人教版八年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)活動(dòng) 綜合與實(shí)踐》課件

八年級(jí)上冊(cè)《第十一章三角形》數(shù)學(xué)活動(dòng)

——平面鑲嵌（用多邊形覆蓋平面）新課導(dǎo)入你見(jiàn)過(guò)的地板磚和墻面磚都有哪些形狀？

看到這些形狀你有沒(méi)有想過(guò)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生活中的各種圖案：學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．知道平面鑲嵌的概念.

2．知道平面鑲嵌的條件.推進(jìn)新課平面鑲嵌的概念知識(shí)點(diǎn)1（1）用于拼接的圖案都是平面圖形；（2）拼接處沒(méi)有空隙，沒(méi)有重疊的現(xiàn)象；（3）鋪成的圖案把一個(gè)平面完全覆蓋.結(jié)合剛才欣賞的美麗圖案，你能說(shuō)說(shuō)對(duì)鑲嵌的理解嗎？平面鑲嵌的概念：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問(wèn)題叫做多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）.在邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中取一種正多邊形鑲嵌，有哪幾種選擇方案？（1）

、

、

能單獨(dú)

鑲嵌，

不能單獨(dú)鑲嵌.（2）用同種正多邊形能進(jìn)行鑲嵌的條件是：_________________________________________________________________________.正三角形正方形正六邊形正五邊形ax=360°，x表示正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，a表示正多邊形的個(gè)數(shù)多邊形能平面鑲嵌的條件知識(shí)點(diǎn)2用n表示正多邊形的邊數(shù).（1）_________、_________能鑲嵌，_____________________________________不

能鑲嵌.n=3和4n=3和6n=3和5，n=4和5，n=4和6，n=5和6在邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中取兩種正多邊形鑲嵌，哪兩種正多邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌？在邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中取兩種正多邊形鑲嵌，哪兩種正多邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌？用n表示正多邊形的邊數(shù).（2）用兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌的條件是：

_______________________________________________________________________________．x，y表示正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)ax+by=360，其中a，b表示正多邊形的個(gè)數(shù)，任意用一些形狀、大小相同的三角形能否進(jìn)行平面鑲嵌？四邊形呢？能能1.什么叫做平面鑲嵌？2.多邊形能平面鑲嵌的條件：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做平面鑲嵌.各個(gè)頂點(diǎn)上的內(nèi)角之和等于360°.練習(xí)1練習(xí)2

欣賞下面兩組美麗的圖案，看看中間空缺處應(yīng)補(bǔ)上什么圖形才完成平面鑲嵌？A組B組隨堂演練1.只用下列正多邊形地磚中的一種，能夠無(wú)縫隙，不重疊地鋪滿地面的是（）A.正三角形B.正五邊形C.正七邊形D.正八邊形A基礎(chǔ)鞏固2.現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長(zhǎng)都相等，同時(shí)選擇其中兩種鑲嵌地面，選擇的方式有（）A.2種B.3種C.4種D.5種B3.如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍用兩個(gè)正方形和

n個(gè)正三角形恰好無(wú)縫隙、無(wú)重疊嵌入，則

n

的值是（）A.3B.4C.5D.6A4.試用邊長(zhǎng)相等的一個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形、6個(gè)正三角形鑲嵌成一個(gè)平面圖案，畫出草圖.解：如圖所示：5.如圖①是一塊瓷磚的圖案，用這種瓷磚來(lái)鋪設(shè)地面，如果鋪成一個(gè)2×2的正方形圖案（如圖②），其中完整的圓共有5個(gè)，如果鋪成一個(gè)3×3的正方形圖案（如圖③），其中完整的圓共有13個(gè)，如果鋪成一個(gè)4×4的正方形圖案（如圖④），其中完整的圓共有25個(gè)，若這樣鋪成一個(gè)10×10的正方形圖案，則其中完整的圓共有______個(gè).181綜合應(yīng)用平面鑲嵌的概念：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問(wèn)題叫做多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）.設(shè)n表示正多邊形的邊數(shù).（1）_________、_________能鑲嵌，_____________________________________不能鑲嵌.n=3和4n=3和6n=3和5，n=4和5，n=4和6，n=5和6（2）用兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌的條件是：

_______________________________________________________________________________．x，y表示正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)ax+by=360，其中a，b表示正多邊形的個(gè)數(shù)，課堂小結(jié)第十一章三角形綜合與實(shí)踐平面鑲嵌在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下空隙，又不互相重疊(在幾何里叫作平面鑲嵌)．這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)．當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形．(1)請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫表中空格.正多邊形邊數(shù)3456...n正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)

(2)如圖，如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形．(3)不能用正五邊形形狀的材料鋪滿地面的理由是什么？(4)從邊長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形中任選兩種或三種，能否鑲嵌成一個(gè)平面圖形？并探索共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說(shuō)明你的理由．(2)設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n.故如果限于用一種正多邊形鑲嵌，正三角形、正四邊形(或正方形)、正六邊形都能鑲嵌成一個(gè)平面圖形．(4)在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有x個(gè)正三角形y個(gè)正四邊形和z個(gè)正六邊形．根據(jù)題意，可得方程60x＋90y＋120z＝360，化簡(jiǎn)得2x＋3y＋4z＝12，即用正三角形和正方形可以鑲嵌成1個(gè)平面圖形；用正三角形和正六邊形可以鑲嵌成2個(gè)平面圖形；用1個(gè)正三角形、2個(gè)正方形、1個(gè)正六邊形可以鑲嵌成1個(gè)平面圖形，所以共能鑲嵌成4種不同的平面圖形．第十一章三角形綜合與實(shí)踐三角形的內(nèi)角和定理的證明和應(yīng)用古希臘七賢之一，著名哲學(xué)家泰勒斯(Thales，公元前6世紀(jì))最早從拼圖實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了“三角形內(nèi)角和等180°”，但這種發(fā)現(xiàn)完全是經(jīng)驗(yàn)性的，泰勒斯并沒(méi)有給出嚴(yán)格的證明．之后歐幾里得利用輔助平行線和延長(zhǎng)線，通過(guò)一組同位角和內(nèi)錯(cuò)角證明了該定理．請(qǐng)同學(xué)們幫助歐幾里得將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(1)如圖1，在△ABC中，求證：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.證明：延長(zhǎng)線段BC至點(diǎn)F，并過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB.∵CE∥AB(已作)，∴________＝∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，________＝∠2(兩直線平行，同位角相等)．∵_(dá)_________________________________(平角的定義)，∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(等量代換)．【實(shí)踐運(yùn)用】(2)如圖2，線段AD，BC相交于點(diǎn)O，連接AB，CD，試證明：∠A＋∠B＝∠C＋∠D.∠A∠B∠1＋∠2＋∠ACB＝180°【拓展提升】(3)①如圖3，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝34°，∠ADC＝18°，則∠P的度數(shù)為________.②如圖4，直線AP平分∠FAD，CP平分∠BCE，若∠ABC＝34°，∠ADC＝18°，則∠P的度數(shù)為________.解：(2)證明：在△AOB中，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°.在△COD中，∠C＋∠D＋∠COD＝180°.∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D.(3)①設(shè)∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y(tǒng)，故答案為26°.②在PA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)J，設(shè)∠FAJ＝∠DAJ＝m，∠PCB＝∠PCE＝n，故答案為26°.《第十二章全等三角形》數(shù)學(xué)活動(dòng)

——用全等形設(shè)計(jì)圖案八年級(jí)上冊(cè)新課導(dǎo)入在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常見(jiàn)到一些美麗的圖案.其實(shí)它們是由我們熟悉的全等形設(shè)計(jì)的，這也是我們今天的活動(dòng)課題——用全等形設(shè)計(jì)圖案.學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．了解一些由全等形設(shè)計(jì)的圖案，并會(huì)從中

找出全等形.2．認(rèn)識(shí)由全等形設(shè)計(jì)的圖案一般具有對(duì)稱性.3．認(rèn)識(shí)由全等形設(shè)計(jì)的圖案有許多相等的量

（線段、角），特殊的位置關(guān)系（垂直）.推進(jìn)新課辨別全等形知識(shí)點(diǎn)1圖中有幾組全等圖形？請(qǐng)一一指出．（5）（6）

（7）

（8）（9）（10）

（11）

（12）（1）（2）

（3）

（4）答：圖（4）、（9）全等；圖（5）、（11）全等；圖（7）、（10）全等．

判別全等的方法：①用刻度尺、量角器測(cè)量；②通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)來(lái)看兩個(gè)圖形是否完全重合．（5）（6）

（7）

（8）（9）（10）

（11）

（12）（1）（2）

（3）

（4）答：圖（左）中四個(gè)紫色菱形是全等的，四個(gè)藍(lán)色的四邊形是全等的，剩下的八個(gè)三角形是全等的；123456789101112圖中是根據(jù)全等形設(shè)計(jì)的兩個(gè)圖案．請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，每個(gè)圖案中有哪些全等形？有哪些是全等三角形？答：圖（右）中四個(gè)小正方形是全等的，1～8八個(gè)小三角形是全等的，9～12四個(gè)三角形是全等的．另外，還可以發(fā)現(xiàn)一些拼接后的全等形，比如圖（右）中1、9、2；8、10、7；6、11、5；4、12、3分別組成的四個(gè)長(zhǎng)方形全等．123456789101112請(qǐng)同學(xué)們?cè)倥e一些身邊的例子與同學(xué)交流．用全等三角形研究“箏形”知識(shí)點(diǎn)2觀察這些圖片，你能從圖片上看出有哪些基本圖形嗎？?jī)山M鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．用符號(hào)語(yǔ)言表示：在四邊形ABCD

中，AB=AD，BC=DC，則四邊形ABCD

是箏形

．請(qǐng)學(xué)生開始動(dòng)手畫圖．“箏形”的定義用自己的話說(shuō)說(shuō)什么叫“箏形”，并在紙上畫一個(gè)“箏形”．ABCD練習(xí)請(qǐng)同學(xué)們?cè)谙铝袌D中找出箏形，相互交流．21345678910111213141516ABCDO在箏形ABCD

中，邊：AB=AD，BC=DC．角：∠ABC=∠ADC，∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD．對(duì)角線：AC⊥BD，且AC

平分BD，即BO=DO．箏形的面積為兩對(duì)角線乘積的一半．探究“箏形”的性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)們剪下“箏形ABCD”，用測(cè)量、折疊等方法可得出哪些結(jié)論？ABCDO追問(wèn)1你能應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)證明這些猜想嗎？證明：由“箏形”的定義可知，

AB=AD，BC=DC．由SSS可得△ABC≌△ADC．∴由SAS可得△ABO≌△ADO．∴∠ABD=∠ADB，BO=DO.ABCDO證明：同理△CBO

≌△CDO，可得∠CBD=∠CDB．∴BC=DC，

OC⊥BD．∵△ABC≌△ADC，∴“箏形”ABCD的面積S=2?S△ABC=2×AC?BO

=AC?BD．追問(wèn)1你能應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)證明這些猜想嗎？ABCDO追問(wèn)2你能從邊、角、對(duì)角線等方面用文字語(yǔ)言歸納出“箏形”所具有的性質(zhì)嗎？“箏形”的性質(zhì)如下：（1）箏形兩組鄰邊相等；（2）箏形至少一組對(duì)角相等；（3）箏形只有一條對(duì)角線平分一組對(duì)

角，并且垂直平分另一條對(duì)角線；（4）箏形的面積為兩對(duì)角線乘積的一半．隨堂演練1.如圖，是由全等的三角形和全等的正方形拼成的圖案，觀察圖案，其中有______個(gè)全等的三角形，_______個(gè)全等的正方形.基礎(chǔ)鞏固452.請(qǐng)你用下面這種基本圖形設(shè)計(jì)一幅圖案，畫在下面田字格紙上.綜合應(yīng)用3.如圖，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，請(qǐng)你用測(cè)量、折紙等方法猜想AC與AD，BD與CE有什么關(guān)系？然后用全等三角形的知識(shí)證明你的結(jié)論.拓展延伸解：猜想：AC=AD，BD=CE.證明：連接AC、AD、BD、CE.在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED(SAS).∴AC=AD.∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，即∠BCD=∠EDC.在△BCD和△EDC中，∴△BCD≌△EDC(SAS).∴BD=EC.課堂小結(jié)ABCDO“箏形”的性質(zhì)如下：（1）箏形兩組鄰邊相等；（2）箏形至少一組對(duì)角相等；（3）箏形只有一條對(duì)角線平分一組對(duì)

角，并且垂直平分另一條對(duì)角線；（4）箏形的面積為兩對(duì)角線乘積的一半．《第十二章全等三角形》綜合與實(shí)踐“SSA”不能判定兩個(gè)三角形全等通過(guò)“三角形全等的判定”的學(xué)習(xí)，大家知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是一個(gè)基本事實(shí)，可以判定兩個(gè)三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等”的兩個(gè)三角形卻不一定全等．下面請(qǐng)你來(lái)探究．探究：已知：△ABC，求作：△DEF，使EF＝BC，∠E＝∠B，DF＝AC(即兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等)．(1)實(shí)踐與操作：請(qǐng)依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過(guò)程(保留作圖痕跡)．①畫EF＝BC；②在線段EF的上方畫∠E＝∠B；③畫DF＝AC；④順次連接相應(yīng)頂點(diǎn)得所求三角形．(2)觀察與小結(jié)：觀察你畫的圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有______個(gè)；其中三角形______(填三角形的名稱)與△ABC明顯不全等，因此可得結(jié)論：________________________________________________________________________.(3)猜想與驗(yàn)證：猜想是否存在滿足“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等”的兩個(gè)三角形全等呢？存在與否，請(qǐng)舉一例尺規(guī)作圖驗(yàn)證(提示：按照探究中的已知先構(gòu)造三角形，再根據(jù)求作要求尺規(guī)作圖)．(4)歸納與總結(jié)：用一句話歸納(3)________________________________________________________________________．解：(1)作圖如下：(2)滿足條件的三角形有兩個(gè)，△D1EF，△D2EF，其中△D2EF與△ABC明顯不全等，因此可得結(jié)論：兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．(3)如圖，當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，按步驟作圖，可得△DEF≌△ABC.另，當(dāng)∠ABC>90°時(shí)，按步驟作圖，也可得△DEF≌△ABC.(4)結(jié)論：兩個(gè)三角形，兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等，且該角為直角或鈍角時(shí)，這兩個(gè)三角形全等．《第十三章軸對(duì)稱》數(shù)學(xué)活動(dòng)八年級(jí)上冊(cè)新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題觀察這些漢字、英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字、花邊圖案及等腰三角形折疊圖片，你能發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）體驗(yàn)軸對(duì)稱滲透到了我們的文化生活之中.（2）能用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案.（3）會(huì)用軸對(duì)稱探討等腰三角形性質(zhì).推進(jìn)新課知識(shí)點(diǎn)1美術(shù)字與軸對(duì)稱

從軸對(duì)稱的角度觀察它們，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特點(diǎn)嗎？畫出這些美術(shù)字的對(duì)稱軸．畫出這些字母的對(duì)稱軸．羊王

平B

E

D

猜想下列幾個(gè)未寫完的美術(shù)字是什么漢字或字母？囍一二三品呂中由甲回

你能再寫出幾個(gè)軸對(duì)稱的美術(shù)字嗎？并畫出它們的對(duì)稱軸．知識(shí)點(diǎn)2利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案

思考這個(gè)圖案是由基本圖形經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？重復(fù)這個(gè)過(guò)程，可以得到美麗的圖案.（1）改變折痕的位置并重復(fù)幾次，你又得到什么？（2）對(duì)稱軸的方向和位置的變化對(duì)圖形有什么影響？請(qǐng)動(dòng)手在一張紙上畫一個(gè)你喜歡的圖形，將這張紙折疊，描圖，再打開紙．對(duì)稱軸方向和位置發(fā)生變化時(shí)，得到的圖形的方向和位置也會(huì)發(fā)生變化．

有時(shí)，將平移和軸對(duì)稱結(jié)合起來(lái)，可以設(shè)計(jì)出更豐富的圖案，許多鑲邊和背景圖案就是這樣設(shè)計(jì)的.請(qǐng)你利用平移和軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案．知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形中相等的線段等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，將△ABC沿對(duì)稱軸折疊，觀察DE與DF的關(guān)系.等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等嗎？

DE=DF．如何證明呢？ABEFCDDAFCB已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：DE=DF.∵D是BC邊的中點(diǎn)，∴DB=DC.∴△EBD≌△FCD（AAS），∴DE=DF.證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C.如果DE，DF分別是AB，AC上的中線，它們還有相等的數(shù)量關(guān)系嗎？

DE=DF．ABCDEF證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，

AB，AC邊的中點(diǎn)，∴DB=DC，BE=AE，CF=AF.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC邊的中點(diǎn)．求證：DE=DF.ABCDEF∴

BE=CF.∴△BDE≌△CDF（SAS）．∴DE=DF.如果DE，DF分別是∠ADB，∠ADC的平分線，它們還有相等的數(shù)量關(guān)系嗎？

DE=DF．ABCDEF∠CDF

=

∠ADC

，

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，DE，DF分別是∠ADB，∠ADC的平分線．求證：DE=DF.∴∠BDE

=∠CDF

，∴△BDE≌△CDF（ASA）．∴DE=DF.證明：

∴∠BDE

=

∠ADB

，ABCDEF隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.以下列各圖中的虛線為對(duì)稱軸，補(bǔ)充圖形.2.下列四個(gè)圖形，其中是軸對(duì)稱圖形，且對(duì)稱軸的條數(shù)為2的圖形的個(gè)數(shù)是（

）A.1 B.2 C.3 D.4C3.下列圖案是利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)的嗎？若是，請(qǐng)用虛線畫出對(duì)稱軸；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：不是；因?yàn)樗鼈儾荒荜P(guān)于某條直線對(duì)稱.綜合應(yīng)用4.觀察下列圖案：（1）圖①到②是利用________得到，圖③經(jīng)過(guò)______或

都可以直接得到圖④；（2）由上面圖案設(shè)計(jì)說(shuō)明，有時(shí)需將

和_______結(jié)合起來(lái)設(shè)計(jì)圖案.軸對(duì)稱軸對(duì)稱平移平移軸對(duì)稱拓展延伸5.通過(guò)折紙猜想：等腰三角形兩個(gè)底角的平分線有什么關(guān)系？并利用三角形全等知識(shí)加以證明.

解：猜想，等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等.證明：如圖.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠EBC=∠DCB.在△BCD和△CBE中，

∠DBC=∠ECB，BC=CB，

∠DCB=∠EBC，∴△BCD≌△CBE(ASA).∴CD=BE.第十三章軸對(duì)稱綜合與實(shí)踐箏形的折疊研究在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，老師讓學(xué)生以“折疊箏形”為主題開展數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”．(1)【概念理解】如圖1，將一張紙對(duì)折壓平，以折痕為邊折出一個(gè)三角形，然后把紙展平，折痕為四邊形ABCD，則四邊形ABCD______(選填“是”或“不是”)箏形．(2)【性質(zhì)探究】如圖2，已知四邊形ABCD紙片是箏形，請(qǐng)用測(cè)量、折疊等方法猜想箏形的角、對(duì)角線有什么幾何特征，然后寫出一條性質(zhì)并進(jìn)行證明．是(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，AD是銳角三角形ABC的高，將△ABD沿AB邊翻折后得到△ABE，將△ACD沿AC邊翻折后得到△ACF，延長(zhǎng)EB，F(xiàn)C交于點(diǎn)G.①請(qǐng)寫出圖3中的“箏形”：__________________(寫出一個(gè)即可)．②若∠BAC＝50°，當(dāng)△BGC是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠BAD的度數(shù)．四邊形AEBD解：(1)∵四邊形ABCD為對(duì)折后折出的三角形展開形成的四邊形，∴AD＝CD，AB＝CB，∴四邊形ABCD是箏形．故答案為是．(2)性質(zhì)：在箏形中較長(zhǎng)的對(duì)角線平分較短的對(duì)角線所對(duì)的兩個(gè)角，證明如下：證明：如圖，連接BD，AC.∵四邊形ABCD是箏形，∴AD＝CD，AB＝CB.∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ADC，BD平分∠ABC.(3)①四邊形AEBD.②∵△ACD沿AC邊翻折后得到△ACF，∴△ACD≌△ACF，∴AD＝AF，DC＝FC，∴四邊形ADCF是箏形，∴∠DAC＝∠FAC，∠ACD＝∠ACF.∵△ABD≌△ABE，∴∠DAB＝∠EAB，∠ABD＝∠ABE.∵在箏形中較長(zhǎng)的對(duì)角線平分較短的對(duì)角線所對(duì)的兩個(gè)角，∴∠EAF＝2(∠BAD＋∠DAC)＝2∠BAC＝100°.∵四邊形內(nèi)角和為360°，∠AEG＝∠AFG＝90°，∴∠BGC＝360°－∠EAF－∠AEG－∠AFG＝360°－100°－90°－90°＝80°.當(dāng)△BGC是等腰三角形時(shí)，有三種情況：①當(dāng)BC＝BG時(shí)，∠BGC＝∠BCG，∴∠BCG＝80°，∴∠CBG＝180°－∠BGC－∠BCG＝180°－80°－80°＝20°，∵AD是銳角三角形ABC的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－80°＝10°；②當(dāng)BC＝CG時(shí)，∴∠CBG＝∠CGB＝80°，∵AD是銳角三角形ABC的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－50°＝40°；③當(dāng)BG＝CG時(shí)，∴∠CBG＝∠BCG＝50°，∵AD是銳角三角形ABC的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－65°＝25°.綜上所述，∠BAD的度數(shù)為25°或40°或10°.第十三章軸對(duì)稱圖形研究在等腰三角形中利用尺規(guī)作圖1．如圖，在△ABC中，AB＝AC.(1)作邊AB的垂直平分線DE，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE.(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(2)在(1)的基礎(chǔ)上，若AB＝10，△BCE的周長(zhǎng)為16，求BC的長(zhǎng)．解：(1)如圖所示，即為所求．(2)∵DE是AB的垂直平分線，∴BE＝AE，∴△BCE的周長(zhǎng)為BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝16.又∵AC＝AB＝10，∴BC＝16－10＝6.2．如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，連接AC.(1)尺規(guī)作圖：作∠ADC的平分線DE交AC于點(diǎn)E.(不寫作法，保留作圖痕跡)(2)在(1)的基礎(chǔ)上，若AC⊥BC，求證：DE＝2BC.解：(1)如圖所示，射線DE即為所求．(2)證明：∵DA＝DC，DE平分∠ADC，∴AE＝EC，DE⊥AC，∴AC＝2AE.∵AD⊥AB，AC⊥CB，∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°，∴∠DAE＋∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B＝90°，∴∠DAE＝∠B.∴△DEA≌△ACB(AAS)，∴DE＝AC，AE＝BC，∴DE＝2BC.3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，若點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，(1)求證：△ABC是等邊三角形．(2)在線段BD上求作點(diǎn)E，使得CE＝2DE.(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)解：(1)∵BD⊥AC，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，∴BD垂直平分AC，∴BC＝AB.∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形．(2)∵CE＝2DE，BD⊥AC，∴∠DCE＝30°.∵∠ACB＝60°，∴CE平分∠ACB.4．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D，連接ED，延長(zhǎng)ED與直線BC交于點(diǎn)F.(不寫作法，保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下，若DE⊥AB，當(dāng)AE＝2，求BF的長(zhǎng)．解：(1)如圖所示，即為所求．(2)∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°.∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BFE＝30°，∴AD＝2AE＝4，BF＝2BE.∵BD是∠ABC的平分線，∴AB＝2AD＝8，∴BE＝AB－AE＝6，∴BF＝2BE＝12.《第十四章整式的乘法與因式分解》數(shù)學(xué)活動(dòng)

——數(shù)字運(yùn)算規(guī)律八年級(jí)上冊(cè)

小敏同學(xué)在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的數(shù)字運(yùn)算規(guī)律：1×1=1；11×11=121；111×111=12321，…，其實(shí)在數(shù)字運(yùn)算中還有許多規(guī)律性結(jié)論，這節(jié)課我們共同探討數(shù)字運(yùn)算中的某些規(guī)律.新課導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握個(gè)位數(shù)是5的數(shù)的自乘規(guī)律.2.掌握十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)的和等于10的兩個(gè)數(shù)相乘的規(guī)律.推進(jìn)新課

觀察上述每一個(gè)算式及結(jié)果，這些結(jié)果與算式本身具有什么樣的關(guān)系？問(wèn)題1我們共同來(lái)進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算： 15×15= 25×25= 35×35=

……2256251225活動(dòng)1

觀察：15×15=225

25×25=625

35×35=1225

思考除后兩位數(shù)之外，結(jié)果中的百位數(shù)字或千位數(shù)字與兩位數(shù)的十位上的數(shù)字有什么關(guān)系呢？

2=1×2；

6=2×3；12=3×4．

歸納：15×15=1×2×100+25=225；

25×25=2×3×100+25=625；

35×35=3×4×100+25=1225．

你能用語(yǔ)言表述出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

原十位上的數(shù)字加上1，再與自己相乘得到的結(jié)果乘100，再加上25，就是個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)的結(jié)果.用字母怎么表示得到的一般性的規(guī)律呢？思考你能再舉幾個(gè)具有這樣特征的例子，并用上述方法驗(yàn)證其正確性嗎？

45×45=2025=4×5×100+25

55×55=3025=5×6×100+25

(10a+5)(10a+5)=100a(a+1)+25思考你能用本章所學(xué)的知識(shí)證明你的結(jié)論嗎？

證明：設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為5，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為10×a+5．

所以

(10a+5)(10a+5)

=(10a+5)2

=100a2+100a+25=100a(a+1)+25．

觀察上述每一個(gè)算式的乘數(shù)有什么特點(diǎn)？問(wèn)題2計(jì)算下列兩個(gè)數(shù)的積： 53×57= 38×32= 84×86=

71×79=302112167224活動(dòng)25609

十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)的和等于10.

觀察上述每一個(gè)算式及結(jié)果，這些結(jié)果與算式本身具有什么樣的關(guān)系？ 53×57= 38×32= 84×86=

71×79=3021121672245609 53×57=3021 38×32=1216 84×86=7224

71×79=5609觀察除后兩位數(shù)之外，結(jié)果中的百位數(shù)字或千位數(shù)字與兩位數(shù)的十位上的數(shù)字有什么關(guān)系呢？

30=5×6；

12=3×4；72=8×9；56=7×8．歸納

53×57=5×6×100+3×7=3021

38×32=3×4×100+2×8=1216

84×86=8×9×100+4×6=7224

71×79=7×8×100+1×9=5609

你能用語(yǔ)言表述出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

兩個(gè)個(gè)位數(shù)字之和為10的兩位數(shù)相乘，十位數(shù)加1，再乘十位數(shù)的得數(shù)寫在結(jié)果的千位和百位，兩個(gè)個(gè)位數(shù)相乘的得數(shù)寫在結(jié)果的十位和個(gè)位．用字母如何表示？

(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)思考你能用本章所學(xué)的知識(shí)證明你的結(jié)論嗎？

證明：設(shè)一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，則另一個(gè)的個(gè)位數(shù)字為10-b．

所以

(10a+b)(10a+10-b)

=(10a+b)[10(a+1)-b]

=10a×10(a+1)-10ab+b×10(a+1)-b2=100a(a+1)+b(10-b)思考活動(dòng)1與活動(dòng)2所得到的規(guī)律有何相似之處？

它們的計(jì)算規(guī)律在實(shí)質(zhì)上是相同的．都屬于十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和等于10的兩位數(shù)相乘．但數(shù)學(xué)活動(dòng)1是數(shù)學(xué)活動(dòng)2的特殊形式，活動(dòng)2是活動(dòng)1的一般形式，它們都可以用活動(dòng)2的規(guī)律統(tǒng)一表示．利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：58×52 63×67752 952強(qiáng)化練習(xí)=5×6×100+2×8=3016=6×7×100+3×7=4221=7×8×100+5×5=5625=9×10×100+5×5=9025隨堂演練1.計(jì)算：55×55

75×75

105×105

215×215=5×6×100+5×5=3025=7×8×100+5×5=5625=10×11×100+5×5=11025=21×22×100+5×5=462252.計(jì)算：24×26 33×37 44×46 92×98=2×3×100+4×6=624=3×4×100+3×7=1221=4×5×100+4×6=2024=9×10×100+2×8=9016課堂小結(jié)

53×57=5×6×100+3×7=3021

38×32=3×4×100+2×8=1216

84×86=8×9×100+4×6=7224

71×79=7×8×100+1×9=5609

(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)第十四章整式的乘法與因式分解綜合與實(shí)踐分割長(zhǎng)方形土地根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).校園實(shí)踐基地土地分割方案素材1學(xué)校有一塊總面積為35m2的長(zhǎng)方形空地，現(xiàn)將這塊空地用于建造實(shí)踐基地．素材2將長(zhǎng)方形空地分割為以下三種類型土地：A型土地是a×a的正方形，B型土地是b×b的正方形，C型土地是a×b的長(zhǎng)方形．(a，b都是正整數(shù))問(wèn)題解決任務(wù)一學(xué)校原計(jì)劃將長(zhǎng)方形空地分割成1塊A型土地、2塊B型土地、3塊C型土地(如圖)，請(qǐng)你用兩種不同的方式表示出長(zhǎng)方形空地的面積(用含a，b的式子表示)．①________；②________.問(wèn)題解決任務(wù)二學(xué)校現(xiàn)決定將長(zhǎng)方形空地分割成1塊A型土地、6塊B型土地、5塊C型土地，請(qǐng)你在虛線框中畫出長(zhǎng)方形空地的分割示意圖，并寫出一個(gè)關(guān)于a，b的等式．等式：________________.任務(wù)三根據(jù)任務(wù)二的分割方案，求出a，b的值.解：任務(wù)一：根據(jù)題意，可得列代數(shù)式a2＋2b2＋3ab，(a＋2b)(a＋b)．故答案為①a2＋2b2＋3ab；②(a＋2b)(a＋b)．任務(wù)二：長(zhǎng)方形空地的分割示意圖如下圖所示，根據(jù)示意圖，可得等式(a＋2b)(a＋3b)＝a2＋5ab＋6b2.故答案為(a＋2b)(a＋3b)＝a2＋5ab＋6b2.任務(wù)三：根據(jù)題意，長(zhǎng)方形空地的面積為35m2，且a，b都是正整數(shù)，∴該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬也為正整數(shù)，則長(zhǎng)方形的寬和長(zhǎng)只能分別為5m和7m，根據(jù)任務(wù)二中的分割方案，《第十五章分式》數(shù)學(xué)活動(dòng)

——探究比例的性質(zhì)八年級(jí)上冊(cè)新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題

同學(xué)們?cè)谛W(xué)就學(xué)過(guò)比例的基本性質(zhì)，例如：3∶4=6∶8中，3×8=4×6，如果設(shè)四個(gè)不為0的數(shù)a、b、c、d，a與b的比等于c與d的比，即

，那么

與

，

與

是否也相等呢？這節(jié)課我們繼續(xù)探究比例的性質(zhì).學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握比例的性質(zhì).推進(jìn)新課問(wèn)題1

找一組都不為0的數(shù)a，b，c，d，使得成立.思考

a、b、c、d之間會(huì)存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？ad=bc

問(wèn)題2利用剛才所選的數(shù)據(jù)進(jìn)行探究，你能發(fā)現(xiàn)和,和這兩組分式的值之間的關(guān)系嗎？多找?guī)捉M這樣的數(shù)試一試，你能得到什么猜想？在的前提下，你能運(yùn)用分式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則對(duì)你的猜想進(jìn)行證明嗎？證明：∵∴ad=

bc．∴問(wèn)題3根據(jù)剛才探究?jī)蓚€(gè)分式之間關(guān)系的方法，繼續(xù)利用滿足

的a，b，c，d

的這幾組數(shù)值，計(jì)算下列幾個(gè)分式的值，并探究下列兩組中兩個(gè)分式之間的關(guān)系，并進(jìn)行相關(guān)證