備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第1講-集-合

第1講集合第一章集合、常用邏輯用語與不等式考向預(yù)測核心素養(yǎng)集合的運算及兩集合間的包含關(guān)系是考查的熱點，在集合的運算中經(jīng)常與不等式、函數(shù)相結(jié)合，題型一般為選擇題，在第1或第2題的位置，低檔難度.數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理01基礎(chǔ)知識回顧一、知識梳理1．集合與元素(1)集合元素的三個特征：________、________、________．(2)元素與集合的關(guān)系是_______或_______關(guān)系，用符號____或___表示．(3)集合的表示法：_______、________、________．(4)常見數(shù)集的記法確定性互異性無序性屬于不屬于∈?列舉法描述法圖示法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR

表示關(guān)系

自然語言符號語言圖形語言子集集合A中_________元素都是集合B中的元素_______________真子集集合A?B，但存在元素________________________________集合相等集合A，B中元素相同A＝B2.集合間的基本關(guān)系任意一個A?B(或B?A)x∈B，且x?AA

B(或B

A)

集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言符號語言A∪B＝________________A∩B＝_________________?UA＝_______________3.集合的基本運算{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}

常用結(jié)論1．空集的性質(zhì)空集不含任何元素，空集是任意一個集合A

的子集，即??A.2．集合的運算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?.(2)A∪A＝A，A∪?＝A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.(4)A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B.3．集合的子集個數(shù)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，非空子集有2n－1個，真子集有2n－1個．二、教材衍化1．(人A必修第一冊P5習(xí)題1.1T1(4)改編)若集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，則(

)A．8∈A B．9.1∈AC．{8}∈A D．{9.1}?A√2．(人A必修第一冊P14習(xí)題1.3T4改編)設(shè)全集為R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2＜x＜10}，則?R(A∪B)＝________，(?RA)∩B＝________．解析：把集合A，B在數(shù)軸上表示如圖．由圖知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因為?RA＝{x|x＜3或x≥7}，所以(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．答案：{x|x≤2或x≥10}

{x|2＜x＜3或7≤x＜10}一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A，B，C表示同一個集合．(

)(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(

)(3)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0或x＝1.(

)(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(

)×√××二、易錯糾偏1．(多選)(混淆元素、集合間的關(guān)系致誤)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，則有(

)A．??A B．－2∈AC．{0，2}?A D．A?{y|y＜3}解析：因為A＝{0，2}，所以??A，{0，2}?A，A?{y|y＜3}均正確，－2?A，故選ACD.√√√2．(混淆子集與真子集的定義致誤)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，則A的真子集的個數(shù)為(

)A．3

B．4C．6

D．7解析：因為A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的個數(shù)為23－1＝7.故選D.√3．(多選)(忽視空集致誤)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，則實數(shù)m＝(

)A．3B．2

C．1

D．0解析：當(dāng)m＝0時，可得集合B＝?，此時滿足B?A；當(dāng)m≠0時，可得集合B＝綜上，實數(shù)m等于0，2或3.

√√√02核心考點共研考點一集合的概念(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系．2．能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用．1．(2022·常州市前黃高級中學(xué)高三適應(yīng)性考試)設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數(shù)為(

)A．3

B．4

C．5

D．6解析：由題知，當(dāng)y＝5時，x＋y的值有6，7，8，9，當(dāng)y＝6時，x＋y的值有7，8，9，10，于是得C＝{6，7，8，9，10}，所以C中元素的個數(shù)為5.√√A.1 B.－1C.2 D.－2A．a(chǎn)＋b∈P B．a(chǎn)＋b∈QC．a(chǎn)＋b∈M D．a(chǎn)＋b不屬于P，Q，M中的任意一個解析：因為a∈P，所以a＝2k1，k1∈Z.因為b∈Q，所以b＝2k2＋1，k2∈Z.所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1＝2k＋1∈Q(k1，k2，k∈Z)．√√√4．(多選)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝(

)解析：若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根．與集合中元素有關(guān)問題的求解步驟步驟一：確定集合的元素是什么，集合是數(shù)集還是點集．步驟二：看這些元素滿足什么限制條件．步驟三：根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．考點二集合間的基本關(guān)系(思維發(fā)散)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，了解全集與空集的含義．

(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為(

)A．1B．2C．3D．4【解析】

(1)由題意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因為A?C?B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．√(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若A?B，則m的取值范圍是________．【答案】[3，＋∞)

(鏈接常用結(jié)論1)本例(2)中，若“A?B”改為“B?A”，其他條件不變，則m的取值范圍是________．解析：當(dāng)m≤0時，B＝?，顯然B?A.當(dāng)m＞0時，因為A＝{x|－1＜x＜3}．當(dāng)B?A時，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，所以0＜m≤1.綜上所述，m的取值范圍為(－∞，1]．答案：(－∞，1](1)判斷兩集合關(guān)系的2種常用方法列舉法：根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系．?dāng)?shù)軸法：在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系．(2)根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法①若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解，此時注意集合中元素的互異性．②若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解，此時需注意端點值能否取到．[提醒]

題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況進(jìn)行討論．√解析：由題意，得集合M＝{y|y≤0}，而集合N＝{y|y>0}，所以?RN＝{y|y≤0}，則M＝?RN，故C正確．2．(鏈接常用結(jié)論3)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，則集合A的真子集的個數(shù)為(

)A．7B．8

C．15

D．16解析：因為集合A中有3個元素，所以其真子集的個數(shù)為23－1＝7(個)．√√√考點三集合的基本運算(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．2．理解給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．3．能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用．角度1集合的運算

(1)(2021·新高考卷Ⅰ)設(shè)集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，則A∩B＝(

)A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【解析】

(1)由題易知A∩B＝{2，3}，故選B.√(2)(2021·高考全國卷乙)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝(

)A．?

B．SC．TD．Z【解析】

(2)S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，觀察可知，T?S，所以T∩S＝T.√角度2利用集合的運算求參數(shù)

(1)(2020·高考全國卷Ⅰ)設(shè)集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，則a＝(

)A．－4B．－2C．2

D．4√(2)設(shè)集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，集合B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝?，則a的值為(

)A．2B．4C．2或－2D．－2√

本例(1)中，若“A∩B＝{x|－2≤x≤1}”改成“A∩B?{x|－2≤x≤1}”，則實數(shù)a的取值范圍是________．綜上，實數(shù)a的取值范圍是a≥－2.答案：[－2，＋∞)角度3集合的新定義問題

(1)(2022·南陽一中第十四次考試)定義集合運算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)集合A＝{－1，0，1}，B＝{sinα，cosα}，則集合A⊙B的所有元素之和為(

)A．1

B．0C．－1 D．sinα＋cosα【解析】

(1)因為x∈A，所以x的可能取值為－1，0，1.同理，y的可能取值為sinα，cosα，所以xy的所有可能取值為(重復(fù)的只列舉一次)：－sinα，0，sinα，－cosα，cosα，所以所有元素之和為0.√(2)(2022·保定一模)設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sinx，x∈R}，那么P－Q＝(

)A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜1}【解析】(2)由題意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0＜x＜1}．√(1)集合運算的常用方法①若集合中的元素是離散的，則常用Venn圖求解．②若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況．(2)利用集合的運算求參數(shù)的方法①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值的取舍．②若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解．在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足集合中元素的互異性)．(3)解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點①準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化．解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．②方法選?。畬τ谛露x問題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解．|跟蹤訓(xùn)練|1．(2021·高考全國卷乙)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，則?U(M∪N)＝(

)A．{5}

B．{1，2}C．{3，4}

D．{1，2，3，4}解析：因為集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}．又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以?U(M∪N)＝{5}．√√3．(2020·高考全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為(

)A．2B．3C．4D．6解析：由題意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的個數(shù)為4.√4．給定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，對于x∈S，如果x＋1?S且x－1?S，那么x是S的一個“好元素”，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________個．解析：由題意知這3個元素一定是連續(xù)的3個整數(shù)，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6個．答案：603課后達(dá)標(biāo)檢測√[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2022·湖南師大附中高二入學(xué)考試)已知集合A＝，且2∈A，則實數(shù)m的值為(

)A．0

B．1

C．2

D．3解析：若m＝2，則m2－3m＋2＝0，不滿足集合中元素的互異性，舍去；若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3，又m≠0，故m＝3.2.(2022·豫北名校聯(lián)盟4月聯(lián)考)已知集合A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0<x<8}，則圖中陰影部分表示的集合的元素個數(shù)為(

)A．4B．3C．2

D．1解析：B＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，圖中陰影部分表示的集合為?BA＝{2，4，7}，共3個元素．√√3．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4＜0}，則集合A的真子集有(

)A．7個

B．8個

C．15個

D．16個解析：因為集合A＝{1，2，3}，所以集合A中共有3個元素，所以真子集有23－1＝7(個)．4．(2021·高考全國卷甲)設(shè)集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝，則M∩N＝(

)A．{7，9} B．{5，7，9}C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9}√√6．(多選)已知非空集合M滿足：①M?{－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，則x2∈M.則集合M可能是(

)A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}C．{1} D．{1，－2，2}解析：由題意可知3?M且4?M，而－2或2與4同時出現(xiàn)，所以－2?M且2?M，所以滿足條件的非空集合M有{－1，1}，{1}．√√7．(2022·福建廈門質(zhì)量檢查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為(

)A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析：集合A＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x<a}．因為B?A，所以a≤1.√8．設(shè)集合A＝{－1，1，2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1，2}，則a的值為______