專題09 菱形的判定和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題09菱形的判定和性質(zhì)一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，菱形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，CD＝2OB，E為CD延長線上一點(diǎn)，使得DE＝CD，連結(jié)BE，分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG，AE，則下列結(jié)論：①∠ABC＝120°；②；③四邊形ODEG與四邊形OBAG的面積相等；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB，AB∥CD，OB＝OD，∵CD＝2OB，∴BC＝DC＝BD，∴△BDC是等邊三角形，∴∠BCD＝60°，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝120°，故①正確；∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠EDG，∵AB＝CD，CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，BG＝GE，∵BO＝DO，AB∥DE，∴OG∥AB∥DE，OG＝AB，OG到AB之間的距離＝OG到DE之間的距離（設(shè)距離為h），∵四邊形ODEG的面積S＝（DE+OG）h，四邊形OBAG的面積S′＝（AB+OG）h，AB＝DE，∴四邊形ODEG與四邊形OBAG的面積相等，故②正確，③正確；∵AG＝DG，BG＝GE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵DE＝CD＝BD，∴四邊形ABDE是菱形，故④正確；即正確的個(gè)數(shù)是4，故選：A．2．（2分）（2022春?留壩縣期末）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F是直線AC上兩點(diǎn)，AF＝CE．求證：四邊形FBED是菱形．幾名同學(xué)對(duì)這個(gè)問題，給出了如下幾種解題思路，其中正確的是（）甲：利用全等，證明四邊形FBED四條邊相等，進(jìn)而說明該四邊形是菱形；乙：連接BD，利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，判定四邊形FBED是菱形；丙：該題目錯(cuò)誤，根據(jù)已知條件不能夠證明該四邊形是菱形．A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲．乙、丙 D．甲、丙解：甲：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），∴BE＝DE，BF＝BE，∴BF＝DF＝BE＝DE，∴四邊形FBED是菱形；乙：連接BD交AC于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AF＝CE，∴OA+AF＝OC+CE，即OF＝OE，∴四邊形FBED是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形FBED是菱形；綜上所述，甲對(duì)、乙對(duì)，故選：A．3．（2分）（2022春?白河縣期末）如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AC向△ABC外構(gòu)造等邊△ACD，E為AB的中點(diǎn)，連接CE、DE，∠ACB＝90，∠ABC＝30°．下列結(jié)論：①AC⊥DE；②四邊形BCDE是平行四邊形；③四邊形ADCE是菱形；④S四邊形BCDE＝3S△ACD．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝AE＝AB，∴BE∥CD，CD＝BE＝AE，∴四邊形BCDE為平行四邊形，故②正確；四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，AE＝BE，∴CE＝AE＝AB，∴四邊形ADCE是菱形，故③正確；∵四邊形BCDE為平行四邊形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，故①正確；設(shè)AC＝x，則AB＝2x，∴S△ACD＝S△ACE＝S△CBE＝x2，∴S四邊形BCDE＝2S△BCE＝2S△ACD，故④錯(cuò)誤；故選：C．4．（2分）（2022春?江北區(qū)期末）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的菱形ABCD，相鄰紙片之間互不重疊也無空隙，其中周圍四張小平行四邊形紙片都全等，中間一張紙片的面積為S1．連結(jié)BE，BG，DE，DG，四邊形BEDG的面積為S2，若，則周圍小平行四邊形的寬與長的比值為（）A． B． C． D．解：如圖，過點(diǎn)D作DP⊥BC，交BC的延長線于P，交MG的延長線于Q，設(shè)小平行四邊形的寬是x，長是x，DQ＝h，PQ＝h1，∵周圍四張小平行四邊形紙片都全等，∵EH＝GH＝FG＝EF＝y(tǒng)﹣x，∴四邊形EFGH是菱形，∵，∴＝，即＝，∴＝，∴＝．故選：B．5．（2分）（2022春?高邑縣期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（）A．4 B．8 C．4 D．解：由題意得：OA＝AC＝BC＝OB，∴四邊形OACB是菱形，∵AB＝2，OC＝4，∴菱形OACB的面積＝OC?AB＝×4×2＝4，故選：C．6．（2分）（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長線上一點(diǎn)，且CD＝DE，連結(jié)BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG，則下列結(jié)論：①OG＝AB；②S四邊形ODGF＞S△ABF；③由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG＝AB，故①正確；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四邊形ABDE是菱形，故③正確；∵OA＝OC，AG＝DG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，∴S△ACD＝4S△AOG，∵S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正確；連接FD，如圖：∵△ABD是等邊三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三邊的距離相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四邊形ODGF，∴S四邊形ODGF＝S△ABF，故②錯(cuò)誤；正確的是①③④，故選：C．7．（2分）（2022春?禮縣期末）兩張全等的矩形紙片ABCD，AECF按如圖方式交叉疊放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝1，BC＝3，則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）A．2 B． C． D．解：設(shè)BC交AE于G，AD交CF于H，如圖所示：∵四邊形ABCD、四邊形AECF是全等的矩形，∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，∴四邊形AGCH是平行四邊形，在△ABG和△CEG中，，∴△ABG≌△CEG（AAS），∴AG＝CG，∴四邊形AGCH是菱形，設(shè)AG＝CG＝x，則BG＝BC﹣CG＝3﹣x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝，∴菱形AGCH的面積＝CG×AB＝×1＝，即圖中重疊（陰影）部分的面積為；故選：C．8．（2分）（2022春?白水縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，BD分別與AE，AF相交于點(diǎn)M，N，連接OE，OF，下列結(jié)論：（1）△AEF是等邊三角形；（2）四邊形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM＝MN＝ND．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，OA＝OD＝AC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，∴△ABC、△ADC是等邊三角形，∴OB是等邊三角形ABC的高，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AE時(shí)等邊三角形ABC的高，∴AE＝OB，同理：AF＝OD，∴AE＝AF，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴EF＝BD＝OB，EF∥BD，∴AE＝AF＝EF，即△AEF是等邊三角形，∴（1）正確；∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，AC⊥BD，∴OE＝BC＝CE，OF＝CD＝CF，∴OE＝OF＝CE＝CF，∴四邊形CEOF是菱形，∴（2）正確；∵四邊形CEOF是菱形，∴OF∥BC，∵AE⊥BC，∴OF⊥AE，∴（3）正確；∵AE、BO是等邊三角形ABC的中線，∴AM＝BM，同理：AN＝ND，∵△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°，∵EF∥BD，∴∠AMN＝∠AEF＝60°，∠ANM＝∠AFE＝60°，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，∴AM＝AN，∴BM＝MN＝ND，∴（4）正確；正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：D．9．（2分）（2021春?萊陽市期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長線上的一點(diǎn)，且CD＝DE，連接BE分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，連接OG，則下列結(jié)論：①；②與△DEG全等的三角形共有5個(gè)；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．其中一定成立的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG＝CD＝AB，故①正確；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四邊形ABDE是菱形，故④正確；∴AD⊥BE，由菱形的性質(zhì)得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），在△BGA和△COD中，，∴△BGA≌△COD（SAS），∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正確；∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四邊形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，故③正確；故選：A．10．（2分）（2021春?兩江新區(qū)期末）如圖，O是菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．下列結(jié)論中正確的是（）①S△ABE＝S△OBF；②四邊形EBFD是菱形；③四邊形ABCD的面積為OC×OD；④∠ABE＝∠OBE．A．①② B．②④ C．②③ D．③④解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵E、F分別是OA、OC的中點(diǎn)，∴AE＝EO＝FO＝CF，∴S△ABE＝S△OBF，故①正確；∵EO＝OF，BO＝DO，∴四邊形EBFD是平行四邊形，又∵AC⊥BD∴四邊形EBFD是菱形，故②正確；∵菱形ABCD的面積＝AC×BD＝2OC?OD，故③錯(cuò)誤；∵四邊形EBFD是菱形，∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④錯(cuò)誤；故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?惠民縣期末）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，則下列相等關(guān)系：①AD＝AB；②AD＝BC；③∠DAC＝∠ACD；④AO＝BO，其中一定成立的是②.（只填序號(hào)）解：由題意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，故答案為：②．12．（2分）（2022春?錫山區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，連接BD，作∠BAD角平分線AE交BD、BC于點(diǎn)F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE長為2．解：連接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根據(jù)勾股定理，得DE＝5．∵AB＝AD，AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，∴BC＝BE+EC＝8，∴四邊形ABED是菱形，由勾股定理得出BD＝，∴OE＝，∴AE＝2OE＝2，故答案為：2．13．（2分）（2021春?華容縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接CF、EF、FG，下列五種說法：①CE⊥FG；②四邊形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG；⑤∠AEF＝∠EGB．正確的有①②③④．（填序號(hào)）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵點(diǎn)F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四邊形ABGF是平行四邊形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正確；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四邊形ABGF是菱形，故②正確；∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2EG，故③正確；延長EF，交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，∴CF＝EM，∴∠ECM＝90°，∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∵DF＝AF＝AD，CD＝AB＝AD，∴四邊形CDFG是菱形，∴FG∥CD，∴∠DCF＝∠CFG，∵FG⊥CE，∴∠EFC＝∠CFG，∴∠EFG＝∠DFC，故④正確，∵EG＝BG，∴∠B＝∠BEG，∴∠EGB＝180°﹣2∠B，∵EF≠FG，∴∠FEG≠∠FGE，∴∠FEG≠∠FGE，∵∠FGE＝∠BEG＝∠B，∴∠FEG≠∠B，∴∠AEF＝180°﹣∠BEG﹣∠FEG＝180°﹣∠B﹣∠FEG，∴∠AEF≠∠EGB，故⑤錯(cuò)誤；故答案為：①②③④．14．（2分）（2021春?朝陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形一定是菱形，依據(jù)是鄰邊相等的平行四邊形是菱形．解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如圖所示：∵兩把完全一樣的直尺疊放在一起，∴AB∥CD，AD∥BC，兩把直尺的寬度相等，∴四邊形ABCD是平行四邊形，DE＝DF，又∵平行四邊形ABCD的面積＝AB?DE＝BC?DF，∴AB＝BC，∴平行四邊形ABCD為菱形，故答案為：菱形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形．15．（2分）（2020?壽光市二模）如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，點(diǎn)P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P分別作PM⊥AD于點(diǎn)M，作PN⊥DC于點(diǎn)N．連接PB，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN+PB的最小值等于7.8．解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD于點(diǎn)O，∴平行四邊形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，∴CD＝AD＝5，連接PD，如圖所示：∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD?PM+DC?PN＝AC?OD，即×5×PM+×5×PN＝×8×3，∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴當(dāng)PB最短時(shí)，PM+PN+PB有最小值，由垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，PB最短，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案為：7.8．16．（2分）（2020春?淥口區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分線交AC于D．過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，交BD于G，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，過點(diǎn)G作GH∥BC，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四邊形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正確的結(jié)論是①②④⑤．解：①∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∵AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠C，①正確；②作AM∥BD交CB的延長線于M，如圖所示：則∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠M＝∠BAM，∴AB＝BM，∵AM∥BD，∴AG：GE＝BM：BE，∴AG：GE＝AB：BE，∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE，∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正確；④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠ADG，∴AG＝AD，∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，∴AD＝DF，∴AG＝DF，∵AE⊥BC，∴AG∥DF，∴四邊形AGFD是平行四邊形，又∵AG＝AD，∴四邊形AGFD是菱形；④正確；⑤∵四邊形AGFD是菱形；∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB，∴∠AGB＝∠FGB，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG（ASA），∴∠BAE＝∠BFG，∵∠BAE＝∠C，∴∠BFG＝∠C，∴GF∥CH，∵GH∥BC，∴四邊形GFCH是平行四邊形，∴GF＝CH，∴CH＝DF，⑤正確；③∵∠ADF＝2∠ADB，當(dāng)∠C＝30°，∠CDF＝60°，則∠ADF＝120°，∴∠ADF＝2∠CDF；③不正確；故答案為：①②④⑤．17．（2分）（2019春?倉山區(qū)期中）如圖，已知∠A，以點(diǎn)A為圓心，恰當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AE，AF于點(diǎn)B，D，繼續(xù)分別以點(diǎn)B，D為圓心，線段AB長為半徑畫弧交于點(diǎn)C，連接BC，CD，則所得四邊形ABCD為菱形，判定依據(jù)是：四條邊相等的四邊形是菱形．解：∵已知∠A，以點(diǎn)A為圓心，恰當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AE，AF于點(diǎn)B，D，∴AB＝AD，∵分別以點(diǎn)B，D為圓心，線段AB長為半徑畫弧交于點(diǎn)C，∴BC＝CD＝AB，∴AB＝AD＝BC＝CD，∴所得四邊形ABCD為菱形，判定依據(jù)是：四條邊相等的四邊形是菱形．故答案為：四條邊相等的四邊形是菱形．18．（2分）（2017?安徽模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，給出下列判斷：①若△AEF是等邊三角形，則∠B＝60°，②若∠B＝60°，則△AEF是等邊三角形，③若AE＝AF，則平行四邊形ABCD是菱形，④若平行四邊形ABCD是菱形，則AE＝AF，其中，結(jié)論正確的是①③④（只需填寫正確結(jié)論的序號(hào)）．解：①∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，∴∠B＝180°﹣∠C＝60°，故①正確；②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，但是AE不一定等于AF，故②錯(cuò)誤；③若AE＝AF，則BC?AE＝CD?AF，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故③正確；④若平行四邊形ABCD是菱形，則BC＝CD，∴BC?AE＝CD?AF，∴AE＝AF，故④正確；故答案為：①③④．19．（2分）（2021?朝天區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接CF、EF、FG，下列四種說法：①CE⊥FG；②四邊形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正確的有①②③④．（填序號(hào)）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵點(diǎn)F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四邊形ABGF是平行四邊形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正確；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四邊形ABGF是菱形，故②正確；∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2EG，故③正確；延長EF，交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，∴CF＝EM，∴∠ECM＝90°，∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∵DF＝AF＝AD，CD＝AB＝AD，∴四邊形CDFG是菱形，∴FG∥CD，∴∠DCF＝∠CFG，∵FG⊥CE，∴∠EFG＝∠CFG，∴∠EFG＝∠DFC，故④正確，故答案為：①②③④．20．（2分）（2020春?和平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，則CF的長為6．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴BD＝DF＝AC，∴四邊形BGFD是菱形，∴GF＝BG＝5，則AF＝13﹣5＝8，AC＝2×5＝10，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即82+CF2＝102，解得：CF＝6．故答案是：6．三．解答題（共9小題，滿分60分）21．（6分）（2023?黔江區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是AD上一點(diǎn)，連接EO并延長，交BC于點(diǎn)F．連接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四邊形AFCE的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE，∵AO＝CO，∴四邊形AFCE是平行四邊形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四邊形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四邊形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OE＝AO＝，∴EF＝2OE＝2，∴四邊形AFCE的面積＝AC×EF＝×2×2＝2．22．（6分）（2022春?海安市期中）如圖，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABC，且交AE于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，求AH的長．（1）證明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：由（1）可知，四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵AH⊥BC，∴S菱形ABCD＝BC?AH＝AC?BD，即5AH＝×6×8，解得：AH＝，即AH的長為．23．（6分）（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）在等腰△ABC中，AC＝BC，D、E、F分別是AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)，連接DE、DF．（1）如圖1，求證：四邊形DFCE是菱形；（2）如圖2延長DE至點(diǎn)G，使EG＝DE，連接EF、CG，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有的平行四邊形（不包括菱形DFCE）．（1）證明：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，∴DE、DF都是△ABC的中位線，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四邊形DECF是平行四邊形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴平行四邊形DFCE是菱形；（2）解：∵D、E、F分別是AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)，∴AD＝BD，EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB，EF＝AB＝AD＝BD，∴四邊形ADFE、四邊形BDEF是平行四邊形，∵BC＝2DE，EG＝DE，∴BC＝DG，∵DE∥BC，∴四邊形BCGD、四邊形EFCG是平行四邊形，即圖2中所有的平行四邊形（不包括菱形DFCE）為平行四邊形ADFE、平行四邊形BDEF、平行四邊形BCGD、平行四邊形EFCG．24．（6分）（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在?ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F，EF∥AB交BC于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若AB＝5，BF＝8，?ABCD的面積為42，求CE的長．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵AF∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形；（2）解：∵四邊形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝4，AO＝OE，AB＝BE＝5，∴OE＝＝＝3，∴AE＝2OE＝6，∴S菱形ABEF＝AE?BF＝×6×8＝24，∵AD∥BC，AB∥EF∥CD，∴四邊形ECDF是平行四邊形，∴S?EFDC＝42﹣24＝18，∴S菱形ABEF：S?EFDC＝＝，∴BE：CE＝，∴CE＝BE＝×5＝．25．（6分）（2022春?澄海區(qū)期末）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AB、AD為腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且頂角∠BAF＝∠DAE，連結(jié)BD、EF相交于點(diǎn)G，BD與AF相交于點(diǎn)H．（1）求證：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求證：四邊形ABCD是菱形；（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠BAF＝∠DAE＝90°時(shí)，連結(jié)BE，若BF＝4，求△BEF的面積．（1）證明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠FAD，即∠BAD＝∠FAE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△FAE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；（3）延長EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝90°，∴，∴，∴，∴EM＝AE+AM＝2+2，∴＝＝4．26．（8分）（2022春?桂平市期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于F，以EC、CF為鄰邊作?ECFG．（1）證明?ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，連接BD、CG，求∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中點(diǎn)，求DM的長．解：（1）證明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四邊形ECFG是平行四邊形，∴四邊形ECFG為菱形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四邊形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等邊三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等邊三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如圖2中，連接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，∠ECF＝90°，∴四邊形ECFG為正方形．∵∠BAF