教學(xué)課件-材料力學(xué)(任德斌)

第一章緒論1.1材料力學(xué)的基本任務(wù)與地位構(gòu)件:工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械的各組成部分在工作時(shí)起到承受荷載的作用的組成部分統(tǒng)稱為構(gòu)件。例如框架結(jié)構(gòu)中的梁、柱等和車床主軸等。

剛度（Stiffness）——構(gòu)件抵抗彈性變形的能力

穩(wěn)定性（Stability）——構(gòu)件保持原有平衡形態(tài)的能力載荷:作用于構(gòu)件上的力。保證構(gòu)件工作時(shí)不喪失承載能力：

強(qiáng)度（Strength）——構(gòu)件抵抗斷裂和過(guò)量塑性變形的能力對(duì)構(gòu)件在荷載作用下正常工作的要求1.具有足夠的強(qiáng)度——在規(guī)定荷載作用下構(gòu)件不發(fā)生斷裂和屈服。如右例中的吊鉤因強(qiáng)度不足發(fā)生斷裂。對(duì)構(gòu)件在荷載作用下正常工作的要求2.具有足夠的剛度——在規(guī)定荷載作用下所產(chǎn)生的變形不超過(guò)工程上所允許的范圍。如右例中的橋式吊梁可能會(huì)因剛度不足發(fā)生較大變形。當(dāng)變形過(guò)大時(shí)會(huì)影響正常使用或引起振動(dòng)。對(duì)構(gòu)件在荷載作用下正常工作的要求3.具有足夠的穩(wěn)定性——在規(guī)定荷載作用下構(gòu)件應(yīng)具有足夠的維持原有的平衡形式的能力。

如右例中的自卸車的推桿可能會(huì)因喪失穩(wěn)定性而發(fā)生彎曲。1983年10月4日，高54.2m、長(zhǎng)17.25m、總重565.4kN大型腳手架失穩(wěn)坍塌，5人死亡、7人受傷。

事故產(chǎn)生的主要原因有：

地面未夯實(shí)，局部桿受力大；

橫桿之間距離2.2m>規(guī)定值1.7m;

與墻體連接點(diǎn)太少；

安全因數(shù)太低：1.11-1.75<規(guī)定值3.0。

穩(wěn)定失效2、材料力學(xué)的任務(wù)和方法：材料力學(xué)的任務(wù)：為受力構(gòu)件提供強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算的理論基礎(chǔ)，從而為構(gòu)件選用適當(dāng)?shù)牟牧?，確定合理的形狀和尺寸，以達(dá)到既經(jīng)濟(jì)又安全的要求。材料力學(xué)任務(wù)的方法：實(shí)驗(yàn)分析和理論研究同是完成材料力學(xué)任務(wù)的方法。

1.2變形固體及其分類桿件：一個(gè)方向的尺寸(長(zhǎng)度)遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向尺寸的構(gòu)件。板和殼：一個(gè)方向的尺寸(厚度)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向尺寸的構(gòu)件。塊體：三個(gè)方向(長(zhǎng)、寬、高)的尺寸相差不大的構(gòu)件。工程中的固體有各種不同的形狀，一般按幾何特征將其分為三類：材料力學(xué)的研究對(duì)象是各類桿件。1.3變形固體的幾個(gè)基本假設(shè)

一、連續(xù)性假設(shè)：物質(zhì)密實(shí)地充滿物體所在空間，毫無(wú)空隙。

（可用連續(xù)函數(shù)表示各物理量）二、均勻性假設(shè)：物體內(nèi)，各處的力學(xué)性質(zhì)完全相同。三、各向同性假設(shè)：組成物體的材料沿各方向的力學(xué)性質(zhì)完全相同（這樣的材料稱為各向同性材料)。四、小變形條件：材料力學(xué)所研究的構(gòu)件在載荷作用下的變形與原始尺寸相比甚小，故對(duì)構(gòu)件進(jìn)行受力分析時(shí)可忽略其變形。

彈性變形——載荷去掉后能夠消失的那部分變形。

塑性變形——載荷去掉后不能夠消失的那部分變形。P2P1P2＞P11.4內(nèi)力截面法應(yīng)力

一、內(nèi)力的概念截面法1.外力：周圍物體對(duì)所研究的構(gòu)件施加的作用力2.內(nèi)力的概念固有內(nèi)力附加內(nèi)力（在外力作用下，由于分子間相對(duì)位置發(fā)生改變而產(chǎn)生的分子力的改變量）3.截面法

研究構(gòu)件內(nèi)力時(shí)，用一平面將構(gòu)件假想地截開成為兩段，使內(nèi)力暴露出來(lái)，然后研究其中一段的平衡，求得內(nèi)力的大小和方向。截面法的四個(gè)步驟：1）截：欲求某一截面的內(nèi)力，沿該截面將構(gòu)件假想地截成兩部分。2）取：取其中任意部分為研究對(duì)象，而棄去另一部分。3）代：用作用于截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對(duì)留下部分的作用力。4）平：建立留下部分的平衡條件，由外力確定未知的內(nèi)力。二、應(yīng)力應(yīng)力:單位面積上的內(nèi)力，表示內(nèi)力在一點(diǎn)的分布集度yxzP1

P2ΔFQyΔFQzΔFNΔA垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”全應(yīng)力（總應(yīng)力）：1．5位移與應(yīng)變變形：物體受力后形狀和尺寸的改變稱為變形。線位移：固體上任意一點(diǎn)變形前后移動(dòng)的距離稱為線位移。角位移：線段(或平面)變形前后轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為角位移。1.6桿件變形的基本形式

桿件的基本變形只有四種，桿件其他的復(fù)雜變形可以看成是幾種基本變形的組合，稱為組合變形。(1)拉伸或壓縮桿受一對(duì)大小相等，方向相反的縱向力，力的作用線與桿軸線重合

四種基本變形:(2)剪切桿受一對(duì)大小相等，方向相反的橫向力，力的作用線靠得很近(3)扭轉(zhuǎn)桿受一對(duì)大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面垂直于桿軸線(4)彎曲 桿受一對(duì)大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面是包含軸線的縱向面小結(jié)1.材料力學(xué)的研究對(duì)象是桿件。2.材料力學(xué)的基本假設(shè)包括連續(xù)性假設(shè)、均勻性假設(shè)、各向同性假設(shè)和小變形假設(shè)。3.構(gòu)件應(yīng)滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的要求。4.桿件有四種基本變形形式：軸向拉伸(或壓縮)、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。5.在外力作用下，物體內(nèi)部各部分之間相互作用力的變化量稱為內(nèi)力。一般采用截面法求解截面上的內(nèi)力。6.應(yīng)力p是單位面積上的內(nèi)力。可以分解為垂直于橫截面的正應(yīng)力和平行于橫截面的切應(yīng)力第二章軸向拉伸與壓縮2.1桿件軸向拉伸與壓縮的概念與工程實(shí)例受力特點(diǎn)：桿件兩端受到一對(duì)大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合的外力作用；軸向拉伸與壓縮的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)：桿件將沿著軸線方向伸長(zhǎng)或縮短。軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的力稱為壓力。軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的力稱為拉力。力學(xué)模型如圖工程實(shí)例2．2桿件的內(nèi)力的計(jì)算與軸力圖截面法求FN

AFF簡(jiǎn)圖AFFFA截開：代替：平衡：

用途：①反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，比較直觀；②確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。3.軸力圖2.軸力的正負(fù)規(guī)定:

FN與外法線同向,為正軸力(拉力)FN與外法線反向,為負(fù)軸力(壓力)>0FNFNFN<0FNFNFN

為了清楚的表示軸力沿著桿件變化的情況，可將軸力變化的規(guī)律用圖形形象地表示，這種圖形稱為軸力圖。例2-1一等直桿受力如圖所示，試求其各段軸力并繪出軸力圖ABCD5050504KN6KN3KN7KN材料力學(xué)112233N1N3N2116KNA334KND223KN6KNBAABCD5050504KN6KN3KN7KNN(kN)X(mm)63要求：上下對(duì)齊，標(biāo)出大小，標(biāo)出正負(fù)2．3桿件軸向拉伸與壓縮時(shí)截面上的應(yīng)力一、拉壓桿橫截面上的應(yīng)力PPNP1)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及變形規(guī)律

2)平面假設(shè):變形之前為平面的橫截面變形之后仍然為平面.

由平面假設(shè)可推出各縱向纖維(假設(shè))的伸長(zhǎng)相等,又由均勻連續(xù)性假設(shè)可得出各纖維受力相等,進(jìn)而推得橫截面上的法向分布內(nèi)力是均勻分布即為一常量.圣維南(SaintVenant)原理：

作用于物體某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可以用一個(gè)與之靜力等效的力系來(lái)代替。而兩力系所產(chǎn)生的應(yīng)力分布只在力系作用區(qū)域附近有顯著的影響，在離開力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布幾乎相同

例變截面桿受力如圖所示，三段截面面積為：A1＝400mm2，A2＝300mm2，A3＝200mm2。各材料的E＝200GPa。試求：(1)繪出桿的軸力圖；(2)計(jì)算桿內(nèi)各段橫截面上的正應(yīng)力。解:(1)按照軸力圖的畫法，畫出桿件的釉力圖如圖所示(2)各段橫截面上的正應(yīng)力為二、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

設(shè)有一等直桿受拉力P作用。求：斜截面k-k上的應(yīng)力。PPkka解：則全應(yīng)力：其中Aa為斜截面面積。由幾何關(guān)系：代入上式，得：paPkPak由平衡方程：Pa=P斜截面上的內(nèi)力為Pα：橫截面上的正應(yīng)力為：分解：Ppatasaa即：∴斜截面上全應(yīng)力：由上兩式可見，是角度的函數(shù)，斜截面的方位不同，截面上的應(yīng)力也就不同。2．4桿件軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形如圖所示，等直桿長(zhǎng)為l，橫截面積為A。在軸向力P作用下，其軸向變形為（?l)：ablPPl1a1b1縱向線應(yīng)變：縱向變形?l與桿的原長(zhǎng)l的比值（用ε表示）正拉桿負(fù)壓桿橫向線應(yīng)變：橫向變形?d與桿的原長(zhǎng)d的比值（用ε’表示）泊松比：彈性變形時(shí)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變的絕對(duì)值之比（無(wú)量綱量）對(duì)同一桿件，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變的正負(fù)號(hào)恒相反，所以有：實(shí)驗(yàn)證明：引進(jìn)常數(shù)E,則有：對(duì)于橫截面其軸力N=P此式稱為虎克定律，式中E稱為彈性模量，是衡量材料抵抗彈性變形能力的一個(gè)指標(biāo)EA：稱為桿件的抗拉壓剛度，表示桿件抵抗拉壓變形的能力。胡克定律

又因?yàn)榭傻么耸绞呛硕傻牧碛幸环N表示，表明當(dāng)橫截面上的應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)(即在彈性范圍內(nèi))，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比20020020kN40kN60kNNx40kN20kN解：（1）內(nèi)力分析：作軸力圖（2）變形計(jì)算：例：已知直桿受力如圖所示，A1=4cm，A2=8cm試求:1、拉伸試驗(yàn)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)：GB228-87《金屬拉力試驗(yàn)法》

試驗(yàn)條件：常溫(20℃)；靜載（緩慢地加載）；力學(xué)性能：材料在外力作用下表現(xiàn)的變形和破壞等方面的特性。2、試件：l——標(biāo)距l(xiāng)圓截面試樣l=5d5倍試樣l=10d10倍試樣一、拉伸試驗(yàn)和應(yīng)力-應(yīng)變曲線2．5材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能3、試驗(yàn)儀器：萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)拉伸試件低碳鋼：含碳量在0.3％以下σ--ε曲線1、彈性階段2、屈服階段3、強(qiáng)化階段4、局部變形階段低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能1234σ--ε曲線1

e--彈性極限

P--比例極限在線彈性階段內(nèi)

1、彈性階段2、屈服階段

在屈服階段內(nèi)，試件產(chǎn)生顯著的塑性變形。

s---屈服極限屈服極限

s

是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)1234

ｂ---強(qiáng)度極限3、強(qiáng)化階段

強(qiáng)度極限

ｂ是材料所能承受的最大應(yīng)力，是衡量材料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)。4、局部變形階段

頸縮現(xiàn)象：

ｂ---強(qiáng)度極限

e--彈性極限

P--比例極限

s---屈服極限強(qiáng)度指標(biāo)和塑性指標(biāo)：伸長(zhǎng)率:

斷面收縮率：

材料分類：

脆性材料和塑性材料

＜5％為脆性材料

≥5％為塑性材料Q235鋼：

ｂ=390MPa

s=235MPa強(qiáng)度指標(biāo)：塑性指標(biāo)：伸長(zhǎng)率:

=20~30％斷面收縮率：=60％左右卸載定律和冷作硬化σ--ε曲線

s

b

OOcb比例極限得到提高但塑性變形和延伸率有所降低

ｂ

---強(qiáng)度極限鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能dhh=(1.5~3)d壓縮試件材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E和屈服極限

s

都于拉伸時(shí)大致相同。但無(wú)法通過(guò)壓縮試驗(yàn)測(cè)出強(qiáng)度極限。

ｂc---鑄鐵壓縮強(qiáng)度極限；

ｂc

（4—6）

ｂt

鑄鐵壓縮時(shí)試件在較小的變形下突然破壞，沿45~55°斜截面斷裂?！?-6失效、安全因數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算一、失效：≤σu[

]——許用應(yīng)力；記：──拉（壓）桿的強(qiáng)度條件≤σu——極限應(yīng)力n——安全因數(shù)＞1

二、拉（壓）桿的強(qiáng)度條件：塑性材料制成的構(gòu)件出現(xiàn)塑性變形脆性材料制成的構(gòu)件出現(xiàn)斷裂安全因數(shù)n的取值：三、極限應(yīng)力σu的取值：

（

0.2）

1、塑性材料：

s

2、脆性材料:

b

（

bc）

＞1，塑性材料一般取1.25~2.5，脆性材料取2.0~3.5四、確定安全因數(shù)應(yīng)考慮的因素：五、應(yīng)用強(qiáng)度條件可解決以下三類問(wèn)題：a、校核強(qiáng)度b、設(shè)計(jì)截面c、確定最大安全荷載進(jìn)而由Nmax與載荷的平衡關(guān)系得到許可載荷。例：已知：F=15kN，1桿d=20mm，桿子材料為Q235鋼，σs=235MPa，n=1.5。（1）校核1桿的強(qiáng)度；（2）確定2桿的直徑d2。FACB30°FFN2FN130°A解：12∴1桿安全。1桿：2桿：

例：圖示三角形托架,其桿AB是由兩根等邊角鋼組成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,試選擇等邊角鋼的型號(hào)。解：例：圖示起重機(jī)，鋼絲繩AB的直徑d=24mm，[σ]=40MPa，試求該起重機(jī)容許吊起的最大荷載P。解：例：圖示結(jié)構(gòu)，桿1和桿2為圓截面鋼桿，[

]=160MPa，d1=30mm，d2=20mm，確定許可載荷。FABC30°1245°解題步驟：(1)求出各桿內(nèi)力；(2)由各桿強(qiáng)度求出載荷大小；(3)取最小值為許可載荷。2.7拉伸和壓縮時(shí)的超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題：未知力的數(shù)目大于獨(dú)立的靜力平衡方程的數(shù)目，僅根據(jù)靜力平衡方程不能求解出全部未知力，這類問(wèn)題稱為超靜定問(wèn)題。超靜定的解法：由平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程和物理方程相結(jié)合，進(jìn)行求解。靜不定次數(shù)靜不定次數(shù)=未知力個(gè)數(shù)-靜力學(xué)平衡方程數(shù)

設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長(zhǎng)為：L1=L2、

L3=L

；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。求各桿的內(nèi)力。CFABD123解:(1)平衡方程:FAFN1FN3FN2(1)例(2)幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：(3)物理方程——彈性定律：(4)補(bǔ)充方程:(4)代入(3)得:(5)由平衡方程(1)、(2)和補(bǔ)充方程(5)組成的方程組，得:(3)(5)A12．8溫度應(yīng)力與裝配應(yīng)力

一、溫度應(yīng)力

對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，因溫度變化而引起的內(nèi)應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力。AB桿代表蒸汽鍋爐與原動(dòng)機(jī)間的管道。兩端簡(jiǎn)化為固定端約束。當(dāng)管道中通過(guò)高壓蒸汽，溫度上升時(shí)，AB桿應(yīng)膨脹變形。但因?yàn)楣潭ǘ讼拗屏藯U件的膨脹，所以必然有約束反力RA和RB作用于A、B兩端。由靜力平衡方程，有

(2)變形協(xié)調(diào)方程

=

(3)物理方程

即有

應(yīng)力為ABC60kN40kN1.2m2.4m1.2mD圖示階梯狀桿，下端與支座距離

=1mm，上、下段桿的橫截面面積分別為600mm2和300mm2，材料的彈性模量E=210GPa，試作桿的軸力圖。ABC60kN40kNDRBRAABC60kN40kNDRBRA∴（1）（2）又因?yàn)椋篈BC60kN40kNDRBRA∴代入（1）得∴解得代入（4）得：小結(jié)

軸向拉伸和壓縮的桿件的受力特點(diǎn)：桿件兩端受到一對(duì)大小相等、方向相反、作用線與軸線重合的外力作用；變形特點(diǎn)：桿件將沿著軸線方向伸長(zhǎng)或縮短。

1．軸力的概念，用截面法求解軸力的方法以及軸力圖的畫法。

2．拉壓桿等直桿橫截面上的正應(yīng)力為

3．材料在線彈性范圍內(nèi)的變形為應(yīng)變?yōu)?.等直桿軸向拉壓時(shí)的強(qiáng)度條件為

5．求解拉壓超靜定結(jié)構(gòu)的步驟為：

1）列出有效的獨(dú)立平衡方程。

2）列出變形協(xié)調(diào)方程。

3）應(yīng)用物理關(guān)系，寫變形協(xié)調(diào)方程，聯(lián)立得補(bǔ)充方程。

4）平衡方程與補(bǔ)充方程聯(lián)立求解，得到全部未知力。

[u1]公式中N改為了

，下同。第三章剪切與擠壓3.1剪切與擠壓的概念以及工程實(shí)例

在構(gòu)件連接處起連接作用的部分，如鉚釘，螺栓，鍵等，統(tǒng)稱為連接件。Pmmnn螺栓FF3．2剪切的實(shí)用計(jì)算

一、剪切的實(shí)用計(jì)算剪應(yīng)力在剪切面上的分布情況比較復(fù)雜，在工程設(shè)計(jì)中為了計(jì)算方便，假設(shè)剪應(yīng)力在剪切面上均勻分布。據(jù)此算出的平均剪應(yīng)力稱為名義剪應(yīng)力。剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：許用剪應(yīng)力[τ]可以從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)中查得，或通過(guò)材料剪切實(shí)驗(yàn)來(lái)確定PPmmPPmmmmP剪切面Q3．3擠壓的實(shí)用計(jì)算

在外力作用下，聯(lián)接件和被聯(lián)接件還可能在相互接觸的局部因?yàn)橄嗷D壓而破壞或發(fā)生局部變形。接觸面處相互壓緊的壓力稱為擠壓力，用表示。

假設(shè)擠壓應(yīng)力在擠壓計(jì)算面積上均勻分布當(dāng)擠壓面為平面時(shí)，Abs等于此平面的面積當(dāng)擠壓面為圓柱面時(shí)：Abs等于此圓柱面在直徑面上的投影面積，即擠壓的強(qiáng)度條件為[bS]為許用擠壓應(yīng)力。是通過(guò)直接試驗(yàn)，并按擠壓應(yīng)力公式計(jì)算得到材料的極限擠壓應(yīng)力后，除以安全系數(shù)來(lái)確定。例圖示受拉力P作用下的螺栓，已知材料的剪切許用應(yīng)力[τ]是拉伸許用應(yīng)力[σ]的0.6倍。求螺栓直徑d和螺栓頭高度h的合理比值。解：PP/2P/2FSP/2P/2PFSFSFS解：螺栓受雙剪1、剪切強(qiáng)度PP/2P/2tt1t1d例：已知：P=18kN，t=8mm，t1=5mm，d=15mm，[τ]=60MPa，許用擠壓應(yīng)力為[σbs]=200MPa，試校核螺栓的強(qiáng)度。PP/2P/22、擠壓強(qiáng)度計(jì)算中間段的擠壓強(qiáng)度所以螺栓安全。剪切的受力特點(diǎn)是在構(gòu)件兩側(cè)面上作用有大小相等、方向相反并且作用線相距很近的橫向外力；變形特點(diǎn)是兩外力之間的截面發(fā)生相互錯(cuò)動(dòng)，這種變形形式稱為剪切變形。1．聯(lián)接件受剪時(shí)，剪切面上的切應(yīng)力分為2．?dāng)D壓應(yīng)力的工程中實(shí)用計(jì)算方法為3.聯(lián)接件有受拉(壓)破壞的情況時(shí)，按照拉（壓）強(qiáng)度計(jì)算方法計(jì)算。小結(jié)第四章扭轉(zhuǎn)

4．1扭轉(zhuǎn)的概念與工程實(shí)例

軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿、開門擰把手、汽車轉(zhuǎn)向軸、絲錐等。扭轉(zhuǎn)：在一對(duì)大小相等

，方向相反的外力偶作用下,且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmm

OBA

受力特征：桿受一對(duì)大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于軸線。變形特征：橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。汽車中的轉(zhuǎn)向軸4．2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力——扭矩的計(jì)算已知：軸的傳遞功率Pk（kW）、轉(zhuǎn)速n（rpm），求：外力偶矩m（N?m）其中：Pk—功率，千瓦（kW）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）一、外力偶矩的計(jì)算二、扭矩的計(jì)算與扭矩圖mmTmxmT構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力為力偶，稱為扭矩，記作“T”。扭矩的正負(fù)規(guī)定：

以右手螺旋法則，沿截面外法線方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。Tmx取左段：取右段：mTx扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律；②清楚的表明|T|max值及其截面位置以方便強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。以軸的軸線為橫坐標(biāo)，以扭矩為縱坐標(biāo)，畫扭矩方程T(x)的曲線或直線。扭矩圖畫法：例已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW,試?yán)L制扭矩圖。解：①計(jì)算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩扭矩按正方向畫，計(jì)算為正時(shí)，說(shuō)明假設(shè)正確，計(jì)算為負(fù)，說(shuō)明實(shí)際扭矩方向與假設(shè)相反。③繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.78KN.m9.56KN.m6.37KN.m

––薄壁圓筒：壁厚（r0為平均半徑）一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力1.扭轉(zhuǎn)前：4．3薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力①繪縱向線，圓周線；②施加一對(duì)外力m。2、扭轉(zhuǎn)后：①圓周線不變；②縱向線傾斜同一個(gè)角度，變成平行的螺旋線。3、結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,可得結(jié)論： 圓筒橫截面上沒有正應(yīng)力，只有剪應(yīng)力。剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑。5、薄壁圓筒剪應(yīng)力

大?。杭俣?/p>

平均分布,方向垂直于半徑.A0：平均半徑所作圓的面積。

acddxbdy′′

4、分析矩形變成平行四邊形,各邊長(zhǎng)不變,所以兩側(cè)截面上只有切應(yīng)力,無(wú)正應(yīng)力.(實(shí)際上與扭矩對(duì)應(yīng)的應(yīng)力只能是切應(yīng)力)上式稱為切應(yīng)力互等定理。dx

dytzxy

該定理表明：在兩個(gè)相互垂直的面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向?yàn)楣餐赶蚧蚬餐畴x該交線。右上圖單元體稱為純剪切單元體。4．4切應(yīng)力互等定理

薄壁圓筒的實(shí)驗(yàn),證實(shí)了剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在著象拉壓胡克定律類似的關(guān)系,即當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限τp時(shí),剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比G稱為材料的剪切彈性模量。上式關(guān)系稱為剪切胡克定律。γ——切應(yīng)變(量綱為弧度rad)γ

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系4．5等直圓軸橫截面的切應(yīng)力強(qiáng)度條件一、等直圓軸橫截面上的切應(yīng)力

變形幾何關(guān)系從三方面考慮：物理關(guān)系 靜力學(xué)關(guān)系

1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無(wú)伸縮；

3.縱向線變形后仍為平行。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可假設(shè)橫截面象剛性平面一樣地繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng).——平面假設(shè)等直圓桿扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象：1.變形幾何關(guān)系：lγdxm

m

ACBDdxBADCOγRρ——扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。ABCC′DRρEFGHdxOOD′γG′H′2.物理關(guān)系：胡克定律：T3.靜力學(xué)關(guān)系：記Ip橫截面的極慣性矩代入物理關(guān)系式

得：應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）這表明，橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力與點(diǎn)到截面中心的間距成正比，即剪應(yīng)力沿截面的半徑呈線性分布。最大剪應(yīng)力：Wt稱為抗扭截面系數(shù)，幾何量，單位：mm3或m3。對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于空心圓截面：

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿內(nèi)各點(diǎn)均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。其強(qiáng)度條件應(yīng)該是橫截面上的最大工作剪應(yīng)力

max不超過(guò)材料的許用剪應(yīng)力

[]。二強(qiáng)度條件

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大工作剪應(yīng)力

max發(fā)生在最大扭矩所在橫截面（危險(xiǎn)截面）的周邊上的任一點(diǎn)處（危險(xiǎn)點(diǎn)）

例題：圖示階梯圓軸，AB段的直徑d1=120mm

，BC段的直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩為mA=22kN.m，mB=36kN.m

，mC=14kN.m

。已知材料的許用剪應(yīng)力[]=80MPa，試校核該軸的度。

ABC解：作軸的扭矩圖ABC+2214mA=22kN.m，mB=36kN.mmC=14kN.m因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。分別校核兩段軸的強(qiáng)度有一根軸，T=1.5kN·m，[

]=50MPa,按兩種方案確定軸截面尺寸，并比較重量：（1）實(shí)心軸；（2）

=0.9的空心軸。解：（1）實(shí)心軸例（2）空心軸（3）比較重量實(shí)心軸的重量接近空心軸重量的3倍。一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形4.6圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算m

m

dxlGIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。即：（rad）m2m1m3lABlACABC

已知：m1=1592N·m，m2=995N·m，m3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，G=80GPa。試求截面C對(duì)B的扭轉(zhuǎn)角。解：12例二、剛度條件或：剛度條件：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角

：[]稱為許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，取0.15~0.30o/m。例長(zhǎng)為L(zhǎng)=2m

的圓桿受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa

，許用剪應(yīng)力[

]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若[

]=2o/m

，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計(jì)桿的外徑代入數(shù)值得：D

0.0226m。②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度③右端面轉(zhuǎn)角為：第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

研究桿件的應(yīng)力與變形，研究失效問(wèn)題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定問(wèn)題，都要涉及到與截面圖形的幾何形狀和尺寸有關(guān)的量。這些量統(tǒng)稱為幾何量，包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等。為什么要研究截面圖形的幾何性質(zhì)5.1靜矩和形心

oxy一、靜矩dA

xy截面對(duì)y,x軸的靜矩為：靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零。xyo

dA

xyxc截面的形心C的坐標(biāo)公式為：若則y、z軸稱為形心軸。若已知

則可確定z軸、y軸通過(guò)截面形心。

二,組合截面

由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面

截面各組成部分對(duì)于某一軸的靜矩之代數(shù)和，就等于該截面對(duì)于同一軸的靜矩。其中：Ai——第i個(gè)簡(jiǎn)單截面面積——第i個(gè)簡(jiǎn)單截面的形心坐標(biāo)組合截面靜矩的計(jì)算公式為5.2慣性矩和慣性半徑oyzAdAyz

Ay2dA

Az2dA圖形對(duì)y軸的慣性矩圖形對(duì)z軸的慣性矩單位：（1）慣性矩恒

0；（2）所以——慣性半徑（單位：）極慣性矩oyzAdAyz圖形對(duì)o點(diǎn)的極慣性矩單位：

討論（1）慣性積dAxyyxIxy稱為圖形對(duì)x、y軸的慣性積。如果x軸（或y軸）是對(duì)稱軸，則慣性積Ixy=0yyyxx-xdACxCyCyCxC一、平行移軸公式：5.4平行移軸公式已知：xayb求：解：注意:C點(diǎn)必須為形心dAxyabCxCyCyCxC同理：[例]計(jì)算圖示圖形對(duì)其形心軸x軸和y軸的慣性矩。Cxy15104020單位：cm解：x112Cxy15104020單位：cmx112aCxy15104020單位：cmx112一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式dAxyyxax1y1x1y15.5轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸已知：求：解：αax同理：主慣性軸和主慣性矩xyax1y1x1令求Ix1極值:a0x0y0與

0

對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸為x0

、y0

軸，xya0x0y0平面圖形對(duì)x0

、y0軸慣性矩為平面圖形對(duì)x0

、y0

軸的慣性積為xya0x0y0平面圖形對(duì)x0

、y0軸的慣性積為零，稱x0

、y0

軸為主軸，稱

為主慣性矩。

使慣性積為零的坐標(biāo)軸稱為主軸。平面圖形對(duì)主軸的慣性矩稱為主慣性矩。

主軸過(guò)形心時(shí)，稱其為形心主軸。平面圖形對(duì)形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩。形心主慣性軸和形心主慣性矩yCa0xC0yC0xCC求圖形形心主慣性矩的方法：(1)建立坐標(biāo)系(2)計(jì)算面積和面積矩(3)求形心位置(4)建立形心坐標(biāo)系；求：IyC

，

IxC

，

IxCyC(5)求形心主軸方向

0:(6)求形心主慣性矩如果圖形有對(duì)稱軸，則對(duì)稱軸就是形心主慣性軸。[例]確定圖示圖形的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩。Cxy180403601802040解：由反對(duì)稱性可知形心在反對(duì)稱點(diǎn)180-100Cxy180403601802040=第六章梁的內(nèi)力

6．1梁彎曲的概念與計(jì)算簡(jiǎn)圖

一、彎曲變形的工程實(shí)例與平面彎曲的概念

列車車軸工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁變形受力彎曲變形(bending)外力與桿軸線垂直時(shí)（通常稱為橫向力）其軸線將由直線彎成曲線軸線縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線（撓曲線）縱向?qū)ΨQ面——通過(guò)梁軸線和截面對(duì)稱軸的平面。受力特點(diǎn)：作用于桿件的載荷（包括支座反力）垂直于桿件軸線，稱之為橫向力。

對(duì)軸線變彎為主要特征的變形形式，稱為彎曲。凡是以彎曲為主要變形的桿件，稱為梁。變形特點(diǎn)：任意二橫截面繞橫向軸轉(zhuǎn)動(dòng)，形成相對(duì)角位移，桿的軸線彎成一曲線，產(chǎn)生一撓度。梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖：1、梁的簡(jiǎn)化：用軸線代替桿件本身2、載荷類型：集中力，集中力偶，分布力3、支座類型：活動(dòng)鉸支座，固定鉸支座，固定端4、梁的類型：簡(jiǎn)支梁，外伸梁，懸臂梁彎曲內(nèi)力----剪力、彎矩的求法已知：P，a，l。解：(1)求支座反力PalABPABRAyRAxRBx求：距A端x處截面上內(nèi)力。6．2梁的內(nèi)力——剪力與彎矩

（2）求內(nèi)力——截面法剪力Q彎矩MQMRBPMQC取左段：ABPRBmmxRAyACRAy3.Fs、M正負(fù)號(hào)規(guī)定：按彎形：按外力實(shí)際作用方向：左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)“+”左下右上錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)“-”截面左側(cè)截面右側(cè)PP（+）（-）（-）（+）PP“Fs”2.剪力和彎矩的計(jì)算規(guī)則左上右下為正彎矩M：使梁變成上凹下凸的為正彎矩；反之為負(fù)彎矩。MM(+)左順右逆為正笑臉為正MM(–)右順左逆為負(fù)例1：求下圖1-1、2-2、3-3、4-4、5-5的Q、M值。2）內(nèi)力分析：解：1)外力分析P=qaM=qa2qaaaABYCYD2a12345A2aqP=qaM=qa2qaaaABYCYD2a12345aAqQ2M2aAqYCQ3M3P=qaM=qa2qaaaABYCYD2a12345aBP=qaYDM=qa2Q4M4Q5M5aBP=qa求D截面上的內(nèi)力。解：AqBDaCaaRARB截面法求D截面內(nèi)力：QDMD例2取左段：RAaaqRAaaqQDMD剪力=截面左側(cè)所有外力在y軸上投影代數(shù)之和，向上為正。彎矩=截面左側(cè)所有外力對(duì)該截面之矩的代數(shù)和，順時(shí)針為正。6．3梁的剪力和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

剪力圖和彎矩圖：將剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況用圖形表示出來(lái)，這種圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。剪力、彎矩方程

取梁的一端為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以橫坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩可以表示x為的函數(shù)，即

上述函數(shù)表達(dá)式稱為梁的剪力方程和彎矩方程。根據(jù)剪力方程和彎矩方程即可畫出剪力圖和彎矩圖。例求x截面上的內(nèi)力。解：BxqlAQMxql－－x，，，，，剪力方程彎矩方程－求梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。解：寫出內(nèi)力方程Pl根據(jù)方程畫內(nèi)力圖QMxxPPl例x，，－例.作Q、

M圖解：1)外力分析（求支反力）2)內(nèi)力分析（列方程）分為兩段：AC與BC段AC段：BC段：mABabRARBx1x2C3)作Q、M圖Qx-oma+b+-xoMmba+bmaa+bmABabRARBC2)內(nèi)力分析（列方程）3)作Q、M圖在Q=0處，M取最大值。Qxo+-ql2ql2Q=0xoM+ql82例.作Q、

M圖解：1)外力分析（求支反力）ARARBxqBl6.4載荷集度q、剪力Q和彎矩M間的關(guān)系及應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)、微分關(guān)系：——q、Q、M導(dǎo)數(shù)關(guān)系——q、Q、M積分關(guān)系q(x)q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)M(x)dxAdxx1、若q=0，則Q=常數(shù)，M是斜直線；2、若q=常數(shù)，則Q是斜直線，M為二次拋物線；3、M的極值發(fā)生在Q=0的截面上。簡(jiǎn)易作圖法:利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來(lái)作圖的方法。特殊點(diǎn):端點(diǎn)、分區(qū)點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)等。剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力無(wú)外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q圖特征M圖特征CPCm水平直線xQQ>0QQ<0x斜直線增函數(shù)xQxQ降函數(shù)xQCQ1Q2Q1–Q2=P向下突變xQC無(wú)變化斜直線xM增函數(shù)xM降函數(shù)曲線xMxM有折角向上突變

MxM1M2用簡(jiǎn)易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解：求支反力qM=qa2P=qaQxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+RARDaaa例例繪制下圖外伸梁的Q、M圖。解：1)外力分析：2)內(nèi)力分析：CA段：0—平—斜AD段：0—平—斜DB段：平—斜—拋分三段3)作Q、M圖：E7a2aaRARBABqCDmxx–q=3kN/m8.566.0462.83mm=3kN·m–+Q(kN)M(kN·m)3.5a=2m4+–例繪制下圖外伸梁的Q、M圖?？刂泼娣ā⒒旌戏ㄗ鱍、M圖小結(jié)：1）當(dāng)q=0時(shí)，Q(x)=常量,Q圖水平；

M(x)為x的一次函數(shù)，M圖斜直線;

Q>0，M圖斜率為正，反之為負(fù)。Q=0，M’=0。2）當(dāng)q(x)=常量時(shí),Q(x)為x的一次函數(shù),Q圖斜直線；

M(x)為x的二次函數(shù)，M圖拋物線;q>0，Q’>0，

M圖為向下凸；q<0，Q’<0，M圖為向上凸。3）在集中力作用處，Q圖有突變；在集中力偶作用處，M圖有突變。4）有q(x)≠0的梁段，若Q=0,則彎矩在該處有極值。5）計(jì)算控制面的Q值、M值。6）全梁的∣M∣max可能發(fā)生的點(diǎn)。第七章梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算7．1梁橫截面上的正應(yīng)力AB段純彎曲(PureBending):PPaaABFSx+－PPMx+P·a純彎曲——梁彎曲變形時(shí)，橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力（）。橫力彎曲——梁彎曲變形時(shí)，橫截面上既有彎矩又有剪力（）。一、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

分析方法4.應(yīng)變分布與應(yīng)力分布6.正應(yīng)力表達(dá)式3.平面假定與變形協(xié)調(diào)方程1.外力分析（確定約束反力）2.內(nèi)力分析（繪剪力圖、彎矩圖）5.應(yīng)用靜力學(xué)方程確定待定常數(shù)1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)

橫向線(mn、mn）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，橫向線與縱向線變形后仍正交。變形幾何規(guī)律：bnamabnmababMMnmnm梁在純彎曲時(shí)的平面假設(shè)：梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。

再作單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。推論：梁在彎曲變形時(shí)，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短,保持原來(lái)的長(zhǎng)度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸中性軸中性層（一）變形幾何關(guān)系：bbnamanmydx建立坐標(biāo)系變形前：變形后：a′b′a′b′MMn′m′n′m′y（1）

伸長(zhǎng)量：線應(yīng)變：

（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維無(wú)擠壓。xyz

x式中：E和ρ為常數(shù)，所以橫截面上正應(yīng)力與y成正比。（三）靜力關(guān)系：（1）（2）（3）xyzFxMyMzMσx橫截面上的正應(yīng)力組成一個(gè)空間平行力系，可以簡(jiǎn)化后得到三個(gè)內(nèi)力分量：xyzydAσdA（1）（2）（3）由（1）式xyzFxMyMzz（平面彎曲，Iyz=0）EIz梁的抗彎剛度。由（2）式由（3）式（7-2）xyzyzdA

dA（7-1）

拉應(yīng)力和壓應(yīng)力的確定可以通過(guò)以中性軸為界，梁凸出的一側(cè)為拉應(yīng)力，凹入的一側(cè)為壓應(yīng)力。由式(7.4)可知，在一個(gè)橫截面內(nèi)，最大正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)的截面上邊緣或下邊緣的各點(diǎn)上。設(shè)為距中性軸最遠(yuǎn)的截面上邊緣或下邊緣的坐標(biāo)，則最大的正應(yīng)力為

Wz稱為抗彎截面系數(shù)二、橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

但彈性力學(xué)分析和工程實(shí)驗(yàn)都表明，當(dāng)梁的跨度l與截面高度h之比l/h>5時(shí)，剪應(yīng)力的存在對(duì)正應(yīng)力影響很小，可以忽略不計(jì)，該公式也可以適用于有剪力作用下的梁(即橫力彎曲梁)的正應(yīng)力的計(jì)算。上式是在平面假設(shè)和單向受力假設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，實(shí)驗(yàn)證明在純彎曲情況下這是正確的。對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。bhzy矩形：zddzD二、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件利用上式可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：①已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度②已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截面尺寸③已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷L=4mABq=0.5KN/m例

一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。已知，空心圓截面的內(nèi)外徑之比，試選擇截面直徑D；若外徑D增加一倍，比值不變，則載荷q可增加到多大？(+)解：由強(qiáng)度條件若外徑D增加一倍，則仍由強(qiáng)度條件，得PABl/2l/2C圖示鋼梁，[

]=170MPa，P=265kN，l=4m，求：1）設(shè)計(jì)h/b=1.5的矩形截面梁；

2）選擇工字鋼型號(hào)：

3）比較這兩種截面梁的耗材。hbzy解：(1)求支座反力,畫彎矩圖xM+zyPABl/2l/2Chbzy(2)矩形截面梁(3)工字形截面梁zyxM+查表，選擇No.45c工字鋼(4)比較耗材工字鋼耗材是矩形截面梁的三分之一。hbzyzy

例：圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強(qiáng)度。C截面：B截面：

例：簡(jiǎn)支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應(yīng)變片，測(cè)得其應(yīng)變?chǔ)?6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。解：C點(diǎn)的應(yīng)力C截面的彎矩由得

例：簡(jiǎn)支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應(yīng)變片，已知材料的E=200GPa，試問(wèn)該應(yīng)變片所測(cè)得的應(yīng)變值應(yīng)為多大？解：C截面下邊緣的應(yīng)力C截面的彎矩應(yīng)變值

例：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長(zhǎng)為10mm，E=10GPa，求載荷P的大小。解：

例：我國(guó)營(yíng)造法中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。解：由此得7．2彎曲切應(yīng)力

在有剪應(yīng)力存在的情形下，彎曲正應(yīng)力公式依然存在剪應(yīng)力方向與剪力的方向相同，并沿截面寬度方向切應(yīng)力均勻分布（對(duì)于狹長(zhǎng)的矩形截面適用）

在上述前提下，可由平衡直接確定橫截面上的切應(yīng)力，而無(wú)須應(yīng)用“平衡，變形協(xié)調(diào)和物性關(guān)系”。假設(shè)（一）矩形截面LABF(+)(-)bh分析方法（截面法）：1、沿mm,nn截面截開，取微段dx。mmnndxmmnnMM+dMmmnnkl(+)mnkl2、沿kl截面截開，根據(jù)剪應(yīng)力的互等定理：∵dx很小，在kl面上可認(rèn)為均布。3、列平衡方程，由：即彎曲應(yīng)力/彎曲時(shí)的剪應(yīng)力而代入得：彎曲應(yīng)力/彎曲時(shí)的剪應(yīng)力（儒拉夫斯基公式）式中符號(hào)意義：

：截面上距中性軸y處的剪應(yīng)力

：y以外面積對(duì)中性軸的靜矩

：整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩b：y處的寬度bhzy對(duì)于矩形：c彎曲應(yīng)力/彎曲時(shí)的剪應(yīng)力而因此矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力的大小沿著梁的高度按拋物線規(guī)律分布。并且彎曲應(yīng)力/彎曲時(shí)的剪應(yīng)力工字形截面

圓形截面圓環(huán)形截面7.3梁的強(qiáng)度條件利用上式可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：①已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度②已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截面尺寸③已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷正應(yīng)力強(qiáng)度條件：切應(yīng)力強(qiáng)度條件對(duì)于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上；對(duì)于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，需注意以下問(wèn)題：（1）對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強(qiáng)度條件是主要的，剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件是次要的。但對(duì)于較粗短的梁，當(dāng)集中力較大時(shí)，截面上的剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁時(shí)，也需要較核剪應(yīng)力強(qiáng)度。

矩形(b

h=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[

]=7MPa，[

]=0.9MPa，校核梁的強(qiáng)度。例q=3.6kN/mABL=3m120180zy解：q=3.6kN/mABL=3m（2）校核強(qiáng)度∴梁安全！(1)畫內(nèi)力圖找危險(xiǎn)截面FS–+xxM+4.057．4梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：在[

]一定時(shí)，提高彎曲強(qiáng)度的主要途徑：（一）、選擇合理截面（1）矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。1、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：z（2）為降低重量，可在中性軸附近開孔。2、根據(jù)截面模量選擇：

為了比較各種截面的合理性，以來(lái)衡量。越大，截面越合理。截面形狀矩形圓形槽鋼工字鋼0.167h0.125d(0.27~0.31)h(0.27~0.31)h(d=h)2、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面。脆性材料：宜采用中性軸為非對(duì)稱軸的截面，例如T字形截面：ycz拉邊壓邊即使最大拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。（二）、合理安排載荷和支承的位置，以降低值。1、載荷盡量靠近支座：LABF0.5L(+)0.25FLLABF0.8L(+)0.16FLLABF0.9L(+)0.09FLLABF2、將集中力分解為分力或均布力。LABF0.5L(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L0.125FL(+)3、合理安排支座位置及增加支座——減小跨度，減小。ABF0.6L0.2L0.2L0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL0.125FL(+)第八章彎曲變形8．1工程中梁的變形轉(zhuǎn)角和撓度搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。撓曲線的微分方程：1、彎曲變形的表示方法：（4）撓曲線：y=f(x)（1）撓度y：（2）轉(zhuǎn)角（3）y與θ的關(guān)系：yy(-)(+)θ：θ“負(fù)”，反之為“正”8.2梁的撓曲線近似微分方程及其積分一、梁的撓曲線近似微分方程式

曲線的曲率為梁的撓曲線近似微分方程:用積分法求梁的變形式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定例題1：求該懸臂梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角解：建立坐標(biāo)、寫彎矩方程積分一次：再次積分：PABxL-xLB/yB

B代入撓曲線微分方程利用邊界條件確定積分常數(shù)：ABxL-xLB/yB

B用疊加法求彎曲變形：1.疊加法原理（力的獨(dú)立性原理）：2.求梁的彎曲變形的疊加法是：

分別求出各載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形(位移)，然后把各載荷在同一處引起的位移進(jìn)行疊加(代數(shù)疊加)。

在小變形前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，如果各載荷與其產(chǎn)生的效果(支反力，內(nèi)力，應(yīng)力和位移、變形等)成線性關(guān)系(互不影響，各自獨(dú)立)，則它們同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效果等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的效果之和(代數(shù)和、矢量和)：例1.求A點(diǎn)的撓度:關(guān)鍵是把復(fù)雜載荷情況分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單載荷情況(有表可查)解：載荷分解如圖所示例題:試?yán)茂B加法，求圖所示抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁跨中點(diǎn)的撓度f(wàn)C

和兩端截面的轉(zhuǎn)角

A,B

。ABCq解：可視為正對(duì)稱荷載與反對(duì)稱荷載兩種情況的疊加。ABCqABCq/2CAB（1）正對(duì)稱荷載作用下ABCq/2（2）反對(duì)稱荷載作用下可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長(zhǎng)度為l

/2的簡(jiǎn)支梁在跨中C截面處，撓度f(wàn)c等于零，但轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的彎矩也等于零CABCABCAB將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加,即得（）（）8．5梁的剛度條件與校核梁的剛度條件為

式中：f

為梁上最大的撓度；l為梁的跨長(zhǎng)；[f/l]為梁的許可撓度與的跨長(zhǎng)比值。8．7提高抗彎剛度的措施梁的位移（撓度和轉(zhuǎn)角）除了與梁的支承和荷載情況有關(guān)外，還取決于以下三個(gè)因素：材料——梁的位移與材料的彈性模量E成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩I成反比；跨長(zhǎng)——梁的位移與跨長(zhǎng)l

的n次冪成正比。為了減小梁的位移，可采取下列措施調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)，設(shè)法縮短梁的跨長(zhǎng)，將能顯著地減小其撓度和轉(zhuǎn)角。這是提高梁的剛度的一個(gè)很又效的措施。增大梁的抗彎剛度EI，工程中常采用工字形,箱形截面第九章應(yīng)力狀態(tài)9.1應(yīng)力狀態(tài)的概念2、受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征：

一，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài):

1，受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合,稱為

一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。（1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的；（2）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是不同的；（3）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力狀況一般是不同的。abcdA二、單元體法

從受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處切出的單元體，如果各側(cè)面（一般為橫截面）的上的應(yīng)力均為已知，則這樣的單元體稱為單元體法。PA

單元體特征單元體的尺寸無(wú)限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等三、主應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的分類從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸單元體中，有一個(gè)特殊的單元體，在這個(gè)單元體側(cè)面上只有正應(yīng)力而無(wú)剪應(yīng)力。這樣的單元體稱為該點(diǎn)處的主單元體。主單元體的側(cè)面稱為主平面（通過(guò)該點(diǎn)處所取的諸截面中沒有剪應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的主平面）主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力主平面的法線方向叫主方向，即主應(yīng)力的方向

說(shuō)明:一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體,三個(gè)相互垂直的面均為主平面,三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為

1,

2,

3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來(lái)排列,即應(yīng)力狀態(tài)：1）單向（一向）應(yīng)力狀態(tài)：2）平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：3）空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：9.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法

在二向應(yīng)力狀態(tài)下，已知通過(guò)一點(diǎn)的某些截面上的應(yīng)力（互相垂直的截面）后，如何確定通過(guò)這一點(diǎn)的其它斜截面上的應(yīng)力，從而確定該點(diǎn)的主平面和主應(yīng)力。1）斜截面上應(yīng)力：正負(fù)號(hào)規(guī)定：σ

：拉（+），壓（

）使單元體繞其內(nèi)部一點(diǎn)有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)為正，逆時(shí)針為負(fù)。α：τ：從x軸正方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到α角終邊，則為正，順時(shí)針為負(fù)。2）主平面、主應(yīng)力（剛好是剪應(yīng)力為零的截面）

1和

2確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。例

12345P1P2q畫出圖中各點(diǎn)的應(yīng)力單元體。FSMsMtFS12345P1P2qst123451sss1s2ttss23tt312345P1P2qs54st12345325sss1例.

已知如下單元體的應(yīng)力狀態(tài)，求圖示斜截面上的應(yīng)力和σmax、σmin、τmax、τmin及主平面和最大剪應(yīng)力所在平面的方位。解：1）取坐標(biāo)軸2）已知條件命名3）計(jì)算

30°，30°4）計(jì)算σmax、σmin及主平面方位角5）計(jì)算τmax、τmin及其所在平面的方位角。9.3廣義胡克定律

1、簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下虎克定律正應(yīng)力僅引起線應(yīng)變(正應(yīng)變)，剪應(yīng)力僅引起自身平面內(nèi)的剪應(yīng)變2、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的廣義虎克定律++某點(diǎn)在某方向上的線應(yīng)變與其三個(gè)互相垂直方向的正應(yīng)力有關(guān)。三個(gè)互相垂直的平面，各平面內(nèi)的剪應(yīng)變僅與該平面內(nèi)的剪應(yīng)力有關(guān)體積應(yīng)變：體積虎克定律：m變形前：V=dx.dy.dz變形后：V1=(1+

x)dx.(1+

y)dy.(1+

z)dz4、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的變形能。總變形=體積改變形狀改變+=+第十章強(qiáng)度理論10.1強(qiáng)度理論的概念基本變形下的強(qiáng)度條件（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）（剪切）（扭轉(zhuǎn)）（剪應(yīng)力強(qiáng)度條件）對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，由于三個(gè)主應(yīng)力間的比例有無(wú)限多種可能性，要在每一種比例下都通過(guò)對(duì)材料的直接試驗(yàn)來(lái)確定其極限應(yīng)力值，將是難以做到的。解決這類問(wèn)題，經(jīng)常是依據(jù)部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果，觀察其破壞現(xiàn)象，經(jīng)過(guò)推理，提出一些假說(shuō)，推測(cè)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞的主要因素，認(rèn)為當(dāng)這個(gè)因素達(dá)到一定值時(shí)，材料發(fā)生破壞，由此來(lái)建立強(qiáng)度條件。我們把這類假說(shuō)稱為強(qiáng)度理論。材料的破壞形式：屈服和斷裂。相應(yīng)地，強(qiáng)度理論也分成兩類：一類解釋斷裂失效：另一類解釋屈服失效。兩種強(qiáng)度失效形式屈服（流動(dòng)）：

材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。(2)斷裂

材料無(wú)明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。最大拉應(yīng)力是引起材料脆斷破壞的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，一、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）

§7–11四種常用強(qiáng)度理論時(shí)斷裂。σ1=σbσ1PPs2s1s3強(qiáng)度條件：使用范圍：適用于脆性材料最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變是引起材料脆斷破壞的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，二、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）

時(shí)斷裂。σ1=σbσ1PPs2s1s3斷裂強(qiáng)度條件：使用范圍：適用于脆性材料斷裂最大切應(yīng)力是引起材料屈服的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，三、最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）σ1=σsσ1時(shí)材料發(fā)生屈服。PPs2s1s3Tresca屈服準(zhǔn)則強(qiáng)度條件：使用范圍：適用于塑性材料屈服σ1=σsσ1PPs2s1s3畸變能密度是引起材料屈服的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，四、畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）

σ1=σsσ1時(shí)材料發(fā)生屈服。s2s1s3強(qiáng)度條件：使用范圍：適用于塑性材料Mises屈服準(zhǔn)則屈服s2s1s3屈服其中，

r—相當(dāng)應(yīng)力。s2s1s3σrσr相當(dāng)強(qiáng)度條件：相當(dāng)應(yīng)力：強(qiáng)度條件：(第一強(qiáng)度理論)(第二強(qiáng)度理論)(第四強(qiáng)度理論)(第三強(qiáng)度理論)適用于脆性材料適用于塑性材料解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,為鑄鐵構(gòu)件，[

]=40MPa,試用第一強(qiáng)度理論校核桿的強(qiáng)度。故，安全。PPTTAAst例試對(duì)N020a工字梁進(jìn)行全面強(qiáng)度校核，已知：[]=150MPa，[]=95MPa，Iz=2370cm4，Wz=237cm3，Iz/Sz*=17.2cm。解：i）.外力分析ii）.內(nèi)力分析iii）危險(xiǎn)點(diǎn)：K1,(K4),K2,K3危險(xiǎn)橫截面C和DK1與K4點(diǎn)屬單向應(yīng)力狀態(tài)K1K3點(diǎn)屬純剪切應(yīng)力狀態(tài)注：若按第四強(qiáng)度理論C截面K3點(diǎn)強(qiáng)度也滿足K2點(diǎn)屬二向應(yīng)力狀態(tài)，C截面K2點(diǎn)選用第四強(qiáng)度理論∴整個(gè)梁的強(qiáng)度不能滿足要求。第十一章組合變形11.1組合變形概述

一、基本變形：二、組合變形：拉伸（壓縮）、扭轉(zhuǎn)、彎曲兩種或兩種以上基本變形的組合。⑴拉伸（壓縮）和彎曲的組合；⑵拉伸（壓縮）和扭轉(zhuǎn)的組合；⑶彎曲和扭轉(zhuǎn)的組合；⑷彎曲和彎曲的組合；⑸拉、彎、扭組合。拉伸和彎曲的組合變形鉆床三、組合變形的研究方法——

疊加原理①外力分析：外力向形心簡(jiǎn)化并沿主慣性軸分解②內(nèi)力分析：求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面。③應(yīng)力分析：畫危險(xiǎn)面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件。11.2斜彎曲

——斜彎曲

當(dāng)外力作用面不通過(guò)主慣性平面時(shí),則彎曲變形后,梁的軸線不在外力作用面內(nèi).zyFzyzyxz平面內(nèi)的平面彎曲xy平面內(nèi)的平面彎曲組合變形/斜彎曲矩形截面梁的斜彎曲:a.危險(xiǎn)點(diǎn):[]b.中性軸及其方程:

是一條通過(guò)形心C的直線。c.斜彎曲特點(diǎn)：撓度曲線所在平面與載荷作用 面不重合，故不是平面彎曲。任意點(diǎn)的正應(yīng)力或者說(shuō)：外力作用面與中性軸不垂直例yzP

Pllyz已知：32a工字鋼，l=2m，P=33kN，

=15°，[σ]=170MPa，校核梁的強(qiáng)度。ABllyzPzPyABllyPy+My+MZyzP

PzABllyzPy解：+My+MZyzP

危險(xiǎn)截面在跨中PzABllyzPy解：查表得：yzP

PABllyz+P

l/2M另：若φ=0°，求梁內(nèi)最大正應(yīng)力。查表得：解：yP應(yīng)力下降約3/411.3偏心拉伸與偏心壓縮

PzyxzyxzPMzMyzyMzxyz(yP?zP)PMZMy應(yīng)力分析：危險(xiǎn)點(diǎn)（距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)）中性軸方程對(duì)于偏心拉壓?jiǎn)栴}截面核心：ayaz已知ay，az后，截面核心壓力作用區(qū)域。當(dāng)壓力作用在此區(qū)域內(nèi)時(shí)，橫截面上無(wú)拉應(yīng)力。zyD例

分別確定圓截面的截面核心.中性軸C根據(jù)對(duì)稱性,它的截面核心亦為一圓.如中性軸與C點(diǎn)相切,則相應(yīng)的載荷作用點(diǎn)在K,截面核心為一直徑為D/4