2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：整式的乘除

整式的乘除

知識(shí)梳理

1.同底數(shù)幕的運(yùn)算

(1)乘法:am-an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=/仍其中m,n都是正整數(shù)).

注意事項(xiàng)：

@am-a"=am+n區(qū)別加法a01+a114小+門(如23+22=1232=2s);

②區(qū)分-產(chǎn)?廢與((—a)”?a”「一個(gè)是積的符號(hào)，另一個(gè)是底數(shù)的符號(hào)；

③推廣(am)n=amn:[(am)n]p=amnp.

(2)除法(將除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算)：

circle1am+心=泊?工=am-n=am-aT由此我們還可以得到—=a-n;

anan

②a°=1,因?yàn)閍ma"-1=a'm—m=a0.

2.單項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則：把它們的系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因

式.

3.多項(xiàng)式相乘

(1)多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：利用分配律，用單項(xiàng)式去乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

m(a+b+c)=ma+mb+mc

(2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

(a+b+c)(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce

多項(xiàng)式乘法結(jié)束后，一般按照各項(xiàng)的次數(shù)高低進(jìn)行排列.

4.重要公式

(1)平方差公式：

a2—b2=(a+b)(a—b)

⑵完全平方公式：

(a+b)2=(a+fe)(a+6)=a2+2ab+b2

(a—b)2=(a—b)(a—6)=a2—2ab+b2

典型例題

例1

計(jì)算：

(l)(-2x2)?(-3x2y3z)

(2)—6%2y.(a—b)3?i%y2.(b—a)2

(3)(-4aZ?3)?(一，ab)-gaF)

分析本題主要考查單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算和混合運(yùn)算，乘法運(yùn)算可以根據(jù)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行.特別是

第⑶題注意運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘法，最后算減法.

解⑴原式:=(—2)-(—3)-x2-x2y3z=6x4y3z

(2)原式=—6x2y?|%y2?(a—6)3.(b—a)2=—6x2y?1xy2?(a—b)3?(a—b)2

=—6?|-x2y?xy2-[(a-b)3?(a—b)2]=—2-x3y3-(a—b)5

(3)原式=(—4ab3)?—^a2/?4=1a2/?4一1a2b4=2b4

例2

計(jì)算：

(1)(%+1)(%2-1)

(2)(%-y)(x2+x+y)

分析本題考查的是多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可以根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行.

解⑴原式=x3—x+x2—l=x3+x2—%—1

(2)原式=x3+x2+xy—x2y—xy—y2=x3—x2y+%2—y=:

例3

計(jì)算:

1,3

——％+3y3

34，

(2)(2a2+6)(—2a2+b)

分析本題主要考查平方差公式的運(yùn)用.

解(1)原式=一(|/—汨Qy3+|x)=-Qy3)2+(|^)2=-"+淖

(2)原式:=(b+2a2)(h—2a2)=b2—4a4

雙基訓(xùn)練

1.下面是某同學(xué)在一次作業(yè)中的計(jì)算摘錄：

?a+2匕=5ab;@4m3n—5mn3——m3n;③4/.(―2x2)=—6x3;

252

④4a3b+(—2a/?)=—2a;⑤(〃>=a；⑥(―口下+(_0)==_a

其中正確的個(gè)數(shù)有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.計(jì)算(%2-3x+n)(x2+mx+8)的結(jié)果中不含x?和x?的項(xiàng)，則m,n的值分別為().

A.m=3,n=lB.m=O,n=O

C.m=-3,n=-9D.m=-3,n=8

3.下列分解因式不正確的是().

A.x3—x=x(x2—1)B.m2+m—6=(m+3)(m—2)

C.(a+4)(a—4)=a2—16D.x2+y2=(%+y)(x—y)

4.我們約定a軟=10、10",如:203=IO2XIO3=10、那么4期為().

A.32B.KFC.1012D.121°

5.下列各式是完全平方式的是().

A.x2—x-I--B.l+4x2C.a2+ab+b2D.x2+2x—1

4

6.如圖18-1所示矩形花園ABCD中,AB=a,AD=b，花園中建有一條矩形道路LMPQ及一條平行四邊形道路RST

K.若LM=RS=c,則花園中可綠化部分的面積為().

A.be-abac+b2B.a2+ab+be—ac

C.ab—be—acc2D.b2—be-i-a2—ab

7.如圖18-2(a)所示，從邊長(zhǎng)為a的正方形中去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形,然后將剩余部分裁剪后拼成一個(gè)

矩形(如圖18-2(b)所示)，上述操作所能驗(yàn)證的等式是().

A.a2-62=(a+6)(a—b)B.(a—b)2=a2—2ab+b2

C.(a+b^2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)

8.下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是()

A.a2+(―/?)2B.5m2-20mnC.—x2—y2D.—x2+9

2

9.若9x+mxy+16y?是一個(gè)完全平方式，那么m的值是__.

?2007

X(1.5)2008+(—1)2009=一.

11.分解因式:a2-1+b2-2ab=

12.如果((2a+2b+l)(2a+2b-l)=63,那么a+b的值為.

13.把20厘米長(zhǎng)的一根鐵絲分成兩段，將每一段圍成一個(gè)正方形，如果這兩個(gè)正方形的面積之差是5平方厘

米，則這兩段鐵絲分別長(zhǎng).

14.多項(xiàng)式9久2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)完全平方式，那么加上的單項(xiàng)式可能是—.

15.若3,=/3〉號(hào),則等于」

16.比較3555,4444,5333的大小:__>>.

17.計(jì)算.

(1)(|。2匕)一([B?)x|?3^2

(3)(2a-3b+l)2

(4)(%2—2x—l)(x2+2%—1)

18化簡(jiǎn)求值:+|y)+(x—|y)(2/—|y2),其中％=—3,y=4.

19.已知實(shí)數(shù)x滿足x+；3,求/+妥的值

20.已知.A=2x+y,B=2x-y,計(jì)算A2—B2.

能力提升

21.若x+y=2m+l,xy=l,且2lx2—48xy+21y2=2010廁m=.

22.設(shè)（1+x）2（l—x）=a+bx+ex2+dd,貝（］。a+b+c+d=_.

23.如圖18-3所示是某住宅的平面結(jié)構(gòu)示意圖，圖中標(biāo)注了有關(guān)尺寸（墻體厚度忽略不計(jì)，單位：米）.房的主人

計(jì)劃把臥室以外的地面都鋪上地磚，如果他選用地磚的價(jià)格是a元/米2,則買地磚至少需用一元（用含a,x,y的

代數(shù)式表示）.

24.已知：m2=n+2,n2=m-b2(m九)，求m3—2mn+聲的值.

25.已知/十％_1=o,求％3+2%2+3的值

圖18-3

26.若a2+b2=35,a2b—ab2=—6,求(a2—b2)+(3a2b—a2b)—2(ab2—〃)的值.

27.若\a+2\+b2—2b+1=0,求a2b+ab2的值.

28.已知a,b,c是^ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a2+c2=2ab+2bc-2〃,試說(shuō)明△ABC是等邊三角形.

29?計(jì)算.

⑴("Q)3+於)+得2；

(2)[(a-Z?)(a+b)F+(a2-2ab+b2)—2ab.

30.已知%+；2,求/+專,%2+卷的值.

拓展資源

2

31.若((Y+px+q)(x-2x-3)展開(kāi)后不含三，/項(xiàng)，求p?q的值.

32,(1一堂)(1一專)(1T)“(1)(1一9)的值?

33.如圖18-4所示，該圖是我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出的，此圖揭示了(a+b)”(n

為非負(fù)數(shù))展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.例如：

(a+b)。=1,它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；

(a+b)i=a+b,它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1,1；

(a+b)2=a2+2ab+?，它有三項(xiàng),系數(shù)分別為1,2,1；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1,3,3/；

根據(jù)以上規(guī)律，(a+b)，展開(kāi)式共有五項(xiàng)，系數(shù)分別為—.

圖18-4

34.(x—1)(%+1)=%2—1

(x—1)(%2+%+1)=%3—1

(%—1)(%3+%2+%+1)=%4—1

⑴分解因式：.％5—1=；

⑵根據(jù)規(guī)律可得(%-DC%71-1+…+%+1)=_(其中n為正整數(shù))；

(3)計(jì)算：(3-1)(350+349+348+…+32+3+1)；

(4)計(jì)算：(-—2)1999+(—2)1998+(—2)1997+…十(_2)3+(-2)2+(-2)+1.

35.已知a,b,c為實(shí)數(shù)，設(shè)A-a2-2b+^,B=b2+2c+^,C=c2-2a+證明:A,B,C中至少有一個(gè)值大于

ZJo

第十八講

1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.A8.D

9+2410.-|ll.(a-b-l)(a-b+l)12+413.12厘米和8厘米

55544

14.答案不唯一.6x,或-6x,或巴/i5.?16.52°3<3<4i

48

17.(l)2a7b;(2)3xy;(3)4a2+9b2-12ab+4a-6b+l;((4)x4-6x2+1

18.4x4--y4,20

19.對(duì)x+-=3兩邊平方，得/+二+2=9,故/+與=7

20.8xy

21.-弓或,22.0(提示:令x=l代入即可)23.llaxy

24.由已知得m2—n2=n—m,

所以m+n=-l,m3-2mn+n3=m(n+2)-2mn+n(m+2)=2(m+n)=-2.

25.x2+%—1=0兩邊同時(shí)乘x,得％3+必=居所以/,|_2久2+3=X3+%2+%2+3=%+%2+3=4.

222222222222

26.原式:=a—b2ab—2ab+2b=a+b+2(ab—當(dāng)a+b=35,ab—ab=—6時(shí),原式二35

+2x(-6)=23.

27.因?yàn)閨a+2|+h2—2h+1=。即|a+2|+(b—l)2=0所以a=-2,b=l

所以a26+ab2=ab(a+b)=(—2)x1x(—2+1)=2.

28.原式可化為a2+c2—2ab—2bc+2b2=0,即(a—6)2+(ft—c)2=0,所以a-b=0且b—c=0,即a=b且b=c,

所以2=6=心故4ABC是等邊三角形.

29.(l)6a4一白力4；(2)小+

30.2,2

31.因?yàn)?、%2+px+Q)(X2—2x—3)=%4—2x3—3%2+/?x2—3px+qx2-2qx—3q

=/+(p—2)x3—(2p—q+3)x2—(3p+2q)x—3q

因?yàn)椴缓琗2*]項(xiàng)，所以p-2=0,2p-q+3=0,解得p=2,q=7.

32.運(yùn)用平方差公式：

原式=(1-枳1+9(5)(1+3X…x(i-￡)(1+2)