2024年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)背景下的倍、半角角度問題（解析版）

專題二次函數(shù)背景下的

倍、半角南度問題

例題精講

【例1】.如圖1,拋物線y=/+6x+c交無軸于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),與

y軸交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，如果直線8。與直線BC的夾角為15°,求線段C。的長度;

(3)如圖2,連接AC,點(diǎn)P在拋物線上，且滿足/B48=2/AC。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：(1)..?拋物線y=/+fec+c交》軸于點(diǎn)A(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),

.(0=l+b+c

"lc=-3

解得：產(chǎn)2,

lc=-3

拋物線解析式為：y=/+2x-3；

(2):拋物線y=f+2x-3與x軸交于A,3兩點(diǎn)，

...點(diǎn)8(-3,0),

:點(diǎn)8(-3,0),點(diǎn)C(0,-3),

：.OB=OC=3,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)C上方時,

：.ZOBD=30°,

：.tanZDBO=^-=^-,

BO3

；.0O=近X3=M，

3

:.CD=3-V3；

若點(diǎn)。在點(diǎn)C下方時，

■:/DBC=15°,

：.ZOBD=60°,

tanN￡)8。=型=我，

BO

；.0。=36，

：.DC=3yf3-3,

綜上所述：線段CD的長度為3-我或3我-3；

(3)如圖2,在2。上截取。石=。4,連接CE,過點(diǎn)E作EP_LAC,

圖2

;點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)C(0,-3),

；.OA=1,0c=3,

AC=VOA2X)C2==VIo'

'：OE=OA,ZCOE=ZCOA=90°,OC=OC,

.?.△OCE<△OCA(SAS),

ZACO=ZECO,CE=AC=V10，

ZECA^2ZACO,

'：ZPAB=2ZACO,

：.ZPAB^ZECA,

S^AEC=—AEXOC=AACXEF,

22

.^_2X3_3V10

??乜r-f―—---------f

V105

:,CF=VCE2-EF2=J10喈=，

：.tanZECA=^-=^-,

CF4

如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在AB的下方時，設(shè)A尸與y軸交于點(diǎn)N,

,：ZPAB=ZECA,

tanNECA=tanNB42=^^=旦，

AO4

；.ON=旦，

4

，點(diǎn)N(0,一旦)，

4

又：點(diǎn)A(1,0),

直線AP解析式為：y^lx-1,

44

f33

聯(lián)立方程組得：｛44,

y=x2+2x-3

'9

乂1=1X2=W

解得：或，

)1=039'

后=下

...點(diǎn)尸坐標(biāo)為：(-9,-29),

416

當(dāng)點(diǎn)尸在AB的上方時，同理可求直線AP解析式為:y='4X+T

33

聯(lián)立方程組得：

y=x2+2x-3

15

*1=1x2=~

解得：或，

Yl=057

y2^

.??點(diǎn)尸坐標(biāo)為：（-至，紅）,

416

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-至，旦■）或（-且,

4164一奢

A變式訓(xùn)練

【變17].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=以2+磊h。交x軸于點(diǎn)4點(diǎn)2,交y

軸于點(diǎn)C.直線y=-yx+2經(jīng)過于點(diǎn)C、點(diǎn)B,

（1）求拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)。為第一象限拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作y軸的平行線交線段8c于點(diǎn)E,交x

軸于點(diǎn)。，當(dāng)。E=5E。時，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接。M,交線段OC

于點(diǎn)H,點(diǎn)尸在線段08上，連接“RDF、DC,DB,當(dāng)HF=旦,ZCDB=2ZMDF

2

坐

：.C(0,2),

令y=0,貝！j0=-/x+2,

.?.x=4,

：.B(4,0),

將點(diǎn)2,C坐標(biāo)代入拋物線y=o?+卷x+c中，得<16a+E><4+c=0

5

c=2

.?.拋物線的解析式為＞=-1X2+HA+2；

66

(2)如圖1,由(1)知，拋物線的解析式為y=-且/+工工X+2,

66

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為Cm,-王■根2+」二：〃+2),

66

\'DE±x軸交BC于E,直線BC的解析式為y=-^x+2,

.,.D(m,-—m+2),

2

:.DE=-—,n2+—m+2-(--m+2^=-立汴+也〃z,DQ=-—m+2,

662632

\"DE=5EQ,

=5(--lm+2),

632

；.m=3或根=4(點(diǎn)2的橫坐標(biāo)，舍去)，

：.D(3,3)；

(3)如圖2,

由(2)知,D(3,3),

由(1)知，B(4,0),C(0,2),

：.DB=410,DC=\[10,BC=2炳,

:.DC=DB,DB?+DC2=BC2,

...△8OC是等腰直角三角形，

：.ZBDC=9Q°,

■:BDC=2NFDM=90°,

：.ZFDM=45°,

過點(diǎn)。作DP_Ly軸于尸，則￡＞0=￡＞尸，。尸=3,

：.CP=1=BQ,

：./\DPC^/\DQB(SAS),

在C尸的延長線取一點(diǎn)G,使尸G=QF=〃，

JO尸=3-n,0G=3+〃，

???4DPG學(xué)ADQF(SAS),

:,DG=DF,ZPDG=ZQDF9

：.ZFDG=/PDG+/PDF=ZQDF+ZPDG=ZPDQ=90°

：.ZGDM=90°-ZFDM=45°=/GDM,

*：DH=DH,

:?△GDg^FDH(SAS),

：.GH=FH=^-,

2

：.OH=OG-GH=3+n-$=〃+工，

22

在RtZ\HO/中，根據(jù)勾股定理得，(〃+工)2+(3-n)2=空，

24

.1=1或〃=旦(此時，OH=w+1-=2,所以點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，舍去),

22

：.H(0,爸)，

2

VC(3,3),

直線CH的解析式為y=?1■①，

:拋物線的解析式為y=-§/+』Lt+2②，

66

fx——1

聯(lián)立①②解得，;或(由于點(diǎn)M在第二象限，所以舍去)，

yj-ly=-l

ly5

：.M(--1,1).

55

圖2

【例2].如圖，直線y=^-x+c與x軸交于點(diǎn)8(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=l^+bx+c

44

經(jīng)過點(diǎn)8,C,與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)A.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn),求四邊形ACPB的面積最大時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)〃是拋物線上一點(diǎn)，請直接寫出使的點(diǎn)M的坐標(biāo).

故拋物線的表達(dá)式為：y=^-x2+bx-3,

4

將點(diǎn)3坐標(biāo)代入上式并解得：b=-―,

4

故拋物線的表達(dá)式為：-lx-3①;

44

(2)過點(diǎn)尸作尸H〃y軸交于點(diǎn)”，

設(shè)點(diǎn)尸（尤，S/-2X-3）,則點(diǎn)H（X,2■龍-3）,

444

S四邊形4CP8=Sz\A8C+S△尸CB，

,.,SaABC是常數(shù)，故四邊形面積最大，只需要最大即可,

SAPCB=AXOBXP//=AX4（且x-3-3/+9關(guān)+3）=-3/+6x,

224442

V--<0,，SMCB有最大值，此時，點(diǎn)尸(2,-—)；

22

(3)過點(diǎn)8作N4BC的角平分線交y軸于點(diǎn)G,交拋物線于,設(shè)/MBC=//ABC

=2a,

過點(diǎn)8在BC之下作角度數(shù)為a的角，交拋物線于點(diǎn)M,

過點(diǎn)G作GKLBC交BC于點(diǎn)K,延長GK交于點(diǎn)X,則G2=BH,2C是GH的中

垂線，

圖2

。2=4,0c=3,貝UBC=5,

設(shè)：OG=GK=m,貝UCK=CB-HB=5-4=1,

由勾股定理得：（3-M2=m2+l,解得：m=—,

3

則。G=GK=4,GH=2OG=里,點(diǎn)G（0,-A）,

333

在RtaGCK中，GK=OG=—,GC=OC-OG=3-2=5,

333

則cosNCGK=^=9,sin/CGK=工，

GC55

則點(diǎn)K(4,-」2),點(diǎn)K是點(diǎn)GH的中點(diǎn)，則點(diǎn)”(旦，-絲),

55515

則直線BH的表達(dá)式為：尸型x-絲…②，

99

同理直線BG的表達(dá)式為：y=…③

,33

聯(lián)立①②并整理得：27?-135x+100=0,

解得：或4(舍去4),

27

則點(diǎn)M(空,翳;

27

聯(lián)立①③并解得:x=-5

9

5

故點(diǎn)M'(-,-27)；

9

故點(diǎn)M(2殳,翳或(

27

A變式訓(xùn)練

【變2-1].如圖，拋物線yn/+bx+d交x軸于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)

C,連接BC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為祖.

①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，過點(diǎn)尸作尸軸，交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作Z)E_Ly軸，垂足

為E,連接PE,當(dāng)△「￡)￡和△BOC相似時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②請直接寫出使的點(diǎn)P的坐標(biāo).

2

解：(1):拋物線y=a?+fcv+4交x軸于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),

a-b+4=0

9a+3b+4=0

4

與

解得，

8_

3

.??拋物線的解析式為：y=-1x24x+4；

(2)令X=0,得y=X+4=4,

：.C(0,4),

JOC=4,

?:B(3,0),

/.05=3,

設(shè)直線BC的解析式為（ZWO）,則

n=4

3ktn=0

,4

解得，\

n=4

直線BC的解析式為：y=^x+4,

3

設(shè)P(m,m+4)，則D(m,_4m+4),

3

.??￡）尸=卷山2+以，DEm,

.PD4,

DE3

■:NB0C=NPDE=9U°,

???當(dāng)△PDE和△BOC相似時，有兩種情況:

當(dāng)△尸。打6\50。時,GPm+4=

2則黑*4T

解得，m=29,

16

?.P(>需;

當(dāng)△PD￡S2\COB時,貝喘嗡’即3m+44

解得，m=2,

：.P(2,4).

綜上，當(dāng)△2￡)￡1和△BOC相似時，點(diǎn)尸的坐標(biāo)(絲，西或(2,4)；

1664

②過8作平分/ABC,交拋物線于點(diǎn)P,交0c于點(diǎn)M,過M作MNL2C于點(diǎn)N,

如圖1,

則0M=MN,

2

在RtABOM和RtABNM中，

IMO=MN，

:.RtABOM咨RSNM(HL),

:.BN=B0=3,

設(shè)0M=/,則M7V=M0=/,CM=4-t,

CN=BC-BN=432+42-3=2,

■:MV+cM=Me,

.\?+22=(4_t)2,

???l,—-3-,

2

：.M(0,3),

2

設(shè)的解析式為：y=mx+—(ZMNO),

2

代入2(3,0)得，m=」，

2

直線的解析式為：＞=-**玲，

5

29

yl^

取M（0,3）關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)，K（0,-旦），連接3K,延長BK,交拋物線于點(diǎn)P1,

22

貝！]ZABP=^ZABC,

2

設(shè)直線BK的解析式為尸（p力0）,

代入8（3,0）得，p=—>

2

直線BK的解析式為：尸Lx衛(wèi)，

2x2

X2=~

35

丫2二一

816

綜上，使的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（至，—）或（』，小?）.

2816816

【例3].已知如圖，拋物線y^a^+bx-4（a#0）交x軸于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），

交y軸于點(diǎn)C.已知。4=OC=2O8.

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知直線y=2x+〃z,若直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)￡,求△ACE的面積；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NE4B=NEAC,若存在，請直接寫

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：(1)對于拋物線y=a/+加;-4,

令％=0,貝！J)=-4,

：.C(0,-4),

???。。=4,

U：OA=OC=2OB,

，OA=4,05=2,

AA(-4,0),B(2,0),

，?,點(diǎn)A,3在拋物線＞=蘇+法-4上,

.(16a_4b_4=0

14a+2b_4=0

f1

b=l

，拋物線的解析式為＞=■!/+尤-4；

2

(2)由(1)知，拋物線的解析式為了=工/+尤-4①,

2

..?直線y=2x+/②與拋物線有且只有一個交點(diǎn)E,

(_124

聯(lián)立①②得，y節(jié)x+XY

y=2xtm

—x1-x-(4+m)=0,

2

A=1+4XA(4+m)=0,

2

..m—9,

2

—x2-x--=0,

22

?*XI~~X2^1,

：.E(1,-5),

2

直線AE的解析式為y=-lx-2

如圖1,記直線AE與y軸的交點(diǎn)為R則尸(0,-2),

/.5AAC￡=—CFX|X￡-XA|=—X2X|1-(-4)|=5；

22

(3)由(2)知，E(1,-C),

2

I、當(dāng)點(diǎn)P在X軸上方時，如圖2,

將線段AE以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG,連接AG,則NEAG=45°,

在RtZ\AOC中，OA=OC,

：.ZOAC=45°=ZEAG,

：.ZCAE=ZOAG,

：.點(diǎn)尸是AG與拋物線的交點(diǎn)，

過點(diǎn)E作MN//x,過點(diǎn)A作AM1MN于M,過點(diǎn)G作GN1MN于G,

VA(-4,0),E(1,-$),

2

：.AM=^,ME=5,

2

:./AME=NENG=90°,

：.ZMAE+ZAEM=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，AE=EG,ZA￡G=90°,

:.NAEM+/NEG=90°,

：.NMAE=NNEG,

:.AAME咨4ENG(AAS),

：.EN=AM=—,GN=ME=5,

2

：.N(工，-2)，G(工，5),

2222

...直線AG的解析式為y=2x+4③，

33

??,拋物線的解析式為-4④，

2

聯(lián)立③④解得，1F或，”，

1y=020

vy=9

:.p（a，型），

39

II、由1知，點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（工，5）,N（工，-立），

2222

二點(diǎn)G與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，

...點(diǎn)P是直線AN與拋物線的交點(diǎn)，

VA（-4,0）,

直線AN的解析式為y=--&⑤，

33

'.4

X=

fx=-4T

聯(lián)立④⑤，解得，或，z

1y=0

9

：.p（A,-西），即滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為P（2L型）或（生一西）.

39S939

\k

圖2

w"

圖1

A變式訓(xùn)練

【變37].如圖，已知：拋物線y=a（無+1）（x-3）與,『軸相交于A、8兩點(diǎn)，與y軸的交

于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的解析式的一般式.

(2)若拋物線上有一點(diǎn)尸，滿足NAC0=NPC8,求P點(diǎn)坐標(biāo).

(3)直線/：y=fcv-4+2與拋物線交于￡、廠兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B到直線/的距離最大時，求4

解：(1)把C(0,-3)代入y=a(x+1)(x-3),

得-3〃=-3,解得〃=1,

所以拋物線解析式為y=(x+1)(x-3),即y=/-2x-3；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在直線BC的下方時，如圖1,過點(diǎn)2作BEL2C交CP的延長線于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作EMLx軸于點(diǎn)M,

'?'y=(x+1)(x-3),

.?.y=0時，％=-1或%=3,

/.A(-1,0),B(3,0),

.0A1

?,tan/ACO

ULo

???O3=OC=3,

AZABC=45°,BC=3近,

NACO=/PCB,

BPi

??^nZACO=tanZPCB-，

DUO

:,BE=?

u：ZCBE=90°,

：.ZMBE=45°,

：.BM=ME=lf

：.E(4,-1),

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,

.f4k_3=_l

,lb=-3，

(k=l

解得：,2,

b=-3

直線CE的解析式為y=/x-3,

'_1

y=x2-2x-3

解得x「O.X2='|'，

當(dāng)點(diǎn)尸在直線BC的上方時，過點(diǎn)2作BFLBC交CP于點(diǎn)F,如圖2,

圖2

同理求出8尸=&,FN=BN=\,

：.F(2,1),

求出直線CF的解析式為y=2尤-3,

.[y=x2-2x-3

??<9

y=2x-3

解得：xi=O,X2=4,

：.P(4,5).

綜合以上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,5)或(旦，-1)；

24

(3):直線/：y=kx-k+2,

：.y-2=k(x-1),

Ax-1=0,y-2=0,

J直線y=依-左+2恒過定點(diǎn)H(1,2),如圖3,連接當(dāng)3"，直線/時，點(diǎn)B到直

線/的距離最大時,

圖3

求出直線BH的解析式為y=-x+3,

k=1,

直線/的解析式為y=x+l,

.y=x+l

y=x"-2x-3

，X[=-1

(X2=4

解得：＜，"?

71=0/2=5

：.E(-1,0),F(4,5),

??S^BEF+X4X5=10.

意

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，已知直線AB：y=x-3與尤、y軸分別交于A、B兩點(diǎn);拋物線y=/-2x-m與y

軸交于C點(diǎn)，與線段AB交于。、E兩點(diǎn)(。在E左側(cè))

(1)若。、E重合，求加值；

(2)連接C。、CE,若NBCD=/BEC,求加值；

(3)連接。。，若OD=CE,求加值.

:?△=9-4(3-m)=4根-3=0,

⑵-3與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)；拋物線y=?-2x-相與y軸交于C點(diǎn),

：.B（0,-3）,C（0,-m）,

.\BC=3-m,

3+V4m-3

x2=2

解方程組｛2得，，

y=x-2x-m-3W4m-3

y2=12—

，3H4m-3-3W4m-3、-3+V4m_3-3+V4in-3

,22)'Ez(22―

.fj?V2(3-V^3)g￡=VW+V?J

22

:/BCD=NBEC,ZCBD=ZEBC,

:.△BCDs^BEC,

ABC_^BD；gpB^^BD'BE,

BEBC

2V2(3-V4m-3)V2(3+V4m-3)

二------------------------------------?-------------------------------------

解得，m=l或3,

當(dāng)m=3時，5與C重合，不符合題意，舍去,

??TYl^~1;

(3)VOD=CE,

???。。2=。序，

.,3-V4m-3、2/-3^\/4m-3、2,3W4m-3、，-3+V4m-3、2

??（一2一）+（—2—）=（―2—）（—2一—），

即占用_）2_（土"作）2叩

解得，m=0,或優(yōu)=5±近§,

當(dāng)根=0時，J說百無意義，應(yīng)舍去，

當(dāng)“2=5+/石時，C點(diǎn)在2點(diǎn)下方，不合題意，舍去，

m=5-VT3，

2.如圖①，拋物線＞=/-（。+1）x+。與天軸交于A、2兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與

y軸交于點(diǎn)C.己知△ABC的面積為6.

（1）求這條拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，使得/POB=/CBO,若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，M是拋物線上一點(diǎn)，N是射線CA上的一點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)均在第二象限

內(nèi)，A、N是位于直線同側(cè)的不同兩點(diǎn).若點(diǎn)〃到無軸的距離為d,△MNB的面積

為2d,且NAMN=/AN8,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

解：(1)當(dāng)y=0時，/-(a+1)x+a—Q,

解得xi=l,xi=a,

?.?點(diǎn)A位于點(diǎn)8的左側(cè)，

...點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)8坐標(biāo)為(1,0),

當(dāng)x=0時，y=a,

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,a),

.'.AB=1-a,OC=-a,

：△ABC的面積為6,

??卷(1-a)?(-a)=6,

?*Cl\~~-3,42=4,

V?<0,

??.〃=-3,

，丁=7+2%-3；

（2）設(shè)直線BC：y=kx-3,則0=女-3,

???左=3；

①當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時，直線。尸的函數(shù)表達(dá)式為y=3x,

ry=3x

則9，

y=x+2x-3

1-后

xl=一2—x2=―2—

3+3/133-3713，

丫11了2「一

/.點(diǎn)P坐標(biāo)為（上YH_,3+3后）；

②當(dāng)點(diǎn)尸在X軸下方時，直線。尸的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x,

,y=-3x

則9

y=x^+2x-3

，f-5-V§7

.xl=—2-x2=—2—

15-3何'I15+3西'

|yl=~2—|y2=—2—

點(diǎn)P坐標(biāo)為15-37^7>

綜上可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（1毛百，3+3*）或,15-y？）；

（3）過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,過點(diǎn)N作NFd_8M于點(diǎn)孔設(shè)AM與8N交于點(diǎn)G,延

長MN與x軸交于點(diǎn)〃；

：AB=4,點(diǎn)M到x軸的距離為d,

.,.S^AMB-—X-ABXd=—'X4Xd=2d,

22

,*SAMNB=2CI,

SAAMB=SAMNB,

?,-yXBMXAE=yXBMXNF，

:?AE=NF,

*：AELBM,NFIBM,

???四邊形AE/W是矩形，

：.AN//BM,

*.*/MAN=/ANB,

:?GN=GA,

\9AN//BM,

:?/MAN=/AMB,/ANB=/NBM,

：./AMB=/NBM,

:?GB=GM,

:?GN+GB=GA+GM即BN=MA,

，AM=NB

在和△2\^“中＜ZAMB=ZNBM

MB=BM

，叢AMB絲叢NBM(SAS),

ZABM=NNMB,

???QA=0C=3,ZAOC=90°,

：.ZOAC=ZOCA=45°,

又?：AN〃BM,

：.ZABM=ZOAC=45°,

：.ZNMB=45°,

:?NABM+/NMB=90°,

AZBHM=90°,

：.M,N、H三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，且

???“是拋物線上一點(diǎn)，

.??可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6P+2t-3),

1-t—F+2/-3,

ti=-4,t2=l(舍去)，

???點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-4,

可設(shè)直線AC：y=kx-3,貝!J0=-3k-3,

:?k=-1,

??y=-x-3,

當(dāng)x=-4時，y=-(-4)-3=1,

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-4,1).

3.如圖1,拋物線Ci：y=a/+c的頂點(diǎn)為A,直線/：與拋物線C1交于A,C兩點(diǎn),

與無軸交于點(diǎn)8(1,0),且04=202,SAOAC=4.

(2)求拋物線。與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)如圖2,將拋物線Ci向下平移機(jī)(m>0)個單位得到拋物線C,且拋物線C的頂

點(diǎn)為尸，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)交射線于點(diǎn)N,軸于點(diǎn)。，當(dāng)NP平分NMNQ

時，求相的值.

解：⑴；B(1,0),

.?.08=1,

"：OA=2OB,

：.OA=2,

：.A(0,-2),

設(shè)直線/的解析式為>=區(qū)+6,

..[k+b=0,

?1b=-2'

解得任=2,

lb=-2

直線l的解析式為y=2x-2；

(2)VSAOAC=4,

,

xc=4

，xc=4,

，y=8-2=6,

：.C(4,6),

將A(0,-2),C(4,6)代入>=蘇+。，

.f16a+c=6

'lc=-2

解得「至，

c=-2

.??拋物線Ci與的解析式為丫=/*2-2；

令y=°，yx2-2=0'

解得x=±2,

J拋物線G與工軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(-2,0).

(3)設(shè)拋物線C表達(dá)式為：y=^x2-2-m,設(shè)點(diǎn)M(〃，0),

則1詔-2-m=0,拋物線C表達(dá)式為：%2-…③，

222

聯(lián)立②③并解得：x=2-〃或2+小則點(diǎn)N(2-〃，2-2M),

貝I」N0=2-2n,MQ=2-2n,

.?.△MN0為等腰直角三角形，則/WAQ=45°,

又點(diǎn)p(0,-A?2),即點(diǎn)M(小0),

2

設(shè)直線MN與y軸的交點(diǎn)為H,則OH=OM,則點(diǎn)H(0,-n),

作NK_Ly軸于點(diǎn)K,在ANKH中,NK=KH,

則(2-n),又HP=OH+OP=1-n,

：PN為角平分線，則NMNP=/PNQ=22.5°,

故NH=HP,

則(2-n)=—ii2-n,

2

解得："=2或-(舍去2),

—zz2-2-m=0,解得：m=2.

2

4.如圖，直線y=/x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=-1■x2+bx+c經(jīng)過4、

8兩點(diǎn)，與無軸的另一個交點(diǎn)為C

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。是直線AB上方拋物線上的一動點(diǎn)，

①求D到AB的距離最大值及此時的D點(diǎn)坐標(biāo)；

②若NDAB=NBAC,求。點(diǎn)的坐標(biāo).

解：(1)由>=工彳+2可得：

,2

當(dāng)尤=0時，y=2；當(dāng)y=0時，x=-4,

AA(-4,0),B(0,2),

把A、B的坐標(biāo)代入y=--^x1+bx+c得:

c=2

“1，

qxi6-4b+c=0

解得：2,

,c=2

...拋物線的解析式為：y=-工)-lx+2.

22

(2)①如圖1,過點(diǎn)。作ONL4c于N,交AB于R作。ALLAB于",

圖1

VA(-4,0),B(0,2),

：.OA=4,OB=2,

.?.AB=<^OA2-H3B2=V4+16=2炳’

:NFAN+NAFN=9G,ZFDH+ZDFH=90°,ZAFN=ZDFH,

：.ZFAN=ZFDH,

：.cosZFAN=cosZFDH,

?.?,AO—二DH,

ABDF

.4-DH

..可IF

：.DH=^^-DF,

5

.?.當(dāng)。尸有最大值時，?！庇凶畲笾?，

設(shè)點(diǎn)。(m,2vm+2)，/(m,-^-m+2),

2="2

，DF=-^-m-2ir￡(m+2)+2,

當(dāng)機(jī)=-2時，DF有最大值為2,

.?.o”的最大值為生叵，

5

當(dāng)點(diǎn)。(-2,3)時，。到AB的距離最大值為生叵；

5

②如圖2,延長CB,AD交于點(diǎn)E,

圖2

,/拋物線y=--2x+2與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)C,

22

.,.點(diǎn)C(1,0),

:.oc=\,

:強(qiáng)」=膽，ZAOB=ZBOC,

OB2OA

：.ZBAO=ZCBO,

'：ZBAO+ZABO=90°,

：.ZABO+ZCBO=90°,

AZABC=90°,

'：ZDAB=ZBAC,AB^AB,ZABC=ZABE^90°,

/.△ABC^AABE(ASA),

：.BC=BE,

\'B(0,2),點(diǎn)C(1,0),

:,點(diǎn)E(-1,4),

直線AE的解析式為y=1x+^-,

33

416

y=3x4V

聯(lián)立方程組：＜

y=—^x^^~x+2

y22

5

Xj=-4X2-萬

解得：

yi=028

了25

.,.點(diǎn)。(-9

3

5.如圖，拋物線》=0?+公+。(aWO)與左軸交于A(-2,0)、B(8,0)兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C(0,4),連接AC、BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)。為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，求△OCB面積的最大值；

(3)點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

備用圖

解：(1):拋物線yuo?+fer+c(a/0)與x軸交于A(-2,0)、B(8,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C(0,4),

4a_2b+c=0

64a+8b+c=0,

c=4

解得：＜

.??拋物線的表達(dá)式為＞=-1X2+1X+4；

42

(2)如圖，過點(diǎn)。作。E〃y軸交BC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)尸,

備用圖

,:B(8,0),C(0,4),

直線BC解析式為y=--lx+4,

設(shè)。--m2+—m+4),

42

則E(m,-—zw+4),

2

?：D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，

2

：.DE=DF-EF=(-工m2+旦機(jī)+4)_(_Am+4)=-lm+2m,

4224

△￡>CB面積=工X8XDE=4(-—n-r+2m)=-m2+Sm=-(m-4)2+16,

24

，當(dāng)機(jī)=4時，△QCB面積最大，最大值為16；

(3)①當(dāng)點(diǎn)尸在8c上方時，如圖，

；/PCB=NABC,

J.PC//AB,

.?.點(diǎn)C,尸的縱坐標(biāo)相等，

.?.點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,

令y=4,貝！j-—^+―x+4=4,

,42

解得：x=0或x=6,

：.P(6,4)；

②當(dāng)點(diǎn)尸在BC下方時，如圖,

設(shè)PC交x軸于點(diǎn)H,

ZPCB=ZABC,

：.HC=HB.

設(shè)HB=HC=m,

：.OH=OB-HB=8-

在RtZSTOH中，

222

OC+OH=CHf

42+(8-m)2=m2,

解得：m=5,

JOH=3,

：.H(3,0).

設(shè)直線PC的解析式為y=kx^n,

.fn=4

?13k4n=0'

解得：3,

n=4

4.

/.y=--x+4,

3

：.p(絲，--1M).

39

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(6,4)或(絲，-獨(dú)).

39

6.已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丫二加+區(qū)經(jīng)過點(diǎn)A(5,0)、8(-3,4),拋

物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)OB、BD.求/BDO的余切值；

(3)如果點(diǎn)尸在線段3。的延長線上，且NB4O=NBA。，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

25a+5b=0

解：(1)將A(5,0),2(-3,4)代入得:

9a-3b=4

A

解得：

b=4-

...所求拋物線的表達(dá)式為y=工/-互尤.

66

（2）:拋物線的表達(dá)式為>=上/-立x,

66

...拋物線的對稱軸為直線尤=5,

2

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為（20）.

2

過點(diǎn)2作BCLx軸，垂足為點(diǎn)C,如圖1所示.

:點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-3,4）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（9,0）,

2

ABC=4,OC=3,CZ)=3+5=11

22

：.cotZBDO=—=—

CB8

（3）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為Gn,〃），過點(diǎn)尸作PQLx軸，垂足為點(diǎn)。，如圖2所示.

貝!JPQ=-n,OQ=m,AQ=5-m.

在Rt/XABC中，ZACB=90°，

cotNBAC=9=g=2

BC4

'：ZPAO=ZBAO,

.,.cotNE4O=旭■=.'1n=2,即m-2〃=5①.

PQ-n

：8CJ_x軸，尸0_Lx軸,

：.ZBCO=ZPQA=90°,

J.BC//PQ,

?BC=0C

"PQOQ'

=—,即4m=-3”②.

-nm

由①、②得：卜-2n=5,

I4m=-3n

20

7.拋物線y=/+6x+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)8(2,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是該拋物線上的動點(diǎn)，且位于y軸的左側(cè).

①如圖1,過點(diǎn)P作PD±x軸于點(diǎn)D,作PE±y軸于點(diǎn)E,當(dāng)PD=2PE時，求PE的長；

②如圖2,該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得/ACP=/OCB?若存在，請求出所有點(diǎn)P的

坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

.(Q=4+2b+c

10=9-3b+c

解得：0=1,

Ic="6

拋物線解析式為：y^x2+x-6；

(2)①設(shè)點(diǎn)P(a,a2+a-6),

:點(diǎn)尸位于y軸的左側(cè)，

...“VO,PE=-a,

?:PD=2PE,

|tz2+?-6|=-la,

^2+tz-6=-2〃或cP'+a-6=2。，

解得：m=fl2=-3+Vo3(舍去)或.3=-2,44=3(舍去)

22

；.PE=2或上詆1；

2

②存在點(diǎn)P,使得/ACP=/OCB,

理由如下，

,/拋物線y=7+x-6與y軸交于點(diǎn)C,

...點(diǎn)C(O,-6),

：.OC=6,

:點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)A(-3,0),

0B=2,OA=3,

?**BC=A/OB-HOC=44+36—2VT5，

AC=VOA2OC2=V9+36=3A/5，

如圖，過點(diǎn)4作AH，CP于H,

△ACHsMBCO,

?.?-B-C--B-O--