2024年中考數(shù)學專項復習：費馬點最值（解析版）

費馬點最值模型

費馬點問題思考:

如何找一點P使它到4ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最??？

費馬點的定義：數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。

它是這樣確定的：

1.如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120。，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點；

2.如果3個內(nèi)角均小于120°,則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費

馬點。

費馬點的性質(zhì)：

1.費馬點到三角形三個頂點距離之和最小.

2.費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120。.

費馬點最小值快速求解：

費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的

方法是運用旋轉(zhuǎn)變換.

0秘訣：以AABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值

rim—

SQ例題精講

【例1].已知，在△ABC中，ZACB=30°

(1)如圖1,當A8=AC=2,求BC的值；

(2)如圖2,當AB=AC,點尸是△ABC內(nèi)一點，且24=2,尸8=a1，PC=3,求/

APC的度數(shù)；

(3)如圖3,當AC=4,AB=Q(CB>CA),點尸是△ABC內(nèi)一動點，則B4+P8+PC

的最小值為_、用_.

解：(1)如圖1中，作AP_LBC于尸.

'：AB^AC,APLBC,

：.BP=PC,

在RtZXACP中，VAC=2,ZC=30°,

PC=AC,cos30°=V3>

:.BC=2PC=2M-

(2)如圖2中，將△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△QAC.

\'AB=AC,ZC=30°,

AZBAC=120°,

：.PA=AQ=2,PB=QC=4^1，

'：ZPAQ=nO°,

???尸。=2我，

:.PQ2+PC2=QC2,

：.ZQPC=90°,

：NAP。=30°,

：.ZAPC^30°+90°=120°.

(3)如圖3中，將△BC尸繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CB'P',連接PP',AB',

則/ACB'=90°.

'：PA+PB+PC=PA+PP'+P'B',

...當A,P,P',B'共線時，Rl+PB+PC的值最小，最小值=A8’的長,

由A8=V7，AC=4,ZC=30°,可得8c=CB'=3?,

-AB，=VAC24CB/2=V43-

故答案為丁欣.

A變式訓練

【變式17］如圖，P是邊長為1的等邊AABC內(nèi)的任意一點，求f=Q4+PB+尸。的取

值范圍.

B

解：將ASPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到ABP'C',

易知A3PP'為等邊三角形.

（兩點之間線段最短），從而百.

過P作3c的平行線分別交A5、AC于點M、N,

易知能W=AV=AM.

因為在NBMP和APNC中,

PB<MP+BM?,

PC<PN'NC②。

又NAPM>NANM=NAMN,所以B4<AM③.

①+②+③可得

t<（AM+BM）+（MP+NP）+NC=AB+MN+NC=1+（AN+NC）=2,

即/<2.綜上，/=E4+?B+尸C的取值范圍為舊〈/<2.

【變式1-2].已知點尸是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則尸點

叫△ABC的費馬點（Ferma/pa加）.已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當

ZAPB=ZAPC=ZBPC=120°時，P就是△ABC的費馬點.若點P是腰長為&的等

腰直角三角形DEF的費馬點,則PD+PE+PF^./^+1.

解：如圖：等腰Rt/XDEF中，DE=DF=5

過點。作產(chǎn)于點過E、尸分別作NMEP=NM/P=30°,

則EM=DM=\,

解得：PE=p/=±=aZl_,則尸加=返，

V333

故。尸=1-近，

3

貝UPD+PE+PF=2X-52Z1_+1-近=?+i.

33

故答案為：V3+1.

EMF

【變式1-3].如圖，尸為正方形A8C。對角線2。上一動點,若A8=2,0ljAP+BP+CP

最小值為

解：如圖將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得至ijZkAEF,當E、F、P、C共線時，PA+PB+PC

最小.

理由：'：AP=AF,ZPAF=6Q°,

：.APAF是等邊三角形，

：.PA=PF=AF,EF=PB,

：.PA+PB+PC^EF+PF+PC,

...當E、F、P、C共線時，PA+PB+PC^,

作EM±DA交DA的延長線于M,ME的延長線交CB的延長線于N,則四邊形ABNM

是矩形，

在RMAME中，'：ZM=9Qa,ZMAE=30°,AE=2,

：.ME=l,AM=BN=6,MN=AB=2,EN=l,

EC=VEN2+NC2=Vl2+(V3+2)2=V8+4V3=

V(V6)2+2'V6-V2+(V2)2=V(V6+V2)2=&+&.

：.PA+PB+PC的最小值為a+我.

【例2】.如圖，P是邊長為2的正方形ABC。內(nèi)一動點，。為邊BC上一動點，連接出、

PD、PQ,則%+尸。+尸。的最小值為

解：如圖，將△APD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFE,

：.AP=AF,ZPAF=60°=/EAD,AE=AD,

：.AAFP是等邊三角形，△AED是等邊三角形,

J.AP^PF^AF,

作EH_LBC于a,交于G.

AZA￡G=30°,

：.AG=1,EG=43

"：PA+PD+PQ=EF+FP+PQ,

當點。，點尸，點E,點。四點共線且垂直8c時，必+PD+P。有最小值為E”,

,:GH=AB=2,

：.EH=2+43>

：.PA+PD+PQ的最小值F+2

A變式訓練

【變式2-1].如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點M為矩形內(nèi)一點，點￡為BC邊

上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為（）

A.3+2&B.4+3我C.2+2^13D.10

解：將△AM。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM'D',MD=M'D',易得到△ADD'

和△AW均為等邊三角形，

：.AM=MM',

：.MA+MD+ME=D'M+MM'+ME,

：.D'M,MM'、ME共線時最短，

由于點E也為動點，

.?.當￡）'E_L2C時最短，此時易求得￡>'E=DG+GE=4+3?,

J.MA+MD+ME的最小值為4+373.

￡1

【變式2-2].如圖，已知正方形ABC。內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為

1+V3）則這個正方形的邊長為

E：

解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AMN,連NE,MB,過M作MP

交BC的延長線于尸點，如圖，

：.MN=BE,AN=AE,ZNAE=60°,

：.△4NE為等邊三角形，

：.AE=NE,

：.AE+EB+EC=MN+NE+EC,

當AE+EB+EC取最小值時，折線MNEC成為線段，則MC=1+J§,

"：AB^AM,ZBAM^60°,

：.△ABM為等邊三角形，

：.ZMBC=150°,則/P8M=30°,

在RtZ\PMC中，設BC=尤，PM=—x,

2

/.（1+V3）2=（工）2+（返x+x）2

22

所以尤=加，

：.BC=42>

即正方形的邊長為正,

故答案為：近.

【變式2-3].兩張寬為3c機的紙條交叉重疊成四邊形ABC。，如圖所示，若/a=30°,則

對角線BD上的動點P到A,B,C三點距離之和的最小值是6歷cm.

解：如圖，過。作。E_LBC于E,。氏L8A于凡把△ABP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到

△A'BP,

則DE=DF=3cm,

VZa=30°,

CD=IDE—6cm,

\'AD//BC,AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC9DE^AB^F,

■:DE=DF,

；?BC=AB,

???平行四邊形A5c。是菱形，

BC=AD=CD=6cm,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：A，B=AB=CD=6cm,BP'=BP,A'P'=AP,NP8尸=60°,Z

A'BA=60°,

???△〃5尸是等邊三角形，

：.BP=PP\

：.PA+PB+PC=A:P'+PP'+PC,

根據(jù)兩點間線段距離最短可知，當B4+PB+PC=AC時最短，

連接AC,與瓦)的交點即為到4,B,C三點距離之和的最小的尸點,

則點尸到A,B,C三點距離之和的最小值是A'C.

VZABC=ZDCE^Za=30°,ZA'BA=60°,

AAA'BC=90°,

C=B2+BC2=VS2+62=(cm),

因此點P到A,B,C三點距離之和的最小值是6&C2,

故答案為：6\[2cm.

(■1m

0^2)實戰(zhàn)演練

1.如圖，正方形A8C。內(nèi)一點E,E至IjA、B、C三點的距離之和的最小值為&偵，正

方形的邊長為

解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN,連NE,MB,過M作MP

_LBC交8C的延長線于P點，如圖,

：.MN=BE,AN=AE,ZNAE=60°,

△ANE為等邊三角形,

：.AE=NE,

：.AE+EB+EC=MN+NE+EC,

當AE+EB+EC取最小值時，折線MNEC成為線段，則MC=加3，

'：AB=AM,ZBAM=6Q°,

△ABM為等邊三角形，

/.ZMBC=150°,則NPBM=30°,

在RtZYPMC中，設8C=x,PM=上,PB=-

22

所以(V2W6)2=(y)2+(-^y-x+x)2

所以x=2,

:.BC=2,

即正方形的邊長為2.

2.如圖，在邊長為6的正方形ABC。中，點M,N分別為A3、BC上的動點，且始終保持

BM=CN.連接MN,以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt/XMNQ,若在正方形內(nèi)還存在一

點P,則點P到點4、點。、點Q的距離之和的最小值為3+3?.

解：設則BN=6-無，

'：MN2=BM2+BN2,

:.Ma=2+(6-X)2=2(X-3)2+18,

當尤=3時，MN最小,

此時。點離AD最近，

<BM=BN=3,

.??Q點是AC和BD的交點，

；.4。=。。=零4。=3近，

過點。作QM'_LAD于點,在△A。。內(nèi)部過A、。分別作DP=ZM'AP=

30°,則乙4尸￡>=乙4尸。=/。尸。=120°，點P就是費馬點，此時以+PQ+PQ最小，

在等腰RtZvl。。中，AQ=DQ=3?QM'LAD,

：.AM=QM'=烏人2=3,

故cos30。=理一，

PA

解得：出=2如，貝=?,

故。P=3-我，同法可得尸。=2如，

則B4+P￡)+PQ=2X2/3+3-V3=3+3V3.

.,.點尸到點A、點、D、點。的距離之和的最小值為3+3?,

故答案為3+3V3-

3.如圖，四個村莊坐落在矩形4BCD的四個頂點上，AB=10公里，8c=15公里，現(xiàn)在要

設立兩個車站E,F,則EA+EB+EF+PC+F。的最小值為公里.

解：如圖1,將△AEB繞A順時針旋轉(zhuǎn)60。得△AG“，連接8”、EG,將△OFC繞點。逆時

針旋轉(zhuǎn)60。得到△。尸M,連接CM、FF,

由旋轉(zhuǎn)得：AB^AH,AE=AG,ZEAG=ZBAH=60°,BE=GH,

.二△AEG和△AB”是等邊三角形，：.AE=EG,

同理得：△。尸產(chǎn)和△DCM是等邊三角形，DF=FF,FC=FM,

當區(qū)G、E、F、F、M在同一條直線上時，瓦1+EB+EP+BC+PD有最小值，如圖2,

圖2

,;AH=BH,DM^CM,是A2和CD的垂直平分線，C.HMLAB,HMLCD,

VAB=10,.?.△ABH的高為5?,__

：.EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF+FM=HM=15+5近+5退=15+10?,

則EA+EB+EF+FC+FZ）的最小值是（15+10?）公理.故答案為：（15+10立）.

4.如圖，尸為等邊三角形ABC內(nèi)一點，/8PC等于150°,PC=5,PB=U,求出的長.

解：如圖1,連接PP',

將△8PC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°到C的位置，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得CP=CP',

：./\PP'C為等邊三角形，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知NAPC=ZBPC=150°,

ZAP'P=150°-60°=90°,

又?：PP'=PC=5,AP'=BP=12,

...在RtZ\APP中，由勾股定理，得勿=｛虹，2+pp,2=13.

故以=13.

5.將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點2、C落在格點上，點A在BC的

垂直平分線上，/4BC=30。，點尸為平面內(nèi)一點.

(1)^.ACB—度；

(2)如圖，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(尺規(guī)作圖，保留痕跡)；

(3)AP+BP+C尸的最小值為______.

督?用圖

解（1）:點A在8C的垂直平分線上..?.AB=AC,

ZABC=ZACB,VZABC=30°,AZACB=30°.故答案為30°.

(2)如圖△C4P就是所求的三角形.

(分一或七三3一寸上七"、4共線時，PA+PB+PC=PB+PP'+P'A的值最小,

此時BC=5,AC=CA'=^^-,BA'UJBCZ+CA'2=20f-.故答案為坐反.

6.如圖1,尸是銳角△ABC所在平面上一點.如果/4尸2=/8&?=/81=120°,則點尸

就叫做△ABC費馬點.

(1)當△ABC是邊長為4的等邊三角形時，費馬點尸到5c邊的距離為-3^--

(2)若點P是△ABC的費馬點，ZABC=60°,B4=2,PC=3,則PB的值為_、后

(3)如圖2,在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB',連接22'.求證：BB'過△ABC的

費馬點P.

A

圖2

(1)解：延長AP,交3C于。,

'：AB=AC=BCfZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,

???尸為三角形的內(nèi)心，

:?ADIBC,BD=CD=2,ZPBD=30°,

BP=——=生③，

cos303

：.AP=BP=^^~,

3

VA￡)=VAB2-BD2=2^3，

：.PD^AD-AP^2y/3-^l-=-|V3>

故答案為：2g.

(2)解：(1),：ZPAB+ZPBA=180°-NAPB=60°,

ZPBC+ZPBA^ZABC=60°,

：.ZR\B=ZPBC,

XVZAPB=ZBPC=120°,

.PA=PB

"PBPC'

：.PB1=PA-PC,即PB=V2X3=V6>

故答案為：V6.

(3)證明：在88'上取點尸，使/BPC=120°

連接AP,再在尸2'上截取PE=PC,連接CE.

VZBPC=120°,

：.ZEPC=60°,

...△PCE為正三角形.

：.PC=CE,ZPCE=60°,Z.CEB'=120°

V△ACB/為正三角形，

J.AC^B'C,ZACB1=60°

/.ZPCA+ZACE=ZACE+ZECB'=60°,ZPCA=ZECB',

：.△ACP^AB,CE,

：.ZAPC=ZB'EC=120°,PA=EB',

ZAPB=ZAPC=ZBPC=120°,

尸為△ABC的費馬點.

：.BB'過△ABC的費馬點尸.

7.如圖（1）,尸為△ABC所在平面上一點，且/APB=N3PC=/CB4=120°，則點尸叫

做△ABC的費馬點.

（1）若點尸是等邊三角形三條中線的交點，點尸是（填是或不是）該三角形的費馬

點.

（2）如果點尸為銳角△ABC的費馬點，且NABC=60°.求證：AABPsABCP；

（3）已知銳角△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△AC。，CE和8。相

交于尸點.

如圖（2）

①求/。尸。的度數(shù)；②求證：產(chǎn)點為AABC的費馬點.

解：（1）如圖1所示:

.?.M2平分NABC.

同理：AN平分NBAC,PC平分NBCA.

AABC為等邊三角形，

AZABP=3Q°,ZBAP=30°.

ZAPB=120°.

同理：ZAPC=120°,ZBPC=120°.

是△ABC的費馬點.

故答案為：是.

(2)VZB4B+ZPBA=180°-ZAPB=60°,ZPBC+ZPBA=ZABC=6Q°,

：.ZB\B^ZPBC,

又?.,NAPB=NBPC=120°,

：.AABPs^BCP.

(3)如圖2所示:

①：AABE與△AC￡)都為等邊三角形，

：.ZBAE=ZCAD=60°,AE=AB,AC=AD,

：.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即ZEAC=ABAD,

，AC=AD

在和△AB。中，，NEAC=/BAD

EA=AB

.,.△ACE/△AB。(SAS),

/.Z1=Z2,

VZ3=Z4,

AZCPD=Z6=Z5=60°；

②證明：,:△ADFsXCFP,

：.AF-CF=DF-PF,

,/ZAFP=ZCFD,

：./\AFP^/\CDF.

：.ZAPF=ZACD=6Q°,

：.ZAPC=ZCPD+ZAPF^120°,

:.ZBPC=no0,

；./APB=360°-ZBPC-ZAPC=120°,

尸點為△ABC的費馬點.

8.定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點中，到三角形三個頂點距離之和最小的點

叫做這個等腰三角形的“近點”，“近點”到三個頂點距離之和叫做這個等腰三角形的“最

近值

【基礎鞏固】

(1)如圖1,在等腰Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD為BC邊上的高，已知上一點

E滿足NOEC=60°,AC=476.求AE+BE+CE=12+;

【嘗試應用】

(2)如圖2,等邊三角形ABC邊長為4?，E為高線上的點，將三角形AEC繞點

A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG,連接EF,請你在此基礎上繼續(xù)探究求出等邊三角

形ABC的“最近值”；

【拓展提高】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，過AB的中點E作垂線交C。的延長線于點R連接

AC、DB,已知NBZM=75°,AB=6,求三角形AF8”最近值”的平方.

圖1圖2圖3

解：⑴-：AB=AC,ZBAC=9Q°,AC=476.

BD=CD=AD=4A/3，

,：ZDEC=60°,

；.DE=^-=4,

V3

：.AE=AD-DE=4A/3-4，CE=BE=2DE=8,

:.AE+BE+CE=4A/3-4+8X2=12+473；

故答案為：12+4、/^；

(2)由題意可得：AE=AF,ZEAF=60°,

AEAF為等邊三角形,

：.AE=EF=AF,

AE+BE+CE=EF+BE+GF,

:B、G兩點均為定點,

.?.當8、E、F、G四點共線時，EF+BE+GF最小,

：.ZAEB=120°,ZAEC=ZAFG=120°,

：.ZBEC^nO°,

.??此時E點為等邊△ABC的中心，

：.AE+BE+CE=3AE=3X里=12,

V3

故等邊三角形A8C的“最近值”為12；

(3)如圖，過點。作。于點

VZBDA=75°,AB=AD,

：.ZDAB^30°,

：.2DM^AD^AB,

,JAB//CD,

：.EF=DM,

：.2EF=AB,

；.AE=BE=EF=3,

AA￡F與ABEF均為等腰直角三角形，

...△AB尸為等腰直角三角形，

設P為E尸上一點，由（2）得：ZAPF=ZBPF=ZAPB=120°時，PA+PB+PF^,

此時：￡p=_^_=73，

V3

：.AP=BP=2EP=273，F(xiàn)P=EF-EP=3-通，

：.AP+BP+FP=2V3+2V3+3-V3=3+3加，

CAP+BP+FP）2=（3+3a）2=36+18畬,

三角形AFB“最近值”的平方為36+18如.

9.如圖①，點M為銳角三角形A8C內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外

作等邊三角形△A2E,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.

(1)求證：AAMB咨LENB；

(2)若AM+BM+CM的值最小，則稱點/為AABC的費馬點.若點M為△ABC的費馬

點，試求此時/AMB、/BMC、/CMA的度數(shù)；

(3)小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC

的AB,AC為一邊向外作等邊△川￡和等邊△ACR連接CE、BF,設交點為M,則點

M即為△ABC的費馬點.試說明這種作法的依據(jù).

、

EAE

&圖］C5圖2c

解：(1)證明：:△ABE為等邊三角形，

：.AB^BE,ZABE=60°.

而/MBN=60°,

ZABM^/EBN.

在AAMB與LENB中，

'AB=BE

V<ZABM=ZEBN,

BH=BN

.MAMB咨AENB(SAS).

(2)連接MN.由(1)知，AM=EN.

VZMBN=6Q°,BM=BN,

:.ABMN為等邊三角形.

:.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

...當E、N、M,C四點共線時，AM+BM+CM的值最小.

此時，ZBMC=180°-ZNMB=120°；

NAMB=NENB=180°-NBNM=120°；

ZAMC=3600-ZBMC-ZAMB=120a.

(3)由(2)知，△ABC的費馬點在線段EC上，同理也在線段上.

因此線段EC與BF的交點即為△ABC的費馬點.

B圖1C

10.問題提出

(1)如圖①，己知△04B中，02=3,將△04B繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA'B',

連接8次.貝=3收；

問題探究

(2)如圖②，已知△ABC是邊長為4、n的等邊三角形，以8C為邊向外作等邊△BC。,

產(chǎn)為△ABC內(nèi)一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點尸的對應點為點。.

①求證：△DCQ"ABCP；

②求PA+PB+PC的最小值；

問題解決

(3)如圖③，某貨運場為一個矩形場地ABCD,其中AB=500米，AD=800米，頂點A,

D為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺P,在8c邊上(含8,C兩點)

開一個貨物入口并修建三條專用車道出，PD,PM.若修建每米專用車道的費用為

10000元，當M,P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？(結(jié)果保

留整數(shù))

圖①圖②圖③備用圖

解：問題提出：

(1)由旋轉(zhuǎn)有，//BOB'=90°,。8=3,

根據(jù)勾股定理得，BB'=3近,

故答案為：3加；

問題探究：

(2)①是等邊三角形，

:.CD=CB,/DCB=60°,

由旋轉(zhuǎn)得，ZPCQ=6Q°,PC=QC,

：.ZDCQ^ZBCP,

在△DC。和△2CP中

'CD=CB

,ZBCP

CQ=CP

ADCQ式ABCP；

圖1

'：PC=CQ,ZPCQ=60a

Acre是等邊三角形，

：.PQ=PC,

由①有，DQ=PB,

：.PA+PB+PC=AP+PQ+QD,

由兩點之間線段最短得，AP+PQ+QD^AD,

：.PA+PB+PC^AD,

當點A,P,Q,。在同一條直線上時，R1+P2+PC取最小值為的長,

作DE±AB,

???AABC為邊長是4\反的等邊三角形，

ZBCA^60°,

:.CD=CB=4M，ZDCE=6Q°,

：.DE=6,ZDAE=ZADC=3QO,

：.AD=12,

即：B4+PB+PC取最小值為12；

實際應用：

連接AM,DM,將△ADP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得AAP，D',

由（2）知，當M,P,P',D'在同一條直線上時，AP+PM+。尸最小，最小值為￡>'N,

在2C上，

.?.當￡>'M_LBC時，D'M取最小值，

設。'M交AQ于￡,

MAD。是等邊三角形，

：.EM^AB^500,

：.BM=400,PM=EM-PE=500-4°°e-,

3

：.D'E=*AD=400如,

：,D'M=400V3+500,

，最少費用為10000義（400次+500）=1000000（4我+5）萬元；

.?.M建在2C中點（BM=400米）處，點尸在過M且垂直于2C的直線上，且在M上方

（500-40^/3_）米處，最少費用為loooooo（4百+5）萬元.

11.【問題情境】

如圖1,在△ABC中，ZA=120°,AB=AC,BC=5?,則△ABC的外接圓的半徑值

為5.

【問題解決】

如圖2,點尸為正方形ABC。內(nèi)一點，且乙BPC=90°,若AB=4,求AP的最小值.

【問題解決】

如圖3,正方形A3CD是一個邊長為3fc機的隔離區(qū)域設計圖，CE為大門，點E在邊

BC上,CE=?c%,點尸是正方形內(nèi)設立的一個活動崗哨，到2、￡的張角為120°,

即/2尸￡=120。，點A、。為另兩個固定崗哨.現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設置一個補水供給

點。，使得。到A、D、尸三個崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值.（保留

根號或結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)10.52=110.25）.

AD____________KD

BCBE

圖1圖2圖3

解：（1）如圖1,作△ABC的外接圓0,作直徑AO連接OB,

?'、、、、：5

i￡。!

\飆，'

\!/

\、1,,

D

*：AB=ACf：.AOLBC,ZBAO=60°,

\'OA=OBfAAOBA是等邊三角形，

：.AB=OA=OB9

設AD與2C交于點E,BE=、BC=主區(qū),

22

在直角三角形ABE中,

5V3

VsinZBAO=^,；.sin60°=M=近

ABAB2

.\AB=5,.\OA=5,故答案為：5；

(2)如圖2,

VZBPC=90°,

???點在以BC為直徑的圓上，設圓心為點0,

則OP=』C=2,

2

：.O,P,A三點線時A尸最小，

在直角三角形ABO中，

A0=7AB2-H3B2=2炳）

"0=2,

.??AP的最小值為：AO-PO=2V5-2；

2

（3）如圖3,設/8PE所在圓的圓心為點O,根據(jù)（1）可得/8PE所在圓的半徑為逅

2

=2,以點。為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△。尸N,當N,F,Q,P,

。共線時，QA+QZHQP最小，過點N作NGLAB交BA的延長線于點G,連接4V,則

是等邊三角形，過點。作。MLGN于/交8C于點”，連接。2,

???四邊形A3CO是正方形,

：.AD//BC//GN,

：.OH±BC,

?；BE=2M，

:?BH=M，

AOH=VoB2-BH2=b

■:AD=DN,ZADN=60°,

???△AND是等邊三形，且AN=3?,ZNAD=60°,

：.ZGAN=30°,

：.GN=ANsin30°-3日,AG=ANcos30°=2,

22

：.OMMN=GN-BH=返

2

：.ON七11,

???QA+QD+Q尸最〃、值為：11-2=9(cm).

12.已知拋物線y=-1/+bx+4的對稱軸為x=l,與y交于點A,與x軸負半軸交于點C,

-2

作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形A'B'

O'c.

(1)求拋物線的解析式和點A、C的坐標；

(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形A'B'O'C重疊部分△OC'。的周長；

(3)若點尸為△AOC內(nèi)一點，直接寫出出+PC+P。的最小值(結(jié)果可以不化簡)以及

直線CP的解析式.

解：(1)由已知得，x=---------―=1,則。=1,拋物線的解析式為y=-3/+X+4,

2X(總)2

AA(0,4),令y=0,得-±/+]+4=0,

?*XI-■-2,X2=4.

(2)在團A5co中，ZOAB=ZAOC=90°,貝l]A5〃C0,

：.OB=VOA2+AB2=2V5-oc'=OC=2,

：.ZOC'D=ZOCA=ZB,ZC0D=NBOA,

.?.△C'OD^/\BOA,

..△C，0D_0C'_1

'△BOAOBV55

AAOB的周長為6+2、后，

：./\C。。的周長為(6+2遙)X逅=2+曬

55

(3)此點位費馬點，設三角形498的三邊為a,