2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第十二章坐標(biāo)系與參數(shù)方程不等式選講參數(shù)方程與普通方程的互化與應(yīng)用理

PAGEPAGE18參數(shù)方程與一般方程的互化與應(yīng)用1.必記的曲線參數(shù)方程已知條件一般方程參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為αeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(α為參數(shù))圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為req\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù))長(zhǎng)半軸a和短半軸b橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數(shù))實(shí)軸a和虛軸b雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,cosθ)，,y＝btanθ))(θ為參數(shù))已知p拋物線y2＝2px(p＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成一般方程類型一：含t的消參思路：含有t的參數(shù)方程消參時(shí)，想方法把參數(shù)t消掉就可以啦，有兩個(gè)思路：思路一：代入消元法，把兩條式子中比較簡(jiǎn)潔的一條式子轉(zhuǎn)化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加減消元：讓含有t前面的系數(shù)相同或成相反數(shù)后相加減。例如：曲線C：解：思路一：代入消元：∵x＝2＋eq\f(\r(2),2)t，∴eq\f(\r(2),2)t＝x－2，代入y＝1＋eq\f(\r(2),2)t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.思路二：加減消元：兩式相減，x－y－1＝0.類型二：含三角函數(shù)的消參思路：三角函數(shù)類型的消參一般的步驟就是：移項(xiàng)-化同-平方-相加移項(xiàng)：把除了三角函數(shù)的其他相加減數(shù)字移動(dòng)左邊化同：把三角函數(shù)前面的系數(shù)化成相同平方：兩道式子左右同時(shí)平方相加：平方后的式子進(jìn)行相加（注：有時(shí)候并不須要全部步驟）例如：圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝－2＋sinθ))消參數(shù)θ，化為一般方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.解：移項(xiàng)：（三角函數(shù)前面系數(shù)已經(jīng)相同，省去化同，干脆平方）平方：相加：參數(shù)方程涉及題型直線參數(shù)方程的幾何意義距離最值（點(diǎn)到點(diǎn)、曲線點(diǎn)到線、）距離的最值：用“參數(shù)法”1.曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題2.點(diǎn)與點(diǎn)的最值問(wèn)題“參數(shù)法”：設(shè)點(diǎn)套公式--三角協(xié)助角①設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)用該點(diǎn)在所在曲線的的參數(shù)方程來(lái)設(shè)②套公式：利用點(diǎn)到線的距離公式③協(xié)助角：利用三角函數(shù)協(xié)助角公式進(jìn)行化一直線參數(shù)方程的幾何意義.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中常常用到：(1)t0=eq\f(t1＋t2,2)；(2)|PM|=|t0|=eq\f(t1＋t2,2)；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|（5）（注：記住常見(jiàn)的形式，P是定點(diǎn)，A、B是直線與曲線的交點(diǎn)，P、A、B三點(diǎn)在直線上）【特殊提示】1.直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|=|t|.直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則弦長(zhǎng)；解題思路第一步：曲線化成一般方程，直線化成參數(shù)方程其次步：將直線的參數(shù)方程代入曲線的一般方程，整理成關(guān)于t的一元二次方程：第三步：韋達(dá)定理：第四步：選擇公式代入計(jì)算。3.直線與兩曲線分別相交，求交點(diǎn)間的距離：思路：一般采納直線極坐標(biāo)與曲線極坐標(biāo)聯(lián)系方程求出2個(gè)交點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用極徑相減即可。4.面積的最值問(wèn)題：面積最值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化成弦長(zhǎng)問(wèn)題+點(diǎn)到線的最值問(wèn)題真題演練真題演練1．（2024?上海）已知直線方程的一個(gè)參數(shù)方程可以是A．為參數(shù)） B．為參數(shù)） C．為參數(shù)） D．為參數(shù)）【答案】B【解析】為參數(shù)）的一般方程為：，即，不正確；為參數(shù)）的一般方程為：，即，正確；為參數(shù)）的一般方程為：，即，不正確；為參數(shù)）的一般方程為：，即，不正確；故選．2．（2024?北京）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），則點(diǎn)到直線的距離是A． B． C． D．【答案】D【解析】由為參數(shù)），消去，可得．則點(diǎn)到直線的距離是．故選．3．（2024?天津）設(shè)，直線和圓為參數(shù)）相切，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】，直線和圓為參數(shù)）相切，圓心到直線的距離：，解得．故答案為：．4．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)且，與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線的極坐標(biāo)方程．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得舍去），代入，可得，當(dāng)時(shí)，可得舍去），代入，可得，所以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，則；（2）由（1）可得直線過(guò)點(diǎn)，，可得的方程為，即為，由，，可得直線的極坐標(biāo)方程為．5．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知曲線，的參數(shù)方程分別為為參數(shù)），為參數(shù)）．（1）將，的參數(shù)方程化為一般方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．設(shè)，的交點(diǎn)為，求圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)和的圓的極坐標(biāo)方程．【解析】（1）曲線，參數(shù)方程為：為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：，所以的一般方程為．曲線的參數(shù)方程：為參數(shù)）．所以①②整理得直角坐標(biāo)方程為，所以的一般方程為．（2）法一：由，得，即的直角坐標(biāo)為．設(shè)所求圓的圓心的直角坐標(biāo)為，，由題意得，解得，因此，所求圓的極坐標(biāo)方程為．法二：由，整理得，解得：，即．設(shè)圓的方程，由于圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)，所以，解得，故圓的方程為：，即，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為．6．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）當(dāng)時(shí)，是什么曲線？（2）當(dāng)時(shí)，求與的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)），消去參數(shù)，可得，故是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓；（2）法一：當(dāng)時(shí)，，消去得到的直角坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為可得的直角坐標(biāo)方程為，，解得．與的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．法二：當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)），兩式作差可得，，得，整理得：，．由，又，，．聯(lián)立，解得（舍，或．與的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．7．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）求上的點(diǎn)到距離的最小值．【解析】（1）由為參數(shù)），得，兩式平方相加，得，的直角坐標(biāo)方程為，由，得．即直線的直角坐標(biāo)方程為得；（2）法一、設(shè)上的點(diǎn)，，則到直線得的距離為：．當(dāng)時(shí)，有最小值為．法二、設(shè)與直線平行的直線方程為，聯(lián)立，得．由△，得．當(dāng)時(shí)，直線與曲線的切點(diǎn)到直線的距離最小，為．8．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）求，中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．【解析】（1）的參數(shù)方程為為參數(shù)），的一般方程為，圓心為，半徑，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為，成立；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為，傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，圓心到直線的距離，，或，或，綜上的取值范圍是，．（2）的參數(shù)方程為，為參數(shù)，，設(shè)，，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，且，滿意，，滿意，中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為：，為參數(shù)，．9．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)）．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率．【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：．直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：或．（2）把直線的參數(shù)方程為參數(shù)），代入橢圓的方程得到：整理得：，則：，（由于和為、對(duì)應(yīng)的參數(shù)）由于為中點(diǎn)坐標(biāo)，所以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，則：，解得：，即：直線的斜率為．10．（2024?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．【解析】直線的直角坐標(biāo)方程為，到直線的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值．11．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)）．（1）若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若上的點(diǎn)到距離的最大值為，求．【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：；時(shí)，直線的參數(shù)方程化為一般方程是；聯(lián)立方程，解得或，所以橢圓和直線的交點(diǎn)為和，．（2）的參數(shù)方程為參數(shù)）化為一般方程是：，橢圓上的任一點(diǎn)可以表示成，，，所以點(diǎn)到直線的距離為：，滿意，且的的最大值為．①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得和，符合題意．②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得和18，符合題意．綜上，或．12．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)）．設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)改變時(shí)，的軌跡為曲線．（1）寫出的一般方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)，為與的交點(diǎn)，求的極徑．【解析】（1）直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)），消掉參數(shù)得：直線的一般方程為：①；又直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)），同理可得，直線的一般方程為：②；聯(lián)立①②，消去得：，即的一般方程為；（2）的極坐標(biāo)方程為，其一般方程為：，聯(lián)立得：，．與的交點(diǎn)的極徑為．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)模擬）已知曲線的參數(shù)方程為，其中參數(shù)，則曲線A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．沒(méi)有對(duì)稱性【答案】C【解析】由于為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．故選．2．（2024?楊浦區(qū)二模）已知曲線的參數(shù)方程為是參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為是參數(shù)），則和的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_________．【答案】【解析】由曲線的參數(shù)方程是參數(shù)），得其一般方程為，由曲線的參數(shù)方程是參數(shù)），得其一般方程為，則曲線是以為圓心，半徑的圓，圓心到直線的距離，和的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為．故答案為：．3．（2024?奉賢區(qū)二模）已知圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），則此圓的半徑是__________．【答案】2【解析】圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，所以該圓為以為圓心，2為半徑的圓．故答案為：2．4．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）直線是參數(shù)）的斜率為_(kāi)_________．【答案】2【解析】直線是參數(shù)），消去參數(shù)為：，可得斜率．故答案為：2．5．（2024?浦東新區(qū)模擬）若點(diǎn)在曲線為參數(shù)，上，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由為參數(shù)，可得：因此可以看作與圓：上的點(diǎn)的連線的直線的斜率的取值范圍．設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，化為，，解得．解得．的取值范圍是．故答案為：．6．（2024?武漢模擬）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線和曲線的的極坐標(biāo)方程；（2）射線與曲線和曲線分別交于，，已知點(diǎn)，求的面積．【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），由于①，，②，①②得：．依據(jù)整理得．曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為一般方程為．轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為．（2）射線與曲線和曲線分別交于，，所以，，所以，則的面積為．7．（2024?韓城市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為，，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求．【解析】（Ⅰ）由，得，又，，曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．又曲線的參數(shù)方程為，化為一般方程，即，，，；（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程為參數(shù)）代入即，得．設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，．．8．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點(diǎn)，正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）由題意可得，，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）聯(lián)立方程，得到，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則因?yàn)槭牵闹悬c(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，．綜上所述，，．9．（2024?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為：，．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程并指出曲線類型；（2）若曲線與直線交于不同的兩點(diǎn)、，，求的值．【解析】（1）由，消去參數(shù)，得，令，，則有，即，曲線為等軸雙曲線；（2）將直線的極坐標(biāo)方程代入，得，曲線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，則，又，可得或，設(shè)，，，，則，解得：，或，得或．10．（2024?運(yùn)城模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的一般方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值．【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)得到一般方程為．直線的極坐標(biāo)方程為．依據(jù)轉(zhuǎn)換為一般方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為．11．（2024?金鳳區(qū)校級(jí)四模）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的一般方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上隨意一點(diǎn)，求面積的最大值．【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)得：．直線的極坐標(biāo)方程為．依據(jù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．（2）直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離，由于，所以．12．（2024?湖北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，直線與曲線的交點(diǎn)為，，線段的中點(diǎn)為，求．【解析】（1）直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為一般方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，依據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．（2）將代入到中得到設(shè)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則線段的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為13．（2024?香坊區(qū)校級(jí)一模）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）寫出曲線的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若射線與曲線交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，射線與曲線交于，兩點(diǎn)