第12章整式的乘除（章節(jié)復(fù)習(xí)）（難點練）解析版

第12章整式的乘除（章節(jié)復(fù)習(xí)）（難點練）一、單選題1．（2020·全國八年級課時練習(xí)）當(dāng)a<0，n為正整數(shù)時，（－a）5·（－a）2n的值為（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)【答案】A【解析】（－a）5·（－a）2n=（－a）2n+5，因為a<0，所以－a>0，所以（－a）2n+5>0，故選A．2．（2020·全國八年級單元測試）把多項式分解因式正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要點，根據(jù)平方差公式：，分解因式為：.故選B.3．（2021·全國八年級專題練習(xí)）如果多項式能用公式法分解因式，那么k的值是()A．3 B．6 C． D．【答案】D【詳解】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一個完全平方式，所以.故選D.4．（2021·全國八年級專題練習(xí)）已知（）.A．3 B．-3 C．5 D．-5【答案】A【分析】觀察已知m2-m-1=0可轉(zhuǎn)化為m2-m=1，再對m4-m3-m+2提取公因式因式分解的過程中將m2-m作為一個整體代入，逐次降低m的次數(shù)，使問題得以解決．【詳解】∵m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴m4-m3-m+2=m2(m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3，故選A．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是將m2-m作為一個整體出現(xiàn)，逐次降低m的次數(shù).5．（2021·全國八年級專題練習(xí)）若，，則下列結(jié)論正確是（）A．a(chǎn)＜b B． C．a(chǎn)＞b D．【答案】B【詳解】，故選B.【點睛】本題考查了有關(guān)冪的運(yùn)算、冪的大小比較的方法，一般說來，比較幾個冪的大小，或者把它們的底數(shù)變得相同，或者把它們的指數(shù)變得相同，再分別比較它們的指數(shù)或底數(shù).6．（2021·全國八年級專題練習(xí)）已知a，b，c是三角形的三邊，那么代數(shù)式a2-2ab+b2-c2的值（）A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能確定【答案】C【詳解】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．∵a，b，c是三角形的三邊．∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．∴a2-2ab+b2-c2＜0．故選C．7．（2021·全國八年級專題練習(xí)）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都為整數(shù)，則這樣的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．12【答案】C【詳解】分析：根據(jù)整式的乘法和因式分解的逆運(yùn)算關(guān)系，按多項式乘以多項式法則把式子變形，然后根據(jù)p、q的關(guān)系判斷即可.詳解：∵(x＋p)(x＋q)=x2＋（p+q）x+pq=x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值為11.故選C.點睛：此題主要考查了整式乘法和因式分解的逆運(yùn)算的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)整式的乘法還原因式分解的關(guān)系式，注意分類討論的作用.8．（2019·啟東市百杏中學(xué)八年級期中）若的計算結(jié)果中不含x的一次項，則m的值是（）A．1 B．-1 C．2 D．-2．【答案】A【分析】根據(jù)多項式相乘展開可計算出結(jié)果.【詳解】=x2+(m-1)x-m，而計算結(jié)果不含x項，則m-1=0，得m=1.【點睛】本題考查多項式相乘展開系數(shù)問題.9．（2018·全國八年級單元測試）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，則此三角形是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．不能確定【答案】B【分析】運(yùn)用因式分解，首先將所給的代數(shù)式恒等變形；借助非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c，即可解決問題．【詳解】∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0；∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC為等邊三角形．故選B．【點睛】本題考查了因式分解及其應(yīng)用問題．解題的關(guān)鍵是牢固掌握因式分解的方法，靈活運(yùn)用因式分解來分析、判斷、推理活解答．10．（2018·河南許昌·八年級期末）在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，現(xiàn)將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2．則S1﹣S2的值為（）A．-1 B．b﹣a C．-a D．﹣b【答案】D【分析】利用面積的和差分別表示出S1、S2，然后利用整式的混合運(yùn)算計算它們的差.【詳解】∵∴故選D.【點睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，計算量比較大，注意不要出錯，熟練掌握整式運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.二、填空題11．（2019·廣東八年級期末）現(xiàn)在生活人們已經(jīng)離不開密碼，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式，因式分解的結(jié)果是，若取，時則各個因式的值是：，，，把這些值從小到大排列得到，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取，時，請你寫出用上述方法產(chǎn)生的密碼_________．【答案】101030【分析】把所求的代數(shù)式分解因式后整理成條件中所給出的代數(shù)式的形式，然后整體代入即可．【詳解】4x3?xy2＝x（4x2?y2）＝x（2x＋y）（2x?y），當(dāng)x＝10，y＝10時，x＝10；2x＋y＝30；2x?y＝10，把它們從小到大排列得到101030．用上述方法產(chǎn)生的密碼是：101030．故答案為：101030．【點睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，讀懂題目信息，正確進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵，還考查了代數(shù)式求值的方法，同時還隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力．12．（2021·全國八年級課時練習(xí)）（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×________.【答案】（a-b+x-y）【詳解】運(yùn)用公因式的概念，把多項式（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2運(yùn)用提取公因式法因式分解（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.故答案為（a-b+x-y）.點睛：此題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是根據(jù)找公因式的方法，確定公因式，注意符號的變化.13．（2021·全國八年級專題練習(xí)）任何一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n＝s×t(s，t是正整數(shù)，且s≤t)，如果p×q在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定：、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6這三種，這時就有．給出下列關(guān)于F(n)的說法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一個整數(shù)的平方，則F(n)＝1．其中正確說法的有_____．【答案】2【分析】把2，24，27，n分解為兩個正整數(shù)的積的形式，找到相差最少的兩個數(shù)，讓較小的數(shù)除以較大的數(shù)，看結(jié)果是否與所給結(jié)果相同．【詳解】∵2=1×2，∴F（2）=，故（1）是正確的；∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，這幾種分解中4和6的差的絕對值最小，∴F（24）==，故（2）是錯誤的；∵27=1×27=3×9，其中3和9的絕對值較小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是錯誤的；∵n是一個完全平方數(shù)，∴n能分解成兩個相等的數(shù)，則F（n）=1，故（4）是正確的，∴正確的有（1），（4）．故答案為2．【點睛】本題考查了題目信息獲取能力，解決本題的關(guān)鍵是理解答此題的定義：所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對值最小，F(xiàn)（n）=（p≤q）．14．（2021·全國八年級專題練習(xí)）把方程x2+4xy﹣5y2＝0化為兩個二元一次方程，它們是_____和_____．【答案】x+5y＝0x﹣y＝0【分析】通過十字相乘法,把方程左邊因式分解,即可求解.【詳解】∵x2+4xy﹣5y2＝0，∴(x+5y)(x﹣y)＝0，∴x+5y＝0或x﹣y＝0，故答案為x+5y＝0和x﹣y＝0．【點睛】該題重點考查了因式分解中的十字相乘法,能順利的把方程左邊因式分解是解題的關(guān)鍵所在.十字相乘法相關(guān)的知識點是:必須是二次三項式,并且符合拆解的原則,即可利用十字相乘分解因式.15．（2021·全國八年級專題練習(xí)）如圖，有一張邊長為x的正方形ABCD紙板，在它的一個角上切去一個邊長為y的正方形AEFG，剩下圖形的面積是32，過點F作FH⊥DC，垂足為H.將長方形GFHD切下，與長方形EBCH重新拼成一個長方形，若拼成的長方形的較長的一邊長為8，則正方形ABCD的面積是____.【答案】36.【分析】根據(jù)題意列出，求出x-y=4，解方程組得到x的值即可得到答案.【詳解】由題意得：∵，∴x-y=4，解方程組，得，∴正方形ABCD面積為，故填：36.【點睛】此題考查平方差公式的運(yùn)用，根據(jù)題意求得x-y=4是解題的關(guān)鍵，由此解方程組即可.16．（2021·全國八年級專題練習(xí)）如果關(guān)于的二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，那么的值可以是_________.（填出符合條件的一個值）【答案】5【分析】根據(jù)前兩項，此多項式如用十字相乘方法分解，m應(yīng)是3或-5；若用完全平方公式分解，m應(yīng)是4，若用提公因式法分解，m的值應(yīng)是0，排除3、-5、4、0的數(shù)即可.【詳解】當(dāng)m=5時，原式為，不能因式分解，故答案為：5.【點睛】此題考查多項式的因式分解方法，熟記每種分解的因式的特點及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟練運(yùn)用解題.三、解答題17．（2020·青島超銀中學(xué)八年級月考）分式求值有許多技巧，我們要充分觀察題目的特點，對分式進(jìn)行靈活變形．如：已知，求的值．解：因為，所以，即，所以．仿照上面這種方法，完成下面各題：已知，（1）求；（2）求．【答案】（1）3；（2）．【分析】（1）仿照題干中的例子，先求出，然后根據(jù)完全平方公式對所求變形，最后整體代入進(jìn)行計算即可；（2）首先分子分母同時除以，然后直接利用（1）中的結(jié)果整體代入即可．【詳解】（1），，∴；（2）∴．【點睛】本題主要考查分式求值，讀懂題意并掌握完全平方公式及整體代入法是解題的關(guān)鍵．18．（2020·右玉縣第三中學(xué)校八年級月考）如圖，將一個邊長為的正方形圖形分割成四部分，觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖中條件，請用兩種方法表示該陰影圖形的總面積方法1：_________________方法2__________________；由此可得等量關(guān)系：______________________________；應(yīng)用該等量關(guān)系解決下列問題：（2）若圖中的a，b（）滿足，，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）；；；（2）；（3），【分析】（1）根據(jù)圖形和圖形中的數(shù)據(jù)可以用代數(shù)式表示出陰影部分的面積；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果可以求得a＋b的值；（3）根據(jù)a2?4a＋1＝0，通過變形可以求得所求式子的值．【詳解】（1）由題意可得，陰影圖形的總面積方法1：a2＋b2，方法2：（a＋b）2?2ab，∴a2＋b2＝（a＋b）2?2ab，故答案為：a2＋b2；（a＋b）2?2ab；a2＋b2＝（a＋b）2?2ab；（2）∵a，b（a＞b）滿足a2＋b2＝38，ab＝13，∴38＝（a＋b）2?2×13，解得，a＋b＝8或a＋b＝?8（舍去），即a＋b的值是8；（3）∵a2?4a＋1＝0，∴a?4＋＝0，∴a＋＝4，∴（a＋）2＝16，∴a2＋2＋＝16，∴a2＋＝14．【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確完全平方公式運(yùn)算的計算方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．19．（2019·重慶八中）閱讀下列材料：1637年笛卡爾在其《幾何學(xué)》中，首次應(yīng)用“待定系數(shù)法”將四次方程分解為兩個二次方程求解，并最早給出因式分解定理．他認(rèn)為：對于一個高于二次的關(guān)于x的多項式，“是該多項式值為0時的一個解”與“這個多項式一定可以分解為（）與另一個整式的乘積”可互相推導(dǎo)成立．例如：分解因式．∵是的一個解，∴可以分解為與另一個整式的乘積．設(shè)而，則有，得，從而運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問題：（1）①運(yùn)用上述方法分解因式時，猜想出的一個解為_______（只填寫一個即可），則可以分解為_______與另一個整式的乘積；②分解因式；（2）若與都是多項式的因式，求的值．【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②；（2）3【分析】（1）①計算當(dāng)x=-1時，方程成立，則必有一個因式為（x+1）,即可作答；②根據(jù)待定系數(shù)法原理先設(shè)另一個多項式，然后根據(jù)多項式乘多項式的計算即可求得結(jié)論；（2））設(shè)（其中M為二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，然后列方程組求解即可．【詳解】解：（1）①，觀察知，顯然x=-1時，原式=0，則的一個解為x=-1；原式可分解為（x+1）與另一個整式的積．故答案為：x=-1；（x+1）②設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b∴a+1=0

，a=-1，b=3∴多項式的另一因式為x2-x+3．∴．（2）設(shè)（其中M為二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，∴可得，∴②-①，得m-n=3∴的值為3．【點睛】本題考查了分解因式，正確理解題意，利用待定系數(shù)法和多項式乘多項式的計算法則求解是解題的關(guān)鍵．20．（2020·太原市晉澤中學(xué)校八年級月考）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．在初中數(shù)學(xué)課本中重點介紹了提公因式法和運(yùn)用公式法兩種因式分解的方法，其中運(yùn)用公式法即運(yùn)用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2進(jìn)行分解因式，能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍．當(dāng)一個二次三項式不能直接運(yùn)用完全平方公式分解因式時，可應(yīng)用下面方法分解因式，先將多項式ax2+bx+c（a≠0）變形為a（x+m）2+n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式ax2+bx+c的配方法．再運(yùn)用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進(jìn)行分解因式．例如：x2+8x+7=x2+8x+16-16+7=(x+4）2-9=(x+4+3)(x+4-3)=(x+7)(x+1)根據(jù)以上材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：（1）利用“多項式的配方法”將x2+2x-3化成a（x+m）2+n的形式為_______；（2）請你利用上述方法因式分解：①x2+6x+8；②x2-6x-7．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）將x2+2x-3變成x2+2x+1-4即可求得；（2）①將x2+6x+8變?yōu)閤2+6x+9-9+8的形式，再利用平方差即可進(jìn)行因式分解；②將x2-6x-7變?yōu)閤2-6x+9-9-7的形式再運(yùn)用平方差即可進(jìn)行因式分解；【詳解】解：（1）==；（2）①====②====【點睛】本題考查因式分解的方法，熟練掌握運(yùn)用配方法對多項式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.21．（2019·東北師大附中明珠學(xué)校八年級期中）定義：對于依次排列的多項式，，，，（，，，是常數(shù)），當(dāng)它們滿足，且為常數(shù)是，則稱，，，是一組平衡數(shù)，是該組平衡數(shù)的平衡印子，例如：對于多項式，，，，因為，所以，，，是一組平衡數(shù)，是該組平衡數(shù)的平衡因子，（1）已知，，，是一組平衡數(shù)，求該組平衡數(shù)的平衡因子；（2）若，，，是一組平衡數(shù)，則；（3）當(dāng)，，，之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時，他們是一組平衡數(shù)，并說明理由．【答案】（1）-10；（2）-3；（3），證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)定義計算M的值；

（2）將，，，分別帶入多項式中，依據(jù)定義計算出m的值即可；

（3）根據(jù)定義化簡計算，可得a，b，c，d之間滿足的數(shù)量關(guān)系式．【詳解】解：（1）由題意有：M==18-28=-10（2）∵，，，是一組平衡數(shù)，∴的結(jié)果為常數(shù)∵=-x-12-(2+m)x-2m，∴2+m=-1，解的m=-3故答案為：-3（3）證明：假設(shè)，，，是平衡數(shù)，則結(jié)果為常數(shù)，原式=x2+(d+a)x+ad-[x2+(c+d)x+ba]=(d+a)x-(c+d)x+ad-ba=[(d+a)-(c+d)]x+ad-ba結(jié)果為常數(shù)，，．【點睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值及新定義問題，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．22．（2020·哈爾濱市第三十九中學(xué)校八年級期中）如圖，哈市某小區(qū)有一塊長為（2a+3b）米，寬為（2a-b）米的長方形地塊，角上有四個邊長為a米的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進(jìn)行綠化．（a>b）（1）用含有a、b的式子表示綠化的總面積；（結(jié)果寫成最簡形式）；（2）若a=20，b=10，求出當(dāng)時綠化的總面積；（3）在（2）的條件下，開發(fā)商找來甲、乙兩綠化隊完成此項綠化任務(wù).已知甲隊每小時可綠化6平方米，乙隊每小時綠化4平方米，若要求甲隊的工作時間不超過乙隊的工作時間，則甲隊至多工作多少小時？【答案】（1）（）平方米；（2）500平方米；（3）50小時．【分析】（1）根據(jù)矩形和正方形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）把把a(bǔ)=20，b=10代入（1）的代數(shù)式即可得到結(jié)論；（3）設(shè)甲隊至多工作x小時，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）答：綠化的總面積為（）平方米；（2）把a(bǔ)=20，b=10代入得：（平方米）答：當(dāng)時綠化的總面積為500平方米；（3）設(shè)甲隊至多工作x小時∵要求甲隊的工作時間不超過乙隊的工作時間∴甲隊至多工作的時間=乙隊的工作時間∴乙隊的工作時間為x小時∴答：甲隊至多工作50小時．【點睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．23．（2019·廣東廣州市白云區(qū)六中珠江學(xué)校八年級期中）我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．∵∴，∴當(dāng)時，有最小值-4．請根據(jù)上述方法，解答下列問題（1）求代數(shù)式的最小值；（2）求證：無論、取任何實數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)；（3）已知為實數(shù)，求代數(shù)式的最小值．【答案】（1）有最小值；（2）證明見解析；（3）有最小值．【分析】（1）通過配方可得：，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得答案；（2）把原式通過配方化為：，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：從而可得結(jié)論；（3）利用配方法把原式化為：再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：（1）當(dāng)時，有最小值．（2）無論、取任何實數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)；（3）當(dāng)時，有最小值．【點睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用配方法求代數(shù)式的最值，因式分解的應(yīng)用，掌握利用完全平方式的特點進(jìn)行配方是解題的關(guān)鍵．24．（2020·湖北孝感·）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到，請解答下列問題（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（2）根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，通過計算驗證上述等式；（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，則（4）小明同學(xué)用圖3中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形張邊長分別為的長方形紙片拼出一個面積為長方形，則【答案】（1）；（2）見解析；（3）30；（4）156．【分析】（1）利用整體法求解正方形的面積為，利用分割法求解正方形的面積為：，從而可得答案；（2）利用多項式乘以多項式的法則把左邊通過計算展開，合并同類項后可得結(jié)論；（3）利用變形公式：，再整體代入即可得到答案；（4）由題意可得，所拼圖形的面積為:，再利用整式的乘法運(yùn)算法則計算：，由面積相等可得的值，從而可得答案．【詳解】解：（1）正方形的面積;正方形的面積故答案為:（2）證明：（3）故答案為:（4）由題可知，所拼圖形的面積為:故答案為：【點睛】本題考查的是乘法公式的幾何意義，整式的乘法運(yùn)算，公式的應(yīng)用能力，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．25．（2021·全國八年級專題練習(xí)）我們常利用數(shù)形結(jié)合思想探索整式乘法的一些法則和公式．類似地，我們可以借助一個棱長為的大正方體進(jìn)行以下探索：（1）在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖1所示，則得到的幾何體的體積為________；（2）將圖1中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖2所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡）（3）將表示長方體①、②、③的體積相加，并將得到的多項式分解因式的結(jié)果為________；（4）用不同的方法表示圖1中幾何體的體積，可以得到的等式為________．（5）已知，，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）【分析】（1）由大的正方體的體積為截去的小正方體的體積為從而可得答案；（2）由利用長方體的體積公式直接可得答案；（3）提取公因式，即可得到答案；（4）由（1）（3）的結(jié)論結(jié)合等體積的方法可得答案；（5）利用先求解再利用，再整體代入求值即可得到答案．【詳解】解：（1）由大的正方體的體積為截去的小正方體的體積為所以截去后得到的幾何體的體積為：故答案為：（2）由長方體的體積公式可得：長方體②的體積為，所以長方體③的體積為故答案為：，（3）由題意得：故答案為：（4）由（1）（3）的結(jié)論，可以得到的等式為：故答案為：（5），，，【點睛】本題考查的是完全平方公式的變形，提公因式分解因式，代數(shù)恒等式的幾何意義，掌握利用不同的方法表示同一個幾何體的體積得到代數(shù)恒等式，以及應(yīng)用得到的恒等式解決問題是解題的關(guān)鍵．26．（2021·全國八年級專題練習(xí)）因為,令=0,則（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反過來,x＝2能使多項式的值為0．利用上述閱讀材料求解：（1）若x﹣4是多項式x2+mx+8的一個因式,求m的值;（2）若（x﹣1）和（x+2）是多項式的兩個因式,試求a,b的值;（3）在（2）的條件下,把多項式因式分解的結(jié)果為．【答案】（1）m=-6;（2）；（3）(x-1)(x+2)(x-3)【分析】（1）由已知條件可知，當(dāng)x=4時，x2+mx+8=0，將x的值代入即可求得；

（2）由題意可知，x=1和x=-2時，x3+ax2-5x+b=0，由此得二元一次方程組，從而可求得a和b的值；

（3）將（2）中a和b的值代入x3+ax2-5x+b，則由題意知（x-1）和（x+2）也是所給多項式的因式，從而問題得解．【詳解】解：（1）∵x﹣4是多項式x2+mx+8的一個因式，則x=4使x2+mx+8=0，∴16+4m+8=0，解得m=-6；（2）∵（x﹣1）和（x+2）是多項式的兩個因式，則x=1和x=-2都使=0，得方程組為：，解得；（3）由（2）得，x3-2x2-5x+6有兩個因式（x﹣1）和（x+2），又，則第三個因式為(x-3)，∴x3-2x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)．故答案為：(x-1)(x+2)(x-3)．【點睛】本題考查了分解因式的特殊方法，根據(jù)閱讀材料仿做，是解答本題的關(guān)鍵．27．（2020·河南平頂山實驗中學(xué)八年級月考）閱讀下列分解因式的過程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)(x+3a)(x-a)．像上面這樣通過加減項配出完全平方式后再把二次三項式分解因式的方法，叫做配方法，請你用配方法將下面的多項式因式分解：（1）m2-4mn+3n2；（2）x2-4x-12．【答案】（1）（m-n）（m-3n）；（2）（x+2）（x-6）．【分析】（1）、（2）分別利用閱讀材料中的配方法分解即可．【詳解】解：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-4n2+3n2=m2-4mn+4n2-n2

=（m-2n）2-n2

=（m-2n+n）（m-2n-n）

=（m-n）（m-3n）；

（2）x2-4x-12

=x2-4x+4-4-12

=（x-2）2-42

=（x-2+4）（x-2-4）

=（x+2）（x-6）．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用．要運(yùn)用配方法，只要二次項系數(shù)為1，只需加上一次項系數(shù)一半的平方即可配成完全平方公式．28．（2020·河南八年級期中）（閱讀材料）我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，而運(yùn)用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題．在一次數(shù)學(xué)活動課上，張老師準(zhǔn)備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為的正方形，乙種紙片是邊長為的正方形，丙種紙片是長為，寬為的長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形．（理解應(yīng)用）（1）觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式，請你直接寫出這個等式．（拓展升華）（2）利用（1）中的等式解決下列問題．①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1）；（2）①13；②4044．【分析】（1）方法一是直接求出陰影部分面積，方法二是間接求出陰影部分面積，即為邊的正方形面積減去兩個為寬、為長的矩形面積，即；（2）①將，代入上題所得的等量關(guān)系式求值；②可以將看作，將看作，代入（1）題的等量關(guān)系式求值即可．【詳解】（1）．（2）①由題意得：，把，代入上式得：．②由題意得：．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景及應(yīng)用．此題為閱讀材料型，也是近幾年經(jīng)?？疾榈念}型，熟練掌握完全平方公式并根據(jù)條件特點靈活應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵．29．（2020·青島超銀中學(xué)八年級月考）圖①是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．（1）圖②中的陰影部分的面積為______；（2）觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式、、之間的等量關(guān)系是：__________；（3）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示．如圖③，它表示了___________．（4）請你用圖③提供的若干塊長方形和正方形硬紙片圖形，用拼長方形的方法，把下列二次三項式進(jìn)行因式分解：．要求：在圖④的框中畫出圖形；寫出分解的因式．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）圖形見解析，．【分析】（1）用大正方形的面積減去4個小長方形的面積即可求出陰影部分的面積；（2）利用大正方形的面積等于4個小長方形的面積與陰影部分面積之后即可得出答案；（3）利用大長方形的面積等于3個小正方形和3個小長方形的面積之和即可得出答案；（4）先用若干個小長方形和正方形拼成一個大長方形，使它們的面積之和為，然后根據(jù)拼成的大長方形的面積公式即可得到因式分解的結(jié)果．【詳解】（1）陰影部分的面積為；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，；（3）大長方形的面積可表示為，大長方形的面積也可表示為，∴；（4）∵若干個小長方形和正方形的面積之和為，∴拼成的大長方形中會出現(xiàn)1個邊長為m的正方形，3個邊長為n的正方形和4個長為m，寬為n的長方形，拼成的大長方形如圖：大長方形的面積可表示為∴．【點睛】本題主要考查用圖形的面積表示恒等式以及因式分解，理解題意，找到圖形面積的不同的計算方法是解題的關(guān)鍵．30．（2021·全國八年級專題練習(xí)）閱讀以下內(nèi)容解答下列問題．七年級我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)運(yùn)算里第三級第六種開方運(yùn)算中的平方根、立方根，也知道了開方運(yùn)算是乘方的逆運(yùn)算，實際上乘方運(yùn)算可以看做是“升次”，而開方運(yùn)算也可以看做是“降次”，也就是說要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用開方，即要根據(jù)實際需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次數(shù)．本學(xué)期我們又學(xué)習(xí)了整式乘法和因式分解，請回顧學(xué)習(xí)過程中的法則、公式以及計算，解答下列問題：（1）對照乘方與開方的關(guān)系和作用，你認(rèn)為因式分解的作用也可以看做是．（2）對于多項式x3﹣5x2+x+10，我們把x＝2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)x＝2能使多項式x3﹣5x2+x+10的值為0，由此可以斷定多項式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多項式，能使多項式的值為0，則多項式一定含有因式（x﹣a）），于是我們可以把多項式寫成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分別求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多項式x3﹣5x2+x+10因式分解，這種因式分解的方法叫“試根法”．①求式子中m、n的值；②用“試根法”分解多項式x3+5x2+8x+4．【答案】（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2．【分析】（1）根據(jù)材料回答即可；（2）①分別令x=0和x=1即可得到關(guān)于m和n的方程，即可求出m和n的值；②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得出多項式含有因式（x+1），再利用①中方法解出a和b，即可代入原式進(jìn)行分解.【詳解】解：（1）根據(jù)因式分解的定義可知：因式分解的作用也可以看做是降次，故答案為：降次；（2）①在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，令x＝0，可得：，解得：n=-5，令x=1，可得：，解得：m=﹣3，故答案為：m＝﹣3，n＝﹣5；②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得x3+5x2+8x+4=0，則多項式x3+5x2+8x+4可分解為（x+1）（x2+ax+b）的形式，同①方法可得：a＝4，b＝4，所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），＝（x+1）（x+2）2．【點睛】本題考查了因式分解，二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂材料中的意思，利用所學(xué)知識進(jìn)行解答.31．（2021·全國八年級專題練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=(a+3)2－12=②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．解：∵(a-b)2≥0，∴當(dāng)a=1時，M有最小值－2．請根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）用配方法因式分解：．（2）若，求M的最小值．（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．【答案】（1）；（2）；（3）4．【分析】（1）根據(jù)配方法，配湊出一個完全平方公式，再利用公式法進(jìn)行因式分解即可；（2）先利用配方法，配湊出一個完全平方公式，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性求解即可；（3）先利用配方法進(jìn)行因式分解，再利用偶次方的非負(fù)性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．【詳解】（1）原式；（2）當(dāng)時，有最小值；（3）解得則．【點睛】本題考查了利用配方法進(jìn)行因式分解、偶次方的非負(fù)性等知識點，讀懂題意，掌握配方法是解題關(guān)鍵．32．（2020·余干縣第六中學(xué)八年級月考）[知識生成]通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．例如：如圖①是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：（1）圖②中陰影部分的正方形的邊長是________________；（2）請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：方法1:________________________；方法2：_______________________；（3）觀察圖②，請你寫出（a+b）2、、之間的等量關(guān)系是____________________________________________；（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系解決如下問題:若，，則=[知識遷移]類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式．（5）根據(jù)圖③，寫出一個代數(shù)恒等式：____________________________；（6）已知，，利用上面的規(guī)律求的值．【答案】（1）a-b；（2）；；（3）；（4）14；（5）（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6）9．【分析】（1）由圖直接求得邊長即可，（2）已知邊長直接求面積，陰影面積是大正方形面積減去四個長方形面積，可得答案，（3）利用面積相等推導(dǎo)公式；（4）利用（3）中的公式求解即可，（5）利用體積相等推導(dǎo)；（6）應(yīng)用（5）中的公式即可．【詳解】解：（1）由圖直接求得陰影邊長為a-b；故答案為：a-b；（2）方法一：已知邊長直接求面積為；方法二：陰影面積是大正方形面積減去四個長方形面積，∴面積為；故答案為；；（3）由陰影部分面積相等可得；故答案為：（4）由，可得，∵，∴，∴；故答案為；（5）方法一：正方體棱長為a+b，∴體積為，方法二：正方體體積是長方體和小正方體的體積和，即，∴；故答案為；（6）∵；將a+b=3，ab=1，代入得：；【點睛】本題考查完全平方公式的幾何意義；同時考查對公式的熟練的應(yīng)用，能夠由面積相等，過渡到利用體積相等推導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵．33．（2020·全國八年級課時練習(xí)）認(rèn)真閱讀以下材料，然后解答問題．我們學(xué)習(xí)了多項式的運(yùn)算法則，類似地，我們可以計算出多項式的展開式．如：．我們依次對展開式的各項系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取正整數(shù)時可以單獨(dú)列成以下形式：11121133114641151010511615201561……上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角”，仔細(xì)觀察“楊輝三角”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項式（取正整數(shù)）的展開式是一個幾次幾項式？并預(yù)測第三項的系數(shù)．（2）結(jié)合上述材料，推斷出多項式（取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和．（結(jié)果用含字母的代數(shù)式表示）【答案】（1）次項式，；（2）．【分析】（1）先觀察時的展開式，再歸納類推出一般規(guī)律即可得；（2）先分別求出時的展開式的各項系數(shù)之和，再歸納類推出一般規(guī)律即可得．【詳解】（1）當(dāng)時，多項式的展開式是一次二項式，此時第三項的系數(shù)為；當(dāng)時，多項式的展開式是二次三項式，此時第三項的系數(shù)為；當(dāng)時，多項式的展開式是三次四項式，此時第三項的系數(shù)為；當(dāng)時，多項式的展開式是四次五項式，此時第三項的系數(shù)為；歸納類推得：多項式（取正整數(shù)）的展開式是一個次項式，第三項的系數(shù)為；（2）當(dāng)時，多項式的展開式的各項系數(shù)之和為；當(dāng)時，多項式的展開式的各項系數(shù)之和為；當(dāng)時，多項式的展開式的各項系數(shù)之和為；當(dāng)時，多項式的展開式的各項系數(shù)之和為；歸納類推得：多項式（取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為．【點睛】本題考查了完全平方公式、整式的乘法等知識點，依據(jù)題意，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．34．（2019·重慶市第十一中學(xué)校八年級期中）“閱讀素養(yǎng)的培養(yǎng)是構(gòu)建核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，重慶十一中學(xué)校以‘大閱讀’特色課程實施為突破口，著力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．”全校師生積極響應(yīng)和配合，開展各種活動豐富其課余生活．在數(shù)學(xué)興趣小組中，同學(xué)們從書上認(rèn)識了很多有趣的數(shù)．其中有一個“和平數(shù)”引起了同學(xué)們的興趣．描述如下：一個四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個位上的數(shù)字之和為y，如果，那么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，，，因為，所以1423是“和平數(shù)”．（1）直接寫出：最小的“和平數(shù)”是________，最大的“和平數(shù)”是__________；（2）求同時滿足下列條件的所有“和平數(shù)”：①個位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍；②百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)；（3）將一個“和平數(shù)”的個位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后這兩個“和平數(shù)”為“相關(guān)和平數(shù)”．例如：1423于4132為“相關(guān)和平數(shù)”求證：任意的兩個“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．【