甘肅省慶陽市孟壩中學(xué)2024屆高三4月數(shù)學(xué)試題考試題

甘肅省慶陽市孟壩中學(xué)2023屆高三4月數(shù)學(xué)試題考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一個焦點(diǎn)為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．2．已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．4．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．25．下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（）A． B． C． D．6．下列選項(xiàng)中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件7．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．8．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魪膱A：的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn)，則取自的概率為（）A． B． C． D．9．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．10．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元11．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或812．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在編號為1，2，3，4，5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機(jī)抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)的概率為________.14．若變量，滿足約束條件，則的最大值為__________．15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個等腰三角形的三個頂點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為________.16．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線交于另一點(diǎn).（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：常數(shù)；（2）①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為，試用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時，求直線的方程.19．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大??；（2）求的最大值.20．（12分）已知點(diǎn)到拋物線C：y1=1px準(zhǔn)線的距離為1．（Ⅰ）求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，求的值．21．（12分）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．（10分）的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點(diǎn)在軸上，∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個焦點(diǎn)為，∴，∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯.2．C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數(shù)．【詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認(rèn)識，本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集．3．C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】兩組至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問題，涉及分組分配問題，考查計算能力，屬于中等題.4．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡可得，所以由復(fù)數(shù)定義可知，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，然后對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，在上為減函數(shù).A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，在上為增函?shù)，不符合.B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，不符?C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，在上為減函數(shù)，符合.D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，不符?故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

對于A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對于C當(dāng)m=0時，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷．【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項(xiàng)B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時,滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項(xiàng)D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等，屬于簡單題.7．C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大，即．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．B【解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角，根據(jù)幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域，如圖所示，因?yàn)橹本€，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算，考驗(yàn)計算，屬基礎(chǔ)題.10．D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．11．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題，屬基礎(chǔ)題12．A【解析】

設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，可得，即，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出所有的基本事件個數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率計算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機(jī)抽取其中的三張，所有基本事件為：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10個，其中“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”包含6個基本事件，因此“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”的概率為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當(dāng)過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.15．【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,因?yàn)樽?、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個等腰三角形的三個頂點(diǎn),當(dāng)時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當(dāng)時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.16．【解析】試題分析：由題意得，因?yàn)閽佄锞€，即，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可；(Ⅱ)將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為，，恒成立，然后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【詳解】解：(Ⅰ)當(dāng)時，，當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由得：；由得：．∴當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．(Ⅱ)對任意的和，恒成立等價于：，，恒成立．即，，恒成立．令：，，，則得，由此可得：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即又∵，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題．18．（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】

（1）設(shè)過的直線交拋物線于，，聯(lián)立，利用直線的斜率公式和韋達(dá)定理表示出，化簡即可；（2）由（1）知點(diǎn)在軸上，故，設(shè)出直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)閮?nèi)心到三角形各邊的距離相等且均為內(nèi)切圓半徑，列出方程組求解即可.【詳解】（1）設(shè)過的直線交拋物線于，，聯(lián)立方程組，得：.于是，有：，又，；（2）①由（1）知點(diǎn)在軸上，故，聯(lián)立的直線方程：.，又點(diǎn)在拋物線上，得，又，；②由題得，（解法一）所以直線的方程為（解法二）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則.設(shè)直線的斜率為，則：直線的方程為：代入直線的直線方程，可得于是有：得，又由（1）可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為則，即：，解得：所以，直線的方程為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線相關(guān)的綜合問題的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.19．（1）（2）2【解析】

（1）轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20．(Ⅰ)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0)，與拋物線聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韋達(dá)定理以及弦長公式，轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的值．【詳解】(Ⅰ)由已知得，所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；(II)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線AB斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得，則,.因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線C上,所以,.因?yàn)镻F⊥x軸，所以，所以|MF|?|NF|的值為1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線中的定值問