北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練第01講探索勾股定理(2種題型)(原卷版+解析)

第01講探索勾股定理（2種題型）【知識(shí)梳理】一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段.邊．【考點(diǎn)剖析】題型一、勾股定理的應(yīng)用 例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．例2.如圖所示，在多邊形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多邊形ABCD的面積．【變式】已知：如圖，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的長(zhǎng)．例3、長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求DE的長(zhǎng)．題型二、勾股定理的證明 例4、如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中線，MN⊥AB，垂足為N，試說(shuō)明．例5．請(qǐng)用兩種方法證明：△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2＝c2例6．圖中大正方形是由4個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的，其中每個(gè)直角三角形兩直角邊為a，b，斜邊為c，你能通過(guò)此圖驗(yàn)證得到勾股定理嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由．例7．做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直線邊分別為a，b，斜邊為c，再做3個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的正方形，把它們按圖4，圖5所示的方式拼成兩個(gè)正方形．利用兩個(gè)正方形的面積相等來(lái)證明勾股定理：a2+b2＝c2．例8．如圖，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三點(diǎn)共線，各邊長(zhǎng)如圖所示，請(qǐng)利用面積法證明勾股定理．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題1．（2022春?西華縣期中）如圖，這是用面積為18的四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”．如果大正方形的邊長(zhǎng)為9，那么小正方形的邊長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022春?高安市期中）勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”，它由4個(gè)全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25，小正方形面積為1，若用a、b表示直角三角形的兩直角邊（a＞b），則下列說(shuō)法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二．填空題3．用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖一個(gè)大正方形ABCD和一個(gè)小正方形EFGH，這就是著名的“趙爽弦圖”，若AB＝15，AF＝12，則小正方形EFGH的面積為4．（2022春?臺(tái)江區(qū)期中）在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝，則AB2+BC2+AC2＝．5．（2022春?長(zhǎng)垣市期中）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為．6．1876年美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德利用圖驗(yàn)證了一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱為，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式為．7．（2022春?新邵縣期中）如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD＝3，則DE的長(zhǎng)為．三．解答題8．（2022春?巢湖市校級(jí)期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)B是正方形ACDE邊CD上一點(diǎn)，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請(qǐng)你寫出該方法證明勾股定理的過(guò)程．9．如圖所示是用硬紙板做成的四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是a，b，斜邊的長(zhǎng)為c，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能推導(dǎo)勾股定理的圖形．（1）畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；（2）推導(dǎo)勾股定理．10．【閱讀理解】我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)直角三角形拼成正方形，通過(guò)證明可得中間也是一個(gè)正方形．其中四個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．第01講探索勾股定理（2種題型）【知識(shí)梳理】一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段.邊．【考點(diǎn)剖析】題型一、勾股定理的應(yīng)用 例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【答案與解析】解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，所以．所以＝13．（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，所以．所以＝10．【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式．例2.如圖所示，在多邊形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多邊形ABCD的面積．【答案與解析】解：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E∵∠B＝90°，∠A＝45°∴∠E＝45°，∴AB＝BE＝2∵∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∴CD＝DE＝1∴，．∴．【總結(jié)升華】求不規(guī)則圖形的面積，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），轉(zhuǎn)化的方法主要是割補(bǔ)法，然后運(yùn)用勾股定理求出相應(yīng)的線段，解決面積問(wèn)題．【變式】已知：如圖，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的長(zhǎng)．【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于D，在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，∴AD===3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴AB=AD=3，BD=AD=3，在Rt△ADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC===．例3、長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求DE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】在折疊的過(guò)程中，BE=DE．從而設(shè)BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解．【答案與解析】解：設(shè)DE=xcm，則BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．∴x=（cm）．答：DE的長(zhǎng)為cm.【總結(jié)升華】注意此類題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對(duì)應(yīng)線段相等．題型二、勾股定理的證明 例4、如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中線，MN⊥AB，垂足為N，試說(shuō)明．【答案與解析】解：因?yàn)镸N⊥AB，所以，，所以．因?yàn)锳M是中線，所以MC＝MB．又因?yàn)椤螩＝90°，所以在Rt△AMC中，，所以．【總結(jié)升華】證明帶有平方的問(wèn)題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．若沒有直角三角形，常常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理證明．例5．請(qǐng)用兩種方法證明：△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2＝c2【分析】方法一：用四個(gè)大小相同的直角三角形拼成正方形，其中每個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，通過(guò)證明可得中間也是一個(gè)正方形，大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+2ab，利用面積相等即可證明；方法二：兩個(gè)大小相同的直角三角形，每個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，連接BE，構(gòu)造直角梯形BCDE，利用梯形面積公式可得梯形面積為ab+（a2+b2），也可表示為ab+c2，利用面積相等即可證明．【解答】證明：方法一：如圖，用四個(gè)大小相同的直角三角形拼成正方形，每個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝a+b，∴四邊形ABCD為正方形，∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE＝∠DEH，∴∠DEH+∠AEF＝90°，∴∠FEH＝90°，同理可得：∠EFG＝∠FGH＝∠EHG＝90°，∵EF＝FG＝GH＝EH＝c，∴四邊形EFGH為正方形，∴S?ABCD＝AB2＝（a+b）2，S?ABCD＝S?EFGH+4S△AEF＝c2+4×ab＝c2+2ab，∴（a+b）2＝c2+2ab，∴a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；方法二：如圖，放置兩個(gè)大小相同的直角三角形，每個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，連接BE，構(gòu)造直角梯形BCDE，∵∠C＝∠D＝90°，∴梯形BCDE為直角梯形，∴S梯形BCDE＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），∵∠BAC＝∠AED，∠DAE+∠AED＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠BAE＝90°，∴S梯形BCDE＝S△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的證明方法，一般采用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明．例6．圖中大正方形是由4個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的，其中每個(gè)直角三角形兩直角邊為a，b，斜邊為c，你能通過(guò)此圖驗(yàn)證得到勾股定理嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由．【分析】根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積＝大正方形的面積即可證明．【解答】證明：由圖得，×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，即a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用數(shù)形結(jié)合以及等面積法來(lái)證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．例7．做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直線邊分別為a，b，斜邊為c，再做3個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的正方形，把它們按圖4，圖5所示的方式拼成兩個(gè)正方形．利用兩個(gè)正方形的面積相等來(lái)證明勾股定理：a2+b2＝c2．【分析】通過(guò)兩個(gè)組合正方形的面積之間相等的關(guān)系即可證明勾股定理．【解答】解：由圖可知大正方形的邊長(zhǎng)為：a+b，則面積為（a+b）2，圖中把大正方形的面積分為了四部分，分別是：邊長(zhǎng)為a的正方形，邊長(zhǎng)為b的正方形，還有兩個(gè)長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形，根據(jù)面積相等得：（a+b）2＝a2+b2+4×ab，由右圖可得（a+b）2＝c2+4×ab．所以a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行組合圖形．例8．如圖，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三點(diǎn)共線，各邊長(zhǎng)如圖所示，請(qǐng)利用面積法證明勾股定理．【分析】先利用“邊角邊”證明△ADE和△EBC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED＝∠CBE，再求出∠AEB＝90°，然后根據(jù)梯形的面積公式和梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積列出方程整理即可得證．【解答】證明：在△ADE和△EBC中，，∴△ADE≌△EBC（SAS），∴∠AED＝∠CBE，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∴梯形的面積＝（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，整理得，a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的判定與性質(zhì)，求出∠AEB＝90°是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于利用梯形的面積列出方程．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題1．（2022春?西華縣期中）如圖，這是用面積為18的四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”．如果大正方形的邊長(zhǎng)為9，那么小正方形的邊長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)正方形EFGH的面積＝正方形ABCD的面積﹣4S△ABE＝9，求9的算術(shù)平方根即可得到結(jié)論．【解答】解：∵正方形EFGH的面積＝正方形ABCD的面積﹣4S△ABE＝92﹣4×18＝9，∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)＝3，故小正方形的邊長(zhǎng)為3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的面積，三角形的面積，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?高安市期中）勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”，它由4個(gè)全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25，小正方形面積為1，若用a、b表示直角三角形的兩直角邊（a＞b），則下列說(shuō)法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根據(jù)勾股定理和大正方形面積為25，可以判斷①；根據(jù)小正方形面積為1，可以判斷②；根據(jù)大正方形面積為25，小正方形面積為1，可以得到四個(gè)直角三角形的面積，從而可以得到ab的值，即可判斷③；根據(jù)完全平方公式可以判斷④．【解答】解：由圖可得，a2+b2＝c2＝25，故①正確；∵小正方形面積為1，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴a﹣b＝1，故②正確；∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，∴ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正確；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明、正方形的性質(zhì)、直角三角形的面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．二．填空題3．用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖一個(gè)大正方形ABCD和一個(gè)小正方形EFGH，這就是著名的“趙爽弦圖”，若AB＝15，AF＝12，則小正方形EFGH的面積為【分析】利用勾股定理求出BF，從而求出小正方形EFGH的邊長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∵AB＝15，AF＝12，∴BF＝9，∵四個(gè)直角三角形全等，∴BG＝AF＝12，∴FG＝BG﹣BF＝3，∴S?EFGH＝FG2＝32＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)．4．（2022春?臺(tái)江區(qū)期中）在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝，則AB2+BC2+AC2＝．【分析】根據(jù)勾股定理可以求得AC2+BC2＝AB2＝2的值，然后即可計(jì)算出AB2+BC2+AC2的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝，∴AC2+BC2＝AB2＝2，∴AB2+BC2+AC2＝（BC2+AC2）+AB2＝2+2＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出AB2的值．5．（2022春?長(zhǎng)垣市期中）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為．【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：由勾股定理得，正方形D的面積＝正方形A的面積+正方形B的面積+正方形C面積＝2+8+5＝15，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．6．1876年美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德利用圖驗(yàn)證了一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱為，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式為．【分析】根據(jù)勾股定理的內(nèi)容即可得到結(jié)論．【解答】解：1876年美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德利用圖驗(yàn)證了一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱為勾股定理，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式為a2+b2＝c2．故答案為：勾股定理，a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，掌握的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?新邵縣期中）如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD＝3，則DE的長(zhǎng)為．【分析】直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解．【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，DB⊥AB，∴DE＝DB＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．三．解答題8．（2022春?巢湖市校級(jí)期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)B是正方形ACDE邊CD上一點(diǎn)，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請(qǐng)你寫出該方法證明勾股定理的過(guò)程．【分析】連接BF，由圖1可得正方形ACDE的面積為b2，由圖2可得四邊形ABDF的面積為三角形ABF與三角形BDF面積之和，再利用正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等即可證明．【解答】證明：如圖，連接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面積為b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE為等腰直角三角形，∴四邊形ABDF的面積為：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），∵正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，∴b2＝c2+（b2﹣a2），∴b2＝c2+b2﹣a2，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的證明方法，一般利用拼圖的方法，再利用面積相等證明．9．如圖所示是用硬紙板做成的四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，直角三角形兩條直角邊