2024年中考數(shù)學壓軸題訓練：二次函數(shù)與最值

2024年中考數(shù)學高頻壓軸題訓練

二次函數(shù)與最值

1.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線h：y=x2+bx+c過點C(0,-3),且與拋物線b：y

=-Jx2-jx+2的一個交點為A,已知點A的橫坐標為2.點P、Q分別是拋物線11、拋

物線12上的動點.

(1)求拋物線h對應的函數(shù)表達式；

(2)若點P在點Q下方，且PQ〃y軸，求PQ長度的最大值；

(3)若以點A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出點P的坐標.

備用圖

2.如圖，二次函數(shù)丁=-尤2+ax+b的圖象與x軸、y軸交于點A(T。)、3(4,0)、C三點,

點P是拋物線位于一象限內(nèi)圖象上的一點.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)作點P關(guān)于直線CB的對稱點D,求四邊形CDBP面積的最大值；

(3)在(2)的條件下，連接線段CP,將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。到CE,連接DE交

拋物線于點憶交直線CB于點G,試求當△CPG為直角三角形時點尸的坐標.

3.已知拋物線y=+bx-4經(jīng)過點A(-2,0),8(4,0),與y軸的交點為C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點尸是該拋物線上一點，且位于其對稱軸/的左側(cè)，過點尸分別作/,x軸的垂線，垂

足分別為M，N,連接若和△03C相似，求點尸的坐標.

試卷第2頁，共10頁

4.【概念理解】對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當彳＜0時，它們對應的函

數(shù)值互為相反數(shù)；當尤20時，它們對應的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函

數(shù).

-x+l（x＜0）

例如：一次函數(shù)是＞=尤-1,它的相關(guān)函數(shù)為＞=“、八、.

【嘗試解決】

已知二次函數(shù)y=Y-4龍-2,請回答下列問題：

（x＜0）

（1）這個二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為y=、八；

L---------（行。）

（2）當川私-3）在這個二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上時，求機的值；

【靈活應用】

（3）當TWxW5時，求這個二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最小值是；

（4）當直線y=r+》與該二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像只有二個交點時，6的取值范圍是

.（直接寫出答案）

3Q

5.如圖,已知拋物線的解析式為安-丁+片+3與x軸交于A、B兩點（點A在點5左

側(cè)），與y軸交于點C,點E的坐標為（2,0）,繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)OE得到OE',旋轉(zhuǎn)角為

2

6Z（0°<a<90°）,連接BE'、CE',求BE'+,CE'的最小值.

6.如圖1,在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A和C分別在x軸和y軸正半軸上,

點B坐標為(3,3),拋物線y=-x?+bx+c過點A、C,交x軸負半軸于點D,與BC邊的

另一個交點為E,拋物線的頂點為M,對稱軸交x軸于點N.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)點P在直線MN上，求當PE+PA的值最小時點P的坐標；

(3)如圖2,探索在x軸是否存在一點F,使NCFONCDO-NCAO?若存在，求點F的

坐標；不存在，說明理由；

(4)將拋物線沿y軸方向平移m個單位后，頂點為Q,若Q0平分NCQN,求點Q的坐標.

試卷第4頁，共10頁

7.如圖，拋物線y=<xv2_2x+c(aw0)與無軸交于4、8(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,-3),

拋物線的頂點為D

(1)求拋物線的解析式；

⑵已知點〃是無軸上的動點,過點〃作x軸的垂線交拋物線于點G,是否存在這樣的點M,

使得以點A、M.G為頂點的三角形與△BCD相似，若存在，請求出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

(3)在直線BC下方拋物線上一點P,作PQ垂直3c于點。連接CP,當JSPQ中有一個角

等于NACO時，求點P的坐標.

8.小明在學習時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于了的多項式尤2-2x+3,由于

X2-2X+3=(X-1)2+2,所以當尤-1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式尤2一2彳+3的值

是相等的.例如，當％-1=士1,即x=2或。時/一2彳+3的值均為3；當x-l=±2.即x=3

或-1時，f-2x+3的值均為6.于是小明給出一個定義：對于關(guān)于x的多項式，若當XT取

任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于＞=r對稱.倒如

f-2尤+3關(guān)于x=l對稱.

請結(jié)合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：

⑴多項式d+4x+3關(guān)于％=對稱；

⑵若關(guān)于x的多項式爐-2法+3關(guān)于x=3對稱，則6=,此時二次函數(shù)

y=x2-2bx+3有最______值為；

(3)若關(guān)于x的多項式，+8X+16乂尤2-2工+1)關(guān)于對稱，寫出關(guān)于龍的方程

x2+2mx+2=0的解為.

9.小康的父母在扶貧工作組的大力支持下，利用當?shù)刭Y源，生產(chǎn)并銷售優(yōu)質(zhì)黑木耳，每斤

這種黑木耳成本價為40元.經(jīng)市場調(diào)研，當該黑木耳每斤的銷售價為50元時，每天可銷售

200斤；當每斤的銷售價每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10斤.設銷售價為尤元時的

銷售量為y斤.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當每斤的銷售價x為多少時，銷售該黑木耳每天獲得的利潤w最大？并求出最大利潤.

試卷第6頁，共10頁

10.如圖，拋物線)=依2+陵+。(<7工0)與無軸交于4(-2,0),8(4,0)兩點，與y軸交于點

C(0,2),連接BC.

⑴求拋物線y=加+bx+c的解析式和頂點坐標；

⑵設線段03上的一個動點P的橫坐標為3過點P作直線尸軸，交拋物線于點M是

否存在點尸，使得以。、P、N三點為頂點的三角形與△COB相似？若存在，請求出點尸的

橫坐標六若不存在，請說明理由.

11.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-/+法+。的圖象經(jīng)過點4(0,2),點3(-1,0).

⑵當-2VxV2時，求二次函數(shù)y=-元2+6x+c的最大值和最小值；

⑶點尸為此函數(shù)圖象上任意一點，其橫坐標為相，過點P作尸Q〃x軸，點。的橫坐標為

-2m—1.已知點P與點。不重合，且線段尸。的長度隨機的增大而增大，求機的取值范

圍.

12.某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為20元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售

量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)，=-2X+120.

（1）若銷售單價為50元時，則一年可銷售多少萬件？年利潤為多少萬元？

⑵寫出年利潤w（萬元）與銷售單價無（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當銷售單價為多少元時，廠商獲得的年利潤最多？

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13.已知拋物線y=/-ax+b-a的圖象過點A(l,l).

(1)求b與a的關(guān)系式；

⑵當。>0時，若該拋物線的頂點到x軸的距離是1,求。的值；

(3)將拋物線進行平移，若平移后的拋物線仍過點點A的對應點為點A。-私-2。+1),

當"72-1時，求平移后的拋物線頂點縱坐標的最大值.

14.當x取何值時,代數(shù)式「Sx.7取得最小值，這個最小值是多少?

15.如圖，拋物線>="2_法一3與x軸交于A,B兩點，且03=304,與>軸交于點C,

連接AC,拋物線對稱軸為直線x=-l,。為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，過點