2024年中考數(shù)學壓軸題突破：解三角形的四大模型（原卷版+解析）

壓軸熱點考點10解三角形的四大模型

火線100天壓軸突破—2024年【中考沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，三角形。12的頂點0（0,0）、4（6,0）、B（6,8）,C是邊的中點，過點。作8，。8交x軸

于點。，將,。CD沿尤軸向右平移，當點C的對應點恰好落在邊上時，此時點。對應點的坐標為（）

2.如圖，在，ABC中，/48=90。,/3=30。,￡）為2（；邊上一點，以點C為圓心，8長為半徑畫圓，C

與射線C4相交于點E.下列說法正確的有（）

①若。為BC的中點，則。與相切；

②若點E與點A重合，則C經(jīng)過AB的中點；

③若BD=AE,則DE平分A3；

④若被48平分，則BD=2AE.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，含30。的直角三角形的性質，勾股定理的應用，等腰三

角形的判定與性質，切線的判定，作出合適的輔助線是解本題的關鍵；設AC=1,求解BC=g,AB=2,

如圖，過C作b_LAB于/，可得當。為3C的中點時，半徑為走，則①正確.當點E與點A重合時，

2

如圖，可得CH=C4=C￡>=；AB,②正確.當點E在線段AC上時，CD=CE,不存在BD=AE；當點E

在射線C4上時，過點A作A〃_LEC,證明==證明VAFMMBFD,可得③正確.若DE被

AB平分，即DG=EG,此時點E必在射線C4上，過點。作DN〃AE,如圖2,同理可得ZXAEG絲△NDG,

可得④錯誤.

3.以ABC的頂點A為圓心，大于二分之一AC為半徑畫弧與AC,分別交于兩點，分別以這兩點為圓

心，以大于二分之一兩點間距離為半徑（半徑不變）畫弧，ZC=90°,NB=30。，AB=4,那么AO的長

4百5石

D.

3亍

4.如圖，在一。中有兩條互相垂直的直徑AB,CD,「是AC的中點，連接尸。，分別交筋，AC于點

連接尸3,分別交COAC于點尸,G,下列四個結論：①/BED=675。；②BE=AC；?CF2=FGFP；

其中正確的結論有（）

B.3個C.2個D.1個

()

6.如圖，在中，04=03=13,AB=24,以。為圓心，4為半徑作0,P為線段AB上動點（從A

運動到8）,過尸作：。的切線PC,切點為C,則尸C的取值范圍是（）

A.3<PC<3V17B.5<PC<13C.4<PC<3V17D.1<PC<13

7.如圖，已知點AB,C,。均在。上，AB為，。的直徑，弦AD的延長線與弦BC的延長線交于點E,

連接OC,OD,AC,CD,BD.則下列命題為假命題的是（）

A.若點。是的中點，則4。=班>

B.若OD_LAC,則NAOr>=NABC

C.若=則CB=CE

D.若半徑。。平分弦AC,則四邊形AOCD是平行四邊形

二、填空題

8.如圖，平行四邊形A3CD的對角線AC8。相交于點O,4OC的平分線與邊A8相交于點P,E是PD

中點，若A￡>=4,CD=6,則E。的長為—cm.

9.定義：如果以一條線段為對角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對角線正方形”.例如，圖①

中正方形ABCD即為線段AC的“對角線正方形”.如圖②，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

點P在邊48上，如果線段PC的“對角線正方形”有兩邊同時落在ABC的邊上，那么AP的長是—.

B

圖①圖②

10.如圖，已知。為等腰Rt^ABC的腰AB上一點，CO繞點。逆時針旋轉90。至ED,連接BE,CE,M

為距的中點，則當tanNED4=g時，器=_______.

2BC

11.如圖，E、F、G、反分別是四邊形A5CD邊AB,BC,CD,ZM中點，BH與AG、CE分別交于點

M和點M。/與AG、CE分別交于點。和點P,下列結論：

①,ABH與3CE的面積和可能等于四邊形ABCZ）面積的一半；

②四邊形AECG與四邊形跳I汨的面積和一定不等于四邊形ABCD面積；

③△ADG與，BCE的面積和不一定等于與CDF的面積和；

④AAHM、BEN、CFP、DG。的面積和一定等于四邊形MNP。的面積.

其中正確的是.（寫出所有正確結論的序號）

12.如圖，線段AC與線段交于點E,ZAEB=45°,ZA+ZD=180°,若AB=3亞,2。=40，0)=1,

則AC的長為

13.在等腰直角三角形ABC中，？390?,AB=2,。為BC的中點，作△ADC關于AC的對稱圖形ADC,

并連接￡>□'.

(1)的長為；；(2)sinZDAiy=

14.如圖，點。為的外心，過點。分別作A8、AC的垂線乙、&，交BC于D、E兩點.

A

(1)若/ZME=50°,則一區(qū)4c的度數(shù)為;

(2)過點。作。尸，BC于點孔BF=5cm,則VA￡>E的周長為.

三、解答題

15.(1)如圖1,ABC中，點。是邊BC的中點，若AB=6,AC=4,求中線4。的取值范圍.

解：：點。是邊BC的中點，BD=CD,

將ACO繞點D旋轉180°得到AEBD,

即得△ACD絲△￡?￡>,且A,D,E三點共線,

在，ABE中，可得AE的取值范圍是：

6—4<AE<6+4；

AD的取值范圍是：

(2)如圖2,在ABC中，/54C=90。，點。是BC邊的中點，NMDN=96°,的兩邊分別交AB

于點E,交AC于點凡連接斷.探究線段BE、CF、所之間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖2

16.如圖1,E是正方形A5co的邊BC上一個動點，連接的平分線石加交OC于點直線

MN1DE于點、N,交于點G,交BC的延長線于點尸，連接EG,CN.

⑴求證：FN=AB.

（2汝口圖2,若NC〃GE,連接8N并延長，交CD于點P.

①求證：BE=CE；

②求wCP的值.

17.如圖1,將RtABC（/A=90。）紙片按照下列圖示方式折疊：①將△海沿80折疊，使得點A落在BC

邊上的點M處，折痕為8D；②將讖及沿歷折疊，使得點3與點O重合，折痕為所；③將DEF沿DF

折疊，點E落在點E'處，展開后如圖2,BD、PF、DF、OP為圖1折疊過程中產(chǎn)生的折痕.

田|

⑵若落在DM的右側，求NC的范圍;

（3）是否存在—C使得DE與NMDC的角平分線重合，如存在，請求NC的大??；若不存在，請說明理由.

18.如圖①，已知線段°、b和NMON.如圖②，小明在射線?！鄙享槾谓厝?A=2a,AB^3a,在射線

0N上順次截取OC=2》，CD=3b.連接AC、8c和AC=4,BC=6.

圖①圖②圖③

（1）求BD的長；

（2）小明繼續(xù)作圖，如圖③，分別以點8、。為圓心，以大于;劭的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點尸、

Q,連接尸Q,分別交30、0。于點E、F.如果8C_LO￡?,求取的長.

19.【基礎鞏固】（1）如圖1,四邊形ABCD中，NBAC=ZACD,ZB=ZD,求證：四邊形ABCD是平行

四邊形.

【靈活運用】（2）如圖2,YABCD中，點E,F分別在邊AB,BC上，NEDF=/BAC,EF〃AC,EF

的延長線交。C的延長線于點G,若EF=3,DE=4,求AC的長.

【拓展提高】（3）如圖3,矩形ABC。中，AB=2,3C=4,點E,F分別在邊AB,BC上，tan/￡Z*=2,

EF〃AC,求AE的長度.

圖1圖2圖3

20.小張家住在一棟總高22層的單元樓的3層，他們家對面有棟不知高度的商業(yè)寫字樓，在兩樓之間還

有一間室內(nèi)體育館.小張站在自己家陽臺剛好只能看見寫字樓的頂端，他又上到樓頂發(fā)現(xiàn)又剛好只能看見

寫字樓與自己家同高度以上的部分，此時他測得俯視角為45。.己知小張所住單元樓層高3米，他想要知

道前面寫字樓的高度，于是他又去1樓測得單元樓距體育館的距離為20米，請你幫小張計算一下寫字樓

的高度.（結果保留01米，地面為1層）

思維方向：

相關知識:

相關方法:

標準呈現(xiàn):

壓軸熱點考點10解三角形的四大模型

火線100天壓軸突破——2024年【中考沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，三角形OA8的頂點。(0,0)、4(6,0)、8(6,8),C是。8邊的中點，過點C作CD交x軸

于點，將.QCD沿尤軸向右平移，當點C的對應點恰好落在AB邊上時，此時點。對應點的坐標為()

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理可得，OB=^O^+AB2=10，由C是的中點可得，OC=；OB=5,由題意可

得：△OC4AOAJB,可得型=/，即可求得OD,即可求解.

OBOA

【詳解】解：???0(0,。)、4(6,0)、5(6,8)

二OA=6,AB=8,AB^OA

''OB^yJo^+AB2=10

：C是。3的中點

OC=5,C(3,4)

,?CDVOB,

ZC>CD=Z(MS=90°

又：ZCOD=ZAOB

：.AOCD^AOAB,

.ODOCOD5

??=,艮mI」~

OBOA106

解得OD=年25

VC(3,4),3(6,8),A(6,0)

將，OCD沿x軸向右平移，當點C的對應點恰好落在AB邊上時，可知是將OCD沿x軸向右平移了3個

單位長度

此時點O對應的坐標為（^+3,0,即

故選：A

【點睛】此題考查了坐標與圖形變化-平移，相似三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握

相關基本性質，正確求得OD的長.

2.如圖，在.ABC中，/ACB=90。,N3=30。,。為3C邊上一點，以點C為圓心，CO長為半徑畫圓，C

與射線C4相交于點E.下列說法正確的有（）

①若。為BC的中點，則C與AB相切；

②若點E與點A重合，貝!|C經(jīng)過A3的中點；

③若BD=AE,則DE平分AB；

④若DE被A3平分，則=

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，含30。的直角三角形的性質，勾股定理的應用，等腰三

角形的判定與性質，切線的判定，作出合適的輔助線是解本題的關鍵；設AC=1,求解BC=?,A8=2,

如圖，過C作CPLAS于F，可得當。為3C的中點時，半徑為石，則①正確.當點E與點A重合時，

2

如圖，可得C〃=CA=CO=；AB,②正確.當點E在線段AC上時，CD=CE,不存在BD=AE；當點E

在射線C4上時，過點A作A"_LEC,證明4"=的=麗，證明VA/加二VBRD,可得③正確.若DE被

平分，即￡>0=欣?，此時點E必在射線C4上，過點。作。V〃AE,如圖2,同理可得△AEG0&VDG,

可得④錯誤.

【詳解】解：設AC=1,ZACB=90°,ZB=30°,

/.BC=+,AB=2,

如圖，過C作CPLAB于尸,

???點。到A5的距離。尸=吆8=且,

22

當。為的中點時，半徑為立，

2

\0。與48相切，①正確.

當點E與點A重合時，如圖，

2

二￡經(jīng)過的中點，②正確.

當點E在線段AC上時，CD=CE,

BC=-J3AC,

二不存在8D=AE；

當點E在射線C4上時，過點A作A",EC,

如圖1,?：CD=CE,ZACB=90°,

：.?ECD,為等腰直角三角形，

：.AM=AE=BD.

ZAMF=ZBDF,ZMAF=ZDBF,

NAFM^BFD,

AF=BF,

即DE平分AB,③正確.

若DE被AB平分，即DG=EG,此時點E必在射線C4上，過點。作DN〃AE,

如圖2,同理可得△AEG04NDG,

DN=AE,

,BD=也DN,

即8O=gAE,④錯誤.

故選：B.

3.以ABC的頂點A為圓心，大于二分之一AC為半徑畫弧與ACAB分別交于兩點，分別以這兩點為圓

心，以大于二分之一兩點間距離為半徑（半徑不變）畫弧，ZC=90°,NB=30。，AB=4,那么AO的長

是（）

A6R26046n573

3333

【答案】C

【分析】本題考查的是角平分線的作圖，勾股定理的應用，二次根式的化簡，根據(jù)角平分線的作圖可得

ZC4D=30%利用勾股定理和30。角的直角三角形的性質求出。C的長，再根據(jù)含30度角的直角三角形

的性質可得答案.

【詳解】解：在Rt^ACB中，48=30。,48=4

AAC=2,ABAC=60°

：.ZCAD=-ABAC=1x60°=30°

22

...在Rt^ACD中，AD=2CD

AC2+CD2=4CD2

/.3CD2=22

：.CD=正,

3

4J3

，AD=2CD=-^；

3

故選：C.

4.如圖，在O中有兩條互相垂直的直徑AB,CD,尸是AC的中點，連接PO,分別交AB，AC于點瓦”,

連接PB,分別交CD,AC于點RG,下列四個結論：?ZB￡D=67.5°；②BE=AC；③CF?=FGFP;

@DEEH=2OEAE.其中正確的結論有（）

【答案】A

【分析】本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等知識：由直徑

ABLCD得NA=NC=NP=45。，由尸是AC的中點得N8=ND=22.5。，可得/BED=67.5。,可判斷①；

連接。,3C,證明”所注得3E=3C=AC可判斷②；證明,PFES_CFG,可判斷③；在上截

取OK=OE,連接DK.證明一A￡"s_￡）￡K可判斷④.

【詳解】解：???直徑

ZAOC=ZBOD=ZDOE=90°.

OA=OC,

:.ZA=ZC=ZP=45°.

尸是4c的中點,

.?.々="=22.5°,

:./BED=675。,①正確.

連接班,3C.

根據(jù)對稱性易知。石=。尸，

/.ZBEF=ZOFE=NBCF=45°.

/EBF=/CBF,BF=BF,

/.BEF^BCF,

:.BE=BC=AC,②正確.

ZP=ZACD9

?.?OE=OF,/EOF=90。,

ZEFO=45。,

??.ZCFE=135°,

(BEFABCF,

：./CFB=NEFB,

：.ZCFG=ZEFG=67.5°,

?.?4=45。，

.?.ZPEF=67.5°=ZPFE,

：./PFE=NCFG,

:…PFEsCFG,

.EF_PF

*FG-CF5

EF=CF

:.CF2=FGFP,③正確.

在。5上截取OK=OE,連接。K.

R

DOLEK,

:.DE=DK,

NDKE=ABED=ZAEH=67.5°,

/.ZEDK=45°=ZA,

.?心AEHS-DEK,

.AEEH

…麗―沃’

二DE-EH=EK?AE=2OE-AE,④正確.

綜上分析可知，正確的共有4個.

故選：A.

【答案】C

【分析】利用平行線的性質，等腰三角形的性質可判斷嘉嘉的作法；利用三角形全等可判定淇淇的作法.

【詳解】9：CD//OB,

?.?CP=OC,

：./CPO=/COP,

：.NBOP=/COP,

故射線。尸平分/AOB,

故嘉嘉的作法正確;

OM=0N

ZDOM=/CON,

OD=OC

:?、DOMWCON(SAS),

ZMCP=ZNDPf

VOM=ON,OC=OD；

：.MC=ND,

/MCP=NNDP

?：\ZMPC=ZNPD,

MC=ND

:?MCM"PDN(AAS),

???CP=DP,

OC=OD

?.?］。尸二o尸，

PC=PD

I._PCO空PDO(SSS),

???NCOP=NDOP,

故射線0尸平分/AOB,

故淇淇的作法正確；

故選C.

【點睛】本題考查了角的平分線的基本作圖，平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性

質，熟練掌握平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵.

6.如圖，在Q4B中，OA=OB=13,AB=24,以。為圓心，4為半徑作O,。為線段AB上動點(從A

運動到3),過尸作。的切線PC,切點為C,則PC的取值范圍是()

A.3<PC<3V17B.5<PC<13C.4<PC<3V17D.1<PC<13

【答案】A

【分析】連接OP、OC,根據(jù)當時，線段PC最短，當P在A或B點時，線段PC最長，進而分別

求得PC的長，即可求解.

【詳解】解：連接。尸、OC.

尸。是。的切線，

OQVPQ.,

根據(jù)勾股定理知PC?=OP2-OC2，

.?.當POLAS時，線段PC最短，當尸在A或8點時，線段PC最長，

①當PO_LAB時，在RtAO3中，Q4=O3=13,AB=24,

，AP=12,

:.OP=5,

PC=y]OP2-OC2=752-42=3-

②當P在A點時，在M.AOC中，OC=4,04=13,

PC=AC=7OA2-OC2=A/132-42=3后，

PC的取值范圍是3VPC<3厲,

故選：A.

【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

7.如圖，已知點AB,C,。均在。上，為，。的直徑，弦AD的延長線與弦8C的延長線交于點E,

連接OC,OD,AC,CD,BD.則下列命題為假命題的是（）

A.若點。是AB的中點，則=

B.若OD_LAC,則NAOr>=NABC

C.若=則CB=CE

D.若半徑0。平分弦AC,則四邊形AOCD是平行四邊形

【答案】D

【分析】由圓的性質逐項判斷即可得到答案.

【詳解】解：點。是AB的中點，

AD=BD'

:.AD=BD,故選項A是真命題，不符合題意；

AB為。的直徑，

:.ZACB=90°,即AC_Z_3C,

若0D_LAC,則3C〃0D,

:.ZAOD=ZABC,故選項B是真命題，不符合題意；

若AS=A￡,貝（ABE是等腰三角形，

QAC1BC,

:.BC=CE,故選項C是真命題，不符合題意；

由半徑0。平分弦AC,不能證明四邊形A0CD是平行四邊形，故選項D是假命題，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了判斷命題的真假、圓的性質、等腰三角形的性質，熟練掌握圓的性質、等腰三角形的

性質是解題的關鍵.

二、填空題

8.如圖，平行四邊形ABCD的對角線ACBD相交于點0,一AOC的平分線與邊A3相交于點P,E是尸。

中點，若AD=4,CD=6,則E。的長為cm.

D

【答案】1

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、角平分線的定義、三角形中位線的判定與性質等知識點，根

據(jù)題意求得PB的長是解題的關鍵.

由平行四邊形ASCD可得AB//CD,03=,則ZCDP=ZAPD,根據(jù)。尸平分NADC可得ZCDP=ZADP,

從而可得NADP=NAPD,可得AP=AD=4,進一步可得尸3的長，再根據(jù)三角形中位線定理可得即可解

答.

【詳解】解：在平行四邊形ABC。中，

ABDC,AB=CD-6,。是的中點，

ZCDP=ZAPD,

OP平分/ADC,

NCDP=ZADP,

二ZADP=ZAPD,

?**AP=AD=4,

PB=AB-AP=6-4=2,

是尸￡＞的中點，。是8。的中點，

是oOPB的中位線，

/.EO=-PB=1.

2

故答案為L

9.定義：如果以一條線段為對角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對角線正方形”.例如，圖①

中正方形ABC。即為線段AC的“對角線正方形”.如圖②，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

點尸在邊A3上，如果線段PC的“對角線正方形”有兩邊同時落在ASC的邊上，那么AP的長是.

B

圖①圖②

【答案吟號

【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是

解題的關鍵.根據(jù)正方形的性質和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【詳解】解：當線段PC的“對角線正方形”有兩邊同時落在二ABC的邊上時，設正方形的邊長為X,則

PE=CE=PD=CD=x,BE=4—x,

丁PE//AC,

:,BPEs^BAC,

.PEBE

**AC-BC?

.x_4-x

??一=,

34

12

解得：x若,

12129

:,PD=——，AD=AC-CD=3——=—,

777

/.AP=VAD2+PD2=—,

7

故答案為：—■

10.如圖，已知。為等腰RtA43C的腰43上一點，CO繞點。逆時針旋轉90。至￡￡),連接CE,M

為班的中點，則當tan/ED4=:時，器=_______.

2BC

c

【答案】1/0.25

【分析】連接人石，過點石作于點R根據(jù)旋轉的性質可得CD=￡Z),/CDE=90。,推出

4F)AF)11

ZEDA=ZACD,貝iJtanNA8=K=F=7,根據(jù)三角形的中位線定理可得。M二套人石，通過證明

ACAB22

ACD^.FDE,可推出，ABCs莊4,得出AE=；BC,即可求解.

【詳解】解：連接AE,過點E作于點八

CO繞點。逆時針旋轉90。至ED,

:,CD=ED,/CDE=90°,則NOM+NEDA=90。，

???為等腰直角三角形，

JAC=AB,ZBAC=90°,

：.NOM+ZACD=90。，

：.ZEDA=ZACD,

tan/EDA=—,

2

“八ADAD1

??tan^ACD-----------——,

ACAB2

.,.點。為48中點，

為BE的中點，

/.DM=-AE,

2

'：ZEDA=ZACD,NF=NCAD,CD=ED,

:.iACD=ttFDE,

EF=AD=-AB,DF=CA

2f

DF=AB,

：.DF-AD=AB-AD,^AF=BD,

則A尸=1A5=』AC,

22

VEF=-AB,ZF=ZBAC，AF=-AC,

22

IABSaFEA,

：.AE=-BC,

2

DM=-AE=~BC,即3^」，

24BC4

故答案為：—.

4

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，旋轉的性

質，解題的關鍵是掌握全等三角形對應邊相等，相似三角性質對應邊成比例.

11.如圖，E、F、G、5分別是四邊形邊AB,BC,CD,中點，與AG、CE分別交于點

/和點M與AG、CE分別交于點。和點P,下列結論：

①，ABH與5CE的面積和可能等于四邊形A3CD面積的一半；

②四邊形AECG與四邊形跳7汨的面積和一定不等于四邊形ABC。面積；

③△APG與，BCE的面積和不一定等于，A5”與.8尸的面積和；

@AAHM,BEN、CFP、DG。的面積和一定等于四邊形MNP。的面積.

其中正確的是.（寫出所有正確結論的序號）

【分析】①當四邊形ABCD是矩形時，分別一與的面積和與四邊形A5CD面積，可作判斷；②

連接AC,根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積進行判斷即可；③根據(jù)②中的結論可計算SaG+SMC￡=g><

四邊形ABCD面積，從而可作判斷；④根據(jù)四邊形的面積和與差可作判斷.

【詳解】解：①當四邊形ABC。是矩形時，如圖1,設AZ)=2a,AB=2b,

ABH與3cE的面積和=；分26+；＞2。=。6+"=2岫，

四邊形A5CD面積=2a-2b=4ab,

此時班/與,BCE的面積和等于四邊形ABC。面積的一半；故①正確;

②如圖2,連接AC,

是AB的中點，G是CD的中點,

^△ACE=S^BCE=2SAABC，^/\ADG=^AACG=/^AACD，

...四邊形AECG的面積=S3c+SAACG《SBC+京,。=1(^+5^)=^四邊形ABCD面積,

同理可得：四邊形班的面積=gx四邊形ABC。面積，

.,.四邊形AECG與四邊形BFDH的面積和=四邊形ABCD面積；故②不正確；

③由②知：SBCE=3SABC，^/\ADG=TS/\ACD，

^/\ADG+S^BCE=]SAACD+四邊形ABCD面積,

同理可得：一AB"與二CDP的面積和=gx四邊形ABC。面積,

.??△AOG與，BCE的面積和等于aAB"與C"的面積和；故③不正確;

④**S四邊形AECG-S四邊形MNPQ=S四邊形AENM+S四邊形CPQG，

-

2S四邊形鈣CD一S四邊形MVP0=S/\ABH+SADCF1AHM+^ABEV+^ACFP+^ADGQ)，

^AABH+S&DCF=-S四邊形4gcD，

:.AAHM、BEN、CFP、DG。的面積和一定等于四邊形MNP。的面積.故④正確

故答案為：①④.

【點睛】此題考查了四邊形和三角形的面積，有難度，掌握三角形中線平分線三角形的面積是解此題的關

鍵.

12.如圖，線段AC與線段3D交于點E,ZAEB=45°,ZA+ZD=180°,若AB=3亞,BD=4亞,0)=1,

【分析】分別過點4。作4欣，8。。z，4（?,垂足分別為河,",則/AMB=/4JWE=/CM）=NEVO=90。,

可得一AME,—DEN均為等腰直角三角形，再由二ABAfsCDN,可得AM=3叵CN,BM=3垃DN,設

DN=EN=x,CN=y,則EM=AM=3五、8M=3岳，DE=42x，AE=&AM=6y,再由勾股定理

可求出x,y的值，即可求解.

【詳解】解：如圖，分別過點4。作AM，8￡>,DV_LAC,垂足分別為M,N,則

ZAMB=ZAME=NCND=NEND=90°,

：.ZBAM+ZB=90°,

ZAEB=NCED=45°,ZBAC+ZCDB=180°,

,.NB+NC=90。，AME,。石N均為等腰直角三角形,

??/BAM=/C,AE=?AM,DE=?DN,

??ABMs?DN,

.BMAMAB38_36

DNCNCD1

\AM=3也CN,BM=36DN,

設DN=￡N=x,CN=y,則EM=AM==3后，DE=Cx，

\AE=yflAM=6y,

：DN?+CN?=CD?,BD=4形,

.fx2+y2=l

3A/2X+3后y+42x=4A/2

7

x=——

25x=l

解得：(舍去),

24，y=o

y——

25

AC=AE+EN+CN=6y+x+y=7.

故答案為：7

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，根據(jù)題意得到，ABMS'SV是解

題的關鍵.

13.在等腰直角三角形A2C中，？B90?,AB=2,。為BC的中點，作△ADC關于AC的對稱圖形▲A/J'C,

并連接

(1)DD'的長為；；(2)sin/ZMD=.

【答案】A/2-/0.6

【分析】(1)由軸對稱的性質得到NDC4=NOC4=45。，D'C=DC,ZD'CD=90°,推出再利用勾股定

理即可求解;

(2)過點D作DFYAD'于點F.利用勾股定理求得AD=AD'=下,利用面積法得到DD-AE=AU-DF,

再根據(jù)正弦定義求解即可.

【詳解】解：(1)???在等腰直角三角形ABC中，?B90?,

：.ZBCA=45°.

AADC與aADC關于AC對稱,

ZD,C4=ZDC4=45°,D'C=DC,：.ZD'CD=90°.

：￡>為3C中點，AB=BC,

：.CD=1.

DD'=VCD,2+CD23=V2；

故答案為：

(2)過點。作。尸JLAO'于點?

AADC與.ADC關于AC對稱,

/.AC垂直平分DD'.

'：ZDCA=45°,

CE=DE=—.

2

由勾股定理求得AD=AD'=yjBD2+AB2=Vl2+22=BAC=理=2-J2，

,.'AE=2也與浮.

根據(jù)三角形面積公式得9?AE=A/y?。戶,

DFDFDD'AE

sin/DAD'=——2

AD而一AO。5-5

3

故答案為：—.

【點睛】本題考查了折疊有性質，等腰直角三角形的判定和性質，解直角三角形，解題的關鍵是靈活運用

所學知識解決問題.

14.如圖，點。為么5。的外心，過點。分別作A3、AC的垂線/1、，2，交8。于。、E兩點.

(2)過點。作OF_LBC于點孔BF=5cm,則VADE的周長為.

【答案】115°10cm

【分析】(1)由線段垂直平分線的性質得/54D=NABC,ZCAE=ZACB,從而有NAOE=2NABC,

ZAED=2ZACB,由三角形內(nèi)角和定理NADE+NAEDMIBO。，從而由/54。=/54。+/6石+/八4￡1可

求得結果；

(2)連接。4、OB、OC,由已知可得點。在線段BC的垂直平分線上，則可得BC=10cm；再利用線段

垂直平分線的性質得的=血，EA=EC,最后可求得周長的值.

【詳解】(1):點。為_AfiC中的外心，《LAB,/21AC,

乙、4是AB、AC的垂直平分線,

/.AD=BD,EA=EC,

：.ZBAD=ZABC,ZCAE=ZACB,

：.ZADE=ZBAD+ZABC=2ZABC,ZAED^ZCAE+ZACB^2ZACB,

NDAE+ZADE+ZAED=180°,

二ZADE+ZAED=180°-50°=130°,

/.ZBAD+ZCAE=?|(ZADE+ZA￡r>)=65°,

ABAC=ABAD+NCAE+NDAE=65°+50°=115°；

故答案為：115。；

(2)連接。4、OB、OC,

??F是A3邊的垂直平分線，4是AC邊的垂直平分線,

AOA=OB,OA=OC,

：.OB=OC,

點O在線段BC的垂直平分線上,

OF±BC,

BC=2BF=10cm,

*.*AD=BD,EA=EC,

???丫5￡的周長=>10+4￡+。石=5。+。舊+后。=3。=10011.

A

故答案為：10cm.

【點睛】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的判定與性質，等腰三角形的性質等知識，掌握線段

垂直平分線的性質與判定是關鍵.

三、解答題

15.(1)如圖1,ABC中，點。是邊BC的中點，若AB=6,AC=4,求中線AO的取值范圍.

解：：點。是邊BC的中點，，即=8,

將ACD繞點D旋轉180°得到AEBD，

即得絲△￡%>,且A,D,E三點共線，

在，ABE中，可得AE的取值范圍是：

6—4<AE<6+4；

AD的取值范圍是：

(2)如圖2,在ABC中，/54C=90。，點。是BC邊的中點，ZMDN=90°,的兩邊分別交

于點E,交AC于點孔連接EF.探究線段BE、CF、E尸之間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖2

【答案】(1)1<AD<5；(2)見解析

【分析】(1)結合解題步驟及求得不等式組的解集，確定的取值范圍；

2

(2)將■繞點D旋轉180。得到「.CDG,連接尸G,即得BDE/oCDG,從而得出BE=CG,ZB=ZDCG,

ED=DG,然后結合線段中垂線和直角三角形的性質分析推理.

［詳解】解：(1)V2CDSEBD,

：.AD=DE

：.AE=2.AD,

又：6-4<鉆<6+4；

2<2AD<10,即1<AD<5,

故答案為：1<AT><5；

(2):點。是邊3C的中點，

Z.BD=CD,

將，BDE繞點、D旋轉180。得到.CDG,連接FG,即得，BDE冬CDG,

：.BE=CG,ZB=NDCG,ED=DG,且E、D、G三點共線,

?.?在ABC中，ZBAC=90°,

：.ZB+ZACB^90°,

：.ZDCG+ZACB=90°,即ZFCG=90°,

,:ED=DG,且ED上DF,

O尸垂直平分EG,

EF=GF

'：在RtCGF中,ZFCG=90°,

/.CF1+CG1=GF-,

：.CF2+BE2=EF2.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質和判定、三角形的三邊關系定理、旋轉的

性質等知識點，通過旋轉得到構造全等三角形是解答本題的關鍵.

16.如圖1,E是正方形A5CD的邊上一個動點，連接。瓦/DEC的平分線交OC于點M,直線

MN1DE于點、N,交于點G,交8C的延長線于點尸，連接EG,CN.

⑴求證：FN=AB.

(2)如圖2,若NC〃GE,連接BN并延長，交CD于點、P.

①求證：BE=CE；

②求黑的值.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②且二1

2

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握相似三

角形的判定與性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵，(1)根據(jù)正方形的性質和角平分線的性質可

得△EMN四△EMC和△DEC四△FEN即可求證=(2)①利用(1)的結論和NC〃GE,可證明

△GEN絲△GEB進而得證；②延長CN交于點Q.利用①的結論和NP3C+/3PC=90?？傻?/p>

/必。=//。丫=/仍因進而證明43叱也△。。2,LECNsADQN和gNPsWCN,從而得出

DN2=CDDP,設8=1,CP=X,根據(jù)等量關系建立方程即可求解.

【詳解】(1)(1)如圖1,,四邊形ABCD是正方形.

MNLDE,

:"ENF=NDCE=90。.

EM平分/DEC,

:"DEM=NCEM,

EM=EM,

AEMN^AEMC,

:.EN=CE,

又,ZDEC=ZFEN,

:./\DEC^AFEN,

:.CD=FN,

:.FN=AB.

(2)解：由(1)知EN=CE,

:./ENC=/ECN.

NC//GE,

AGEN=NENC,/GEB=ZECN,

/GEN=Z.GEB.

ZABE=ZGNE=90°,GE=GE,

:.△GEN"AGEB,

:.BE=EN,

BE=CE.

②延長CN交AT）于點Q,

由①知5￡=￡/V=CE,

/./EBN=/BNE,ZENC=ZECN,

/.ABNC=NBNE+/ENC=90°,

:./PCN+ZBPC=900.

NPBC+NBPC=9伊,

ZPBC=ZPCN=NBNE.

又ZBCD=ZCDA=90°,BC=CD,

:.△BCP2ACDQ,

：.CP=DQ.

AD//BC,

AECNs叢DQN,

DNEN?

,---=...-1

DQEC

DN=DQ=CP.

ZPCN=/BNE/DNP=/BNE,

/DNP=NPCN,

:./\DNP^/\DCN,

DNCD

一麗一而’

:.DN2=CDDP.

設CD=l,CP=x,即f=i—%,

解得士=正二1,尤,=一昌1(舍去)，

.CPV5-1

/.------=------------.

CD2

17.如圖1,將RtABC(/A=90。)紙片按照下列圖示方式折疊：①將△曲沿80折疊，使得點A落在BC

邊上的點M處，折痕為8D；②將△BEP沿EP折疊,使得點3與點O重合，折痕為所；③將DEF沿DF

折疊，點E落在點E'處，展開后如圖2,BD、PF、DF、OP為圖1折疊過程中產(chǎn)生的折痕.

(1)求證：DP//BC；

⑵若落在DM的右側，求NC的范圍；

(3)是否存在—C使得OE與NMOC的角平分線重合，如存在，請求NC的大??；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析；

⑵0。<“<30。；

(3)不存在，理由見解析.

【分析】本題考查了直角三角形的性質，折疊的性質，菱形的判定與性質，角平分線的性質，熟練掌握折

疊的性質是解題的關鍵.

(1)由第二次翻折可得石/垂直平分80,由第一次翻折可得EF=￡P,證出四邊形尸fiFD是菱形，則可得

出結論；

(2)設/AB￡)=e,求出N8D/ZADP=ZFDM=ZC=90-2a,當DE7落在。M的右側時，a>90-2a,

求出。>30。，則可得出答案；

(3)設ZAB￡)=(z,ZADP=ZFDM=ZC=90-2a,NMDC=2(z,得出90-2"+e=<z,求出a=45°,ZC=0°,

則可得出結論.

【詳解】(1)證明：由第二次翻折可得E尸垂直平分3。，由第一次翻折可得跖=砂，

PF與垂直且互相平分，

.??四邊形尸版是菱形，

DP//BC；

(2)解：設/ASD=a,

?四邊形尸3中是菱形，

PB//DF,

ZBDF=a,ZADP=ZFDM=ZC=90-2a,

當DE,落在小/的右側時，a>90-2a,

a>30°,

二90°-2a<30°,

.?.00<ZC<30°；

(3)解：不存在.

若存在NC使得。E與NMOC的角平分線重合，

設ZAS￡>=c,ZADP=ZFDM=ZC=90-2a,ZMDC=2a,

:.90-2a+a=a,

.5=45°,

ZC=0°,

不存在NC使得DE與ZMDC的角平分線重合.

18.如圖①，已知線段°、6和/MON.如圖②，小明在射線OM上順次截取。4=2"，AB=3a,在射線

ON上順次截取OC=28,CD=3b.連接AC、BC^BD,AC=4,BC=6.

圖①圖②圖③

⑴求的長；

(2)小明繼續(xù)作圖，如圖③，分別以點8、。為圓心，以大于；劭的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點P、

Q,連接PQ,分別交80、OD于點E、F