2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型分類討論思想在五種題型中的應(yīng)用（學(xué)生版）

專題15分類討論甩想在五種題型中的應(yīng)用

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

i.假設(shè)結(jié)論成立；

2.找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：

①當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知條件上滿足直線的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫弧,

若所畫弧與坐標(biāo)軸或拋物有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫弧與坐

標(biāo)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；

②當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線

有交點(diǎn)時(shí)，那交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)

不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn).

3.計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添

加輔線構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用其角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，用變量表示出所求三角形三邊的長(zhǎng)的平方的代數(shù)式，如本題，設(shè)點(diǎn)F（l,f）,

△BCF三邊長(zhǎng)為：B戶=4+干,<7^=/+6^10,BC=18；

2.找點(diǎn)：根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論：

①當(dāng)定長(zhǎng)（己知的兩個(gè)點(diǎn)連線所成的線段）為直角三角形的直邊時(shí)（如本題（4）中的邊BC）,分

別過定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)（B和C）做其垂線，與所求點(diǎn)滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對(duì)稱軸）有

交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；

②當(dāng)定長(zhǎng)為直角角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所有點(diǎn)滿足條件的直線或拋物線有交

點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).

3.計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段

時(shí)，注意代數(shù)式的符號(hào)），再利用相似三角形得比例線段關(guān)系或利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

分類討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問題，在

求其解集時(shí)要對(duì)字母進(jìn)行分類討論。

對(duì)含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時(shí)一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進(jìn)行分類討論。

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想

在函數(shù)問題中，分類有兩種情況：一種是對(duì)概念進(jìn)行分類，一種是分情況討論問題，對(duì)概念進(jìn)行分

類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對(duì)概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們?nèi)?/p>

面考察一個(gè)對(duì)象，得出可能的結(jié)論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對(duì)于中學(xué)生來是比較

難掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，在對(duì)概念進(jìn)行分類時(shí)，往往把握不住標(biāo)準(zhǔn)，不能堅(jiān)持用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)

行分類，出現(xiàn)“重”或"漏"的現(xiàn)象，從而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生

題型五、圓中的分類討論思想

由于圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會(huì)出現(xiàn)多解問

題。這類題目重在考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與運(yùn)用情況，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯

思維能力。如果解題時(shí)考慮不嚴(yán)密，理解不透切，形成思維定勢(shì)，就會(huì)漏解，從而造成錯(cuò)誤。在圓

中解這類問題時(shí)，需要利用分類討論思想，在解題時(shí)可以多考慮將圓進(jìn)行折疊或旋轉(zhuǎn)。

壓軸題預(yù)測(cè)

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

1.（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)y=fcc+2（人為常數(shù)，左20）的圖象與反比例函數(shù)y=為常數(shù)，m^O）

"4x

的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與無(wú)軸交于點(diǎn)8（-3,0）.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（2）點(diǎn)尸在x軸上，AABP是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線>=--+如+<:與x軸交于點(diǎn)A（-l,0）、B,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,直

線/是拋物線的對(duì)稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）在對(duì)稱軸/上是否存在點(diǎn)使AM4c為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.（2023?婺城區(qū)模擬）在矩形ABCD中，AB=4,4）=10,E是AD上的一點(diǎn)，且AE=2,M是直線A5

上一點(diǎn)，射線ME交直線CD于點(diǎn)P,EG_LME交直線3C于點(diǎn)G,連結(jié)MG、FG,直線FG交直線45

于點(diǎn)N.

（1）①當(dāng)點(diǎn)〃為AB中點(diǎn)時(shí)，求正與EG的長(zhǎng);

②求貶的值.

FG

（2）若AEGN為等腰三角形時(shí)，求滿足條件的AM的長(zhǎng).

D

4.(2023?濮陽(yáng)縣模擬)在等腰直角三角形ABC中，Z4CB=9O。，AC=,點(diǎn)P為直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

繞點(diǎn)C將射線CP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，交直線AB于點(diǎn)Q.

圖1圖2

在圖1中，將AAPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到NBMC，連接MQ,

NACP+NBCQ=45°,ZACP=NBCM,

:.ZMCQ=45°=ZPCQ,

又?CP=CM,CQ=CQ,

:.APCQ=/\MCQ.

請(qǐng)閱讀上述過程，并完成以下問題:

(1)得出APCQMAMCQ的依據(jù)是(填序號(hào)).

①)SSS

②SAS

③A4s

?HL

(2)在以上條件下，如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段84的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：PQ2=AP-+BQ2.

(3)在等邊三角形ABC中，3C=2,點(diǎn)P為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。交直

線54于點(diǎn)。，將AAPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ABMC,連接MQ,當(dāng)ABM0為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接

寫出AP的長(zhǎng).

5.(2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在矩形45CD中，AB=kBC(fl<k<l),將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

c度(0<a<90)得到線段AE,過點(diǎn)E作AE的垂線交射線CD于點(diǎn)〃，交射線上)于點(diǎn)

備用圖

［嘗試初探］

(1)當(dāng)點(diǎn)M在？1D延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，44E與44ME始終相等，且與始終相似，請(qǐng)說明理

由；

［深入探究］

1Q

(2)若％=—,隨著線段的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)H的位置也隨之發(fā)生變化，當(dāng)C8=±C￡>時(shí)，求tana的值；

24

［拓展延伸］

(3)連接￡D,當(dāng)AEDM為等腰三角形時(shí)，求tana的值(用含％的代數(shù)式表示).

3

6.(2023?虹口區(qū)一模)如圖，在AABC中，AB=AC=W,sinB=-,點(diǎn)。、E分別在邊A3、3c上,

5

滿足NCDE=N3.點(diǎn)/是小延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且NECF=NACD.

(1)當(dāng)點(diǎn)。是A5的中點(diǎn)時(shí)，求tanNBCD的值;

(2)如果A￡>=3,求的值；

DE

(3)如果AfiDE是等腰三角形，求CF的長(zhǎng).

7.(2023?文成縣一模)如圖，點(diǎn)￡,尸分別為矩形ABCD邊4),CD上的點(diǎn)，以3E為直徑作O交BF

于點(diǎn)G,且所與O相切，連結(jié)EG.

(1)若AE=EG,求證：AABE=AGBE.

(2)若AB=2,tanZEBF=-

2

①求DE的長(zhǎng).

②連結(jié)AG,若AABG是以AG為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的3。的長(zhǎng).

(3)連結(jié)CG,若CG的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)A,且ED=EG,求生的值.

EF

AE

BC

8.(2023?涪城區(qū)模擬)如圖，已知：在AABC中，NC=90。，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，PD工BC交AB于

D,以PD為直徑的O分別交A3,AP于點(diǎn)E,F.

(1)求證：ZEFP=ZEPB.

3

(2)若AB=20,sinB=—.

5

①當(dāng)ZAPB=4ZAPD,求PC的長(zhǎng).

②當(dāng)APEF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有滿足條件的APEF的腰長(zhǎng).

(3)若sin5=正，且O,尸，C在一條直線上，則。P與AC的比值為

2

9.(2023?河南模擬)如圖所示，在RtAABC中，ZABC=90°,點(diǎn)D為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，作=,

過點(diǎn)B作BELBD,交DE于點(diǎn)、E,連接CE.(點(diǎn)A、E在的兩側(cè))

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1所示，若/4=45。時(shí)，AD.CE的數(shù)量關(guān)系為,直線4＞、CE的夾角為；

【類比探究】

(2)如圖2所示，若24=60。時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由；

【拓展延伸】

(3)若NA=30。，AC=2』，且A4BD是以AB為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CE的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.（2022?大連模擬）如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,點(diǎn)尸在邊AS上，過點(diǎn)尸作至

的垂線與邊AC或3c相交于點(diǎn)。，將點(diǎn)。繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得點(diǎn)E,過點(diǎn)E作的垂線與邊AC或

8C相交于點(diǎn)尸.設(shè)AP的長(zhǎng)為尤（?！ǎ?，四邊形DPEF的面積為y（cm2）.

（1）求AB的長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量尤的取值范圍.

（備用圖）

2.(2022?蓮池區(qū)校級(jí)二模)如圖，RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以

每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC-CB-84方向繞行AABC一周，與3C垂直的動(dòng)直線/從AC開始.以每秒

1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，分別交至，CB于D,E兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，直線/也停止運(yùn)動(dòng)，

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)尸作于/，

①當(dāng)PD=PE時(shí),求證：APDF=A￡P(guān)C；

②設(shè)APDE的面積為S,用含f的代數(shù)式表示S,并求當(dāng),為何值時(shí)，S有最大值；

(2)當(dāng)直線/等分AA5c的面積時(shí)求f的值，并判斷此時(shí)點(diǎn)尸落在AA5c的哪條邊上；

(3)直接寫出PD=P￡1時(shí)f的值.

3.(2022?濟(jì)南二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,0),四邊形。4BC為平

行四邊形，反比例函數(shù)>=幺0>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,與邊交于點(diǎn)。，若0c=2近，tanZAOC=l.

X

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)尸30)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求|PC-P0最大時(shí)。的值；

(3)連接C4,在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得四邊形C4MN為矩形，若

存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)河的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.（2022?海口模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=渥+云+3（4/0）與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交

于4-2,0）、3（4,0）兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從3點(diǎn)出發(fā)，在

線段3c上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AMBN

的面積為S,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，試求S與f的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；

（3）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻f,使AMBN為直角三角形？若存在，求出r的值；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

5.(2023?乳山市二模)過四邊形ABCD的頂點(diǎn)A作射線AM,P為射線AM上一點(diǎn)，連接QP.將AF繞

點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至A。，記旋轉(zhuǎn)角/上4。=0,連接3。.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形/WCD是正方形，且《=90。.無(wú)論點(diǎn)尸在

何處，總有=請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論.

(2)【類比遷移】如圖2,如果四邊形ABCD是菱形，ZDAB=a=6C)0,ZMAD=15°,連接尸。.當(dāng)尸。_L3。，

AB=?+A/5時(shí)，求止的長(zhǎng)；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,如果四邊形ABCD是矩形，AD=6,AB=8,AVf平分NZMC,a=90。.在

射線A。上截取4?,使得A7?=?AP.當(dāng)AP歐是直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出心的長(zhǎng).

口」

QQ

圖1圖2

/M/M

，「

圖3備用圖

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

1.（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間

對(duì)團(tuán)隊(duì)*旅游實(shí)行門票特價(jià)優(yōu)惠活動(dòng)，價(jià)格如下表：

購(gòu)票人數(shù)機(jī)（人）1底弧505談加100根>100

每人門票價(jià)（元）605040

*題中的團(tuán)隊(duì)人數(shù)均不少于10人.

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)共102人，計(jì)劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團(tuán)隊(duì)不足50人，乙團(tuán)隊(duì)多于

50人.

（1）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別購(gòu)票，一共應(yīng)付5580元，問甲、乙團(tuán)隊(duì)各有多少人？

（2）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)聯(lián)合起來作為一個(gè)“大團(tuán)隊(duì)”購(gòu)票，比兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各自購(gòu)票節(jié)省的費(fèi)用不少于1200元，

問甲團(tuán)隊(duì)最少多少人？

2.（2021?商河縣校級(jí)模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問題：求不等式（2*-1）。+3）>0的解集.

解：根據(jù)“同號(hào)兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②?九二1<°

[x+3>0[x+3<0

解不等式組①得：解不等式組②得x<-3.

2

不等式（2x-l）（x+3）>0的解集為尤>g或x<—3.

請(qǐng)你仿照上述方法解決下列問題：

（1）求不等式（2尤-3）（x+l）<。的解集.

L-i

（2）求不等式^—..0的解集.

%+2

3.（2024?江門校級(jí)一模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：

例題：解一元二次不等式尤2-4>0.

解：-4=（尤+2）（x-2）,

.?.爐_4>0可化為（尤+2）（尤，2）>0.

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得

fx+2>0[x+2<0

①1，②1,

[x-2>0[x-2<0

解不等式組①，得x>2,解不等式組②，得x<-2,

.?.（x+2）（x-2）>0的解集為x>2或x<-2,即一元二次不等式爐-4>0的解集為無(wú)>2或x<—2.

（1）一元二次不等式Y(jié)-16>0的解集為—；

（2）分式不等式士1>0的解集為_；

x-3

（3）解一元二次不等式-5%<0.

4.（2022?泰安三模）某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價(jià)是荔枝味飲料每

瓶售價(jià)的9倍.4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售60000瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味

4

飲料銷售額為280000元.

（1）求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價(jià)；

（2）五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動(dòng)，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味

飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的3;不多于桔子味飲料的2倍.桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲

2

料每瓶降價(jià)2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元?

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想

1.（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）共享電動(dòng)車是一種新理念下的交通工具；主要面向3萬(wàn)*~10初z的出行市場(chǎng)，現(xiàn)

有A,3兩種品牌的共享電動(dòng)車，給出的圖象反映了收費(fèi)y（元）與騎行時(shí)間宜功山）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中

A品牌收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)％,3品牌的收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)當(dāng),請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

（1）說出圖中函數(shù)以、%的圖象交點(diǎn)尸表示的實(shí)際意義；

（2）求為、為關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）①如果小明每天早上需要騎行A品牌或3品牌的共享電動(dòng)車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動(dòng)車的

平均行駛速度均為300m/〃血，小明家到工廠的距離為%m那么小明選擇—品牌共享電動(dòng)車更省錢？（填

“A”或"5”）

②當(dāng)x為何值時(shí)，兩種品牌共享電動(dòng)車收費(fèi)相差3元？

2.(2023?西華縣三模)如圖1,拋物線y=gd+6x+c與x軸交于A、3兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3左邊)，與y軸

交于點(diǎn)C.直線y=：尤-2經(jīng)過3、C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸且垂直于x軸的直線與直線3c及x軸分別交于點(diǎn)D、M.設(shè)MQ%0).

①點(diǎn)尸在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)。恰為線段的中點(diǎn)，求此時(shí)機(jī)的值；

②當(dāng)點(diǎn)尸在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)尸，使=若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若

3.(2023?池州三模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2,㈤和點(diǎn)(6,〃)在拋物線丁=依2+法0<0)上.

(1)若加=4,n=-l2,求拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)3(4,%)在該拋物線上，且，M=0.

①比較%,%，0的大小，并說明理由；

②將線段AB沿水平方向平移得到線段若線段A8與拋物線有交點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x的取

值范圍.

4.（2023?河北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=or（尤-6）+l（a#O）的頂點(diǎn)為A,與x軸相交于3、C

兩點(diǎn)（C點(diǎn)在3點(diǎn)的右側(cè)）.

（1）判斷點(diǎn)（0,1）是否在拋物線y=ox（尤-6）+1（叱0）上，并說明理由；

（2）若點(diǎn)A到x軸的距離為5,求a的值；

（3）若線段3C的長(zhǎng)小于等于4,求。的取值范圍.

5.（2023?鹽城二模）已知點(diǎn)知（百，％）,N（%，%）在二次函數(shù)、=。（無(wú)-3）,+2（。/0）的圖象上，且滿足

%2-X=5.

（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,0）.

①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

②若y=%，此時(shí)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)尸，求ZPMN的正切值；

③在M、N之間的二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-6,請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)對(duì)、N的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)王皴衣尤2時(shí),二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3,點(diǎn)M,N在對(duì)稱軸的異側(cè),則a的取值范圍為

6.（2023?錦州）如圖，拋物線丫=-底2+云+0交x軸于點(diǎn)A（-1,0）和5,交y軸于點(diǎn)C（0,3?,頂點(diǎn)

為D.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為7班，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)尸是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)H是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否

存在點(diǎn)G,使以點(diǎn)E,F,G,"為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且4FG=60。，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的

7.（2024?肇東市模擬）綜合與實(shí)踐

3

如圖，二次函數(shù)y=+6x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A和3,點(diǎn)3的坐標(biāo)是(4.0),與y軸交于點(diǎn)C(0.-3).點(diǎn)

。在拋物線上運(yùn)動(dòng).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖2.當(dāng)點(diǎn)。在第四象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接3D,CD,BC,當(dāng)ABCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)

。的坐標(biāo)及ABCD的最大面積；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在無(wú)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，借助圖1探究以點(diǎn)3,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并直接寫

圖1圖2

8.(2023?扶余市二模)如圖,拋物線丫=挾+市+c與x軸交于點(diǎn)A(l,0),5(5,0),頂點(diǎn)為尸.

(1)求該拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)如圖，把原拋物線無(wú)軸下方的部分沿?zé)o軸翻折到x軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線x軸上方的部

分記作圖形在圖形M中，回答：

①點(diǎn)A,3之間的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為—；

②當(dāng):歿皿4時(shí)，求y的取值范圍；

③當(dāng)磁晾m(xù)+2,且能時(shí)，若最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為”，直接寫出機(jī)的值.

24

3

9.(2024?南丹縣一模)如圖，拋物線弘=62+法+；與九軸交于點(diǎn)A(_3,0),點(diǎn)5,點(diǎn)。是拋物線M的頂

點(diǎn)，過點(diǎn)。作X軸的垂線，垂足為點(diǎn)C(-1,0).

(1)求拋物線h所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)M是拋物線乂上一點(diǎn)，且位于x軸上方，橫坐標(biāo)為機(jī)，連接MC,

若ZMCB=ZDAC,求m的值；

(3)如圖2,將拋物線％平移后得到頂點(diǎn)為3的拋物線為?點(diǎn)P為拋物線為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸

的平行線，交拋物線為于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作x軸的平行線，交拋物線內(nèi)于點(diǎn)當(dāng)以點(diǎn)P，。，R為頂點(diǎn)的

三角形與AACD全等時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

10.(2022?長(zhǎng)春二模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=■?-Znw+w?與y軸的交點(diǎn)為人，過點(diǎn)A作直線/垂

直于y軸.

（1）求拋物線的對(duì)稱軸（用含機(jī)的式子表示）；

（2）將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點(diǎn)%）,N?,%）

為圖形G上任意兩點(diǎn).

①當(dāng)〃2=0時(shí)，若占<%，判斷％與y2的大小關(guān)系，并說明理由；

②若對(duì)于玉=相-1,x2=m+l,都有％>%，求機(jī)的取值范圍；

（3）當(dāng)圖象G與直線>=m+2恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出機(jī)的取值范圍.

題型五、圓中的分類討論思想

1.(2023?花都區(qū)一模)如圖1,已知NM4N=60。，在射線AVf、4V上分別截取點(diǎn)6、C,使AB=AC=8.

(1)求證：AB=BC；

(2)如圖2,以3c為直徑在3C的上方作一個(gè)半圓,點(diǎn)。為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接相》交3。于點(diǎn)E.

①當(dāng)時(shí)，求的?的長(zhǎng).

②在線段AC上取一點(diǎn)F,連接正交加＞于點(diǎn)G,若即=AE,當(dāng)點(diǎn)。在半圓3C上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),

求點(diǎn)G經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

2.(2023?裕華區(qū)二模)如圖1,平行四邊形ABCD中，AD=2#),DC=4-j3,ND=60。，點(diǎn)A/在3c延

長(zhǎng)線上且CM=CD,EF為半圓O的直徑且莊,FE=6,如圖2,點(diǎn)E從點(diǎn)”處沿MB方向運(yùn)動(dòng),

帶動(dòng)半圓O向左平移，每秒括個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)停止平移，如圖3,停止平移后半圓。立

即繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，