滬教版九年級數學核心知識點與常見題型通關講解練第02講比例線段(原卷版+解析)

第02講比例線段【知識梳理】一．比例的性質（1）比例的基本性質：組成比例的四個數，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項．（2）常用的性質有：①內項之積等于外項之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質．若＝，則＝．③分比性質．若＝，則＝．④合分比性質．若＝，則＝．⑤等比性質．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．二．比例線段（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．三．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為．【考點剖析】一．比例的性質（共15小題）1．（2018秋?浦東新區(qū)期中）已知3x＝5y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝2．（2023?青浦區(qū)一模）已知三個數1、3、4，如果再添上一個數，使它們能組成一個比例式，那么這個數可以是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023?普陀區(qū)一模）已知，x+y＝10，那么x﹣y＝．4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數式3x﹣2y+z的值．5．（2022秋?金山區(qū)校級期末）根據4a＝5b，可以組成的比例有（）A． B． C． D．6．（2022秋?浦東新區(qū)期中）已知＝，那么的值為（）A． B． C． D．﹣7．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．8．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知，且2a﹣3b+c＝28，求代數式a+b﹣c的值．9．（2022秋?上海月考）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周長．10．（2022秋?虹口區(qū)期中）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．11．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）已知，求的值．12．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代數式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．13．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知實數a、b、c滿足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．14．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）已知實數x、y、z滿足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．15．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知＝＝≠0，且5x+y﹣2z＝10，求x、y、z值二．比例線段（共10小題）16．（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，17．（2023?長寧區(qū)一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．118．（2023?寶山區(qū)一模）已知線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5 C． D．19．（2022秋?嘉定區(qū)期中）如果mn＝pq，那么下列比例式正確的是（）A． B． C． D．20．（2021秋?金山區(qū)期末）在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實際距離為（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km21．（2020秋?靜安區(qū)期末）已知線段x，y滿足＝，求的值．22．（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm23．（2021秋?黃浦區(qū)期末）4和9的比例中項是（）A．6 B．±6 C． D．24．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．25．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且＝＝≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周長為90，求各邊的長．三．黃金分割（共7小題）26．（2023?長寧區(qū)一模）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，那么的值為（）A． B． C． D．27．（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知點P、點Q是線段AB的兩個黃金分割點，且AB＝10，那么PQ的長為（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）28．（2021秋?金山區(qū)期末）如果點P是線段AB的黃金分割點，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．29．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知點A、B、C在一條直線上，AB＝1，且AC2＝BC?AB，求AC的長．30．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）已知點C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC．（1）若AB＝1，求AC的長；（2）若AC比BC大2，求AB的長．31．（2020秋?閔行區(qū)期末）古希臘藝術家發(fā)現當人的頭頂至肚臍的長度（上半身的長度）與肚臍至足底的長度（下半身的長度）的比值為“黃金分割數”時，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長度增加．你認為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm32．（2019秋?嘉定區(qū)校級月考）已知：如圖，線段AB＝2，BD⊥AB于點B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求證：點C是線段AB的黃金分割點．

【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·上海崇明·九年級?？计谥校┮阎齻€數1，2，，如果再添上一個數，使它們能組成一個比例式，那么這個數不可以的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·上海浦東新·九年級?？计谥校┫铝懈鹘M線段中，成比例線段的組是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┮阎€段是線段、的比例中項，如果，，那么線段的長為（

）A． B．6 C． D．364．（2021秋·上海青浦·九年級校考期中）已知線段a、b、c、d，如果，那么下列式子中一定正確的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·上海松江·九年級?？计谥校┮阎cC是線段上的一個點，且是和的比例中項，則下列式子成立的是（）A． B． C． D．6．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果，那么下列各式中一定正確的是（）A． B． C． D．二、填空題7．（2022秋·上海普陀·九年級統(tǒng)考期中）若，則的值為___________．8．（2021秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）在比例尺為的地圖上A、B兩處的距離是，那么A、B兩處實際距離是______．9．（2021秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）已知，則的值為______．10．（2023·上海嘉定·校考一模）如果（、都不等于零），那么=_____．11．（2021秋·上海青浦·九年級校考期中）已知線段厘米、厘米，如果線段a是線段c和b的比例中項，那么線段______厘米．12．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部B的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點A、B、P在一直線），且，那么底部B到球體P之間的距離是_________米（結果保留根號）13．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知點P是線段的黃金分割點，如果，那么線段___________．14．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）點是線段的黃金分割點，如果，那么較長線段的長是__________．15．（2021秋·上海普陀·九年級?？计谥校┮阎?，那么（a﹣b）：a＝___．16．（2022秋·九年級單元測試）已知線段AB=2cm，點C是線段AB的黃金分割點，則線段AC等于__________cm17．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，點E在邊BC上，將這個矩形沿直線AE折疊，使點B落在邊AD上的點F處，那么EF與CE的比值等于________．18．（2020秋·上海·九年級上外附中?？茧A段練習）如圖，在中，的內、外角平分線分別交及其延長線于點，則___________

三、解答題19．（2020秋·九年級?？颊n時練習）已知線段AB=10cm，點C是AB上的黃金分割點，求AC的長是多少厘米？20．（2021秋·上海徐匯·九年級上海市徐匯中學校考階段練習）已知，求的值．21．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭Ｂ摽茧A段練習）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周長．22．（2022秋·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期中）已知：，且，求的值．23．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）梯形ABCD中，AD//BC，對角線AC和BD相交于點O，G1和G2分別為三角形AOB和三角形COD的重心．（1）求證：G1G2//AD；（2）延長AG1交BC于點P，當P為BC的黃金分割點時，求的值．24．（2022秋·上海嘉定·九年級?？计谥校┮阎€段x，y.(1)當時，求的值；(2)當時，求的值.25．（2020秋·上海寶山·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，點、分別在的邊、上，.（1）若，，求；（2）若，，求.（用，表示）26．（2022秋·上海寶山·九年級校考階段練習）已知點C在線段AB上，且滿足．(1)若AB=1，求AC的長；(2)若AC比BC大2，求AB的長．第02講比例線段【知識梳理】一．比例的性質（1）比例的基本性質：組成比例的四個數，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項．（2）常用的性質有：①內項之積等于外項之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質．若＝，則＝．③分比性質．若＝，則＝．④合分比性質．若＝，則＝．⑤等比性質．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．二．比例線段（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．三．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為．【考點剖析】一．比例的性質（共15小題）1．（2018秋?浦東新區(qū)期中）已知3x＝5y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】直接利用比例的性質得出x，y之間關系進而得出答案．【解答】解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此選項錯誤；B、＝，可以化成：3x＝5y，故此選項正確；C、＝，可以化成：5x＝3y，故此選項錯誤；D、＝，可以化成：5x＝3y，故此選項錯誤．故選：B．【點評】此題主要考查了比例的性質，正確掌握比例的基本性質是解題關鍵．2．（2023?青浦區(qū)一模）已知三個數1、3、4，如果再添上一個數，使它們能組成一個比例式，那么這個數可以是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根據比例的性質分別判斷即可．【解答】解：1：3＝4：12，故選：D．【點評】此題主要考查了比例的性質，正確把握比例的性質是解題關鍵．3．（2023?普陀區(qū)一模）已知，x+y＝10，那么x﹣y＝2．【分析】直接利用已知代入求出y的值，即可得出x的值，進而得出答案．【解答】解：∵，x+y＝10，∴x＝y(tǒng)，則y+y＝10，解得：y＝4，故x＝6，那么x﹣y＝6﹣4＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了比例的性質，正確將已知代入是解題關鍵．4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數式3x﹣2y+z的值．【分析】設比值為k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，從而得到x、y、z，再代入代數式進行計算即可得解．【解答】解：設＝＝＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝33，∴4k﹣9k+16k＝33，解得k＝3，∴x＝6，y＝9，z＝12，∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．【點評】本題考查了比例的性質，利用“設k法”表示出x、y、z求解更簡便．5．（2022秋?金山區(qū)校級期末）根據4a＝5b，可以組成的比例有（）A． B． C． D．【分析】根據比例的性質，進行計算即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴5a＝4b，故A不符合題意；B、∵＝，∴5a＝4b，故B不符合題意；C、∵＝，∴4a＝5b，故C符合題意；D、∵＝，∴ab＝20，故D不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．6．（2022秋?浦東新區(qū)期中）已知＝，那么的值為（）A． B． C． D．﹣【分析】利用比例的性質，進行計算即可解答．【解答】解：∵＝，∴＝1﹣＝1﹣＝，故選：B．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．7．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知數表示，進而計算得出答案．【解答】解：∵2a＝3b（a、b都不等于零），∴設a＝3x，則b＝2x，那么＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質，掌握正確表示出a，b的值是關鍵．8．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知，且2a﹣3b+c＝28，求代數式a+b﹣c的值．【分析】利用設k法，進行計算即可解答．【解答】解：設＝＝＝k，則a＝2k，b＝5k，c＝7k，∵2a﹣3b+c＝28，∴4k﹣15k+7k＝28，解得：k＝﹣7，∴a＝﹣14，b＝﹣35，c＝﹣49，∴a+b﹣c＝﹣14+（﹣35）﹣（﹣49）＝﹣49+49＝0，∴代數式a+b﹣c的值為0．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握設k法是解題的關鍵．9．（2022秋?上海月考）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周長．【分析】設a＝5k，b＝7k，c＝8k，再代入等式3a﹣2b+c＝9，求出k的值，從而得到a、b、c的值，然后根據三角形周長公式進行計算，即可得解．【解答】解：設a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，解得：k＝1，則a＝5，b＝7，c＝8，所以△ABC的周長是：5+7+8＝20．【點評】本題考查了比例的性質以及代數式求值，解決此類題目時利用“設k法”求解更簡便．10．（2022秋?虹口區(qū)期中）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．【分析】可設＝＝＝k（k≠0），可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，再根據a+b+c＝36可得關于k的方程，解方程求出k，進一步求得a、b、c的值．【解答】解：設＝＝＝k≠0，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a+b+c＝36，∴3k+4k+5k＝36，解得k＝3，則a＝3k＝9，b＝4k＝12，c＝5k＝15．【點評】此題考查了比例的性質，設k法得到關于k的方程是解題的關鍵．11．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）已知，求的值．【分析】先設＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，再把x、y、z的值都代入所求式子計算即可．【解答】解：設＝＝＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝4k，＝＝11．【點評】本題考查了比例的性質．解題的關鍵是先假設設＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，降低計算難度．12．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代數式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【分析】設a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入代數式中進行分式的混合運算即可；（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣b+c＝10得到關于k的方程，求出k，從而得到a、b、c的值．【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，∴設a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝；（2）∵3a﹣b+c＝10，∴9k﹣4k+5k＝10，解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5．【點評】本題考查了比例的性質：熟練掌握比例的基本性質（內項之積等于外項之積、合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質等）是解決問題的關鍵．13．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知實數a、b、c滿足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．【分析】設a＝3k，b＝5k，c＝4k，根據a﹣3b+2c＝﹣8，得k＝2，a＝6，b＝10，c＝8，即可求出答案．【解答】解：∵，∴設a＝3k，b＝5k，c＝4k，∵a﹣3b+2c＝﹣8，∴3k﹣15k+8k＝﹣8，∴k＝2，∴a＝6，b＝10，c＝8，∴＝＝1．【點評】本題考查了比例的基本性質，根據已知條件列方程是關鍵．14．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）已知實數x、y、z滿足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．【分析】設＝＝＝k（k≠0），得出x＝3k，y＝5k，z＝2k，再根據x﹣2y+3z＝﹣2，求出k的值，從而得出x、y、z的值，然后代入要求的式子進行計算即可得出答案．【解答】解：∵＝＝，設＝＝＝k（k≠0），∴x＝3k，y＝5k，z＝2k，∵x﹣2y+3z＝﹣2，∴3k﹣10k+6k＝﹣2，∴k＝2，∴x＝6，y＝10，z＝4，∴＝＝2．【點評】本題考查了比例的性質：熟練掌握比例的基本性質（內項之積等于外項之積、合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質等）是解決問題的關鍵．15．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知＝＝≠0，且5x+y﹣2z＝10，求x、y、z值【分析】首先設x＝2a，y＝3a，z＝4a，然后再代入5x+y﹣2z＝10，可得a的值，進而可得答案．【解答】解：設x＝2a，y＝3a，z＝4a，∵5x+y﹣2z＝10，∴10a+3a﹣8a＝10，5a＝10，a＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8．【點評】此題主要考查了比例的性質，關鍵是掌握用同一未知數表示各未知數．二．比例線段（共10小題）16．（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，【分析】根據比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，B.1×4≠2×3，故不符合題意，C.≠2×3，故不符合題意，D.，故符合題意，故選：D．【點評】此題考查了比例線段，根據成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．17．（2023?長寧區(qū)一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【分析】根據成比例線段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵線段a、b、c、d是成比例線段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故選：B．【點評】此題考查了比例線段，掌握比例線段的定義是解題的關鍵．18．（2023?寶山區(qū)一模）已知線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5 C． D．【分析】根據比例的性質進行判斷即可．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本選項錯誤，不符合題意；B、當a＝4，b＝6時，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本選項錯誤，不符合題意；C、由a：b＝2：3，得＝，故本選項正確，符合題意；D、當a＝4，b＝6時，a：b＝2：3，但是＝，故本選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了比例的性質及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內項的積，比較簡單．19．（2022秋?嘉定區(qū)期中）如果mn＝pq，那么下列比例式正確的是（）A． B． C． D．【分析】從選項判斷，把每一個比例式化成等積式即可解答．【解答】解：A、∵，∴mq＝pn，故不符合題意；B、∵，∴qm＝pn，故不符合題意；C、∵，∴mn＝pq，故符合題意；D、∵，∴pm＝qn，故不符合題意，故選：C．【點評】本題考查了比例的性質，把比例式化成等積式是解題的關鍵．20．（2021秋?金山區(qū)期末）在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實際距離為（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km【分析】設這兩地的實際距離為xcm，根據比例尺的定義列出方程，然后求解即可得出答案．【解答】解：設這兩地的實際距離為xcm．由題意得：＝，解得x＝1200000，經檢驗，x＝1200000是分式方程的解，1200000cm＝12km，故選：B．【點評】本題考查比例線段，比例尺的定義，解題的關鍵是熟練掌握比例尺性質，屬于中考?？碱}型．21．（2020秋?靜安區(qū)期末）已知線段x，y滿足＝，求的值．【分析】先根據比例的基本性質得到y(tǒng)（2x+y）＝x（x﹣y），可得x2﹣3xy﹣y2＝0，再把y當作已知數，解關于x的方程即可求得的值．【解答】解：∵＝，∴y（2x+y）＝x（x﹣y），則x2﹣3xy﹣y2＝0，解得x1＝y(tǒng)，x2＝y(tǒng)（負值舍去）．故的值為．【點評】考查了比例線段，關鍵是熟練掌握比例的基本性質，得到x＝y(tǒng)是解題的難點．22．（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【分析】根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；故選：C．【點評】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．23．（2021秋?黃浦區(qū)期末）4和9的比例中項是（）A．6 B．±6 C． D．【分析】根據比例的基本性質：兩外項之積等于兩內項之積求解．【解答】解：根據比例中項的概念結合比例的基本性質得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積．設它們的比例中項是x，則x2＝4×9，解得x＝±6．故選：B．【點評】本題考查了比例中項的概念：當比例式中的兩個內項相同時，即叫比例中項．求比例中項根據比例的基本性質進行計算．24．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【分析】（1）設＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，代入所求代數式即可；（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣4b+5c＝54求出k，把k值代入所求代數式即可．【解答】解：設＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝＝；（2）∵3a﹣4b+5c＝54，∴9k﹣16k+25k＝54，解得：k＝3，∴a﹣2b+c＝3k﹣8k+5k＝0．【點評】本題主要考查了比例線段，設＝＝＝k得到a＝3k，b＝4k，c＝5k是解決問題的關鍵．25．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且＝＝≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周長為90，求各邊的長．【分析】（1）設＝＝＝k，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，然后把它們分別代入中，再進行分式的運算即可；（2）根據三角形周長定義得到5k+4k+6k＝90，解關于k的方程求出k，然后計算5k、4k和6k即可．【解答】解：（1）設＝＝＝k，則a＝5k，b＝4k，c＝6k，所以＝＝；（2）5k+4k+6k＝90，解得k＝6，所以a＝30，b＝24，c＝36．【點評】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．三．黃金分割（共7小題）26．（2023?長寧區(qū)一模）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，那么的值為（）A． B． C． D．【分析】利用黃金分割的定義，進行計算即可解答．【解答】解：∵P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故選：C．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．27．（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知點P、點Q是線段AB的兩個黃金分割點，且AB＝10，那么PQ的長為（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）【分析】先由黃金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB進行計算即可．【解答】解：如圖，∵點P、Q是線段AB的黃金分割點，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故選：B．【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，熟記黃金比是解題的關鍵．28．（2021秋?金山區(qū)期末）如果點P是線段AB的黃金分割點，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．【分析】由黃金分割的定義得＝，即可得出答案．【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點（AP＜BP），∴＝＝＝，故選：D．【點評】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關鍵．29．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知點A、B、C在一條直線上，AB＝1，且AC2＝BC?AB，求AC的長．【分析】分三種情況：當點C在線段AB上，當點C在線段AB的延長線時，當點C在線段BA的延長線時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分三種情況：當點C在線段AB上，如圖：∵AC2＝BC?AB，∴點C是AB的黃金分割點，∴AC＝AB＝×1＝；當點C在線段AB的延長線時，如圖：設AC＝x，則BC＝AC﹣AB＝x﹣1，∵AC2＝BC?AB，∴x2＝（x﹣1）?1，整理得：x2﹣x+1＝0，∴原方程沒有實數根；當點C在線段BA的延長線時，如圖：設AC＝x，則BC＝AC+AB＝x+1，∵AC2＝BC?AB，∴x2＝（x+1）?1，整理得：x2﹣x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（不符合題意，舍去），∴AC的長為；綜上所述，AC的長為或．【點評】本題考查了黃金分割，分三種情況討論是解題的關鍵．30．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）已知點C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC．（1）若AB＝1，求AC的長；（2）若AC比BC大2，求AB的長．【分析】（1）根據已知可得點C是線段AB的黃金分割點，從而可得AC＝AB，然后進行計算即可解答；（2）根據已知可設AC＝x，則BC＝x﹣2，從而可得AB＝2x﹣2，然后根據AC2＝AB?BC，可得x2＝（2x﹣2）（x﹣2），從而進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵點C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC，∴點C是線段AB的黃金分割點，∴AC＝AB＝，∴AC的長為；（2）∵AC比BC大2，∴設AC＝x，則BC＝x﹣2，∴AB＝AC+BC＝2x﹣2，∵AC2＝AB?BC，∴x2＝（2x﹣2）（x﹣2），解得：x1＝3+，x2＝3﹣（舍去），∴AB＝2x﹣2＝2+4，∴AB的長為2+4．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．31．（2020秋?閔行區(qū)期末）古希臘藝術家發(fā)現當人的頭頂至肚臍的長度（上半身的長度）與肚臍至足底的長度（下半身的長度）的比值為“黃金分割數”時，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長度增加．你認為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】她下半身的長度為92cm，設鞋跟高為x厘米時，她身材顯得更為優(yōu)美，利用黃金分割的定義得到≈0.618，然后解方程即可．【解答】解：∵一位女士身高為154cm，她上半身的長度為62cm，∴她下半身的長度為92cm，設鞋跟高為x厘米時，她身材顯得更為優(yōu)美，根據題意得≈0.618，解得x≈8.3（cm）．經檢驗x＝8.3為原方程的解，所以選擇鞋跟高為8厘米的高跟鞋最佳．故選：C．【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了解分式方程．32．（2019秋?嘉定區(qū)校級月考）已知：如圖，線段AB＝2，BD⊥AB于點B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求證：點C是線段AB的黃金分割點．【分析】在直角△ABD中根據勾股定理計算出AD＝，則AE＝AD﹣DE＝﹣1，再利用畫法得到AC＝AE＝﹣1，即AC＝AB，然后根據黃金分割的定義得到點C就是線段AB的黃金分割點．【解答】證明：∵AB＝2，BD＝AB，∴BD＝1．∵BD⊥AB于點B，∴AD＝＝，∴AE＝AD﹣DE＝﹣1，∴AC＝AE＝﹣1，∴AC＝AB，∴點C就是線段AB的黃金分割點．【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·上海崇明·九年級?？计谥校┮阎齻€數1，2，，如果再添上一個數，使它們能組成一個比例式，那么這個數不可以的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】能否構成一個比例式，根據“兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段”判斷即可．【詳解】A．

，能組成一個比例式，不合題意；B．，能組成一個比例式，不合題意；C．1，2，，，

不能組成一個比例式，符合題意；D．，能組成一個比例式，不合題意；故選：C【點睛】本題考查了成比例的線段，熟知：兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．2．（2022秋·上海浦東新·九年級?？计谥校┫铝懈鹘M線段中，成比例線段的組是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據比例線段的定義可各選項分別進行判斷即可．【詳解】解：A、，是成比例線段，故本選項符合題意；B、，不是成比例線段，故本選項不符合題意；C、，不是成比例線段，故本選項不符合題意；D、，不是成比例線段，故本選項不符合題意．故選：A【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┮阎€段是線段、的比例中項，如果，，那么線段的長為（

）A． B．6 C． D．36【答案】B【分析】利用比例中項的平方等于兩個外項的積，進行計算即可．【詳解】解：由題意，得：，∵，∴；故選B．【點睛】本題考查比例選段．熟練掌握比例中項的平方等于兩個外項的積，是解題的關鍵．4．（2021秋·上海青浦·九年級校考期中）已知線段a、b、c、d，如果，那么下列式子中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把各個選項的比例式轉化為乘積式，可得結論．【詳解】解：A、由推出，本選項不符合題意；B、由推出，本選項符合題意；C、由推出，本選項不符合題意；D、由推出，本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查比例線段，比例的性質，解題的關鍵是掌握比例的性質．5．（2022秋·上海松江·九年級校考期中）已知點C是線段上的一個點，且是和的比例中項，則下列式子成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，則，由比例中項得出，代入解一元二次方程即可解答．【詳解】解：設，，則，∵是和的比例中項，∴，即，∴，解得：，（舍去），即，∴，∴，故A符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查比例中項、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項的定義是解答的關鍵．6．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果，那么下列各式中一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據比例的性質進行判斷即可．【詳解】解：A、由，得，故本選項錯誤，不符合題意；B、當，時，，但是，故本選項錯誤，不符合題意；C、由，得，故本選項正確，符合題意；D、當，時，，但是，故本選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內項的積，比較簡單．二、填空題7．（2022秋·上海普陀·九年級統(tǒng)考期中）若，則的值為___________．【答案】【分析】由，設，然后再代入求解即可；【詳解】解：∵，設，∴，故答案為：．【點睛】本題考查比例的性質，設是解題關鍵．8．（2021秋·上海·九年級?？茧A段練習）在比例尺為的地圖上A、B兩處的距離是，那么A、B兩處實際距離是______．【答案】【分析】設A、B兩處的實際距離是，根據比例尺的定義列式計算即可得解，然后再化為千米即可．【詳解】解：設A、B兩處的實際距離是，根據題意得：解得：，，故答案為：．【點睛】本題考查了比例，主要利用了比例尺的定義，計算時要注意單位之間的換算．9．（2021秋·上海·九年級?？茧A段練習）已知，則的值為______．【答案】/【分析】根據比例的基本性質，求得，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，解得，∴，故答案為：【點睛】此題考查了比例，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵．10．（2023·上海嘉定·?？家荒＃┤绻?、都不等于零），那么=_____．【答案】//【分析】直接利用已知把，用同一未知數表示，進而計算得出答案；【詳解】解：（都不等于零），∴設，則，那么；故答案為：．【點睛】此題主要考查了比例的性質，正確表示出，的值是解題關鍵．11．（2021秋·上海青浦·九年級?？计谥校┮阎€段厘米、厘米，如果線段a是線段c和b的比例中項，那么線段______厘米．【答案】【分析】根據比例中項的定義得到，然后利用比例性質計算即可．【詳解】解：∵線段a是線段c和b的比例中項，∴，即，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．特別的是若，則a是c和b的比例中項．12．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部B的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點A、B、P在一直線），且，那么底部B到球體P之間的距離是_________米（結果保留根號）【答案】【分析】根據黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【詳解】解：∵點P是線段上的一個黃金分割點，且米，，∴米．故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關鍵．13．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知點P是線段的黃金分割點，如果，那么線段___________．【答案】/【分析】根據黃金分割點的概念列式求解即可．【詳解】解：∵點P是線段的黃金分割點，，，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了黃金分割點的概念，解題的關鍵是熟練掌握黃金分割點的概念．把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．14．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）點是線段的黃金分割點，如果，那么較長線段的長是__________．【答案】【分析】根據黃金分割點的定義，得到，求解即可．【詳解】解：由題意，得：，即：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查黃金分割點．熟練掌握黃金分割點的定義，是解題的關鍵．15．（2021秋·上海普陀·九年級?？计谥校┮阎?，那么（a﹣b）：a＝___．【答案】1：3【分析】根據設，代入計算即可．【詳解】解：∵∴設，∴（a﹣b）：a＝故答案為：1：3【點睛】本題主要考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解答本題的關鍵．16．（2022秋·九年級單元測試）已知線段AB=2cm，點C是線段AB的黃金分割點，則線段AC等于__________cm【答案】(-1)或(3-)【分析】分AC＞BC、AC＜BC兩種情況，根據黃金比值計算即可．【詳解】當AC＞BC時，AC==當AC＜BC時，AC=AB-AB=，∴線段AC的值為：-1（cm）或3-（cm）．故答案為：-1（cm）或3-（cm）．【點睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是解題的關鍵．17．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，點E在邊BC上，將這個矩形沿直線AE折疊，使點B落在邊AD上的點F處，那么EF與CE的比值等于________．【答案】【分析】根據折疊的性質以及矩形的性質可證四邊形ABEF是正方形，可得EF＝BE，進一步即可求出EF與CE的比值．【詳解】解：根據折疊，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，∴∠BAE＝∠FAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴BA＝BE，∴AB＝BE＝EF＝FA，又∵∠B＝90°，∴四邊形ABEF是正方形，∴EF＝BE＝AB，∵矩形ABCD是黃金矩形，∴＝，∴＝＝，故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割，矩形的性質，正方形的判定和性質，熟練掌握黃金分割是解題的關鍵．18．（2020秋·上?！ぞ拍昙壣贤飧街行？茧A段練習）如圖，在中，的內、外角平分線分別交及其延長線于點，則___________

【答案】5【分析】根據CD是∠ACB的平分線，由三角形的面積可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分線，得出，進而得出②，兩式相加即可得出結論．【詳解】解：∵CD是∠ACB的平分線，∴∴∴，即①；∵CE是∠ACB的外角平分線，∴∴，即②；①+②，得．故答案為：5．【點睛】此題主要考查了比例的應用，熟練掌握比的性質是解答此題的關鍵．三、解答題19．（2020秋·九年級校考課時練習）已知線段AB=10cm，點C是AB上的黃金分割點，求AC的長是多少厘米？【答案】（）cm或（15?）cm【分析】根據黃金分割點的定義，知AC可能是較長線段，也可能是較短線段；則AC＝或AC＝10?（）＝15?．【詳解】解：根據黃金分割點的概念，應