。O的切線.

⑵求證:BC=|4B.

⑶點M是弧AB的中點,CM交AB于點N若AB=4,求MNMC的值.

第34題圖

第23講

1-5AABDC6-10CCBDB11-13CBD

V3/415.616.100m18.^14.17.B在圓內(nèi),C在圓外19.120。20.120°

21-25CBDCD

26.48°27.y28.V3-129.]+2V330.3TI/8

31.B

32.(1)因為AB=2AD,ZADB=90°

所以NDBA=30。

又因為NABC=90。

所以NDBC