2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 概率與統(tǒng)計(jì)

第九章概率與統(tǒng)計(jì)

9.1隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

1.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計(jì)報(bào)表和年鑒、社會(huì)調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)

計(jì)、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.

2.了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.

3.通過(guò)實(shí)例，了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握兩種簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.會(huì)計(jì)算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總

體的關(guān)系.

4.通過(guò)實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必

要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣

本均值和樣本方差.

5.在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q

問(wèn)題.

6.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體

會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.

7.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾

數(shù)），理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

8.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），

理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

9.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.

10.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

L簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

（1）特點(diǎn)：逐個(gè)抽取，且每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等.

（2）常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

（3）適用范圍：個(gè)體性質(zhì)相似，無(wú)明顯層次，且個(gè)體數(shù)量較少，尤其是樣

本容量較少.

2.分層隨機(jī)抽樣

（1）定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)

個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,再

把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱(chēng)為分層隨

機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱(chēng)為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大

小成比例，那么稱(chēng)這種樣本量的分配方式為比例分配.

（2）適用范圍：總體可以分層，且層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體差

異較小.

（3）平均數(shù)的計(jì)算：各層抽樣比乘各層平均數(shù)的和.

3.用樣本估計(jì)總體

（1）總體取值規(guī)律的估計(jì).

①畫(huà)頻率分布直方圖的五個(gè)步驟：求極差、決定組距與組數(shù)、將數(shù)據(jù)分

組、列頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖.

②頻率分布直方圖的特點(diǎn)：各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率；各

小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.

（2）總體百分位數(shù)的估計(jì).

①第p百分位數(shù)的定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，

它使得這組數(shù)據(jù)中至少有D%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有

（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

②計(jì)算一組律個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：第1步，按從小到大排列原始

數(shù)據(jù);第2步，計(jì)算i=nxp%;第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為/,

則第p百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i+1）項(xiàng)

數(shù)據(jù)的平均數(shù).

③四分位數(shù)：常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)、第50百分位數(shù)、第75百分

位數(shù)，這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成國(guó)笠份，因此稱(chēng)為四分

位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱(chēng)為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等,第75百分位數(shù)

也稱(chēng)為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.

（3）總體集中趨勢(shì)的估計(jì).

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)量多的數(shù)據(jù).

中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校幵谥虚g位

置（或中間兩個(gè)數(shù)的平均值）的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

平均數(shù)：如果打個(gè)數(shù)%1，%2，…，那么?=；+%2+…+%n）叫做這律

個(gè)數(shù)的平均數(shù).

一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù);而對(duì)分

類(lèi)型數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù).

（4）總體離散程度的估計(jì).

①方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：一組數(shù)據(jù)%1，%2,…，出，用7表示這組數(shù)據(jù)的平

均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為髭上二=耗此二w,標(biāo)準(zhǔn)差為展近二￡

②方差、標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)：’標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了「數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)

差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.在刻畫(huà)數(shù)據(jù)

的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問(wèn)題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)

差.

常用結(jié)論

1.頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；中位數(shù)

左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重

心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

之和.

2.若數(shù)據(jù)…的平均數(shù)為高方差為s2,則數(shù)據(jù)+a,m%2+

a,…,如仇+a的平均數(shù)為m+a,方差為T(mén)H2s2.

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”.

（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān).（X）

（2）在分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).

（X）

（3）若樣本量n=100,則第50百分位數(shù)是從小到大排列的第50個(gè)數(shù).

（X）

（4）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.

（X）

（5）在頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù).

（V）

2.【多選題】（教材題改編）某城市收集并整理了該市2023年1月份至10月

份每月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線(xiàn)圖.已

知該市每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量具有較好的線(xiàn)性關(guān)系，則

（ABC）

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月

A.每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量正相關(guān)

B.10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫

C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月份

D.最低氣溫低于（TC的月份有4個(gè)

解：由題圖可以看出，當(dāng)最低氣溫較高時(shí)，最高氣溫也較高，故A正確.10月份

的最高氣溫不低于20。。而5月份的最高氣溫低于20。。故B正確.從各月的溫

差看，1月份的溫差最大，故C正確.最低氣溫低于（TC的月份是1,2,4三個(gè)月份，

故D錯(cuò)誤.故選ABC.

3.（教材題改編）某班級(jí)有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測(cè)試平均成績(jī)是92分，如果

30名男生的平均成績(jī)?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績(jī)?yōu)榉?

解：設(shè)20名女生的平均成績(jī)?yōu)樵?，則92=|^x90+*x5,解得元=95.故填

95.

4.（教材題改編）一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為

1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為

14.5.

解：因?yàn)?5%x20=15,所以第75百分位數(shù)為二上=14.5.故填14.5.

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破2

考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣

例1【多選題】某學(xué)生社團(tuán)有男生32名，女生24名，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量

為7的樣本，某次抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說(shuō)法正確的

是（AB）

A.這次抽樣可能采用的是抽簽法

B.這次抽樣不可能是按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣

C.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率一定小于每個(gè)女生被抽到的概率

D.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率不可能等于每個(gè)女生被抽到的概率

解：總體中個(gè)體數(shù)不多，此次抽樣可能采用的是抽簽法，A正確.

若按性別比例分配，則抽得的男、女生人數(shù)應(yīng)分別為4人，3人，所以這次抽

樣不可能是按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣，B正確.隨機(jī)抽樣中，每個(gè)男生被

抽到的概率和每個(gè)女生被抽到的概率均相等，C,D錯(cuò)誤.

故選AB.

【點(diǎn)撥】①當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，多用分層隨機(jī)抽樣.②比例分配

的分層隨機(jī)抽樣甲，若第一、二層的樣本容量分別為m九平均數(shù)分別為元亨，則樣

本平均數(shù)為恒也.

m+n

變式1為響應(yīng)“強(qiáng)身健體，智慧學(xué)習(xí)”倡議，復(fù)興中學(xué)開(kāi)展了一次學(xué)生體質(zhì)健

康監(jiān)測(cè)活動(dòng).已知高三（2）班有50名學(xué)生，其中男生28人，女生22人，按性

別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為25的樣本.

（1）女生應(yīng)抽取11人；

解：女生應(yīng)抽取25x||=11（人）.

（2）已知樣本中男生、女生的平均體重分別為60.8kg和464kg.估計(jì)高三（2）

班全體學(xué)生的平均體重為*kg（精確到0.1kg）.

［解析］樣本中男生有14人，故樣本平均數(shù)為60-8義14祗464義11x54.5,估計(jì)全體學(xué)

生的平均體重約為54.5kg.

考點(diǎn)二用樣本估計(jì)總體

命題角度1總體取值規(guī)律的估計(jì)

例2【多選題】某研究性學(xué)習(xí)小組為了解某校2000名學(xué)生參加2023年暑期社

會(huì)實(shí)踐的情況，隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為N的樣本，對(duì)學(xué)生某一天社會(huì)實(shí)踐的時(shí)

間（單位：min）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中

位于區(qū)間［60,70）的人數(shù)為20人，則以下說(shuō)法正確的是（ABC）

頻率

組距

0.010

0.005

5060708090100

A.a=0.020

B.N=100

C.估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為74

D.估計(jì)全校社會(huì)實(shí)踐時(shí)間在60min以上的學(xué)生約為180人

解：由（0.01+2a+0.045+0.005）x10=1,得a=0.020,故A正確.

因?yàn)闃颖局形挥趨^(qū)間［60,70）的人數(shù)為20人，所以與=0.2,得N=100,故B正

確.

平均數(shù)為0.1x55+0.2x65+0.45x75+0.2x85+0.05x95=74,故C正

確.

因?yàn)闃颖局猩鐣?huì)實(shí)踐時(shí)間在60min以上的頻率為0.9,所以估計(jì)全校社會(huì)實(shí)踐時(shí)

間在60min以上的學(xué)生約為0.9x2000=1800（人），故D錯(cuò)誤.故選ABC.

【點(diǎn)撥】①在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積就是相應(yīng)的頻率或概率，

所有小矩形的面積之和為1.②頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除

以組距，并不是頻率，不要和條形圖混淆.

變式2

（1）某校抽取100名學(xué)生測(cè)身高，其中身高最大值為186cm,最小值為

154cm,根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖，組距為5,且第一組下限為

153.5,則組數(shù)為Z

解：極差為186-154=32,組距為5,且第一組下限為153.5,—=6.4,故組

數(shù)為7.故填7.

（2）[2021年全國(guó)甲卷]為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)

行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

解：因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率，樣本頻

率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=

6%,故A正確.

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)值為0.04+0.02X3=

0.10=10%,故B正確.

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為0.10+0.14+

0.20X2=0.64=64%>50%,故D正確.

由對(duì)稱(chēng)性（以7.5為對(duì)稱(chēng)軸），并進(jìn)行割補(bǔ)，可知平均值超過(guò)7（大致在7.5附

近），故C錯(cuò)誤（或直接計(jì)算：該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值的估計(jì)值為3x

0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x

0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68（萬(wàn)元），超過(guò)了

6.5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤.故選C.

命題角度2總體百分位數(shù)的估計(jì)

例3

（1）“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書(shū)館借書(shū)

數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下：

借書(shū)數(shù)量/本5678910

頻數(shù)/人58131194

則這50名學(xué)生的借書(shū)數(shù)量的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（C）

A.8B.8.5C.9D.10

解：由50x75%=37.5,故第75百分位數(shù)為借書(shū)數(shù)量從小到大排序后的第38

項(xiàng)數(shù)據(jù).又5+8+13+11=37<38,故上四分位數(shù)是9.故選C.

（2）某大型聯(lián)考有16000名學(xué)生參加，已知所有學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是

515分，則成績(jī)不低于515分的人數(shù)至少有（D）

A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人

解：成績(jī)不低于515分的人數(shù)至少有16000x（1—60%）=6400（人）.故選D.

【點(diǎn)撥】計(jì)算一組律個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟.①排列：按照從小到大排

列原始數(shù)據(jù).②計(jì)算i：計(jì)算i=nxp%.③定數(shù)：若i不是整數(shù)，大于i的比鄰整

數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第7項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第

（i+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

變式3

（1）某學(xué)習(xí)小組共有20人，在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，得100分的有2人，得95分

的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的

有1人，則這個(gè)學(xué)習(xí)小組成員該次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第70百分位數(shù)是925.

解：因?yàn)?0x70%=14,所以第70百分位數(shù)是從小到大排列的第14和15個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù).所以第70百分位數(shù)為史產(chǎn)=92.5.故填92.5.

（2）已知一組數(shù)據(jù)從小到大排列為4：5,6,8,m,13,18,30,若這組數(shù)

據(jù)的第80百分位數(shù)是中位數(shù)的兩倍，則（C）

A.12B.11C.10D.9

解：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為等,因?yàn)?x80%=6.4,所以這組數(shù)據(jù)的第80百分

位數(shù)為第7個(gè)數(shù)，即18.則18=2X等，解得m=10.故選C.

命題角度3總體集中趨勢(shì)的估4

例4【多選題】某校舉辦了迎新年知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)選取了100人的成績(jī)整理后

畫(huà)出的頻率分布直方圖如下，則根據(jù)頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是

(ABC)

A.中位數(shù)為70B.眾數(shù)為75C.平均數(shù)為68.5D.平均數(shù)為70

解：區(qū)間［40,50）內(nèi)人數(shù)的頻率為=。工

因?yàn)樽罡咝【匦蔚闹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為75,顯然眾數(shù)是75,故B正確.

區(qū)間［40,50）內(nèi)人數(shù)的頻率是0.1,區(qū)間［50,60）內(nèi)人數(shù)的頻率是0.15,區(qū)間

［60,70）內(nèi)人數(shù)的頻率是0.25,其頻率和為0.5,所以中位數(shù)為70,故A正確.平均

數(shù)為45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.1+95x0.05=

68.5,所以C正確,D錯(cuò)誤.

故選ABC.

【點(diǎn)撥】①頻率分布直方圖中眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo).中位數(shù)左邊和右邊

的直方圖的面積相等.求中位數(shù)，一般先確定中位數(shù)所在的區(qū)間，再利用“0.5-

較低累積頻率=（久-區(qū)間左端點(diǎn)值）x區(qū)間縱坐標(biāo)”，求得％即可.平均數(shù)為頻

率分布直方圖各個(gè)小矩形的面積乘底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.②一般來(lái)說(shuō)，對(duì)一

個(gè)單峰的頻率分布直方圖來(lái)說(shuō)，如果直方圖的形狀是對(duì)稱(chēng)的，那么平均數(shù)和中

位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”，那么平均數(shù)大于中位

數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù).

變式4平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布

的形態(tài)有關(guān)，在下圖兩種分布形態(tài)中，a,b,c,d分別對(duì)應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一,

則可能的對(duì)應(yīng)關(guān)系是（A）

A.a為中位數(shù),匕為平均數(shù)，c為平均數(shù),d為中位數(shù)

B.a為平均數(shù),5為中位數(shù)，c為平均數(shù),d為中位數(shù)

C.a為中位數(shù),5為平均數(shù)，c為中位數(shù),d為平均數(shù)

D.a為平均數(shù),b為中位數(shù)，c為中位數(shù),d為平均數(shù)

解：在頻率分布直方圖中,中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，平均數(shù)是每組數(shù)據(jù)

的中間值乘頻率再相加之和.結(jié)合兩個(gè)頻率分布直方圖，得a為中位數(shù)，b為平均

數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù).故選A.

命題角度4總體離散程度的估計(jì)

例5某果園試種了A,B兩個(gè)品種的桃樹(shù)各10棵，并在桃樹(shù)成熟掛果后統(tǒng)計(jì)了

這20棵桃樹(shù)的產(chǎn)量如下表，記A,B兩個(gè)品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為7和

7,方差分別為才和

A/kg60504060708070305090

B/kg40605080805060208070

（1）分別求這兩個(gè)品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；

解：這10棵A品種桃樹(shù)的產(chǎn)量從小到大分別為30,40,50,50,60,60,

70,70,80,90.

這10棵A品種桃樹(shù)產(chǎn)量的極差為90-30=60,中位數(shù)為絲羅=60.

這10棵B品種桃樹(shù)的產(chǎn)量從小到大分別為20,40,50,50,60,60,70,

80,80,80.

這10棵B品種桃樹(shù)產(chǎn)量的極差為80-20=60,中位數(shù)為竺羅=60.

(2)求心y,sl，s(

[答案]

x=X(30+40+50+50+60+60+70+70+80+90)=60.

y=^-X(20+40+50+50+60+60+70+80+80+80)=59.

Vx[(30-60)2+(40-60)2+(50-60)2+(50-60)2+(60-60)2+

(60-60)2+(70-60)2+(70-60)2+(80-60)2+(90-60)2]=300.

222

s/=3x[(20-59)2+(40_59)2+(50-59)+(50-59)+(60-59)+

222

(60-59)2+(70-59)2+(80_59)+(80-59)+(80-59)]=349.

(3)果園要大面積種植這兩種桃樹(shù)中的一種，依據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，分析選種哪

個(gè)品種更合適?并說(shuō)明理由.

［答案］

由(1)可知這兩個(gè)品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)都相等，由(2)可知元〉％s/<

疝A品種桃樹(shù)平均產(chǎn)量高，波動(dòng)小，所以應(yīng)該選種A品種桃樹(shù).

1n

【點(diǎn)撥】①方差公式可變形為S2=工2H產(chǎn).②分兩層數(shù)據(jù)的總樣本方差S2=

ni=l

缶氏+(元一刃4+品回+行—刃丁

變式5［2023年全國(guó)乙卷］某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理

效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)

地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為修，%(i=

1,2,…,10).試驗(yàn)結(jié)果如下:

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率陽(yáng)545533551522575544541568596548

伸縮率%536527543530560533522550576536

記4=Xi-yi(i-1,2,…,10),記zi/2,…,Zio的樣本平均數(shù)為2,樣本方差為

(1)求」s2；

解：4=/一%的值分別為9,6,8,—8,15,11,19,18,20,12,2=2(9+6+8-8+

15+11+19+18+20+12)=11.

故s2=卷［(9-11)2+(6-II)2+(8-11)2+(-8-II)2+(15-II)2+0+

(19-11)2+(18-11)2+(20-II)2+(12-II)2］=61.

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸

縮率是否有顯著提高(如果222E，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮

率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

［答案］由(1)知，2=11,2篇=2倔1=囪瓦故有222Q.所以認(rèn)為甲

工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

“課外閱讀?社會(huì)民生中的數(shù)據(jù)分析

生活生產(chǎn)中處處有數(shù)學(xué)，高考強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用，關(guān)注社會(huì)民生，統(tǒng)計(jì)中體現(xiàn)

得更為明顯.統(tǒng)計(jì)圖表中除了莖葉圖、散點(diǎn)圖、頻率分布直方圖、折線(xiàn)圖外，扇

形統(tǒng)計(jì)圖、雷達(dá)圖、等高條形圖、柱形圖等也是近年高考熱點(diǎn).難度不高，多與

實(shí)際生活結(jié)合緊密，考查考生閱讀理解能力及數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，考查應(yīng)用意

識(shí).一般只要仔細(xì)讀題、分析，即可解決.

1.［2023年上海卷］如圖為2018—2021年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)

圖，則下列對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易額描述錯(cuò)誤的是(C)

2018—2021年中國(guó)進(jìn)出口總額統(tǒng)計(jì)圖

A.從2018年開(kāi)始,2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大

B.從2018年開(kāi)始,進(jìn)出口總額逐年增大

C從2018年開(kāi)始,進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開(kāi)始,2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小

解：顯然2021年相對(duì)于2020年進(jìn)出口總額增加特別明顯，故2021年的增長(zhǎng)率

最大，A正確.

統(tǒng)計(jì)圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故B正確.

2020年相對(duì)于2019年的進(jìn)口總額減少，故C錯(cuò)誤.

2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大，而2020年相對(duì)于2019年的增量比2019年相

對(duì)于2018年的增量小，且計(jì)算增長(zhǎng)率時(shí)前者的分母更大，故2020年的增長(zhǎng)率

一定最小，D正確.故選C.

2.【多選題】人均消費(fèi)支出是社會(huì)需求的主體，是拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的直接因素，

是體現(xiàn)居民生活水平和質(zhì)量的重要指標(biāo).2022年一季度和2023年一季度我國(guó)居

民人均消費(fèi)支出分別為6393元和6738元，圖1、圖2分別為2022年一季度和

2023年一季度居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成分布圖，則（AD）

圖1圖2

A.2022年一季度和2023年一季度居民食品煙酒人均消費(fèi)支出均超過(guò)人均總消

費(fèi)支出的30%

B.2023年一季度居民食品煙酒、衣著、居住各項(xiàng)人均消費(fèi)支出占比較上年同期

均有所降低

C.2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出

D.2023年一季度居民人均消費(fèi)支出比上年同期增長(zhǎng)約5.4%

解：對(duì)于A,2022年一季度居民食品煙酒人均消費(fèi)支出占人均總消費(fèi)支出的

32.6%,2023年一季度居民食品煙酒人均消費(fèi)支出占人均總消費(fèi)支出的

31.6%,故A正確.

對(duì)于B,2022年一季度居民居住人均消費(fèi)支出占人均總消費(fèi)支出的22.5%,2023

年一季度居民居住人均消費(fèi)支出占人均總消費(fèi)支出的23.2%,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,2022年一季度居民人均交通通信支出為6393X12.4%=792.732

（元），2023年一季度居民人均交通通信支出為6738X12.2%=822.036

（元），故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,因?yàn)?I?X100%-1?5.4%,故D正確.故選AD.

課時(shí)作業(yè)知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.我國(guó)施行個(gè)人所得稅專(zhuān)項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)

療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人、3歲以下嬰幼兒照護(hù)等七項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附

加扣除某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人，現(xiàn)采用分

層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調(diào)查專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的享受情

況，則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為（C）

A.8B.10C.12D.18

解：由題意，可得抽取30人中青年員工人數(shù)為———x30=12.故選C.

80+100+120

2.某學(xué)校在一次對(duì)教師進(jìn)行分學(xué)科“教育教學(xué)評(píng)價(jià)”調(diào)查中，高一年級(jí)9名數(shù)

學(xué)教師好評(píng)率為90%,高二年級(jí)10名數(shù)學(xué)教師好評(píng)率為93%,高三年級(jí)12名

數(shù)學(xué)教師好評(píng)率為95%.依此估計(jì)該中學(xué)高中部數(shù)學(xué)教師的好評(píng)率約為（C）

A.91%B.92%C.93%D.94%

解：該中學(xué)高中部數(shù)學(xué)教師的好評(píng)率為

9X0.9+10X0.93+12X0.95144小小―小、4c

-------------------------=——x0,93.故選C.

9+10+12----155

3.［2021年新課標(biāo)II卷］【多選題】下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本%i，%2,…,期的離

散程度的有（AC）

A.樣本…,出的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本…,%n的中位數(shù)

C.樣本%/n的極差D.樣本%i，%2,…，0的平均數(shù)

解：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義，可知標(biāo)準(zhǔn)差反映的是數(shù)據(jù)的離散程度.由中位數(shù)的定義，

可知中位數(shù)是處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）.由極

差的定義，可知極差反映的是最大值與最小值之間的差距油平均數(shù)的定義，可

知平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均水平.故選AC.

4.【多選題】在某市初三年級(jí)舉行的一次體育統(tǒng)考考試中，共有500人參加考

試.為了解考生的成績(jī)情況，抽查了律位考生的成績(jī)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出如圖所

示的頻率分布直方圖.若樣本中成績(jī)?cè)趨^(qū)間［50,60）內(nèi)的人數(shù)為32,則下列結(jié)論

正確的為（AD）

A.n=200

B.估計(jì)該市考生成績(jī)的眾數(shù)為72

C.估計(jì)該市考生成績(jī)的第70百分位數(shù)為75

D.估計(jì)該市考生成績(jī)的平均數(shù)為70.6

解：由頻率分布直方圖，可知％二2一（0.004+0.01+0.03+0.04）=0.016.

所以71=*=200,故A正確.

0.16

由頻率分布直方圖，可知樣本的眾數(shù)為75,則估計(jì)該市考生成績(jī)的眾數(shù)為75,

故B錯(cuò)誤.

樣本中考生成績(jī)的第70百分位數(shù)為70+10X°7°-°-46=76,則估計(jì)該市考生

0.86-0.46

成績(jī)的第70百分位數(shù)為76,故C錯(cuò)誤.

樣本中考生成績(jī)的平均數(shù)為55x0.16+65x0.3+75x0.4+85x0.1+95x

0.04=70.6,可估計(jì)該市考生成績(jī)的平均數(shù)為70.6,故D正確.故選AD.

5.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為子時(shí)的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要（子時(shí)是指

23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，沉睡時(shí)間越少，睡眠指

數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計(jì)如下

圖，則下列說(shuō)法正確的是（B）

［0,50）［50,60）［60,80）［80,90）［90,100）睡眠指數(shù)

—?一早睡人群占比-?-晚睡人群占比

A.睡眠指數(shù)在區(qū)間［60,80）內(nèi)的人群中，早睡人數(shù)多于晚睡人數(shù)

B.早睡人群睡眠指薪主要集中在區(qū)間［80,90）內(nèi)

C.早睡人群睡眠指數(shù)的極差比晚睡人群睡眠指數(shù)的極差小

D.晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間［60,80）內(nèi)

解：因?yàn)闆](méi)有給出樣本量，所以不能從占比來(lái)判斷人數(shù)多少，故A錯(cuò)誤.

早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間［80,90）內(nèi)，晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)

間［50,60）內(nèi),故B正確，D錯(cuò)誤.

早睡人群睡眠指數(shù)的極差和晚睡人群睡眠指數(shù)的極差的大小無(wú)法確定，故C錯(cuò)

、口

沃.

故選B.

6.有5人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，每人投籃12次?這5人投中的次數(shù)形成一組數(shù)據(jù),

中位數(shù)為10,唯一眾數(shù)為11,極差為3,則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是

(C)

A.9B.10C.10.5D.11

解：將該組數(shù)據(jù)從小到大排列.因?yàn)橹形粩?shù)是10,所以第三個(gè)數(shù)是10.因?yàn)楸姅?shù)

是11,所以第四、五個(gè)數(shù)是11.因?yàn)闃O差是3,所以第一個(gè)數(shù)是8.因?yàn)楸姅?shù)唯

一，所以第二個(gè)數(shù)是9.所以這五個(gè)數(shù)依次是8,9,10,11,11.由5x60%=

3,得該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是10+11=10.5.故選C.

2

7.某班學(xué)生A,B在高三8次月考的化學(xué)成績(jī)用莖葉圖表示如下，其中學(xué)生A

的平均成績(jī)與學(xué)生B的成績(jī)的眾數(shù)相等，則m=5.

學(xué)生A學(xué)生B

93:7~75

3初52》82444

32<921

解：由題意,73+79+82+85+(80+m)+83+92+93=84,解得m=5.故填5.

8

8.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小

鼠隨機(jī)分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小

鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)

間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得

到如下直方圖.

a----------------------

0.2葉-----------------

0心.15------------------------/-------------_----

2.53.54.55.56.57.58.5百分比/%

乙離子殘留百分比直方圖

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，

根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a力的值；

解：由已知，得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.

b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值為代表）.

［答案］

甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

【綜合運(yùn)用】

9.【多選題】2022年北京某高校畢業(yè)生中，有本科生2971人，碩士生2527

人，博士生1467人，畢業(yè)生總體充分實(shí)現(xiàn)就業(yè)，就業(yè)地域分布更趨均勻合

理，實(shí)現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.如圖，下列說(shuō)法正確的是

（ABC）

60.0%'□本科生

50.0%-■碩士生

40.0%-□博士生9

9

30.0%-

20.0%-

墓醺靠繆港商

10.0%-FIKEHNcn--Rrn

,口，網(wǎng)二口，

0.0%-

匕京廣東上海浙江四川江蘇福建其他地區(qū)

畢業(yè)生簽三方就業(yè)單位所在省（區(qū)、市）公布

A.有超過(guò)一半的博士畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)

B.畢業(yè)生總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)

C.到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)比到該省就業(yè)的博士畢業(yè)生人數(shù)多

D.到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)生總?cè)藬?shù)的12.8%

解：對(duì)于A,博士畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)的比例達(dá)到52.1%,超過(guò)一半，A正確.

對(duì)于B,留在北京就業(yè)的博士畢業(yè)生接近一半，而本科畢業(yè)生與碩士畢業(yè)生則明

顯低于一半，所以顯然總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)，B正確.

對(duì)于C,到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)為2527X3.2%?81,而到四川省就業(yè)

的博士畢業(yè)生人數(shù)為1467X3.7%?54,故碩士生更多，C正確.

對(duì)于D,由題圖，可知到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占比小于5.6%,D錯(cuò)誤.故選

ABC.

10.如圖所示的三個(gè)統(tǒng)計(jì)圖分別是隨機(jī)抽查甲、乙、丙三地的若干個(gè)家庭教育年

投入（萬(wàn)元），記A表示眾數(shù)，B表示中位數(shù)，C表示平均數(shù)，則根據(jù)圖表提

供的信息，下面的結(jié)論正確的是（C）

（1）20萬(wàn)元（4）10萬(wàn)元

（2）8萬(wàn)元（5）12萬(wàn)元

（3）18萬(wàn)元

1234567891011121314151617181920家庭

乙編號(hào)

A.A甲—A乙—A丙，8甲=8乙=B丙B.8丙＞8甲=B乙，€:甲=%=C丙

CA丙＞A甲二A乙，。丙＞。甲＞C乙D.A丙＞A甲=A乙，8丙＞8甲＞B乙

解：由甲地的條形圖，可知家庭教育年投入的中位數(shù)為10萬(wàn)元，眾數(shù)為10萬(wàn)

元，平均數(shù)為10.32萬(wàn)元.

由乙地的折線(xiàn)圖，可知家庭教育年投入的中位數(shù)為10萬(wàn)元，眾數(shù)為10萬(wàn)元，

平均數(shù)為9.7萬(wàn)元.

由丙地的扇形圖，可知家庭教育年投入的中位數(shù)為12萬(wàn)元，眾數(shù)為12萬(wàn)元，

平均數(shù)為12.4萬(wàn)元.

結(jié)合選項(xiàng)，可知C正確.故選C.

11.[2023年上海卷]現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的GDP（億元），第一季度GDP為

232億元，第四季度GDP為241億元，四個(gè)季度的GDP逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與

平均數(shù)相同，則該地這一年的GDP為946億元.

解：設(shè)第二季度GDP為％億元，第三季度GDP為y億元，則232＜%＜y＜241.

因?yàn)橹形粩?shù)與平均數(shù)相同，所以中=2如平+2算,所以％+y=473.

所以該地這一年的GDP為232+%+y+241=946（億元）.故填946.

12.為不斷提高群眾的幸福感，政府積極引導(dǎo)某村農(nóng)戶(hù)因地制宜種植某種經(jīng)濟(jì)作

物，該類(lèi)經(jīng)濟(jì)作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來(lái)衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越

好.為了解該類(lèi)經(jīng)濟(jì)作物在該村的種植效益，該村引進(jìn)了甲、乙兩個(gè)品種，現(xiàn)隨

機(jī)抽取了這兩個(gè)不同品種的經(jīng)濟(jì)作物各100份(每份1kg)作為樣本進(jìn)行檢測(cè)，

檢測(cè)結(jié)果如下表所示(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)取該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

經(jīng)濟(jì)作物質(zhì)量指標(biāo)區(qū)間

[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

甲品種/份26244820

乙品種/份28384210

分別記甲、乙品種質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為濟(jì)由，樣本方差為謚和s2

(1)現(xiàn)已求得亍=60,=324.64,試求;及黃，并分別比較兩品種樣本平均

數(shù)與方差的大??；

解：萬(wàn)=工x(10x2+30x6+50X24+70x48+90x20)=65.6.

100

si=(10-60)2X0.02+(30-60)2X0.08+(50-60)2X0.38+(70-60)2X

0.42+(90-60)2X0.1=292.

因?yàn)榇?60,sf=324.64,

所以元>y,sl>si.

(2)該經(jīng)濟(jì)作物按其質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如下表：

質(zhì)量指標(biāo)值[0,40)[40,80)[80,100]

作物等級(jí)二級(jí)二級(jí)特級(jí)

利潤(rùn)/(元/kg)102050

現(xiàn)利用樣本估計(jì)總體，試從樣本利潤(rùn)平均數(shù)的角度分析該村村民種植哪個(gè)品種

的經(jīng)濟(jì)作物獲利更多.

［答案］

分別記甲、乙兩品種利潤(rùn)的樣本平均數(shù)為元貴

則因=擊義(8x10+72x20+20x50)=25.2(元)，

,1

y=-A-x(10x10+80x20+10x50)=22(兀).

因?yàn)橛?gt;R所以從樣本利潤(rùn)平均數(shù)的角度看，種植甲品種的經(jīng)濟(jì)作物獲得的利

潤(rùn)更高.

【拓廣探索】

13.從2,3,4,5,6,7,8,9中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)比m大的概率為:，若

4

m為上述數(shù)據(jù)中的第4百分位數(shù)，貝卜的取值可能為(C)

A.50B.60C.70D.80

解：由題意，知7Wm<8.又m是百分位數(shù)，則m=7,或zn=7.5.

由百分位數(shù)的定義,知

(.8x%%<6,

解得62.5<%<75.僅選項(xiàng)C符合題意.故選C.

專(zhuān)題突破17數(shù)字特征的性質(zhì)

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一基本性質(zhì)

例1

(1)【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)%i，%2,…,與，其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極

差分別記為的,瓦,C14.由這組數(shù)據(jù)得到新樣家數(shù)據(jù)%,、2,…,%，其中%=2%i+

2024。=1,2,…,n),其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記為。2力24丁2,

則(AD)

A.a2=2al+2024B.b2=brC.c2=4clD.d2=2dl

解：由%=2%j+2024,得劭=2al+2024.

根據(jù)中位數(shù)的定義，得尻=2瓦+2024.

根據(jù)數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，得c：=22c孑，則C2=2cl.

根據(jù)數(shù)據(jù)極差的定義，得刈=(2%max+2024)-(2xmin+2024)=

2(%max—第min)=2d1，故A,D正確,故選AD.

(2)已知一組正數(shù)%1，為2，久3，久4，久5的方差為§2=好~9,則另一組數(shù)據(jù)2/-

1,2X2-1,2X3-1,2g-1,2右-1的平均數(shù)為(B)

A.4B.5C.6D.7

解：由S?=22(修一T)2=￡媛—5五2)=工￡媛—三2,可得元2=9,又

51

i=l5sl)5i=1

0,所以歹=3.

故數(shù)據(jù)2%i-1,2%2-1,2%3-1,2%4-1,2X5-1的平均數(shù)為2X3-1=5.故選B.

【點(diǎn)撥】①一組數(shù)據(jù)%1，%2,…，變?yōu)樯暇?+5，kx2+b,■■■,kxn+b,貝|J

用Zch+b,/C2s2計(jì)算平均數(shù)、方差等數(shù)字特征.②S2=22*—/.

ni=l

變式1

(1)[2021年新課標(biāo)I卷]【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)久1，&，…，xn＞由這

組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)丫2，…，％1，其中%=/+C(i=1,2,…,n),c為非零

常數(shù)，則(CD)

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

解：對(duì)于A,E(y)=E(%+c)=E(%)+c,且cA0,故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤.

對(duì)于B,若第一組中位數(shù)為％n則第二組中位數(shù)為%=&+c,顯然不相同，錯(cuò)

、口

沃.

對(duì)于C,D(y)=D(%)+￡)(c)=D(%),故方差相同，正確.

對(duì)于D,由極差的定義知，若第一組的極差為％max—％min，則第二組的極差為

/maxymin=(%max+。)一(％min+C)=%max%min，故極差相同，正確?

故選CD.

(2)若一組數(shù)據(jù)的以2,…，的o的平均數(shù)為3,方差為11,則憂(yōu)+諼+…+

憂(yōu)o=200.

解：哀意，知…「1°=3,

則(“1-3)2+(口2-3)2+?..+(a10-3)2_]]

'10一,

即謂+/+…+a%-6(a、...+ai°)+32xio=口，所以憂(yōu)+於+…+講。=200,故填

200.

考點(diǎn)二變動(dòng)樣本的數(shù)字特征

例2

(1)已知某8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為3,現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5,此時(shí)

這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為高方差為s2,則(B)

A.x-5,s2>3B.元=5,s2<3C.%>5,s2<3D.%>5,s2>3

解：x-5,s2=S(8x3+02)<3.故選B.

(2)[2020年《國(guó)III卷]在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為

Pi，P2，P3，P4,且=L則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是

1=1

(B)

A.Pi=P4=0.1,p2—P3—。,4B.Pi=p4—0.4,p2—Ps—0.1

C.Pi=P4=0.2,p2-p3-0.3D.Pi-p4-0.3,p2-p3-0.2

解：由所有選項(xiàng)，知Pi=P4，P2=P3，且PI+P2=°,5，則這組數(shù)據(jù)的均值為

Pi+2P2+3P3+4p4-5(pi+p2)-2.5.由方差的定義，知離樣本均值越遠(yuǎn)的

點(diǎn)，出現(xiàn)的頻率越大，則樣本數(shù)據(jù)越離散，即方差越大，亦即標(biāo)準(zhǔn)差越大，故

選項(xiàng)B的標(biāo)準(zhǔn)差最大.

另解：也可直接求出標(biāo)準(zhǔn)差再比較大小.故選B.

【點(diǎn)撥】①樣本數(shù)據(jù)(不全相等)中增加一個(gè)平均值后，極差不變，標(biāo)準(zhǔn)

差變小，中位數(shù)不確定.②刪掉樣本數(shù)據(jù)(不全相等)中的最小值和最大值后，

中位數(shù)不變，平均數(shù)不確定，極差、標(biāo)準(zhǔn)差變小或不變.

變式2

(1)某校2023年秋季入學(xué)考試中，某班數(shù)學(xué)平均分為125分，方差為煢.分析

成績(jī)時(shí)發(fā)現(xiàn)有三名同學(xué)的成績(jī)錄入有誤，A同學(xué)的實(shí)際成績(jī)?yōu)?37分，被錯(cuò)錄

為118分；B同學(xué)的實(shí)際成績(jī)?yōu)?15分，被錯(cuò)錄為103分；C同學(xué)的實(shí)際成績(jī)?yōu)?/p>

98分，被錯(cuò)錄為129分.更正后重新統(tǒng)計(jì)，得到方差為登，則謚與赍的大小關(guān)系

為(C)

A.s,=s；B.sf>S2C.Si<S2D.不能確定

解：設(shè)班級(jí)人數(shù)為n(n>0).因?yàn)?18+103+129=137+115+98,所以更正

前后平均分不變.

且(118-125)2+(103-125)2+(129-125)2=549<(137-125)2+

(115-125)2+(98-125)2=973,所以比<sR

故選C.

(2)[2023年新課標(biāo)I卷]【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)%1，不，…，配，其中

久1是最小值，也是最大值，則(BD)

A.%2，久3，久4，％5的平均數(shù)等于%2，…，％6的平均數(shù)

B.g，%3，%4，久5的中位數(shù)等于久1，￡2，…，％6的中位數(shù)

C.&，x3^%4，％5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于%1，%2，…，為6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%2，%3，X4^光5的極差不大于久1，%2，…，％6的極差

解：取％1=1,%2=%3=%4=%5=2,X6—9,貝l|%2，%3，%4，%5的平均數(shù)等于

2,標(biāo)準(zhǔn)差為0,%1，X2/“,X6的平均數(shù)等于3,標(biāo)準(zhǔn)差為手，故A,C均不正確.

根據(jù)中位數(shù)的定義，將%1，X2,…，％6按從小到大的順序進(jìn)行排列，易知%2，%3，%4，%5

的中位數(shù)與％1，為2,…,％6的中位數(shù)相等，故B正確.

根據(jù)極差的定義，知%2，%3，%4，%5的極差不大于久2,…，％6的極差，故D正確.故選

BD.

考點(diǎn)三推斷問(wèn)題

例3【多選題】某環(huán)保局對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)

行檢查督導(dǎo)，若連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：/ig/m3）不超過(guò)100,

則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，否則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).根據(jù)連續(xù)10天

檢查所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，環(huán)境治理一定達(dá)標(biāo)的地區(qū)是（AD）

A.甲地區(qū)：平均數(shù)為80,方差為40B.乙地區(qū)：平均數(shù)為50,眾數(shù)為40

C.丙地區(qū)：中位數(shù)為50,極差為60D.丁地區(qū)：極差為10,80%分位數(shù)為

90

110

解：設(shè)每天的空氣質(zhì)量指數(shù)為/（i=1,2,…,10）,則方差s22（/一元）2

10i=l

1010

對(duì)于A,由二12（期—80）2=40,得2⑶—80）2=400.若這10天中有1天的

10i=li=l

10

空氣質(zhì)量指數(shù)超過(guò)100,則必有2（勾一80）2〉400,矛盾，A正確.

1=1

對(duì)于B,若有8天的空氣質(zhì)量指數(shù)為40,有1天的空氣質(zhì)量指數(shù)為150,有1天

的空氣質(zhì)量指數(shù)為30,則平均數(shù)為50,眾數(shù)為40,但該地區(qū)環(huán)境治理不達(dá)

標(biāo)，所以B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,若第1天的空氣質(zhì)量指數(shù)為1