專題08 正方形的判定和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學(xué)年蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題08正方形的判定和性質(zhì)一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021?云巖區(qū)模擬）數(shù)學(xué)老師用四根長度相等的木條首尾順次相接制成一個圖1所示的菱形教具，此時測得∠D＝60°，對角線AC長為16cm，改變教具的形狀成為圖2所示的正方形，則正方形的邊長為（）A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm解：如圖1，圖2中，連接AC．圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝DC，∵∠D＝60°，∴△ADC是等邊三角形，∴AD＝DC＝AC＝16cm，∴正方形ABCD的邊長為16cm，故選：C．2．（2分）（2021?東阿縣三模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB邊的中點，點F在BC邊上，點B關(guān)于直線EF的對稱點記為B'，連接B'D，B'E，B'F．當(dāng)點F在BC邊上移動使得四邊形BEB'F成為正方形時，B'D的長為（）A． B． C．2 D．3解：如圖，連接BB'，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E為AB邊的中點，∴AE＝BE＝1，∵四邊形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴點B，點B'，點D三點共線，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故選：A．3．（2分）（2018春?慈溪市期末）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上按如下操作：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD、AC、BC于M、O、N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無法判斷證明：∵M(jìn)N垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOM＝90°，又∵AD∥BC，∴∠MAC＝∠NCA，在△AOPM和△CON中，，∴△AOPM≌△CON，∴OM＝ON，∴AC和MN互相垂直平分，∴四邊形ANCM是菱形；故選：B．4．（2分）（2019?博山區(qū)一模）在一次數(shù)學(xué)課上，張老師出示了一個題目：“如圖，?ABCD的對角線相交于點O，過點O作EF垂直于BD交AB，CD分別于點F，E，連接DF，BE．請根據(jù)上述條件，寫出一個正確結(jié)論．”其中四位同學(xué)寫出的結(jié)論如下：小青：OE＝OF；小何：四邊形DFBE是正方形；小夏：S四邊形AFED＝S四邊形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．這四位同學(xué)寫出的結(jié)論中不正確的是（）A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，CD∥AB，∴∠ECO＝∠FAO，（故小雨的結(jié)論正確），在△EOC和△FOA中，，∴△EOC≌△FOA，∴OE＝OF（故小青的結(jié)論正確），∴S△EOC＝S△AOF，∴S四邊形AFED＝S△ADC＝S平行四邊形ABCD，∴S四邊形AFED＝S四邊形FBCE故小夏的結(jié)論正確，∵△EOC≌△FOA，∴EC＝AF，∵CD＝AB，∴DE＝FB，DE∥FB，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵OD＝OB，EO⊥DB，∴ED＝EB，∴四邊形DFBE是菱形，無法判斷是正方形，故小何的結(jié)論錯誤，故選：B．5．（2分）（2022?什邡市校級二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當(dāng)?ABCD是矩形時，∠ABC＝90° B．當(dāng)?ABCD是菱形時，AC⊥BD C．當(dāng)?ABCD是正方形時，AC＝BD D．當(dāng)?ABCD是菱形時，AB＝AC解：因為矩形的四個角是直角，故A正確，因為菱形的對角線互相垂直，故B正確，因為正方形的對角線相等，故C正確，菱形的對角線和邊長不一定相等，例如：∠ABC＝80°，因為AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此時AC＞AB，故選：D．6．（2分）（2022春?無錫期末）在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合），對于任意矩形ABCD，以下結(jié)論：①存在且僅有一個四邊形EFGH是菱形．②存在無數(shù)個四邊形EFGH是平行四邊形．③存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形．④除非矩形ABCD為正方形，否則不存在四邊形EFGH是正方形．其中正確的是（）A．③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于O，過點O直線EG和HF，分別交AB，BC，CD，AD于E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH是平行四邊形，故存在無數(shù)個四邊形EFGH是平行四邊形；故②正確；當(dāng)EG＝HF時，四邊形EFGH是矩形，故存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形；故③正確；當(dāng)EG⊥HF時，存在無數(shù)個四邊形EFGH是菱形；故①錯誤；當(dāng)四邊形EFGH是正方形時，EH＝HG，則△AEH≌△DHG，∴AE＝HD，AH＝GD，∵GD＝BE，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，四邊形EFGH是正方形，故④正確；故選：C．7．（2分）（2022春?濟(jì)南期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P（4，4），A、B分別是x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，且△ABO的周長是8，則P到直線AB的距離是（）A．4 B．3 C．2.5 D．2解：方法一：如圖，過點P作PC⊥x軸，PD⊥y軸，垂直分別為C，D，設(shè)OB＝a，OA＝b，AB＝c，P到直線AB的距離是h，∵△ABO的周長是8，∴a+b+c＝8，∴a+b＝8﹣c，∴a2+2ab+b2＝64﹣16c+c2根據(jù)勾股定理得：a2+b2＝c2，∴ab＝32﹣8c，∵S△PAB＝4×4﹣ab﹣4（4﹣b）﹣4（4﹣a）＝2（a+b）﹣ab＝2（8﹣c）﹣（32﹣8c）＝16﹣2c﹣16+4c＝2c，∵S△PAB＝×c?h，∴2c＝×c?h，∴h＝4．∴P到直線AB的距離為4．方法二：如圖，過點P作PC⊥x軸，PD⊥y軸，垂直分別為C，D，∵P（4，4），∴四邊形CODP是邊長為4的正方形，∴PC＝PD＝OC＝OD＝4，∵A、B分別是x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，∴將△PA′D沿PA′折疊得到△PA′E，延長A′E交y軸于點B，∴∠PA′D＝∠PA′E，PE＝PD，A′D＝A′E，∠PDA′＝∠PEA′＝90°，∴PE＝PC，在Rt△PEB和Rt△PCB中，，∴Rt△PEB≌Rt△PCB（HL），∴BE＝BC，∵△A′BO的周長是8，∴A′O+BO+A′B＝A′O+BO+BE+A′E＝A′O+BO+BC+A′D＝CO+DO＝8，∴△A′BO符合題意中的△ABO，∴P到直線AB的距離PE＝4，故選：A．8．（2分）（2021春?永年區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，BD與AC相交于點O．嘉嘉作DP∥OC，CP∥OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于點P；淇淇作DP＝OC，CP＝OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于點P，兩人的作法中，能使四邊形OCPD是正方形的是（）A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．嘉嘉和淇淇 D．以上均不正確解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC，OD⊥OC，∵DP∥OC，CP∥OD，∴四邊形DOCP是平行四邊形，∴DP＝OC，CP＝OD，∴DP＝OC＝CP＝OD，∴平行四邊形DOCP是正方形，故嘉嘉正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC，OD⊥OC，∵DP＝OC，CP＝OD，∴DP＝OC＝CP＝OD，∴四邊形DOCP是正方形，故淇淇正確；故選：C．9．（2分）（2020春?雨花區(qū)校級期末）如圖，點P的坐標(biāo)為（4，4），點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上運動，且∠APB＝90°，連接AB，OP，下列結(jié)論：①PA＝PB；②若OP與AB的交點恰好是AB的中點，則四邊形OAPB是正方形；③四邊形OAPB的面積與周長為定值；④AB＞OP．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④解：過P作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，AB與OP交于點C，如圖所示：∵P（4，4），∴PN＝PM＝4，∵x軸⊥y軸，∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，則四邊形MONP是正方形，∴OM＝ON＝PN＝PM＝4，∵∠MPN＝∠APB＝90°，∴∠MPB＝∠NPA，在△MPB和△NPA中，，∴△MPB≌△NPA（ASA），∴PA＝PB，故①正確；∵OP與AB的交點恰好是AB的中點，∴BC＝AC，在Rt△APB中，PC是斜邊AB的中線，∴PC＝BC，在Rt△AOB中，OC是斜邊AB的中線，∴OC＝BC，∴BC＝AC＝PC＝OC，∴四邊形OAPB是矩形，∵PA＝PB，∴四邊形OAPB是正方形，故②正確；∵△MPB≌△NPA，∴四邊形OAPB的面積＝四邊形BONP的面積+△PNA的面積＝四邊形BONP的面積+△PMB的面積＝正方形PMON的面積＝4×4＝16，∵△MPB≌△NPA，∴BM＝AN，∴OA+OB＝ON+AN+OB＝ON+OM＝4+4＝8，PA＝PB，且PA和PB的長度會不斷的變化，故周長不是定值，故③錯誤；∵若OP與AB的交點恰好是AB的中點，則四邊形OAPB是正方形，∴AB＝OP，故④錯誤；故選：A．10．（2分）（2022?大慶三模）如圖，已知四邊形ABCD為正方形AB＝2，點E為對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC延長線于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正確的結(jié)論有（）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④解：過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG為正方形；故①正確；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠DCF＝90°，∴CG平分∠DCF，故③正確；∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故②錯誤；當(dāng)DE⊥AC時，點C與點F重合，∴CE不一定等于CF，故④錯誤，故選：A．二．填空題（共7小題，滿分14分，每小題2分）11．（2分）（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）現(xiàn)有一張邊長等于a（a＞16）的正方形紙片，從距離正方形的四個頂點8cm處，沿45°角畫線，將正方形紙片分成5部分，則陰影部分是正方形（填寫圖形的形狀）（如圖），它的一邊長是cm．解：如圖，作AB平行于小正方形的一邊，延長小正方形的另一邊與大正方形的一邊交于B點，∴△ABC為直角邊長為8cm的等腰直角三角形，∴AB＝AC＝8，∴陰影正方形的邊長＝AB＝8cm．故答案為：正方形，cm．12．（2分）（2021春?萬山區(qū)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△BAD和△ACD的高，得到下列四個結(jié)論：①OA＝OD；②AD⊥EF；③當(dāng)∠A＝90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正確的是②③④（填序號）．解：如果OA＝OD，則四邊形AEDF是矩形，沒有說∠A＝90°，不符合題意，故①錯誤；∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，故④正確；∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂線，∴AD⊥EF，故②正確；∵當(dāng)∠A＝90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，∴四邊形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四邊形AEDF是正方形，故③正確．綜上可得：正確的是：②③④，故答案為：②③④．13．（2分）（2022春?新泰市期中）如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作射線OM、ON分別交BC、CD于點E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于點G．給出下列結(jié)論：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的；④DF2+CE2＝EF2.其中正確的為①②③.（將正確的序號都填入）解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正確；②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正確；③由①全等可得四邊形CEOF的面積與△OCD面積相等，∴四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的，故③正確；④∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，故④錯誤；綜上所述，正確的是①②③，故選：①②③．14．（2分）（2019春?伊通縣期末）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學(xué)具，他先把活動學(xué)具制作成圖1所示菱形，并測得∠B＝60°，接著活動學(xué)具制作成圖2所示正方形，并測得正方形的對角線AC＝acm，則圖1中對角線AC的長為acm．解：如圖1，2中，連接AC．在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝a，∴AB＝BC＝a，在圖1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝a，故答案為：a，15．（2分）（2022春?香坊區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，連接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，則BD＝39．解：將△ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AC'D'，連接C'C，過點A作AH⊥CC′于H．則△AC'C是等腰直角三角形，AC＝AC′＝45，CC′＝90，∵∠BCD＝90°，且CA平分∠BCD，∴∠C'＝∠ACB＝45°，∴C'，D'，B，C均在同一直線上，在△DAB與△D'AB中，，∴△DAB≌△D'AB（SAS），∴DB＝D'B，設(shè)DB＝D'B＝x，在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，∴x2﹣CD2＝152①，∵BC+BD'+C'D'＝CC'＝90，∴15+x+CD＝90，即x+CD＝75②，由①②可得：x＝39，∴BD＝39．故答案為：39．16．（2分）（2021?河南一模）正方形ABCD的邊長為4，點M，N在對角線AC上（可與點A，C重合），MN＝2，點P，Q在正方形的邊上．下面四個結(jié)論中，①存在無數(shù)個四邊形PMQN是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形PMQN是菱形；③存在無數(shù)個四邊形PMQN是矩形；④至少存在一個四邊形PMQN是正方形．所有正確結(jié)論的序號是①②④．解：如圖，作線段MN的垂直平分線交AD于P，交AB于Q．∵PQ垂直平分線段MN，∴PM＝PN，QM＝QN，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PAN＝∠QAN＝45°，∴∠APQ＝∠AQP＝45°，∴AP＝AQ，∴AC垂直平分線段PQ，∴MP＝MQ，∴四邊形PMQN是菱形，在MN運動過程中，這樣的菱形有無數(shù)個，當(dāng)點M與A或C重合時，四邊形PMQN是正方形，∴至少存在一個四邊形PMQN是正方形，∵當(dāng)點M與A或C重合時，四邊形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在無數(shù)個矩形，∴①②④正確，故答案為①②④．17．（2分）（2022春?江岸區(qū)校級月考）如圖，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝18，DC＝6，則△ABC的面積是135．解：以AD為邊作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD，在△ABD和△AQF中，，∴△ABD≌△AQF（SAS），∴AB＝AQ，∠BAD＝∠FAQ，∵∠BAC＝45°，∴∠BAD+∠DAC＝45°，∴∠DAC+∠FAQ＝45°，即∠CAQ＝45°，∴∠BAC＝∠CAQ．在△BAC和△QAC中，，∴△BAC≌△QAC（SAS），∴BC＝CQ＝BD+6，設(shè)BD＝x，則FQ＝x，∴QE＝EF﹣FQ＝18﹣x，CE＝DE﹣CD＝AD﹣CD＝18﹣6＝12．在Rt△CQE中，∠E＝90°，CQ＝BD+6＝x+6，∵CE2+QE2＝CQ2，∴122+（18﹣x）2＝（x+6）2，解得：x＝9，∴BD＝9，∴BC＝BD+DC＝9+6＝15，∴△ABC的面積＝AD?BC＝18×15＝135．故答案為：135．三．解答題（共9小題，滿分66分）18．（6分）（2022春?江陰市期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH＝2．（1）如圖1，當(dāng)DG＝2時，求證：菱形EFGH是正方形．（2）如圖2，連接CF，當(dāng)△FCG的面積等于1時，求線段DG的長度．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG＝HE，在Rt△HDG和Rt△EAH中，，∴Rt△HDG≌Rt△EAH（HL），∴∠DHG＝∠AEH，∴∠DHG+∠AHE＝90°∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH為正方形；（2）解：過F作FM⊥CD，交DC的延長線于點M，連接GE，∵CD∥AB，∴∠AEG＝∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠FGM；在△EHA和△GFM中，，∴△EHA≌△GFM（AAS），∴MF＝AH＝2，設(shè)DG＝x，∴CG＝6﹣x，∴S△FCG＝CG?FM＝6﹣x＝1，∴x＝5，即DG＝5．故線段DG的長度為5．19．（6分）（2021春?上城區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F．（1）探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（2）當(dāng)點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．（3）當(dāng)點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE不可能是菱形（填“可能”或“不可能”）．請說明理由．解：（1）OE＝OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分線，∴∠ACE＝∠BCE，又∵M(jìn)N∥BC，∴∠NEC＝∠ECB，∴∠NEC＝∠ACE，∴OE＝OC，∵CF是∠BCA的外角平分線，∴∠OCF＝∠FCD，又∵M(jìn)N∥BC，∴∠OFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∴OE＝OF；（2）當(dāng)點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由如下：∵當(dāng)點O運動到AC的中點時，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四邊形AECF是矩形．已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB＝90°，則∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形；（3）不可能．理由如下：如圖，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．故答案為不可能．20．（6分）（2021春?梁山縣期中）如圖，已知在?ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的長；（2）求證：CD＝DG+FC．（1）解：∵在?ABCD中，AB＝DC＝2，∠C＝60°，DF⊥BC，∴DF＝DC?sin60°＝2×＝，∵DF＝AD．∴AD＝DF＝，∵AB∥CDAE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE＝∠AED，∴AD＝DE＝∴EC＝DC﹣DE＝2﹣．（2）證明：延長FD至M，使DM＝FC，在△ADM和△DFC中∴△ADM≌△DFC（SAS），∴∠DAM＝∠FDC，AM＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠AED，∴∠DAE+∠DAM＝∠AED+∠FDC，即∠MAG＝∠MGA，∴AM＝MG，∴DC＝DG+FC．21．（6分）（2022春?夏邑縣期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB的中點，連接DF，求點E到DF的距離．（1）證明：如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四邊形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形．（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）解：連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中點，∴AF＝FB，∴DF＝＝2，∴點E到DF的距離＝DF＝．22．（8分）（2021春?懷化期末）如圖，在Rt△ABC中，兩銳角的平分線AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．（1）求證：四邊形OGCF是正方形．（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的邊長．（1）證明：過O作OH⊥AB于H點，∵OF⊥AC于點F，OG⊥BC于點G，∴∠OGC＝∠OFC＝90°．∵∠C＝90°，∴四邊形OGCF是矩形．∵AD，BE分別是∠BAC，∠ABC的角平分線，OF⊥AC，OG⊥BC，∴OG＝OH＝OF，又四邊形OGCF是矩形，∴四邊形OGCF是正方形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∵AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8，∵AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝4，在Rt△AOH和Rt△AOF中，，∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），∴AH＝AF，設(shè)正方形OGCF的邊長為x，則AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，∴4﹣x+4﹣x＝8，∴x＝2﹣2，即正方形OGCF的邊長為2﹣2．23．（8分）（2022春?杭州期中）已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，AE、BF相交于點P，并且AE＝BF．（1）如圖1，判斷AE和BF的位置關(guān)系？并說明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的長度；（3）如圖2，F(xiàn)M⊥DN，DN⊥AE，點F在線段CD上運動時（點F不與C、D重合），四邊形FMNP是否能否成為正方形？請說明理由．解：（1）AE⊥BF，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴AE⊥BF；（2）在Rt△ABE中，AB＝8，BE＝6，根據(jù)勾股定理得：AE＝＝10，∵S△ABE＝AB?BE＝AE?BP，∴8×6＝10BP，∴BP＝4.8，∴BP的長度為4.8；（3）四邊形FMNP不能成為正方形，理由如下：由（1）知：AE⊥BF，∴∠APF＝90°，∵FM⊥DN，DN⊥AE，∴∠FMN＝∠MNP＝90°，∴四邊形FMNP是矩形，∵∠BAP+∠NAD＝∠NAD+∠ADN＝90°，∴∠BAP＝∠ADN，在△BAP和△ADN中，，∴△BAP≌△ADN（ASA），∴AN＝BP，AP＝DN，∵AE＝BF，∴AE﹣AN＝BF﹣BP，∴EN＝PF，∵點F在線段CD上運動時（點F不與C、D重合），∴P、E不重合，∴PN≠PF，∴四邊形FMNP不能成為正方形．24．（8分）（2022春?沂水縣期中）（1）將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點A'處，得到折痕DE，如圖1．求證：四邊形AEA'D是正方形；（2）將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AD上的點C'處，點B落在點B'處，得到折痕EF，B'C'交AB于點M，如圖2．線段MC'與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由．（1）證明：∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點A'處，得到折痕DE，∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′E＝A′D，∴四邊形AEA′D是菱形，∵∠A＝90°，∴四邊形AEA