2018年數(shù)學(xué)（北師大版選修1-2）練習(xí)312活頁作業(yè)8類比推理

活頁作業(yè)(八)類比推理1．下列說法正確的是()A．類比推理是由特殊到一般的推理B．合情推理的結(jié)論都是正確的C．歸納推理是由個(gè)別到一般的推理D．合情推理可以作為證明的步驟解析：根據(jù)合情推理的定義可知，合情推理得到的結(jié)論只是猜想，不可以作為證明的步驟，結(jié)論不一定正確，因此B，D錯．類比推理是由特殊到特殊的推理，而歸納推理是由特殊到一般的推理，故A錯，C正確．答案：C2．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，結(jié)論仍然正確的是()A．若一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交B．若一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直C．若兩條直線同時(shí)與第三條直線相交，則這兩條直線相交或平行D．若兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行解析：推廣到空間以后，對于A，C，D選項(xiàng)中的兩直線還有可能異面．答案：B3．下面使用類比推理，得到正確結(jié)論的是()A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：A中“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”，結(jié)論不正確；B中“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”，結(jié)論不正確；C中“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”，結(jié)論正確；D中“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”，結(jié)論不正確．答案：C4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足x2＋y2≤1，x≥0，y≥0的點(diǎn)P(x，y)的集合對應(yīng)的平面圖形的面積為eq\f(π,4)；類似地，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，滿足x2＋y2＋z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的點(diǎn)P(x，y，z)的集合對應(yīng)的空間幾何體的體積為()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)解析：類似地，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，滿足x2＋y2＋z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的點(diǎn)P(x，y，z)的集合對應(yīng)的空間幾何體的體積為球的體積的eq\f(1,8)，即eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(π,6).答案：B5．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為__________.解析：弄清平面幾何與立體幾何之間的類比關(guān)系，即面積→體積，是進(jìn)一步求解的關(guān)鍵．∵兩個(gè)正三角形是相似三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，∵兩個(gè)正四面體是相似幾何體，∴其體積之比為相似比的立方，即它們的體積比為1∶8.答案：1∶86．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同時(shí)為0)表示過原點(diǎn)的直線．類似地，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時(shí)為0)表示______________.解析：平面幾何中的直線類比到立體幾何中應(yīng)為平面，“過原點(diǎn)”類比后仍為“過原點(diǎn)”．因此應(yīng)得到：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時(shí)為0)表示過原點(diǎn)的平面．答案：過原點(diǎn)的平面7．通過圓與球的相似性，用圓的下列性質(zhì)(在同一圓中)類比球(同一球中)的有關(guān)性質(zhì)．(1)圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦；(2)與圓心距離相等的弦相等；(3)圓的周長C＝πd(d為直徑)；(4)圓的面積S＝πr2(r為半徑)．解：如下表所示.圓球圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不經(jīng)過球心的截面圓)圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的弦相等與球心距離相等的截面圓面積相等圓的周長C＝πd(d為直徑)球的表面積S＝πd2(d為球的直徑)圓的面積S＝πr2(r為半徑)球的體積V＝eq\f(4,3)πr3(r為球的半徑)8．如圖，已知O是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，并延長交對邊于A′，B′，C′.(1)求證：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1；(2)現(xiàn)運(yùn)用類比的思想，對于空間中的四面體V-BCD，存在什么類似的結(jié)論，并用“體積法”證明．(1)證明：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.(2)解：eq\f(OV′,VV′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝1，其中V′，B′，C′，D′為V，B，C，D四點(diǎn)與點(diǎn)O(四面體內(nèi)一點(diǎn))相連并延長后與所對面的交點(diǎn)．證明如下：因?yàn)閑q\f(VO-BCD,VV-BCD)＝eq\f(OV′,VV′)，eq\f(VO-VCD,VB-VCD)＝eq\f(OB′,BB′)，eq\f(VO-VBD,VC-VBD)＝eq\f(OC′,CC′)，eq\f(VO-VBC,VD-VBC)＝eq\f(OD′,DD′)，所以eq\f(OV′,VV′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝eq\f(VO-BCD,VV-BCD)＋eq\f(VO-VCD,VB-VCD)＋eq\f(VO-VBD,VC-VBD)＋eq\f(VO-VBC,VD-VBC)＝eq\f(VV-BCD,VV-BCD)＝1.1．向量的運(yùn)算常常與實(shí)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行類比，下列類比推理中結(jié)論正確的是()A．“若ac＝bc(c≠0)，則a＝b”類比推出“若a·c＝b·c(c≠0)，則a＝b”B．“在實(shí)數(shù)中有(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“在向量中有(a＋b)·c＝a·c＋b·c”C．“在實(shí)數(shù)中有(ab)c＝a(bc)”類比推出“在向量中有(a·b)·c＝a·(b·c)”D．“若ab＝0，則a＝0或b＝0”類比推出“若a·b＝0，則a＝0或b＝解析：由條件，得出(a－b)·c＝0，∴(a－b)與c垂直，則a＝b不一定成立，故A不正確；向量的數(shù)量積滿足分配律，故B正確；在向量中(a·b)·c與c共線，a·(b·c)與a共線，故C不正確；若a·b＝0，則a⊥b，顯然a＝0或b＝0不一定成立，故D不正確．答案：B2．在解數(shù)學(xué)題中，常會碰到形如“eq\f(x＋y,1－xy)”的結(jié)構(gòu)，這時(shí)可類比正切的和角公式．如：設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，且滿足eq\f(asin\f(π,5)＋bcos\f(π,5),acos\f(π,5)－bsin\f(π,5))＝taneq\f(8π,15)，則eq\f(b,a)＝()A．4 B．eq\r(15)C．2 D．eq\r(3)解析：eq\f(asin\f(π,5)＋bcos\f(π,5),acos\f(π,5)－bsin\f(π,5))＝eq\f(atan\f(π,5)＋b,a－btan\f(π,5))＝eq\f(tan\f(π,5)＋\f(b,a),1－\f(b,a)tan\f(π,5))＝taneq\f(8π,15)，類比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，可知只有當(dāng)eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)時(shí)，上式成立．答案：D3．已知結(jié)論“在三邊長都相等的△ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，G是△ABC外接圓的圓心，則eq\f(AG,GD)＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論“在六條棱長都相等的四面體A-BCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點(diǎn)，O為四面體A-BCD外接球的球心，則eq\f(AO,OM)＝__________”．解析：如圖，易知球心O在線段AM上，不妨設(shè)四面體A-BCD的棱長為1，外接球的半徑為R，則BM＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3)，AM＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)－R))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)，解得R＝eq\f(\r(6),4).于是，eq\f(AO,OM)＝eq\f(\f(\r(6),4),\f(\r(6),3)－\f(\r(6),4))＝3.答案：34．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，則am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m).類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，則可以得到bm＋n＝__________.解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d′，數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閍n＝a1＋(n－1)d′，bn＝b1qn－1，am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m)，所以類比得bm＋n＝eq\r(n－m,\f(dn,cm)).答案：eq\r(n－m,\f(dn,cm))5．在△ABC中，若AB⊥AC且AD⊥BC于D，則有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體A-BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由．解：猜想四面體A-BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD于E，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如圖所示，連接BE并延長交CD于F.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，AC⊥AD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正確．6．我們已經(jīng)學(xué)過了等差數(shù)列，你是否想過有沒有等和數(shù)列呢？(1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；(2)探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)，并加以說明；(3)在等和數(shù)列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等和數(shù)列．(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an.∴等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)也相等．(