2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：專項檢測 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題檢測函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減的是()

A.於)=-logyB.成x)=-h11

2

C.,/(x)=2~xD；/(X)=-X2+X

答案c

解析函數(shù)y(x)=-logix在區(qū)間(0,+co)內(nèi)單調(diào)遞增,A不符合題意；

2

函數(shù)J1'在(0,1］上單調(diào)遞增,B不符合題意；

函數(shù)Hx)=2-x在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞減,C符合題意；

函數(shù)Xx)=-N+x在I0,|上單調(diào)遞增,D不符合題意.故選C.

2.函數(shù)段)=2+1,則(

-11

A?+X-l=2=2

,AA.

■\1

C.A<(-=2D.?=2f(-|

答案A

解析函數(shù)人》)=a+1的定義域為(0,1)U(l,+s),

對于A<x)"；)=2+1+白+1=2+白+2=2,故A正確；

xinxin—inx-inx

x

對于B-/(-)=-^-+1-A:-1=-^---=白,故B錯誤；

“JxInxIn-In%-InxInx

x

對于C,D,當(dāng)x=e時次》)=；+1=2/(工)=2+1=0,故C,D錯誤.

1、x-1

故選A.

nx+2~x,x<3,

3.已知函數(shù)火x)=[/?,尤；3,'則加og29)=()

A.-B.-C.-D.-

3399

答案B

nx+2~x,x<3,

解析於)=1d)x>3'由于log29>3,則川og29)J扣g29)Jlog23)=2Sg23+

i,1_io

210g23-3-3,

故選B.

4.已知函數(shù)人x)的部分圖象如圖所示，則|x)的解析式可能是()

A../(x)=xsin2xB./(x)=在由

C?兀尸曷9°sxD<x)=曷-sinx

答案C

解析由圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可知<x)是奇函數(shù),而選項A中而0rsin2x,定義域為R,且作

x)=(-x)-sin(-2x)=xsin因此用;)是偶函數(shù)，故A選項錯誤;選項D中<x)=^g.sinx,

定義域為R,且於%)=蕓三411(-%)=1^.(與11%)=/),因此於)是偶函數(shù),故D選項錯誤;同

理可判斷選項B,C中的函數(shù)都是奇函數(shù)，又由圖象可知函數(shù)在y軸右側(cè)的第一個零點(diǎn)

XO>1,且O<xo-l<l,但對于選項B=2^^_x,X0=71,xo-1=71-1>1,B選項錯誤;對于選項

Cj/(x)=^^cosx,xo=；,xo-l=/-l<l,故C選項正確，故選C.

5.若函數(shù)/)=alnx+(+*存0)既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是(

A.a<QB.Z?<0

C.ab>-1D.a+b>0

答案B

解析函數(shù)加)的定義域為(O,+s)/(X)=?—爰—攜=誓2)

又函數(shù)於)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)/(X)在(0,+8)上有兩個零點(diǎn)，

由存0,所以關(guān)于x的方程ax2-?-26=0有兩個不同的正實數(shù)根XI,X2,

M=(-4)2-4a(-2b)>0,

所以卜1+%2=(>0,

=子〉°，

即a》>-2,a>0,0<0.故選B.

?12

6.設(shè)〃=W=2-e§,c=l-eW則()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

答案B

解析對于函數(shù)於尸e\x-lfa)=eM,令人x)<0,得X<0,令八%)>0,得x>0,

所以函數(shù)於)在(-8,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以"x)min=/(0)=0,則火工后0,即

e恐x+1.所以Z?=2-ei<2-(|+l=|,c=l-e-|<l-i-|+1=|.

211?21Ks>1

由e?<8,得?<8E=2,所以eE<二,則l+e-3=l+—>2/—=—>eE,

e3e3Ne3e3

21

所以l-e?<2-eE,即c<6.所以c<6<a.故選B.

7.函數(shù)次冷是定義在(-4,4)內(nèi)的偶函數(shù)，其圖象如圖所示｛3)=0.設(shè)/U)是Xx)的導(dǎo)函數(shù)，則

關(guān)于x的不等式五x+l)/U)K)的解集是()

.f!

j盤?

A.[0,2]B.[-3,0]U[3,4)

C.(-5,0]U[2,4)D.(-4,0]U[2,3)

答案D

解析由K3)=0,且加0為偶函數(shù)，故於3)=0,

由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合題圖可得當(dāng)xG(-4,0)時/(X)<0,

當(dāng)x@(0,4)時/(力>0八0)=0,

則由於+1)如)汶有虞：二:4,

解得-4<x<3.

亦可得朧藍(lán))>°'或朦瑟)<°,或於+D=o,或小尸。.

由牖竦>°,可得管OT或｛二：最<4,即2X3.

由朧凌)可得｛%2<3.

即-4<x<0,由/(x+l)=0,可得x+l=±3,即x=2或x=-4(舍去，不在定義域內(nèi))，由/(x)=0,可得

x=0.

綜上所述，關(guān)于x的不等式五x+l)/(x)M的解集為(-4,0]U[2,3).故選D.

8.我們把函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積稱為該點(diǎn)的“積值”.設(shè)函數(shù)

危尸代怨4仇圖象上存在不同的三點(diǎn)A,5c其橫坐標(biāo)從左到右依次為孫私犯

(ex-l,x>0

且其縱坐標(biāo)均相等，則A,5,C三點(diǎn)“積值”之和的最大值為()

A.51n6-30B.51n6-60

C.61n5-30D.61n5-60

答案A

解析依題意,A,3,C三點(diǎn)“積值”之和為(xi+%2+X3)y,y=f(xi)=j｛x2)寸羽),

因為丁°,可得加0在(a,-3)和(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，在(-3,0)內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)X--00時；/(X)T-CO<-3)=14<-6)=/(0)=5;

當(dāng)X—+co時次X)一+co河畫出函數(shù)危)的大致圖象如圖.

且有xi<X2<X3,使得_/(xi)yx2)yx3),那么必有xiG[-6,-3),%2(-3,0],%3G[In6,In15),

且xi,x2關(guān)于x=-3對稱，即xi+x2=-6,y=fixi)=f(x2)=J[x3),y[5,14),

xi=-3-J14-y,x2=-3+J14-y,x3=ln(l+y),

貝UA,B,C三點(diǎn)'‘積值”之和(xi+x2+x3)y=yln(l+y)-6y,

令9(y)=yln(l+y)-6y，9Q)="臂詈^A令/i(j)=(l+y)ln(l+y)-5y-6,則/zf(j)=ln(l+y)+l-

5=ln(l+y)-4,顯然勿(y)在[5,14)內(nèi)單調(diào)遞增,勿00<也15-4<0,所以2)在[5,14)內(nèi)單調(diào)遞

減,g)max=61n6-31<0,所以g)<0,所以?”)<0,0任)在[5,14)內(nèi)單調(diào)遞減,

當(dāng)產(chǎn)5時取最大值,°(5)=51n6-30,故選A.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題

目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)人x)的定義域為R,對任意x,y?R都有2f\^'\f\?=於)+處),且火1)=-1,則

下列說法正確的是(

A.於1)=1

B/(x+M為奇函數(shù)

C.fix)-fi2-x)=0

D<1)+八2)^3)+…"2025)=1

答案BCD

解析令尸產(chǎn)1,則賀1/0)=/⑴v⑴=次1),所以的)=1,

令x=-l,產(chǎn)1,則40)於1)=式-1)+H1)=於1),所以於1)=/⑴=1,故A錯誤；

要證f(1為奇函數(shù),只需證H)=0,即fix)+f(l-x)=0,

令x=L,尸0,則紈習(xí)川外力⑴4/0)=。，所以膽)=0,

令產(chǎn)l-x,則4頡孽)=段)+火1-%)=0,故B正確；

令產(chǎn)-x,則40)於)=加)+於%)=動>),所以於)=/(-x),所以火x)為偶函數(shù)，由B可知g-x)=-

於)，所以次1-%)=次￥)=代工),則有/2-x)=7(l-x)=/"),故C正確；

由C可知火2-x)=/(x),又加)為偶函數(shù),所以火2-x)J-x),則於)的周期為2g)=-

1次2)/0)=1,所以/1)"2)"3)+.../2025)=1012x0-l=-l>D正確.故選BCD.

10.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函數(shù)為

兀0=印,印表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列命題中正確的有()

A.mx￡R於)二九-1

B.Vx^R,n^Z^(x+n)=/(x)+n

C.vx,y>0/lgx)+filgy)=filg(xy))

D.SneN*31gl)+/(lg2)+/(lg3)+...+/lga)=92

答案BD

解析對于A,當(dāng)x?Z時<x)=x，當(dāng)x生Z時次x)eZ,而x-leZ,

因此｛x)分-1,A錯誤；

對于8,\/%￡風(fēng)〃?2,令人工)=加,則m<x<m+l,m+n<x+n<m+n+l,

因止匕y(x+")=/n+”=^(x)+〃,B正確；

-111

對于C,取x=』,y=2,0<lg2<l,則貝炮5=-l/lg2)=0/(lg-X2：|=?=0,

顯然/Ug：?+川g2)#'1g■'|x2ij,C錯誤；

對于D,〃GN*,當(dāng)1<H<9時｛1g〃)=0,當(dāng)10W彷99時次1g0=1,而與g100)=2,因此41g

l)+/(lg2)+/(lg3)+...+/(lg99)+/(lg100)=92,此時n=100,D正確.故選BD.

11.已知函數(shù)人勸的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且〃》^(力=力(0)=4，則()

4

B.A1)>-1

(2.而1)在(a,0)內(nèi)單調(diào)遞減

D^x)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增

答案ABD

解析令g(x)=e2笊x),可得83=?2"［母3)+八；叨,因為?x)+/Xx)=x，所以g(x)=e2xx,當(dāng)%>0

時,g3>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時,g(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,又因為1A0)==,所以

g(0)=e°/(0)=T，由g(-l)>g(0)We-R-l)〉-；,可得於1)>芳>-2,所以A正確;又由

g⑴〉g(0),即e2/⑴>一,可得火1)>-2>-1,所以B正確;因為g(x)=e2yg可得火工)=鬻，可

得八%)="?慧X),設(shè)力(%)=8。)-28。),可得Zf(x)=(xe2xy-2xe2x=e2x>0,所以函數(shù)/z(x)為單調(diào)

遞增函數(shù),又因為/i(0)=g'(0)-2g(0)=-2e°f(0)>0,所以f(x)>0,所以>)14(0,+s)上單調(diào)遞增,

所以D正確.故選ABD.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.已知/x)=￡^-sinx是偶函數(shù)，則a=.

答案0

解析由題意可得4-r和，即洋一2且存2,則函數(shù)人為的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱《-

x)-X^a^-sin(-x)=J(x)sinx,即^^7sinx=^^?sinx恒成立，即x-o=x+o,即<2=0.

4-(-x)2八4-xz4-xz4-xz

13.(2024陜西安康模擬)已知函數(shù)危=-3f,若關(guān)于x的不等式

汽x)4(x)在區(qū)間［1,+與上有解，則實數(shù)m的取值范圍是.

答案［5,+8)

解析由題意，知2x3-2mx+m<-3x2,BP2x3+3x2<m(2x-l).

因為+00),所以棺竽手在［1,+00)上有解，只需壯(甯馬.設(shè)

2x-l\2x-l，min

8%3-6X2x(2x+V3)(2x-V3)八

以為=笥矢(右1),得h\x)=-(2%-l)2>U,

(2x-l)2

所以函數(shù)A(x)在［l,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增，所以/l(x)min=/l(l)=5,所以m>5.

所以機(jī)的取值范圍是［5,+8).

14.若對任意的X1,X26口勺,X1<X2,WmxEsmx2<a恒成立，則實數(shù)。的最小值

2%1-%2

為.

答案cos1-sin1

mX1SmX

解析因為XI<九2,-2sm久廣％iSinS2可得九2sinXl-XisinX2>a(x\-X2)-+—>-+巴，構(gòu)

^1~%2X1X1x2x2

造函數(shù)g(x)=^F，因為X1<X2,所以g(x)單調(diào)遞減，所以g'(x)W0,所以g，(x尸”號"Zo,

貝Ud>xcosx-sinx.

令/z(x尸xcos%-sinx,貝！J/z<x尸-xsinx,因為工￡［1,；］,所以/z(x)=-xsin%<0,所以/z(x)單調(diào)遞

減，所以7z(x)max=7z(l)=cos1-sin1,則定cos1-sin1,故a的最小值為cos1-sin1.

四、解答題:本題共5小題，共77分?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.(13分)已如曲線大工尸加+無-21!!%+b(Q,b￡R)在x=2處的切線與直線x+2y+l=0垂直.

⑴求〃的值；

(2)若兀020恒成立，求b的取值范圍.

解(1)由于x+2y+l=0的斜率為一,所以*2)=2,

又八x)=2ax+l-|,故八2)=4。+1-|=2,解得a=|.

⑵由⑴知所以八x)=x+l3=二山=(*+2)(x-i),

2xxx

故當(dāng)%>1時〃x)>0<x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<%<1時/(x)<0段)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=l時段)取最小值火1)三+1+仇

要使加巨0恒成立，則川)=91+處0,解得b>-l，

故6的取值范圍為-|,+oo).

16.（15分）已知函數(shù)兀r）=ae%+x+l.

⑴討論Hx)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)%>1時段)>1嗎+X,求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)函數(shù)定義域為R,且八x)=aex+L

當(dāng)a>0時/(x)>0,所以4x)在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時，令人力>0,可得x<-ln(-a),令八x)<0,可得x>-ln(-a),所以於)在(-00,-皿-0)上單調(diào)

遞增，在(-ln(-a),+s)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a>Q時段)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時段)在O,-ln(-a))上單調(diào)遞增，在(-ln(-

a),+co)上單調(diào)遞減.

(2)不等式y(tǒng)(x)>ln?+x,即ae^+x+lAln,+x,所以elnae'+x+1>ln(x-l)-lna+x,因止匕ex+ln°+ln

a+x>ln(x-1)+x-1,BPe^^+x+lntz>eln(x-1)+ln(x-l).

令〃(x)=e*+x,則有/i(x+lna)>/z(ln(x-l))對于(l,+oo)恒成立.

因為〃'(x)=ex+l>0,

所以/z(x)在R上單調(diào)遞增，

故只需x+lntz>ln(x-l),

即Ina>ln(x-l)-x在(1,+co)上恒成立.

令尺x)=ln(x-l)-x,則曰(%)=二一1=—，令RQ)=O,得x=2.

X-1X-1

當(dāng)x@(l,2)時尸(x)>0,當(dāng)工?(2,+電)時尸(%)<0,所以R(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2,+8)上單

調(diào)遞減，所以F(x)<F(2)=-2.

因此Ina>-2,所以。吟,即實數(shù)a的取值范圍是［2,+sj.

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=?x2-xlnx.

(1)若函數(shù)八》)在(0,+s)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)若〃=2e,證明

⑴解由已知得八x)=ax-lnx-L因為於)在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>0時八x)K),即

介也11恒成立.令丸(為=吧％>0),貝|]“@)=_與，所以當(dāng)0<%<1時,/f(x)>0,當(dāng)x>l

XXx￡

時/。)<0,即g)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+00)上單調(diào)遞減，因此/2(X)max=/l⑴=1,所以O(shè)>\,

故實數(shù)a的取值范圍是[1,+00).

(2)證明若a=2e,要證火x)<xe*+l,只需證ex-ln%<ex+^,BPex-e%<lnx+^.4*/(x)=lnx+|(x>0),

則，@)=咚，所以當(dāng)0<x<l時/(x)<0,當(dāng)x>l時/(x)>0,所以心)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在

(1,+co)上單調(diào)遞增，則f(x)min=*l)=l,所以lnx+R.令9(x)=ex-ex(x>0),貝U"(x)=e-ex,所以

當(dāng)0<%<1時"(x)>0,當(dāng)x>l時,夕。)<0,所以夕(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+oo)上單調(diào)遞減,

貝U9(x)max二9(1)=0,所以ex-ex<0.

所以ex-ex<lnx+1^(x)<xe^+l得證.

18.(17分)已知函數(shù)於尸Hnx+x2,其中〃￡R.

⑴討論?x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=l時,證明:

⑶求證:對任意的〃?N*且定2,都有(1+京|門+5*1+*…[l+*j<e.(其中e為自然

對數(shù)的底數(shù))

⑴解函數(shù)40的定義域為(0,+s)/(x)=/2x=生了，

①當(dāng)a>0時/(x)>0,所以1x)在(0,+到上單調(diào)遞增.

②當(dāng)a<0時，令人x)=0,解得x=

當(dāng)0<x<時/(x)<0心)在(0,內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x>時/(》)>0照)在(11+⑹上單

調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)?>0時,函數(shù)於)在(0,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時，函數(shù)於)在(0,j1)內(nèi)單調(diào)遞減，在

(月,+oo)上單調(diào)遞增.

(2)證明當(dāng)a=l時必:)=ln%+%2,要證明汽%)32+/1,即證山爛x-1,即證Inx-x+lSO.設(shè)

g(x)=ln冗-冗+1,則且3=號，令gQ)=O,得%=1.當(dāng)冗￡(0,1)時,g3>O,ga)單調(diào)遞增，當(dāng)

x￡(l,+co)時,g3<0,g(x)單調(diào)遞減所以g(x)在x=l處取得極大值，且極大值為最大值，所

以g(x)Sg⑴=0,即In/x+lSO/Rsr+x-l得證.

(3)證明由(2)ln/龍-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立)，令x=l+*,則ln(l+*)<*,所以

ill11111_11_