《14.1 勾股定理》刷綜合

14.1綜合訓(xùn)練1.[2023江蘇蘇州姑蘇區(qū)期中，中]已知△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是().A.c2=a2?b2B.∠A：∠B：∠C=3：4：5C.a=7，b=24，c=25D.∠A=∠B?∠C2.[中]如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D在邊BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于點E.若AC=12，BC=16，則AE的長為().A.6B.8C.10D.123.[2023山東威海乳山期中，中]如圖是由單位長度均為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D都是網(wǎng)格線的交點，由其中任意三個點連接而成的三角形是直角三角形的個數(shù)為().A.1B.2C.3D.44.新考法[2023浙江溫州鹿城區(qū)期中，中]如圖(1)，將一個等腰三角形ABC紙板沿垂線段AD，DE進行剪切，得到三角形①②③，再按如圖(2)方式拼放，其中EC與BD共線.若BD=6，則AB的長為______.5.[2023陜西西安新城區(qū)調(diào)研，難]如圖，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B'處.當△CEB'為直角三角形時，BE的長為______.6.[2023江蘇南京秦準區(qū)調(diào)研，較難]如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，且S△ABC=40cm2.動點M從點B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止.設(shè)點M運動的時間為t(s).(1)當△DMN的邊與BC平行時，求t的值；(2)在點N的運動過程中，△ADN能否成為等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，請說明理由7.[2022吉林長春期末，難]如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線A?B?C運動.設(shè)點P的運動時間為t秒(t>0).(1)求AC的長(2)①當點P在BC上時，PC的長為______.(用含t的代數(shù)式表示)②若點P在∠BAC的平分線上，則t的值為______.(3)在整個運動過程中，寫出△PBC是等腰三角形時t的值，

參考答案1.B解析：A.∵c2=a2?b2，∴c2+b2=a2，∴△ABC是直角三角形，不符合題意.B.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=，∴△ABC不是直角三角形，符合題意.C.∵a2+b2=72+242=625，c2=252=625，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，不符合題意.D.∵∠A=∠B?∠C，∴∠A+∠C=∠B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=180°，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，不符合題意.2.C解析：在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理得AB===20.∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于點E，∴AE=BE=AB=10.故選C.3.B解析：連結(jié)AB，BD，AC，AD，CD.由勾股定理得AB2=22+12=5，AC2=22+42=20，BD2=32+42=25，AD2=CD2=12+32=10.∵BC2=52=25，∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，AB2+AD2≠BD2，BD2+CD2≠BC2，∴△ABC和△ADC是直角三角形，△ABD和△CBD不是直角三角形，即直角三角形有2個，故選B.4.解析：如圖(1)、圖(2)、∵△ABC為等腰三角形，BD=6，AD⊥BC，∴∠1=∠2，CD=6.∵∠2+∠3=∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.結(jié)合圖(1)和圖(2)，易得AB=AD+CD.設(shè)AB為x，根據(jù)勾股定理得，∴，解得x=，∴AB=.故答案為.5.或3解析：當△CEB'為直角三角形時，有以下兩種情況：①當∠CB'E=90°時，如圖(1)所示，連接AC.在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，所以AC2=42+32=25，則AC=5.因為∠B沿AE折疊，使點B落在點B'處，所以∠AB'E=∠B=90°.又因為∠CB'E=90°，所以點A，B'，C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B'處，則EB=EB'，AB=AB'=3，所以CB'=5?3=2.設(shè)BE=EB'=x，則CE=4?x.在Rt△CEB'中，因為EB'2+CB'2=CE2，所以x2+22=(4?x)2，解得x=，即BE=.②當點B'落在AD邊上時，如圖(2)所示.此時四邊形ABEB'為正方形，∠CEB'=90°，所以BE=AB=3.綜上所述，BE的長為或3.故答案為或3.6.解：(1)∵BD：AD：CD=2：3：4，∴設(shè)BD=2xcm，AD=3xcm，CD=4xcm，則AB=5xcm.，∵S△ABC=×AB×CD=40cm2，∴×5x×4x=40.∵x>0，∴x=2，∴BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=10cm，∴由勾股定理得AC==10cm，∴AB=AC，∴∠ACB=∠B當MN//BC時，∠ANM=∠ACB，∠AMN=∠B，∴∠ANM=∠AMN，∴AM=AN，∵AM=(10?t)cm，AN=tcm，∴10?t=t，∴t=5.當DN//BC時，同理可得AD=AN=6cm，∴t=6.綜上所述，當△DMN的邊與BC平行時，t的值為5或6.(2)△ADN能成為等腰三角形.分三種情況：當AN=AD=6cm時，t=6.當DN=AN時，∠ADN=∠A，∵CD⊥AB，∴∠CDN+∠ADN=90°，∠DCN+∠A=90°，∴∠CDN=∠DCN，∴CN=DN，∴AN=CN=AC=5cm，∴t=5.當ND=AD=6cm時，過D作DG⊥AC于點G，則NG=AG=AN.∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴S△ACD=AC?DG=AD?CD，∴DG=(cm)，∴AG==(cm)，∴cm，∴t=.綜上所述，t的值為5或6或時，△ADN是等腰三角形.7.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC2=AB2?BC2=102?62=82，∴AC=8.(2)①當點P在BC上時，AB+BP=2t，∴BP=2t?10，則PC=BC?BP=6?(2t?10)=6?2t+10=16?2t.故答案為16?2t.②當點P在∠BAC的平分線上時，過點P作PD⊥AB于點D，如圖(1)∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD=PC.由①知，PC=16?2t，BP=2t-10，∴PD=16?2t.在Rt△ACP和Rt△ADP中∴Rt△ACP≌Rt△ADP(H.L.)，∴AC=AD=8.又∵AB=10，∴BD=2.在Rt△BDP中，由勾股定理得22+(16?2t)2=(2t?10)2，解得t=，故答案為.(3)由題圖可知，當△BCP是等腰三角形時，點P必在線段AB上.①當BC=BP時，AP=AB?BP=AB?BC=10?6=4，∴2t=4，∴t=2.②當PC=BC時，如圖(2)，過點C作CH⊥AB于點H，則BP=2BH.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，AC=8，∴AB·CH=AC·BC，∴10CH=8×6，∴CH=4.8.在Rt△BCH中，由勾股定理得BH2=BC2?CH2=62?(4.8)2=3.62，∴BH=3.6，∴BP=2BH=7.2，∴AP=AB?BP=10?7.2=2.8，∴2t=2.8，∴t=1.4.③當PC=PB時，如圖(3)，過點P作PQ⊥BC于點Q，則BQ=CQ=BC=3，∠CPQ=∠BPQ，∠PQB=90°，∴∠ACB=∠PQB=90°，∴PQ∥AC∴∠A=∠QPB=∠CPQ.又∵∠CPB=∠A+∠ACP，∴∠A=∠ACP，