13.2.4 角邊角（重點(diǎn)練）解析版

13.2.4角邊角（重點(diǎn)練）一、單選題1．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AE＝BE B．DE⊥CE C．CD＝AD+BC D．CD＝AD+CE【答案】D【分析】根據(jù)直角梯形、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析、判斷,可得正確的選擇.【詳解】解:B,AD//BC,∠ADC+∠BCD=180,ED平分∠ADC,EC平分∠BCD,∠EDC=∠ADC,∠DCE=∠DCB,∠EDC+∠DCE=180=90,∠DEC=180-90=90,故B選項(xiàng)不符合題意；A、C選項(xiàng),延長DE交CB的延長線于點(diǎn)F.AD//BC,DE是∠ADC的角平分線,∠CDF=∠ADE=∠DFC,CD=CF,△CDF是等腰三角形;又由前面得DE⊥EC,DE=FE,又∠AED=∠BEF,△BEF≌△AED,AE=EB,故A選項(xiàng)不符合題意；AD=BF,又CD=CF，CD=CF=BC+BF=AD+BC,故C選項(xiàng)不符合題意,無法得出D選項(xiàng)，故本題答案：D【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì),平行線性質(zhì),及三角形全等的判定與性質(zhì),考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.2．（2019·廣東荔灣·金道中學(xué)）如圖，等腰梯形ABCD的對角線AC、BD相交于O，則圖中的全等三角形有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【分析】由等腰梯形的性質(zhì)可知，AB=CD，AC=BD，OA=OD，OB=OC，利用這些條件，就可以找圖中的全等三角形了，有三對．【詳解】∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD,AC=BD,OA=OD,OB=OC,AD∥CB，∴△AOB≌△DOC,△ABD≌△ACD,△ABC≌△DCB.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì),全等三角形的判定.解本題時(shí)應(yīng)先觀察圖，盡可能多的先找出圖中的全等三角形，然后根據(jù)已知條件進(jìn)行證明.二、填空題3．（2020·廣西全州·八年級期中）如圖，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，若BC＝AE＝4，DE＝7，則EC＝_____．【答案】3.【分析】先根據(jù)已知條件證明兩直角三角形全等,再根據(jù)全等的性質(zhì)定理得到相等的邊,結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】解:AC⊥BC,DE⊥AC∠ACB=∠DEA=90∠B+∠BAC=90AD⊥AB∠BAC+∠DAE=90∠B=∠DAEBC＝AE，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，△ABC≌△DAEAC=DE=7CE=AC-AE=3.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)和判定,需著重理解兩全等三角形的對應(yīng)關(guān)系.4．（2021·江西章貢·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C的路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別以每秒1cm和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過點(diǎn)P和Q作PE⊥MN于E，QF⊥MN于F．則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_____秒時(shí)，△PEC與△QFC全等．【答案】或．【分析】根據(jù)題意化成二種情況,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CP=CQ,代入得出關(guān)于t的方程,求出即可.【詳解】解:由題意得分為二種情況:如圖1,P在AC上,Q在BC上,PE⊥l,QF⊥l,∠PEC=∠QFC=90,ACB=90,∠EPC+∠PCE=90,∠PCE+∠QCF=90,∠EPC=∠QCF,則△PCE≌△CQF,PC=CQ,即5-t=12-3t,解得t=;當(dāng)P、Q均在AC上的時(shí)候，此時(shí)4＜t＜5，如圖：AP=5-t，CQ=3t-12，5-t=3t-12，解得t=；故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的對應(yīng)邊相等.5．（2019·全國八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD=3，DE=4，則BE=______．【答案】7【分析】根據(jù)垂直的定義與直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)可以推知△ACD≌△CBE（ASA）；最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等知CE=AD=3，由BE=CD=CE+ED求解．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CD，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE（等量代換）；∴在△ACD和△CBE中，AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD=∠CBE，∴△ACD≌△CBE（ASA），∴CE=AD=3（全等三角形的對應(yīng)邊相等），∴BE=CD=CE+ED=3+4=7；故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時(shí)，圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定對應(yīng)線段相等．三、解答題6．（2019·湖北蔡甸·八年級月考）如圖，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．若A(5，0)，B(－2，4)，C(m，n)，則(m＋n)(m－n)的值是__________.【答案】-18【分析】作CG⊥x軸于G、BF⊥CG于F，可由已知條件得出△ACG≌△CBF，可得CF=AG、BF=CG，可得m+n的值，m-n的值，可得答案.【詳解】解：作CG⊥x軸于G、BF⊥CG于F∠ACB=∠ACG+∠BCG=90、∠CBF+∠BCG=90∠ACG=∠CBFAC=BC△ACG≌△CBFCF=AG、BF=CG又A(5,0)、B(-2,4),C(m,n)n-4=5-m且m-(-2)=n-0,故m+n=9，m-n=-2(m＋n)(m－n)=9（-2）=-18.故答案：-18.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的證明與性質(zhì)，靈活做輔助線是解題的關(guān)鍵.7．（2019·湖北蔡甸·八年級月考）在△ABC中，AB＝AC，CD為AB邊上的高(1)如圖1，求證：∠BAC＝2∠BCD(2)如圖2，∠ACD的平分線CE交AB于E，過E作EF⊥BC于F，EF與CD交于點(diǎn)G．若ED＝m，BD＝n，請用含有m、n的代數(shù)式表示△EGC的面積【答案】（1）證明見解析；（2）（m+n）m．【分析】(1)過A作AE⊥BC于E,交CD于F,利用三線合一的性質(zhì),通過證明∠BAE=∠BCD來證明∠BCD=∠BAE=∠A;(2)過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P,求出∠BAP=∠PAC,求出∠BAP=∠PAC=∠BCD,∠ACE=∠ECD,推出2(∠BCD+∠ECD)=90,求出∠BCE=∠FEC=45,推出EF=FC,求出∠BEF=∠BAP=∠BCD,∠BFE=∠EFC=90,根據(jù)ASA證出△BFE≌△GFC,得BE=CG=m+n,即可得到結(jié)論.【詳解】證明：(1)如圖1，過A作AE⊥BC于E，交CD于F.證∠BAE=∠BCD．∴∠BAC=2∠BCD；(2)如圖2，過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P.∵AB=AC，∴∠BAP=∠PAC，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠ECD，∴∠ACE+∠PAC=45°∴∠DCB+∠DCE=45°∴∠FCE=45°，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°∴EF=FC，證△BFE≌△GFC（ASA），∴BE=CG=m+n，∴△EGC的面積=CG?DE=（m+n）m．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，綜合性較大.8．（2018·湖北青山·八年級期中）如圖，B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，AB∥DC，BC=DC，∠ACD=∠E.求證：（1）∠ACB=∠D；（2）AB=EC.【分析】由AB∥DC利用平行線的性質(zhì)可以得到∠A=∠ACD,由∠ACD=∠E，可得∠A=∠E，繼而可得∠ACB=∠D，由ACBD，AE，BCDC,由此可以證明△ABC≌△ECD,最后利用全等三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠ACD，∵∠ACD=∠E，∴∠A=∠E，∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=∠E+∠D+∠DCE=180°又∠ACD=∠E，∴∠ACB=∠D，（2）在△ABC和△ECD中，ACBD，AE，BCDC，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴AB=EC.【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,首先利用平行線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形的條件,然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.9．（2021·廣東惠城·八年級月考）探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥m于點(diǎn)D，CE⊥m于點(diǎn)E，求證：△ABD≌△CAE．應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：DE＝BD+CE．【分析】(1)根據(jù)BD⊥直線m,CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90,而∠BAC=90,根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA.則AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;(2)利用∠BDA=∠BAC=α,則∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α,得出∠CAE=∠ABD,進(jìn)而得出△ADB≌△CEA即可得出答案.【詳解】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS）；（2）設(shè)∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì):判定三角形全等的方法有“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”;本題得出∠CAE=∠ABD證三角形全等是解題關(guān)鍵.10．（2018·浙江杭州·八年級期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F均是射線BD上的點(diǎn)并且滿足AE＝AF，∠EAF＝90°．求證：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的條件下，求證：CF⊥BD；（3）由（1）我們知道∠AFB＝45°，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D的位置發(fā)生變化時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，連接AF．那么∠AFB的度數(shù)是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）∠AFB＝45°不變化，理由詳見解析.【分析】（1）易得∠BAE＝∠CAF，由已知AB＝AC、AE＝AF，可得△ABE≌△ACF；（2）由題意得∠ABE+∠BDA＝90°，由（1）得∠ABE＝∠ACF，又∠BDA＝∠CDF，可得答案；(3)∠AFB＝45°不變化，理由如下：過點(diǎn)A作AF的垂線交BM于點(diǎn)E，可證得△ABE≌△ACF，可得AE＝AF，△AEF是等腰直角三角形，∠AFB＝45°．【詳解】（1）∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（SAS）（2）∵∠BAC＝90°∴∠ABE+∠BDA＝90°，由（1）得△ABE≌△ACF∴∠ABE＝∠ACF∴∠BDA+∠ACF＝90°又∵∠BDA＝∠CDF∴∠CDF+∠ACF＝90°∴∠BFC＝90°∴CF⊥BD（3）∠AFB＝45°不變化，理由如下：過點(diǎn)A作AF的垂線交BM于點(diǎn)E∵CF⊥BD∴∠BAC＝90°∴∠ABD+∠BDA＝90°同理∠ACF+∠CDF＝90°∵∠CDF＝∠ADB∴∠ABD＝∠ACF同（1）理得∠BAE＝∠CAF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AE＝AF∴△AEF是等腰直角三角形∴∠AFB＝45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性大，靈活做輔助線證全等是解題的關(guān)鍵.11．（2018·福建省廈門集美中學(xué)八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，6），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，0）．（1）如圖1，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣2，0），BD⊥AC于D交y軸于點(diǎn)E．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下求證：OD平分∠CDB；（3）如圖2，點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)B右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作FG的垂線FH，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，S△AFH﹣S△FBG的值是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出相應(yīng)結(jié)果．【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）；（2）詳見解析；（3）S△AFH﹣S△FEG＝9不發(fā)生變化，理由詳見解析.【分析】（1）易得OA=OB,由∠ACO+∠CAO＝90°，∠BCD+∠CBE＝90°，可得∠CAO＝∠CBE，可證得△AOC≌△BOE，可得OE＝OC，可得E點(diǎn)左邊；（2）過點(diǎn)O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，由△AOC≌△BOE，可得S△AOC＝S△BOE，由AC＝BE，可得OM＝ON，所以點(diǎn)O一定在∠CDB的角平分線上，即OD平分∠CDB；（3））S△AFH﹣S△FEG＝9不發(fā)生變化，理由如下：連接OF，可證得△FOH≌△FBG，可得S△AOC＝S△BOE，可得S△AFH﹣S△FBG＝S△AFH﹣S△FOH＝S△FOA＝=9.【詳解】解：（1）∵x軸⊥y軸∴∠AOC＝∠BOE＝90°∴∠ACO+∠CAO＝90°∵BD⊥AC∴∠BCD+∠CBE＝90°∴∠CAO＝∠CBE，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，6），（6，0）∴OA＝OB＝6，在△AOC和△BOE中∴△AOC≌△BOE（ASA）∴OE＝OC，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0）∴OC＝OE＝2∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）（2）過點(diǎn)O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N∵△AOC≌△BOE∴S△AOC＝S△BOE，AC＝BE，∴AC?ON＝BC?OM∴OM＝ON，∴點(diǎn)O一定在∠CDB的角平分線上即OD平分∠CDB；（3）S△AFH﹣S△FEG＝9不發(fā)生變化，理由如下：連接OF∵△AOB是等腰直角三角形且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)∴OF⊥AB，OF＝FB，OF平分∠AOB∴∠OFB＝∠OFH+∠HFB＝90°又∵FG⊥FH∴∠HFG＝∠BFG+∠HFB＝90°∴∠OFH＝∠BFG∵∠FOB＝∴∠FOH＝∠FOB+∠HOB＝45°+90°＝135°又∵∠FBG＝180°﹣∠ABO＝180°﹣45°＝135°∴∠FOH＝∠FBG在△FOH和△FBG中∴△FOH≌△FBG（ASA）∴S△AOC＝S△BOE∴S△AFH﹣S△FBG＝S△AFH﹣S△FOH＝S△FOA＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性大，靈活做輔助線證全等是解題的關(guān)鍵.12．（2019·浙江柯橋·八年級期中）如圖，已知AD為△ABC的中線，延長AD，分別過點(diǎn)B，C作BE⊥AD，CF⊥AD．（1）求證：△BED≌△CFD．（2）若∠EAC=45°，AF=4，DC=5，求EF的長．【答案】（1）詳見解析；（2）6．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理AAS判定Rt△BDE≌Rt△CDF,（2）由Rt△BDE≌Rt△CDF,可得DE=DF由∠EAC=45°,∠CFA=90°,推出AF=CF=4,在Rt△DFC中,根據(jù)勾股定理可得:DF==3,由此即可解決問題.【詳解】（1）證明：∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD,又∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠E=∠CFD=90°,∴在Rt△BDE和Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）,∵∠EAC=45°,∠CFA=90°,∴AF=CF=4,在Rt△DFC中,DF===3,∴EF=2DF=6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL,以及三角形全等的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．13．（2018·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，AE=DE，延長ED交BC的延長線于點(diǎn)F.（1）求證：△BEF是等邊三角形；（2）若AB=12，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）DE=3．【分析】（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，可得∠B=60°，又D為AC中點(diǎn)，AE=DE，可得∠A=∠ADE=30°，可得∠BEF=60°，△BEF是等邊三角形.(2)在EF上截取FG=CF，連接CG,可證得△ADE≌△CDG，AE=CG設(shè)AE=x，可得BE=12-x，CF=CG=AE=x，BF=6+x，可求x的值，可得DE的長.【詳解】（1）A=30°，∠ACB=90°，，∴∠B=60°．∵AE=DE，∴∠A=∠ADE=30°，∴∠BEF=∠A+∠ADE=60°．∴△BEF是等邊三角形．（2）在EF上截取FG=CF，連接CG，∵∠F=60°，∴△CFG為等邊三角形．∴∠FGC=∠F=∠BEF=60°，∴∠AED=∠CGD，在△ADE和△CDG中，ADECDG，AEDCGD，ADCD，∴△ADE≌△CDG（AAS），∴AE=CG設(shè)AE=x，則BE=12-x，∵BC=6，∴CF=CG=AE=x，∴BF=6+x，∴12-x=6+x，，∴x=3，∴DE=3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形全等，注意靈活構(gòu)造輔助線證三角形全等.14．（2018·湖北青山·八年級期中）如圖1，點(diǎn)A(2，1)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，AC∥y軸，且AC=3，連接BC交y軸于點(diǎn)D.（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____；（2）如圖2，連接OC，OC平分∠ACB，求證：OB⊥OC；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P為OC上一點(diǎn)，且∠PAC=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）（-2，1）（2，4）；（2）見解析；（3）P（1,2）【分析】(1)由軸對稱可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由OC平分∠ACB，可得∠1=∠2，又∠3=∠2，可得CD=DO，CE⊥y軸于點(diǎn)E，連接AB交y軸于點(diǎn)F，可證的△CDE≌△BDF（AAS），可得CD=BD，BD=CD=OD，∠DBO=∠DOB，可得OB⊥OC；（3）連接BP，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱可得∠BAC=90，∠PAC=45，PA平分∠CAB，可證的OB=OP，可得△BOF≌△POQ（AAS）．可得PQ=BF=2，OQ=OF=1，P（1，2）.【詳解】（1）B（-2，1），C（2，4）．（2）∵OC平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵AC∥y軸，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴CD=DO．作CE⊥y軸于點(diǎn)E，連接AB交y軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，∴BF⊥y軸，∴∠CED=∠BFD，∵B（-2，1），C（2，4），∴CE=BF=2，在△CDE和△BDF中，CEDBFDCDEBDF，CEBF，∴△CDE≌△BDF（AAS）．∴CD=BD，∴BD=CD=OD，∴∠DBO=∠DOB，∵∠1+∠3+∠DBO+∠DOB=180°，∴∠3+∠DOB=90°，∴OB⊥OC；（3）連接BP，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，∴AB⊥y軸，∴∠BAC=90，∵∠PAC=45，∴PA平分∠CAB，∵OC平分∠ACB，∴BP平分∠ABC．∴∠BPC=135°，∴∠BPO=45°．∵∠BOP=90°，∴OB=OP，在△BOF和△POQ中，BFOPQO，BOFPOQ，OBOP，∴△BOF≌△POQ（AAS）．∴PQ=BF=2，OQ=OF=1，∴P（1，2）.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等及性質(zhì)，綜合性大，靈活構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.15．（2018·全國八年級期中）如圖，AD∥BC，∠ABC和∠BAD的平分線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E的直線分別交AD，BC于點(diǎn)D，C．求證：AB＝AD＋BC．【分析】在AB上截取AF＝AD.連接EF.可得△ADE≌△AFE.∠D＝∠AFE，可證的∠FBE＝∠CBE，△BFE≌△BCE，BF＝BC，可得AB＝AF＋BF＝AD＋BC，即AB＝AD＋BC.【詳解】證明：在AB上截取AF＝AD.連接EF.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠FAE.在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE.∴∠D＝∠AFE.∵∠AFE＋∠BFE＝180°，∴∠D＝∠BFE＝180°，∴∠BFE＝180°－∠D.∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠D，∴∠BFE＝∠C.∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠CBE，在△BFE和△BCE中，∴△BFE≌△BCE，∴BF＝BC，∴AB＝AF＋BF＝AD＋BC，即AB＝AD＋BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等，靈活做輔助線證全等是解題的關(guān)鍵，本題綜合性大，注意綜合運(yùn)用知識(shí)求解.16．（2020·廈門外國語學(xué)校瑞景分校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，CE⊥BD于E．(1)如圖（1），若BD平分∠ABC時(shí)，①求∠ECD的度數(shù)；②求證：BD＝2EC；(2)如圖（2），過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，猜想線段BE，CE，AF之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．【答案】(1)①22.5°;②見解析;(2)BE﹣CE＝2AF,理由見解析.【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CBA=45,再利用角平分線的定義解答即可;②延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G得出CE=GE,再利用AAS證明ΔABD≌ΔACG,利用全等三角形的性質(zhì)解答即可;(2)過點(diǎn)A作AH⊥AE,交BE于點(diǎn)H,證明ΔABH≌ΔACE,進(jìn)而得出CE=BH,利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)解答即可.【詳解】解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠CBA＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA＝22.5°，∵CE⊥BD，∴∠ECD+∠CDE＝90°，∠DBA+∠BDA＝90°，∵∠CDE＝∠BDA，∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°；②延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G，如圖1：∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，∴CE＝GE，在△ABD與△ACG中，,∴△ABD≌△ACG（AAS），∴BD＝CG＝2CE；（2）結(jié)論：BE﹣CE＝2AF．過點(diǎn)A作AH⊥AE，交BE于點(diǎn)H，如圖2：∵AH⊥AE，∴∠BAH+∠HAC＝∠HAC+∠CAE，∴∠BAH＝∠CAE，在△ABH與△ACE中，∴△ABH≌△ACE（ASA），∴CE＝BH，AH＝AE，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AF＝EF＝HF，∴BE﹣CE＝2AF．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì),正確的構(gòu)建出與所求和已知相關(guān)的全等三角形,是解答本題的關(guān)鍵.17．（2020·江西新余·）如圖，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．(1)如圖1，若∠B＝∠C＝90°，求證：AE平分∠DAB；(2)如圖2，若DE⊥AE，求證：AD＝AB+CD．【分析】（1）延長DE交AB的延長線于F，易得AB∥CD，∠CDE＝∠F，又E是BC的中點(diǎn)，可得E是BC的中點(diǎn)，△CDE≌△BFE，可得DE＝FE，由已知DE平分∠ADC，可得∠CDE＝∠ADE，∠ADE＝∠F，AD＝AF，可得結(jié)論.（2）在DA上截取DF＝DC，連接EF,同理可得△CDE≌△FDE，可得CE＝FE，∠CED＝∠FED，又E是BC的中點(diǎn)，可得FE＝BE，可證得∠AEF＝∠AEB，可得△AEF≌△AEB可得AF＝AB，AD＝AF+DF＝AB+CD．【詳解】解：（1）如圖1，延長DE交AB的延長線于F，∵∠ABC＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，又∵E是BC的中點(diǎn)，∴E是BC的中點(diǎn)，∴△CDE≌△BFE（AAS），∴DE＝FE，即E為DF的中點(diǎn)，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F，∴AD＝AF，∴AE平分∠DAB；（2）如圖2，在DA上截取DF＝DC，連接EF，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠FDE，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE（SAS），∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，又∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∴FE＝BE，∵∠AED＝90°，∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠AEB，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活做輔助線是解題的關(guān)鍵.18．（2018·湖北武漢·八年級期中）如圖，CD和BE是△ABC的兩條高，∠BCD＝45°，BF＝FC，BE與DF、DC分別交于點(diǎn)G、H，∠ACD＝∠CBE．(1)證明：AB＝BC；(2)判斷BH與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)結(jié)合已知條件，觀察圖形，你還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請寫出兩個(gè)（不與前面結(jié)論相同）．【答案】(1)見解析;(2)BH＝2AE;(3)DF平分∠BDC，DF⊥BC，DG＝DH等.【分析】(1)由CD和BE是ΔABC的兩條高,于是得到∠A=∠ACD+∠A=90,于是得到∠ABE=∠ACD,因?yàn)椤螦CD=∠CBE,折疊∠ABE=∠CBE,通過ΔBAE≌ΔBCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BA=BC,于是得到結(jié)論;(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD=DC證得ΔBDH≌ΔCDA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=AC,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AE,BH=2AE,即可得到結(jié)論;(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),即可得到DF平分∠BDC,DF⊥BC.根據(jù)等角的余角相等,即可得出DG=DH,【詳解】解：（1）∵CD和BE是△ABC的兩條高，∴∠ACD+∠A＝90°＝∠ABE+∠A，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ACD＝∠CBE，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠BEA＝∠BEC＝90°，在△BAE與△BCE中，∴△BAE≌△BCE（AAS），∴BA＝BC；(2）BH＝2AE，理由：∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDH＝∠CDA＝90°，在△BDH與△CDA中，∴△BDH≌△CDA（AAS），∴BH＝AC，∵BE⊥AC，∴AC＝2AE，∴BH＝2AE；（3）存在：DF平分∠BDC，DF⊥BC，DG＝DH等．理由：∵△BCD是等腰直角三角形，BF＝CF，∴DF平分∠BDC，DF⊥BC；∵∠ABE＝∠CBE，∠BDH＝∠BFG＝90°，∴∠BHD＝∠BGF＝∠DGH，∴DG＝DH．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì).19．（2019·沈陽市第七中學(xué)文藝路學(xué)校八年級期末）已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM,△CBN都是等邊三角形，AM=AC=CM，BC=CN=BN，∠ACM=∠BCN=60°，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F.(1)求證：AN=BM;(2)求證：判斷△CEF形狀【答案】（1）證明見解析；（2）△CEF是等邊三角形，理由見解析.【分析】（1）由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，進(jìn)而可由SAS得到△ACN≌△MCB，結(jié)論得證；（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，進(jìn)而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形．【詳解】（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM；（2）△CEF是等邊三角形，理由：∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN=∠CMB，又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE，在△CAE和△CMF中，，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，要求能夠掌握并熟練運(yùn)用．20．（2018·武漢市第六中學(xué)八年級月考）若a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc．點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作∠FDE＝120°，角的兩邊分別與直線AB和BC相交于點(diǎn)F和點(diǎn)E（1）試判斷△ABC的形狀，說明理由（2）如圖1，將△ABC圖形中∠FDE＝120°繞頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)兩邊DF、DE分別與邊AB和射線BC相交于點(diǎn)F、E時(shí)，三線段BE、BF、AB之間存在什么關(guān)系？證明你的結(jié)論（3）如圖2，當(dāng)角兩邊DF、DE分別與射線AB和射線BC相交兩點(diǎn)F、E時(shí)，三線段BE、BF、AB之間存在什么關(guān)系【答案】(1)△ABC為等邊三角形,理由見詳解；（2）3AB=2(BE+BF)，證明見詳解；（3）3AB=2(BE-BF).【分析】(1)a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，等式兩邊同時(shí)乘以2,可得，可得△ABC為等邊三角形；（2）連接BD，過D點(diǎn)作DG⊥BC，延長BG至H點(diǎn)，使得BG=GH，可證得△BDF≌△HDE，BF=EH，由BH=BE+EH，可得BE、BF、AB之間的關(guān)系；（3）同理連接BD，過D點(diǎn)作DG⊥BC，延長BG至H點(diǎn)，使得BG=GH，可證得△BDF≌△HDE，BF=EH，由BH=BE-EH，可得BE、BF、AB之間的關(guān)系；【詳解】解：（1）由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，等式兩邊同時(shí)乘以2，可得2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，可得a2＋b2-2ab+b2+c2-2bc+b2+c2-2ac=0，a=b=c，△ABC為等邊三角形;(2)如圖：連接BD，，過D點(diǎn)作DG⊥BC，延長BG至H點(diǎn)，使得BG=GH，易得DG為線段BH點(diǎn)的中垂線，BD=DH易得∠DBC=∠ABD=30，∠H=30，∠BDH=120,∠FDE＝120°,∠BDE為∠FDE與∠BDH的公共角∠BDF＝∠EDH,在△BDF與△EDH中，∠ABD=∠H；BD=DH；∠BDF＝∠EDH△BDF≌△HDEBF=EH,又AD=DC=AC=AB,∠ACB=60GC=DC=AB,BG=AB-AB=ABBG=GH,BH=BE+EH,2AB=BE+EH,AB=BE+BF，即：3AB=2(BE+BF);(3)如圖：同理連接BD，，過D點(diǎn)作DG⊥BC，延長BG至H點(diǎn)，使得BG=GH，易得DG為線段BH點(diǎn)的中垂線，BD=DH可得△BDF≌△HDEBF=EH可得：BH=BE-EH，AB=BE-BF，即3AB=2(BE-BF).【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及證三角形全等，靈活構(gòu)造輔助線證三角形全等是解題的關(guān)鍵.21．（2018·湖北青山·八年級期中）在△ABC中，AB=AC，∠CAB=50°.在△ABC的外側(cè)作直線AP，作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)D，連接BD，CD，AD，其中BD交直線AP于點(diǎn)E．（1）如圖1，與AD相等的線段是_____；（2）如圖2，若∠PAC=20°，求∠BDC的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)65°<∠PAC<130°時(shí)，作AF⊥CE于點(diǎn)F，若EF=1，BE=5，求DE的長．【答案】（1）AC，AB；（2）25°；（3）7.【分析】(1)易得與AD相等的線段是AC，AB；（2）由點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AP對稱可得∠DAP=∠CAP=20°，∠DAC=40°∠ADC=70°，由（1）AD=AB,可得△ADB為等腰直角三角形，∠ADB=45°，可得∠BDC的度數(shù)；(3)在CE上截取GF=EF，連接AG，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AP對稱可得：AD=AC，∠ADE=∠ACE，可證的△ACG≌△ABE，得DE=CE=CG+2EF=BE+2EF=7.【詳解】（1）如圖1，與AD相等的線段是AC，AB；（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AP對稱，∴AD=AC，∠DAP=∠CAP=20°，∴∠DAC=40°，∠ADC=70°又∠CAB=50°，∴∠DAB=90°，∵AC=AB，∴AD=AB，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=25°；（3）在CE上截取GF=EF，連接AG，∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AP對稱,∴AD=AC，∠ADE=∠ACE，∵AD=AC=AB，∴∠ADB=∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，∵AF⊥CE，GF=EF，∴AG=AE，∴∠AGE=∠AEB，∵∠AED=∠AEG，∴∠AGE=∠AED，∴∠AGC=∠AEB在△ACG和△ABE中，ACGABD，AGCAEB，ACAB，∴△ACG≌△ABE（AAS），∴BE=CG，∵BE=5，CE=1，∴DE=CE=CG+2EF=BE+2EF=7.【點(diǎn)睛】本題主要考查對稱的性質(zhì)，等腰三角形及三角形全等，綜合性大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解.22．（2018·湖北青山·八年級期中）如圖1，在五邊形ABCDE中，∠E=90°，BC=DE.連接AC，AD，且AB=AD，AC⊥BC.（1）求證：AC=AE；（2）如圖2，若∠ABC=∠CAD，AF為BE邊上的中線，求證：AF⊥CD；（3）如圖3，在（2）的條件下，AE=6，DE=4，則五邊形ABCDE的面積為_____.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）42【分析】(1)由已知可得Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得結(jié)論；（2）延長AF，BC交于點(diǎn)G，連接CG，可得∠G=∠EAG，可證明得：△AEF≌△GBF（AAS），可得AE=BG，∠ABG=∠CAD，可證明得△ABG≌△DAC（SAS），∠G=∠ACD，可得結(jié)論；(3)在（2）的條件下，AE=6，DE=4，則五邊形ABCDE的面積為42.【詳解】（1）∵AC⊥BC，，∴∠ACB=90°=∠E．在Rt△ABC和Rt△ADE中，ABAD，BCDE，∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），∴AC=AE.（2）延長AF，BC交于點(diǎn)G，∵∠ABC=∠CAD，∠BAC=∠DAE，∴∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB，，∴BG∥AE，∴∠G=∠EAG，在△AEF和△GBF中，AFEGFB，EAFG，EFBF，∴△AEF≌△GBF（