2024年中考數(shù)學專項復習：將軍飲馬（解析版）

百m模型介紹

一、兩條線段和的最小值。

基本圖形解析：

(一)、已知兩個定點：

1、在一條直線m上，求一點P,使PA+PB最小;

(1)點A、B在直線m兩側(cè)：

4

*

B

(2)點A、B在直線同側(cè):

A*

*

B

A、N是關于直線m的對稱點。

2、在直線m、n上分別找兩點P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個點都在直線外側(cè)：

A

n

BB

。/

----------------?n

(4)、臺球兩次碰壁模型片’

變式一：已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點,

使得圍成的四邊形ADEB周長最短.

*B

1.m

變式二：已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線

別上求點P、Q點

PA+PQ+QA周長最短.

二、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第

三

基本圖形解析：

1、在一條直線m上，求一點P,使PA與PB的差最大；

(1)點A、B在直線m同側(cè)：

解：延長AB交直線m于點P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A—P?B<AB,

而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。

(2)點A、B在直線m異側(cè)：

A

om

B

解：過BB作關

于直線m的對稱點BJ連接AB，交點直線m于P,止匕

時PB=PB'，PA-PB最大值為AB'

rim

酒圖例題精講

考點一、兩定一動模型

【例1].如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線。E交8C于點。，垂足為E,M■為。E上任

意一點，BA=3,AC=4,BC=6,則周長的最小值為()

:DE是AB的垂直平分線，

C.AM^BM,

：.AM+CM=BM+CM,

當2,M,C在同一直線上時，AM+CM的最小值為BC的長,

又：AC=4,BC=6,

.?.△AMC周長的最小值=6+4=10,故選：D.

A變式訓練

【變式1T】.如圖，RtAABC，AC=BC=4,點、D,E分別是AB,AC的中點，在CD上

找一點尸，使B4+PE最小，則這個最小值是（）

解：如圖，連接BE,則BE就是鞏+PE的最小值，

：RtZ\4BC中，AC=BC=4,點。，E分別是AB,AC的中點,

:?CE=2cm,

:9=屈=2娓,

：.PA+PE的最小值是2泥.

故選：C.

【變式1-2].如圖，在矩形A8CD中，AB=5,AD=3,動點尸滿足S△用B=』S矩形ABCD,

3

則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為

解：設aABP中A8邊上的高是/?.

***SA/^4B=-S矩形ABCO,

3

：.^AB'h=^AB'AD,

23

.,.h=—AD=2,

3

動點尸在與AB平行且與AB的距離是2的直線/上，如圖，作A關于直線/的對稱點

E,連接AE,連接BE,則BE的長就是所求的最短距離.

在RtZXABE中，：AB=5,AE=2+2=4,

???BE=VAB2+AE2=VS2+42=V41，

即E4+PB的最小值為JU.

故答案為：V41?

【變式1-3].如圖，NAOB的邊。2與x軸正半軸重合，點尸是。4上的一動點，點N(5,

0)是。2上的一定點，點M是。N的中點，NAO2=30°,要使尸M+PN最小，則點P

則此時，PM+PN最小,

\'OA垂直平分MV,

：.ON=ON',ZN'ON=2ZAON=60°,

...△NON是等邊三角形，

:點M是ON的中點，

C.NMVON,

;點、N(5,0),：,ON=5,

,點M是ON的中點，

5_

.T_5?.55⑸

??PM-孤-6，-P份，丁)?

故答案為：盧，立叵).

26

考點二、一定兩動模型

【例2].如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,AD平分/CAB

交BC于D點,E、尸分別是ADAC上的動點，則CE+E下的最小值為.

解：在A3上取一點G,使AG=AR

'：ZCAD=ZBAD,AE=AE,

：./\AEF^/\AEG(SAS),

：.FE=EG,

：.CE+EF=CE+EG,

則最小值時CG垂直AB時，CG的長度,

CG亭

A變式訓練

【變式2-1].如圖，在Rtz^ABC中，ZA=90°,ZB=60°,BC=4,若E是BC上的動

點，歹是AC上的動點，則AE+EF的最小值為3.

ZC=30°,

B

W

作A關于8c的對稱點。，交BC于H,過。作OF_LAC于R交BC于E,

則此時AE+EF的值最小，且AE+EF的最小值=。/，

連接CD,

則△AC。是等邊三角形，

'：SAADC=—AC-DF=^AD-CH,

22

'：AD=AC,：.DF=CH,

；/a4c=90°,ZACB=30°,

：.AB=—BC=2,

2

同理2H=2AB=1,

2

CH=BC-8=3,，DF=CH=3,

：.AE+EF的最小值為3,

故答案為：3.

【變式2-2].如圖，正方形ABC。的邊長為4,/D4C的平分線交。C于點E,若點P、Q

分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是

解：作。關于AE的對稱點》,再過。'作￡>'P'于P,

?:DD'±AE,

：.ZAFD=ZAFD',

'：AF^AF,ZDAE^ZCAE,

:.△DkF咨AF,

：.D'是。關于AE的對稱點，AD'=AD=4,

:.D'P即為OQ+P。的最小值，

丁四邊形ABC。是正方形，

AZDAD1=45°,

：.AP'=P'D',

.?.在RtZ\APD'中，

P'D'2+AP'2=A。'2,AD'2=16,

'：AP'=P'D',

2PD'2=AD'2,即2PD'2=16,

：.P'D'=2&,

即DQ+PQ的最小值為2我，

故答案為：2企.

【變式2-3].如圖，四邊形A8CD中，ZBAZ)=130°,ZB=ZD=90°,在BC、CD±

分別找一點M、N,使周長最小時，則/AMN+NAW的度數(shù)為100°.

解：如圖，作點A關于的對稱點A',關于C。的對稱點A",

連接A'A"與BC、C。的交點即為所求的點M、N,

\"ZBAD=130°,ZB=ZD=90°,

.?./A'+ZA"=180°-Z130°=50°,

由軸對稱的性質(zhì)得：NA'=/A'AM,ZA"=ZA"AN,

:./AMN+/ANM=2CZA'+ZA")=2X50°=100°.

故答案為:100°.

考點三、線段差最大值模M

【例3].如圖，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分線交AC于點N,交A8于點M,AB

=12cm,△BMC的周長是20c機，若點尸在直線MN上，則朋-PB的最大值為.

A

屏-----------------AC

解：：MN垂直平分AC,

C.MA^MC,

又C^BMC=BM+MC+BC=20cm,BM+MA=AB=12cm,

：.BC=20-12=8(cm),

在MN上取點尸，

：MN垂直平分AC

連接B4、PB、PC

：.PA=PC

：.PA-PB=PC-PB

在△PBC中PC-PB<BC

當尸、B、C共線時，即尸運動到與P重合時，(PC-PB)有最大值,此時PC-PB=BC

=8cs.

A變式訓練

【變式如圖，已知點的坐標為（）點的坐標為（旦,

3-1].A0,1,82）,點P在直線y

2

=-x上運動，當|B4-尸2|最大時點P的坐標為.

解：作A關于直線>=-x對稱點C,易得C的坐標為（-1,0）；連接BC,可得直線

8c的方程為y=

55

求BC與直線y=-x的交點，可得交點坐標為（4,-4）；

此時|融-回8|=『（7-尸8|=8（7取得最大值，其他BCP不共線的情況，根據(jù)三角形三邊的

關系可得|PC-PB|<BC；

【變式3-2].如圖，兩點A、8在直線外的同側(cè)，A到MN的距離AC=16,B到MN的

距離8￡>=10,C￡）=8,點P在直線MN上運動，則照-BBI的最大值等于10.

解：延長43交于點〃，

,:P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

...當點尸運動到尸'點時，照-尸引最大，

VBD=10,CD=8,AC=16,

過點B作BE±AC,貝l|BE=CD=8,AE=AC-BD=16-10=6,

?'-AB=VAE2+BE2=V62+82=I。，

的最大值等于10,

故答案為：10.

【變式3-3].如圖，在菱形A8CD中，對角線AC=6,8。=8,點E為A8邊的中點，點P

為對角線BD上一動點，連接PC,PE,求|PC-PE|的最大值.

C

解：由菱形性質(zhì)可知，C點關于8。的對稱點A,連接AP,則AP=CP,

在△APE中，

\PE-PA\<EA,

則當點尸、E、A三點共線時，|PE-B4|取最大值，最大值為AE.

...|PC-的最大值為AE.

:菱形ABCD中，對角線AC=6,BD=8,

：.OA=3,OB=4,：,AB=5,

?.?點E為AB邊的中點：.AE=2.5,

...|PC-的最大值為2.5.

模型四、造橋選址模型（即動線段類型）

【例4].如圖，在矩形A8C。中，AB=5,BC=4,E、尸分別是AD、8C的中點，點尸、Q

在所上.且滿足尸。=2,則四邊形4尸。2周長的最小值為12.

解：'：AB=5,PQ=2,

：.四邊形APQB的周長為AP+PQ+BQ+AB=AP+BQ+1,

則要使四邊形APQ3的周長最小，只要AP+8。最小即可.

在AB邊上截取AM=PQ,

:點尸是BC的中點，

/.點B關于EF的對稱點為點C,

連接CM,交EF于點Q,

貝！]CM即為AP+B。的最小值.

在Rt/XBCM中，MB=AB-AM^5-2=3,BC=4,

.1.CM=^32+42=5,.?.四邊形4尸08的周長最小值為5+7=12.故答案為：12.

A變式訓練

【變式4-1].如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABC。的頂點B在原點，點A、C在坐標軸

上，點。的坐標為（6,4）,E為C。的中點，點P、0為BC邊上兩個動點，且PQ=2,

要使四邊形APQE的周長最小，則點尸的坐標應為（反，0）.

解：點4向右平移2個單位到點E關于BC的對稱點孔連接MF,交BC于。,

此時MQ+EQ最小，

PQ—2,DE—CE—2,AE=-\J$2+2210'

要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+E。最小就行，

即AP+EQ=MQ+EQ,過M作MNLBC于N,

設CQ=x,貝INQ=6-2-x=4-x,

■:小MNQS^FCQ,

.MNNQ

',CF'CQ

'：MN=AB=4,CF=CE=2,CQ=x,QN=4-x,

?.?—4二4-x’，

2x

解得：x=—,

3

?,.BP=6-2-A=8.,故點尸的坐標為：（區(qū),0）.故答案為：（色,0）.

3333

【變式4-2].如圖，正方形ABCD的邊長為3,E、尸是對角線8。上的兩個動點，且EF

近,連接CE、CF,則△CEF周長的最小值為

解：如圖所示，連接AE,AC,以AE,為鄰邊作平行四邊形AEEG,

則AE=EG,EF=AG=?,ZGAD=ZADF=45°=ZDAC,

.".ZGAC=90°,

\"AB=CB,/ABE=NCBE,BE=BE,

.?.△ABE經(jīng)ACBE(SAS),

：.CE=AE=GF,

：.CE+CF=GF+CF,

...當G,F,C在同一直線上時，CF+FG的最小值等于CG的長，

此時，RtZ\ACG中，CG=泥，

J.CF+FG的最小值等于2J5，

又,:EF=也,

...△CE/周長的最小值為我+275-

故答案為：V2+2V5.

G

A

【變式4-3].在直角坐標系中，矩形0AC2的頂點。在坐標原點，頂點A,8分別在無軸、

y軸的正半軸上，。4=3,08=4,。為邊的中點，線段跖在邊。4上移動，保持

EF=2,當四邊形C/g產(chǎn)的周長最小時，求點E,尸的坐標.

解：如圖，作點。關于x軸的對稱點O',在CB邊上截取CG=2,

連接。'G與x軸交于點E,在瓦1上截所=2,

'：GC//EF,GC=EF,

...四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF,

又DC、EP的長為定值，

此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小，

,JOE//BC,

.?.RtAD7OE^RtAD'BG,有絲=-?，?一,

BGDyB'

yy

.OE=D0>BG=DQ(BC-CG)=2X1=1_

D'BD7-^6后，

OF=OE+EF=工+2=工，

33

實戰(zhàn)演練

,在RtZXABC中，'NACB=90°，AC=6,BC=8,AO是/BAC的平分線.若P,

Q分別是和AC上的動點，則PC+尸。的最小值是（）

A.衛(wèi)B.4C.5D.區(qū)

55

解：作點。關于AD的對稱點。，連接尸。，如圖2所示.

'：AD平分N2AC,

二點。'在直線4B上，PQ=PQ',

：.PC+PQ=PC+PQ',

當CQ'LAB,點P為C0與AO的交點時，PC+PQ'取得最小值，最小值為CQ'.

在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

；?A8=VAC2+BC2=1。，

：.^AC-BC^^AB-CQ',即/x6X8=/xiO?C。，

：.PC+PQ的最小值為2土

5

故選：D.

2.如圖，正方形ABE尸的面積為4,△8CE是等邊三角形，點C在正方形A3所外，在對

角線BF上有一點尸，使PC+PE最小，則這個最小值的平方為（）

E

A.473B.8+473C.12D.8+2V3

解：連接AC,AE,過C作CG_LAB,

J.AELBF,OA=OE,

即可得：E關于的對稱點是A,連接AC交8尸于P,則此時EP+CP的值最小,

EP+CP=AC,

:正方形ABEF的面積為4,△3CE是等邊三角形，

：.AB=BE=2,BE=BC=2,

在RtZXBCG中，ZCBG=90°-60°=30°,BC=2,

：.CG=1,BG=M，

AAC=VCG2+AG2=V12+(2+X/3)2=V8+473'

/.AC2=8+4V3>

即這個最小值的平方為8+4百，

故選：B.

3.如圖，在平面直角坐標系中，RtAOAB的頂點A在x軸的正半軸上.頂點8的坐標為（3,

愿），點C的坐標為（4,0）,點P為斜邊。2上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）

A.B.2ZHC.D.2V7

222

解：法一：

作A關于02的對稱點D，連接CO交。2于尸，連接AP,過￡>作DAU0A于N,

則此時B4+PC的值最小，

'：DP=PA,

：.PA+PC=PD+PC=CD,

；B(3,?),

:.AB=M，0A=3,ZB=60°,由勾股定理得：。8=2?,

由三角形面積公式得：^-XOAXAB=^-XOBXAM,

22

；.AM=—,

2

；.AZ)=2Xg=3,

2

V90°,ZB=60°,

AZBAM=30°,

VZBAO=90°,

ZOAM=60°,

■:DNLOA,

；./N￡)A=30°,

：.AN=^AD=^-,由勾股定理得：DN=■M，

222

vc(A,0),

2

：.CN=3---3=1,

22

在Rtz^DNC中，由勾股定理得：〃C=J]2+(_|^)2=嗎1,

即鞏+PC的最小值是迄，

2

法二：

如圖，作點C關于0B的對稱點D,連接AD,過點D作DM±0A于M.

,/AB=V3>OA=3

/.ZAOB=3Q°,

/Z)OC=2/AOB=60°

0C=0D

.?.△OCD是等邊三角形

：.DM=CD-sin60°=返，＜9M=CM=CD-cos60o=A

44

J.AM^OA-OM=3--1=11

44

.?.AZ)=^DH2+AH2=V1L

即PA+PC的最小值為叵

2

4.如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與3。交于點O,N是A。的中點，點M在3c

邊上，且BM=6.P為對角線8。上一點，則PM-PN的最大值為（）

解：如圖所示，以8。為對稱軸作N的對稱點N,連接MN'并延長交8。于P,連NP,

根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN=PN,

：.PM-PN=PM-PNWMN,

當P,M,N三點共線時，取“=”，

???正方形邊長為8,

：.AC=42AB=8y/2>

?.?。為AC中點，

.?.A0=0C=4&,

■:N為OA中點，

：.0N=2?

；.0N=CN=2圾，

:.AN=6?

:BM=6,

：.CM=AB-BM=8-6=2,

?CM_CN;_1

"BMAN，石，

J.PM//AB//CD,NCMN=90°,

■:NNCM=45°,

ANCM為等腰直角三角形,

：.CM=MN'=2,

即PM-PN的最大值為2,故選：A.

5.如圖，在正方形ABC。中，點E,尸將對角線AC三等分，且AC=12,點P在正方形的

邊上，貝IJ滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是（）

C.6D.8

解：如圖，作點尸關于BC的對稱點M,連接月0交8C于點N,連接EM,交BC于點

H

；點、E,尸將對角線AC三等分，且AC=12,

；.EC=8,BC=4=AE,

1點M與點B關于2C對稱

；.CF=CM=4,ZACB^ZBCM^45°

：.ZACM=90°

^=VEC2＜M2=4VS

則在線段BC存在點H到點E和點F的距離之和最小為4代＜9

在點〃右側(cè)，當點尸與點C重合時，則PE+PF=12

點P在CH上時，4病VPE+PFW12

在點打左側(cè)，當點P與點B重合時，BF=VFN2+BN2=2^10

\'AB^BC,AE=CF,NBAE=NBCF

.?.△ABEQCBF（SAS）

；.BE=BF=2^~i^

/.P￡+PF=4A/10

.?.點P在上時，4代＜PE+PFW4JI5

在線段BC上點H的左右兩邊各有一個點P使PE+PF=9,

同理在線段ASAD,CD上都存在兩個點使PE+PF=9.

即共有8個點尸滿足PE+PF=9,

故選：D.

6.如圖，在直角坐標系中，點A、8的坐標分別為（1,4）和（3,0）,點C是y軸上的一

解：VA(1,4),B(3,0),

/.直線AB的解析式為y=-2x+6,

；|BC-ACIWAB,

...當A、B、C三點共線時，IBC-ACI的值最大，

此時C(0,6)

故答案為(0,6)

7.如圖，在四邊形中，ZBAD=13Q°,ZB=ZD=90°,在BC,CD上分別找一

點、M,M使三角形AMN周長最小時，則NMAN的度數(shù)為80°.

解:延長到A'使得比V=A8,延長的＞到A〃使得D4"=A。,連接］A"與BC、

C。分別交于點M、N.

VZABC=ZADC=90°,

.?.A、A'關于BC對稱，A、A"關于CD對稱，

此時△AMN的周長最小，

\'BA=BA',MBLAB,

C.MA^MA',同理：NA=NA",

：.ZA'=/MAB,ZA"=ZNAD,

VZAMN=ZA'+ZMAB=2ZA',ZANM=ZA"+ZNAD=2ZA",

:./AMN+NANM=2(ZAZ+ZA"),

VZBAD=130°,

.?./A'+/A”=180°-ZBAD=50°,

/.ZAMN+ZANM=2X50°=100°.

：.ZMAN=l80°-100°=80°,

8.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC+BC=14,tanB=0.75,點。，E分別是邊AB,

BC上的動點，則DC+DE的最小值為—典

解：作C關于的對稱點C,過。作CELBC,與交于點

則DC+DE的最小值即為CE；

VZACB=90°,AC+BC=14,tanB=0.75,

：.AC=6,BC=8,AB=IO,

cc=圖，

5

'：ZB=ZC,

.C'EBC

??----:--=----，

CC'AB

AC￡=192）故答案為典；

2525

9.如圖，在回ABC。中，點M、N分別是AC和8C上的動點，AB=3,BC=6,ZD=60°,

在點M、N運動的過程中，8M+MN的最小值為上盜

解：延長54到E,使EA=AB,過點E作EALLBC于M交AC于M,連接8M

E

A

AZABC=ZD=60°,

「△ABC中，AB=3,EA^AB,

:.BE=BC=6,△EBC是等邊三角形，

.?.點E和點B關于AC對稱，

C.BM+MN的最小值即為EN的長，

RtZVEBN中，ZBNE=90°,ZABC=60°,BE=6,

：.BM+MN^EN^BEXsin60°=3我.

故答案為：3A/3-

10.如圖，在平面直角坐標系中，長為2的線段（點。在點C右側(cè)）在x軸上移動，A

(0,2),B(0,4),連接AC,BD,則AC+a9的最小值為2x/-IO

解:如圖,將線段向左平移到CE的位置，作點A關于原點的對稱點A',連接C4',

EA'.

則E(-2,4),A'(0,-2),AC+BD^CA1+CE^EA',

EA'={22+§2=2v15，

.?.AC+BD的最小值為25.故答案為：2y5.

11.如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點，尸是△ABC的中線AD上的動點，且A2

=6,則BP-PE的最大值是3.

「△ABC是等邊三角形，AD是中線，

J.ADLBC,

：.PC=PB,

是AC邊的中點，A8=6,

:.EC=3,

在△PCE中，CP-PE<EC,

：.CP-PE<3,

當尸與A重合時，CP-PE的值最大為3,

BP-PE的最大值是3.故答案為：3.

12.如圖，在平面直角坐標系中，點P（4,5）,點。（0,2）,當腰長為2的等腰直角三角

形ABC在x軸上滑動時，AQ+PC的最小值為_0_.

解：連接。C、AQ.CO、OP,如右圖所示，

:。（0,2）,AABC是腰長為2的等腰直角三角形,

/.ZCA(9=ZQOA=ZOQC=90°,

四邊形QOAC是矩形，

：.AQ=OC,

：.AQ+PC^OC+PC,

'：OP<OC+PC,等腰直角三角形ABC在x軸上滑動，

/.當OC+PC等于OP時，取得最小值，

?.,點P(4,5),

'-OP=^42+52=,

J.AQ+PC的最小值是JU,

故答案為：V41?

13.如圖，菱形ABC。的邊長為4,/A=60°,E是邊4。的中點，尸是邊A2上的一個動

點，EG=EF,且/GEF=60°,則GB+GC的最小值為2.

解：取A8與CO的中點M,N,連接MN,作點B關于MN的對稱點E,連接EC,E,B,

此時CE的長就是GB+GC的最小值；

\'MN//AD,

：.HM=—AE,

2

,:HBLHM,AB=4,ZA=60°,

：.MB=2,ZHMB=60°,

：.AE=2,

點與E點重合，

VZAEB=ZMHB=9Q°,

：.ZCBE^90°,

在RtZXEBC中，EB=2yf3,BC=4,

:.EC=2近,

故答案為2小；

c

A~FB

14.如圖，正方形ABC。內(nèi)接于O。，線段MN在對角線BD上運動，若O。的面積為2m

MN=1,則周長的最小值為4.

解：。。的面積為2m則圓的半徑為我,則BO=2&=AC,

由正方形的性質(zhì)，知點C是點A關于BD的對稱點，

過點C作CA'//BD,且使C4'=1,

連接A4'交BD于點N,取M0=1,連接AM、CM,則點M、N為所求點，

理由：C//MN,且A'C=MN,則四邊形MCA'N為平行四邊形，

則A'N=CM=AM,

故的周長=AM+AN+MN=AA'+1為最小，

貝次A=4(W^)2+12=3,

則△AMV的周長的最小值為3+1=4,

故答案為：4.

15.如圖拋物線y=/+2r-3與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,點尸是拋物線對稱

軸上任意一點，若點。、E、尸分別是BC、BP、PC的中點，連接。E,DF,貝UDE+。尸

的最小值為—芭巨

解：拋物線的對稱軸為直線》=-1,

當尤=0時，y=/+2x-3=-3,則C(0,-3),

當y=0時，J?+2X-3=0,解得xi=-3,%2=1,則A(-3,0),B(1,0),

?點￡)、E、/分別是2C、BP、PC的中點，

：.DE和DF都為△P3C的中位線，

：.DE=—PC,DF=—PB,

22

：.DE+DF=^-(PC+PB),

2

連接AC交直線x=-1于尸，如圖,

'：PA=PB,

：.PB+PC=*PC=AC,

此時PB+PC的值最小，其最小值為3&,

J.DE+DF的最小值為舅

2

故答案為百巨.

2

16.如圖，正方形A8C。邊長為4,DE=1,M,N在8c上，且MN=2.求四邊形AVNE

周長的最小值.

解：在上取一點A',使得A4'=MN=2,作A'關于BC的對稱點，連接A”

E交BC于N.此時四邊形AMNE的周長最短.

由題意AE=442+12=V17，A"E—J]2+72='53，

：.四邊形AMNE的周長的最小值為2+J點+J萬-

17.(1)如圖1,0C平分NAOB,點。是射線。4邊上一點，點尸、。分別在射線。C、

。8上運動，已知。。=10,ZAOC=30°,則CP+PO的最小值是10；

(2)如圖2,在菱形ABC。中，AB=8,NZMB=60°,點E是A8邊上的動點，點、F

是對角線AC上的動點，求EF+BE的最小值；

(3)如圖3,在矩形ABCD中，AB=8,A￡>=4,點M是AB上一動點，點N是對角線

AC上一動點，請直接寫出MN+BN的最小值.

解：(1)當。、P、。共線且。QJ_08時，。尸+P。的值最小,

：.DP+PQ的最小值是5?,

故答案為：5我；

(2)連接DE、BD,

由菱形的對角線互相垂直平分，可得8、。關于AC對稱，則尸。=尸8,

FE+FB=EF+FD=DE,

即DE就是FE+FB的最小值，

VZBAD=60°,AD=AB,

**.△ABZ)是等邊三角形，

*：AE=BE,

：.DE±AB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)），

在RtAADE中，DE=yl_^2=4次,

.-.EF+BF的最小值=4我；

(3)如圖3,作點8關于AC的對稱點B',過點8'作B'于M,交AC于N,

連接AB'交。C于尸，連接BN,

???四邊形ABC。是矩形，

J.DC//AB,

.\ZBAC=ZPCA,

:點B關于4c的對稱點是次，

ZPAC=ABAC,

：.ZPAC=ZPCA,

：.PA=PC.

令PA=x,則PC=x,PD=8-x.

在RtAADP中，：刑2=PE^+AD1,

.'.x1—(8-x)2+42,

??x=5,

z

VcosZBAM=cosZAPDf

：.AM：AB'=DP：AP,

：.AM：8=3：5,

5

??㈤M=N?2_人從2=,82_(卷)2=等,

V0D

18.(1)如圖①，點尸為直線/上一個動點，點A,2是直線/外同側(cè)的兩個定點，連接B4,

PB,AB.若AB=2,則B4-尸2的最大值為2.

(2)如圖②，在四邊形ABC。中，AB^AD,ZBAD=90°,對角線AC_L3。，垂足為

點。，0A=20C,點E為。C中點，點廠在A2上，5.BF^3AF,點尸為2。上一動點，

連接PE,PF,若AC=6,求PE-PE的最大值.

(3)如圖③，在△ABC中，AB=AC=3,ZBAC=150°，點尸為平面內(nèi)一動點，連接

PA,PB,PC.若B4=2,求P8-PC的最大值.

解：(1)根據(jù)三角形三邊關系兩邊之差小于第三邊，

只有當A、B、P共線時以-PB有最大值為AB=2,

故答案為：2；

(2)如圖②，作點E關于8。的對稱點E,連接FE并延長交8。于

同理(1)可知，此時尸、E、尸共線尸尸-PE有最大值為PE,

：AC=6,0A=20C,OA+OC^AC,

：.0A=4,0C=2,

?.?點E為OC中點，

.?.OE=_1OC=1,

2

根據(jù)對稱性得：OE=OE=1,

"：AB=AD,ZBAD=90°,AC±BD,

.?.△AOB為等腰直角三角形，

.??AB=&AO=4&,

"：BF=?>AF,AF+BF=AB,

:.AF=?

作FHLAC于H,

???△AO8為等腰直角三角形，

/.ZBAE=45°,

即XXFH也為等腰直角三角形，

：.AH=FH=1,

2

：.HE'=AO-AH-0E=4-1-1=2,

FE=7FH2+HE,2=Vl2+22=如，

故PF-PE的最大值為遙；

(3)如圖③，將△APC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)150°得到△AP'B,則尸C=PB,

...當點尸、P\8三點共線時，P8-PC有最大值為PP,

作POYP'A延長線于O,

圖③

*：ZBAC=150°,

：.ZOAP=30°,

；.OP^—AP^1,

2

OA=7AP2-OP2=V22-12=Vs，

：.P0=2+43>

p'p^yjop2-iOP/2=7（2+V3）2+l2=8+4V3=V2+V6，

:.P'B-4=近岷,

ikPB-PC的最大值為&+V6.

圖②

19.如圖所示，拋物線y=/-2x-3與x軸相交于A、8兩點，與y軸相交于點C,點加為

拋物線的頂點.

(1)求點C及頂點M的坐標；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點P,使得△ACP的周長最小，請求出點尸的坐標；

(3)若點N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接BN、CN,求ABCN面積的最大值

及此時點N的坐標.

解：(1)拋物線y=/-2x-3,當x=0時，y=-3,

：.C(0,-3),

-/y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

拋物線的頂點坐標為M(1,-4).

(2)如圖1,由(1)得，拋物線的對稱軸為直線x=l,

設直線x=l交BC于點。，點P為直線x=l上任意一點，連接AD、PB,

：AC為定值，

當PA+PC的值最小時，A4CP的周長最小，

:點8與點A關于直線x=l對稱，

：.PA=PB,

：.PA+PC^PB+PC,

;PB+PC2BC,

：.當點尸與點。重合時，*PC=PB+PC=BC,

此時P2+PC的值最小，B4+PC的值也最小，

拋物線y=d-2x-3,當y=0時，貝ij/-2尤-3=0,