2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：有理數(shù)與數(shù)軸

有理數(shù)與數(shù)軸

知識梳理

1.數(shù)軸的三要素

數(shù)軸的三要素指的是正方向、原點、單位長度，且必須是一條直線.

2.正數(shù)與負(fù)數(shù)

(1)概念：正數(shù)就是帶有正號“+”的數(shù)(正號可以省略不寫)，是大于零的數(shù)；而負(fù)數(shù)是帶有負(fù)號“一”的數(shù)(負(fù)數(shù)前

的“一”號不能省略)，是小于零的數(shù).

(2)數(shù)軸上的表示：正數(shù)就是位于原點右側(cè)的點，負(fù)數(shù)就是位于原點左側(cè)的點.因此，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).

(3)非負(fù)數(shù)與非正數(shù)：非負(fù)數(shù)，根據(jù)字面意思理解為不是負(fù)數(shù)的數(shù)，因此應(yīng)該為正數(shù)與0；同理，非正數(shù)應(yīng)該

是負(fù)數(shù)與0.

3.有理數(shù)的分類

［正有理數(shù)

有理數(shù)0

［負(fù)有理數(shù)

［正整數(shù)

整數(shù)0

有理數(shù)I負(fù)整數(shù)

/正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)I負(fù)分?jǐn)?shù)

注意：⑴在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，小數(shù)也是分?jǐn)?shù)的一部分;

(2)0既不是正有理數(shù)也不是負(fù)有理數(shù)；

⑶正整數(shù)與0的集合形成自然數(shù).

4.數(shù)軸與有理數(shù)

(1)有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：所有的有理數(shù)都可以表示在數(shù)軸上.

(2)從數(shù)軸看有理數(shù)的大小：在同一數(shù)軸上，右邊的數(shù)大于左邊的數(shù).若兩數(shù)表示同一點，則兩數(shù)相等.

5.數(shù)軸上的最值記憶點

最小的自然數(shù)為0；最大的負(fù)整數(shù)為-1；最小的正整數(shù)為1；最大的非正數(shù)為0.

沒有最大的負(fù)數(shù)與最小的正數(shù).

典型例題

例1

如果溫度上升3℃記作+3℃,那么下降5℃記作—.

分析溫度的上升和下降是一對具有相反意義的量，因此可以用正負(fù)數(shù)表示.在生活中，這些常見的相反意義量

還有：零上與零下、收入與支出、增加與減少、盈余與虧損等.

解-5℃(單位不可遺漏).

例2

把數(shù)-7,4.8,4,0,-9,—7.9,—12,—3*23,800%,士一1汾別填在相應(yīng)的位置內(nèi).

正數(shù):{);

負(fù)數(shù):{);

整數(shù):{};

正整數(shù)：{};

負(fù)分?jǐn)?shù)：{};

非負(fù)數(shù)：{}.

分析根據(jù)有理數(shù)的分類，對大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分類是基本技能之一.在這里，需要注意的是所有的小數(shù)都是分?jǐn)?shù)的

一部分和非負(fù)數(shù)的概念.

解正數(shù)：{484,23‘800%,目;

負(fù)數(shù)：{一7，一9，-79-12，-3$-1|};

整數(shù):{-7,4,0,9-12,23,800%);

正整數(shù):{4,23,800%};

負(fù)分?jǐn)?shù):{-7.9，-3|，-1|};非負(fù)數(shù){4.8,4,23,800%,Q}.

例3

在數(shù)軸上表示?-2技口11,并根據(jù)數(shù)軸指出所有大于.-29而小于1爭勺整數(shù).

分析首先將數(shù)表示在數(shù)軸上，題目要求我們找出大于-2巳而小于1|的整數(shù)，其在數(shù)軸上即為在?-2蘇口1|之

間的整數(shù)點.因此，我們可以結(jié)合數(shù)軸來解決這個問題，這種方法將在之后解決更多問題中起到重要作用.

解如圖1-1所示，在-2和1|之間的整數(shù)點有2-1,01.

-5-4-3-2-10123456

圖1-1

例4

數(shù)軸上有A,B兩點，若點A對應(yīng)的數(shù)是-2，且A,B兩點的距離是3，則點B對應(yīng)的數(shù)是—.

分析本題可以利用數(shù)軸來解決，且有兩種理解方式.方法一：首先將點A表示在數(shù)軸上，并以此為圓心，以3

個單位長度為半徑作圓，圓與數(shù)軸的交點即為所求.方法二：A,B兩點的距離是3，則有左距離和右距離之分，利

用數(shù)軸得出點B所在位置.

解如圖1-2所示,B點為-5或者1.

雙基訓(xùn)練

1.下列說法中，不具有相反意義的一對量是（）.

A.向東3.5千米和向南2千米B.上升5米和下降1.8米

C.收入5000元和虧損1500元D.零上6℃和零下7℃

2.關(guān)于。有下列說法：①既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；②是整數(shù)；③不是最小的整數(shù)，是最小的有理數(shù)；④不是

自然數(shù)，是有理數(shù).正確的個數(shù)是（）.

A.lB.2C,3D.4

3.在0,1,-2,-3.5這四個數(shù)中，位于原點最左端的是（）.

A.—3.5B.-2C.lD.0

4.在同一數(shù)軸上表示數(shù)-0.5,0.2,-2,+2,其中表示0.2的點的左邊的點有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如果+10%表示增加10%",那么‘減少90%”可以記為.

6.飛機上升-30米，實際上就是—.

7.在數(shù)軸上點A,B分別表示共口.一條則數(shù)軸上與A,B兩點的距離相等的點表示的數(shù)是—.

8.在數(shù)軸上，與原點距離為3的點為—.

9.比較兩個有理數(shù)之間的大?。?/p>

-2

（D-;.-0.76;

（2）---

''io-11

10.比5小的正整數(shù)有，?比-5大的負(fù)整數(shù)有.

11.比-3汰而比2沙的所有整數(shù)的和為

12.設(shè)a是最小的自然數(shù)，b是最小的正整數(shù)，c是最大的負(fù)整數(shù)，則a,b,c三數(shù)之和為L

13.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的橫線內(nèi)：

S124

-2.7,15,1,0.11,0,-21,+9.87,+69,+；,0.99

正整數(shù)：_____________________________________

負(fù)整數(shù)：；

正分?jǐn)?shù)J_____________________________________；

非負(fù)數(shù)：；

正數(shù):；

自然數(shù)：；

14.把下列數(shù)表示在數(shù)軸上，并用“〈”號連接.

1R

-2.2,-4,-0.5,----

4

15.如圖1-3所示，有幾滴墨水灑在數(shù)軸上，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)值，寫出墨跡蓋住的所有整數(shù).

16.畫出數(shù)軸，仔細(xì)思考，回答下列問題.

⑴有沒有最小的正整數(shù)?如果有，是什么?如果沒有，說明理由；

⑵有沒有最大的負(fù)整數(shù)?如果有，是什么?如果沒有，說明理由；

(3)不超過3的自然數(shù)有哪些？

17.小馬虎在做題時，畫了一個數(shù)軸，在數(shù)軸上原有一點A,其表示的數(shù)是-3,由于粗心，把數(shù)軸的原點標(biāo)錯

了位置，使點A正好落在-3的相反數(shù)的位置上，想一想，要把數(shù)軸畫正確，原點要向哪個方向移動幾個單位長度?

18.某市公交公司在一條自西向東的道路旁邊設(shè)置了人民公園、新華書店、實驗學(xué)校、花園小區(qū)、科技館五個

站點，相鄰兩個站點之間的距離依次為3.5千米、1.5千米、2千米、3.5千米.如果以實驗學(xué)校為原點，規(guī)定向東為

正，設(shè)圖上1厘米長的線段表示實際距離1千米.請畫出數(shù)軸，并將五個站點在數(shù)軸上表示出來.

19.點A、B在數(shù)軸上的位置如圖1-4所示：

AB

-4

圖1-4

⑴若點A表示的數(shù)是-4,則點B表示的數(shù)是一；

⑵在上述條件下，在原圖中分別標(biāo)出表示+3的點C、表示-1.5的點D；

（3）在上述條件下，B、C兩點間的距離是____A、C兩點間的距離是—.

20.如圖1-5所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個圓（該圓周長為3個單位長，且在圓周的三等分點處分

別標(biāo)上了數(shù)字0,1,2）上：先讓原點與圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，

使數(shù)軸上1,2,3,4,…所對應(yīng)的點分別與圓周上1,2,0,1…所對應(yīng)的點重合.這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周

上的數(shù)字建立了一種對應(yīng)關(guān)系.

⑴圓周上的數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對應(yīng)，則a=；

（2）數(shù)軸上的一個整數(shù)點剛剛繞過圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字1所對應(yīng)的位置，這個整數(shù)是—

_（用含n的代數(shù)式表達(dá)）

能力提升

21在數(shù)軸上表示a,0,1,b四個數(shù)的點如圖1-6所示，如果點O為AB的中點.那么\a+b\+|^|+|a+1

圖1-6圖1-7

22如圖1-7所示，圓的周長為4個單位長，數(shù)軸每個數(shù)字之間的距離為1個單位,在圓的4等分點處分別標(biāo)

±0,1,2,3,先讓圓周上表示數(shù)字0的點與數(shù)軸上表示-1的點重合，再將數(shù)軸按逆時針方向環(huán)繞在該圓上（如圓

周上表示數(shù)字3的點與數(shù)軸上表示-2的點重合）,則數(shù)軸上表示-2014的點與圓周上表示數(shù)字—的點重合.

23.在數(shù)軸上任取一條長度為1999第勺線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點的個數(shù)是—.

24.如圖1-8所示，數(shù)軸上M,N,P三點對應(yīng)的數(shù)都是整數(shù)，且點M為線段NP的中點.若點M對應(yīng)的整數(shù)是

a，點N對應(yīng)的整數(shù)是b,且b=2a.則數(shù)軸上的原點是點—.

NMP

圖1-8

25.數(shù)軸上有A,B兩點，若點A對應(yīng)的數(shù)是-3，且A,B兩點的距離是3,則點B對應(yīng)的數(shù)是—.

26.一個點從數(shù)軸上表示-2的點開始，向右移動4個單位長度，再向左移動5個單位長度，這時這個點表示的

數(shù)為一.

27.在數(shù)軸上，點A,B分別表示-和點則線段AB的中點所表示的數(shù)是」

28.點A,B分別是數(shù)-3,-3在數(shù)軸上對應(yīng)的點，使線段AB沿數(shù)軸向右移動，成為線段A'B',且線段AE的中

點對應(yīng)的數(shù)是3,則點A，對應(yīng)的數(shù)是_____點A移動的距離是.

29.已知數(shù)軸上有A,B兩點，A,B之間的距離為1,點A與原點O的距離為3,求所有滿足條件的點B與

原點O的距后的和.

30.一條直線流水線上依次有5個機器人，它們所處的位置在數(shù)軸上依次用點Ai,A2,A3,A44s表示，如圖

1-9所示：

-5-4-3-2-1012345

圖1-9

⑴怎樣將點移動，使它先到達(dá)點處，再到達(dá)點處,請用文字語言說明.

A3A2A5

⑵若原點是零件供應(yīng)點，那5個機器人分別到達(dá)供應(yīng)點取貨的總路程是多少？

⑶將零件的供應(yīng)點設(shè)在何處，才能使5個機器人分別到達(dá)供應(yīng)點取貨的總路程最短？

拓展資源

31.等邊△ABC在數(shù)軸上的位置如圖1-10所示，點A,C對應(yīng)的數(shù)分別是0和一1,,若三角形繞著頂點A,并

按順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)一次后，點B所對應(yīng)的數(shù)是1,則翻轉(zhuǎn)2014次后，點B所對應(yīng)的數(shù)是多

少？

B

IC/\A.........................................r

-2-1012345

S1-10

32.一條馬路同側(cè)自西向東依次坐落著書店、學(xué)校、小紅家和小明家，書店與學(xué)校相距100米，學(xué)校與小紅家

相距400米，小紅家與小明家相距100米.

(1)若以學(xué)校為原點，以向東方向為正方向，用一個單位長度來表示100米，請你在數(shù)軸上分別表示出書店、

學(xué)校、小紅家、小明家的位置.

⑵小紅、小明的步行速度都是80米/分，他們倆在同一所學(xué)校讀書，中午11：30放學(xué)，下午1：30上課，小

紅、小明中午吃飯都要用30分鐘，中午吃完飯后小紅要先去找小明，然后沿這條馬路一起去書店買完書，再到學(xué)

校上課。如果已知買書時間為7分鐘，小紅在小明家停留了2分鐘，請你幫小紅設(shè)計一下什么時間出發(fā)，下午上

課才能不遲到？

33.小惠和小紅在學(xué)校操場的旗桿前玩“石頭、剪刀、布”的游戲，規(guī)則如下：在每一個回合中，若某一方贏了

對方，便可向右走2米，而輸?shù)囊环絼t向右走-3米，平局的話就原地不動，最先向右走18米的便是勝方.假設(shè)游戲

開始時，兩人均在旗桿處.

(1)若小惠在前四個回合中都輸了，則她會站在什么位置？

(2)若小紅在前三個回合中贏了兩次輸了一次，則她會站在什么位置？

⑶假設(shè)經(jīng)過五個回合后，小紅仍然站在旗桿處，且沒有猜平局(即五個回合中沒有出現(xiàn)平局的情況).問小惠此

時會站在什么位置？

34.如圖1-11所示，數(shù)軸上有A,B,C三個點，它們可以沿著數(shù)軸左右移動，請回答：

⑴將點B向左移動三個單位長度后，三個點所表示的數(shù)中，最小的數(shù)是多少？

(2)怎樣移動A,B,C中的一個點，才能使其中一點為連接另外兩點之間的線段的中點?請寫出所有的移動方

法.

(3)若A,B,C三個點移動后得到三個互不相等的有理數(shù),既可以表示為1,a,a+b的形式，又可以表示為0,b,

b/a的形式,試求a,b的值.

ABC

1,1,1I11:1.

-4-3-2-101234

圖1-11

35.(1)如圖1-12所示，有一根木棒在數(shù)軸上沿水平方向移動，則當(dāng)點A移動到點B時，點B所對應(yīng)的數(shù)為2

0；當(dāng)點B移動到點A時，點A所對應(yīng)的數(shù)為5(單位：厘米)，由此可得這根木棒的長度為多少？

(A)(B)(A)(B)

IIIIIr

05/B20

圖1-12

(2)一天，小紅去問鄰居爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要37年后才出生呢，你若是我

現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，131歲了，哈哈！”小紅納悶了，鄰居爺爺?shù)降资嵌嗌贇q呢?現(xiàn)在你能借助于“數(shù)

軸”這個工具解決這個問題嗎？

第一講

1.A2.B3.A4.B5.-90%6.下降30米7.08+39.>,<

10.4,3,2,1;4,-2,-3,-411.-312.0

13.正整數(shù):15,+69;負(fù)整數(shù):-21;正分?jǐn)?shù):0.11,+9.87,+：,0.99;

67

非負(fù)數(shù)：L0.11,0,+9.87,+69,+30.99;

正數(shù):1151,0.11,+9.87,+69,+3099;自然數(shù):15,0,+69

67

14.數(shù)軸圖略,—4〈一/<-2.2<-0.5.

4

15.在-12.6至?。?7.4之間的整數(shù)有:-12,-11,-10,-9,-8;在10.5到17.2之間的整數(shù)有:11,12,13,14,15,16,17.

16.(1)有最小的正整數(shù)，是1；

⑵有最大的負(fù)整數(shù)，是-1；

(3)不超過3的自然數(shù)有0,1,2,3.

17.應(yīng)向右移動6個單位

18.如答圖1-1所示.

人民公園新華書店花園小區(qū)科技館

,I11.1:1,I11.1.

-5-4-3-2-10123456

實驗學(xué)校

答圖1-1

19.(1)1;(2)如答圖1-2所示.

ADBC

1J11,1______1.11111.

-5-4-3-2-1.5-10123456-

答圖1-2

(3)2;7.

20.(1)2;(2)3n+l.

21,-a22.323.200024.P25.-6或0

1719

26.-327.——28.—29.12

1544

30.(1)先向左移2個單位，再向右移動6個單位；⑵總路程為12；⑶放在點A3處總路程最短.31.2014.

32.(1)如答圖1-3所示：

------14------1------1-------1------1------i----，I----

-2-10I23456

書店學(xué)校小紅家小明家

答圖1-3

(2)小紅所走的路程為800米；

小紅走路所需要的時間為10分鐘；

小紅所需要的時間一共是：10+7+2=19(分鐘)，

小紅應(yīng)在中午1點11分之前出發(fā)，下午上課才能不遲到.

33.(1)小惠站在旗桿左側(cè)12米處；