2025高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破之圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題（含答案）

重難點(diǎn)突破之圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題

430)8淖小二+二=l(a>b>0)

71

1.(2024?浙江金華一模)已知和I一)為橢圓。：a-b-'上兩點(diǎn).

⑴求橢圓。的離心率；

⑵過(guò)點(diǎn)(T，°)的直線7與橢圓。交于。，左兩點(diǎn)(D,E不在工軸上).

(i)若一Q)E的面積為3,求直線7的方程；

(ii)直線4。和月E分別與J'軸交于A4，N兩點(diǎn),求證：以AO,為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值.

左叱六。)過(guò)點(diǎn)(4),其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為％下

2.(24-25高三上?天津南開(kāi)?階段練習(xí))已知橢圓

頂點(diǎn)為B,若作與J軸不重合且不平行的直線7交橢圓E于RQ兩點(diǎn)，直線即，電分別與工軸交于M，N

兩點(diǎn).

①求橢圓月的方程；

4

(2)當(dāng)點(diǎn)M，N橫坐標(biāo)的乘積為1■時(shí)，試探究直線，是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定

點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2024?廣西柳州?一模）在平面直角坐標(biāo)系X。'中，尸為直線2上一動(dòng)點(diǎn)，橢圓E：

+了=1＜。＞0）的左右頂點(diǎn)分別為M（M,o）,N（"o）,上、下頂點(diǎn)分別為°」）,

S9-1I.若直線打交E于另一點(diǎn)A,直線PS交E于另一點(diǎn)反

⑴求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵求四邊形月SBT面積的最大值.

、P.____=?

4.（2024?浙江臺(tái)州?一模）已知拋物線「廠=打的焦點(diǎn)為歹，準(zhǔn)線為兀雙曲線~~~6~的左焦點(diǎn)

為T(mén).

⑴求；的方程和雙曲線「的漸近線方程；

（2）設(shè)°為拋物線「和雙曲線匚的一個(gè)公共點(diǎn)，求證：直線8與拋物線「相切；

⑶設(shè)「為『上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與雙曲線匚的左、右兩支分別交于48兩點(diǎn)，直線所與拋物線「交于

1y/3

不同的兩點(diǎn)a。，判斷warq是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

C：—+■l（0>h>0）rpk

5.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知橢圓70-的左右焦點(diǎn)分別為用，門(mén)，上頂點(diǎn)

為P，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4力，直線肛的傾斜角為135。

⑴求直線尸泥的方程及橢圓。的方程.

1+1

⑵若橢圓。上的兩動(dòng)點(diǎn)A,B均在'軸上方，且“取配,求證：閥I網(wǎng)的值為定值.

⑶在（2）的條件下求四邊形的.印口的面積S的取值范圍.

6.（24-25高二上?河南南陽(yáng)?期中）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到,?軸的距離為乙且|。尸|~+〃才，其

中人“均為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為（入閨曲線.

⑴判斷仁-31曲線為何種圓錐曲線.

⑵若（兒川曲線為雙曲線，試問(wèn)4〃應(yīng)滿足什么條件？

-1、

⑶設(shè)曲線。為目4）曲線，斜率為上?#°且"7的直線’過(guò)。的右焦點(diǎn)，且與C交于4B兩個(gè)不同的點(diǎn).

（i）若片=1,求口回；

（ii）若點(diǎn)B關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,試證明直線4D過(guò)定點(diǎn).

7.（2024.云南大理.一模）已知橢圓。的兩個(gè)焦點(diǎn)為"卜"MW6⑼，且橢圓C的離心率為丁

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為"灰W”的直線7與橢圓。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)AB,且弦48的中點(diǎn)為E,

直線OE的斜率為比，求上汽；

⑶直線Z與橢圓。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)2°,橢圓。在點(diǎn)只。處的切線分別為1與4交于點(diǎn)I?，點(diǎn)T

在直線x=4上.請(qǐng)你判斷直線2是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

8.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：7+廬="">">"的離心率為I,右頂點(diǎn)。與。的上，

下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為2石.

⑴求0的方程；

1

⑵不過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線/與。交于A,5兩點(diǎn)，直線3與3的斜率之積恒為證明直線,過(guò)定點(diǎn)，并求

出這個(gè)定點(diǎn).

9.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）如圖，現(xiàn)用一個(gè)與圓柱底面成d角的平面a截圓柱，所得截面是一個(gè)橢圓

C,在平面a上建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.若圓柱的底面圓的半徑為2,3

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)2（小,九）為橢圓C上任意一點(diǎn)，；為橢圓。在點(diǎn)P處的切線.設(shè)橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為尸，耳，它

們到切線i的距離分別為d：,G,試判斷dd：是否為定值？若是，求其定值；若不是，說(shuō)明理由.

10.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)⑹二”，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上運(yùn)動(dòng)，PD1X

軸，垂足為。，點(diǎn)M滿足2，點(diǎn)M的軌跡為W,過(guò)點(diǎn)13J的直線/交W于點(diǎn)E、F.

（1）求W的方程；

⑵若直線/的傾斜角為60°,求直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)；

⑶設(shè)直線AE,的斜率分別為4,3，證明左為定值，并求出該定值.

11.（2024?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線°：廠=?*（戶>°i的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)“億」是。上的一點(diǎn)，

且陷卜2

⑴求拋物線。的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)出JFh'lLJ"（其中H<4）是C上異于M的兩點(diǎn)，乙4A面的角平分線與x軸垂直，N為線

段的中點(diǎn).

（i）求證：點(diǎn)"在定直線上；

（ii）若一心歸的面積為6,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

、.C，—r+-^-=1（G>b>0）

12.（2024高二上?江蘇?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系XQ中，已知橢圓aO-'的左頂

點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為8,右焦點(diǎn)為F,連接B尸并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)橢圓尸.

⑴若5,求橢圓C的方程，

2.玖”

⑵若直線與直線AP的斜率之比是-2,證明：S_“為定值，并求出定值.

■■真題實(shí)戰(zhàn)演練

c.y*?.>方>、

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知橢圓7/=’，的離心率是亍，點(diǎn)“（T°）在。上.

⑴求。的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)的直線交。于RQ兩點(diǎn)，直線力R幺。與J軸的交點(diǎn)分別為M，N,證明：線段的中點(diǎn)

為定點(diǎn).

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（一26刀1離心率為3.

⑴求C的方程；

⑵記C的左、右頂點(diǎn)分別為A,a,過(guò)點(diǎn)I的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在第二象限，直

線的與初】交于點(diǎn)P.證明:點(diǎn)尸在定直線上.

3.(2024?全國(guó)?高考真題)已知雙曲線C：r-r:=n(jn>0)點(diǎn)耳(5,4)在上，

}14為常數(shù)，

0<^<1.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)月(”=,3,…)：過(guò)P作斜率為M的直線與。的左支交于點(diǎn)Q,令

E為2T關(guān)于J軸的對(duì)稱點(diǎn)，記E的坐標(biāo)為工JJ

(1)若-,求L-L；

1+k

(2)證明：數(shù)列卜「工)是公比為1:7■的等比數(shù)列；

⑶設(shè)￡為：的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)“，s?s

E\l(a>b>0)—

4.(2023?北京?高考真題)已知橢圓a-b-/的離心率為3,A、C分別是E的上、下頂

點(diǎn)，B,。分別是E的左、右頂點(diǎn)，1=4.

⑴求E的方程；

(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線PD與直線反'交于點(diǎn)直線P4與直線J=-2交于點(diǎn)N.求

證：MNIICD.

重難點(diǎn)突破之圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題

?最新模擬精練

430）石淖小二+二=l（a>b>0）

71

1.（2024?浙江金華一模）已知—Ui和I一）為橢圓。：a-b-'上兩點(diǎn).

⑴求橢圓。的離心率；

⑵過(guò)點(diǎn)（T，°）的直線7與橢圓。交于。，左兩點(diǎn)（D,E不在工軸上）.

（i）若一的面積為3,求直線1的方程；

（ii）直線4。和月E分別與J'軸交于M,N兩點(diǎn)，求證：以AW為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值.

【答案】⑴虧

⑵（i）x士冉+1=0；國(guó)）證明見(jiàn)解析

【難度】0.4

【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中的定值問(wèn)題、橢圓中三角形（四邊形）的面積

【分析】（1）根據(jù)給定的點(diǎn)A和8在橢圓上，以及橢圓的離心率公式求出橢圓的離心率；

（2）（i）借助韋達(dá)定理和面積公式計(jì)算即可；（ii）可借助韋達(dá)定理和圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由山,°）可知"=4,求出

由用L三=1

代入【-得44b2,加=1,

則c，=4-1=3,C=,

可知橢圓。的離心率為a2.

—+r-=1

（2）（i）由（1）可知橢圓。的方程為4',

設(shè)。（A，jJ,第三心），過(guò)點(diǎn)一°的直線；為K=啊-1,

與聯(lián)立得：.+鐘尸-2叼-3=0人4疝+口標(biāo)+4）>0恒成立

2）n-3

r+r.=———rr.=———

所以一"一評(píng)-+4,一,一評(píng)一4

“L；3帆-川-；3-6-^^--6

JJ）71+4

得）對(duì)=2,所以加-土盧，直線的方程7為：x±Wj+l=O.

-8

'+勺=)》(n+□)-

（ii）由（i）可知,nr+4

上—4加一+4

r.r,=/丁】-nnr.+r.1+14=——；-----

)71+4

y=J；?x-2)y=一":

直線”的方程為"％-2」令1-0,得"“為-2

r,Q-2r,

)'-——(zx-2)J]■——

直線4E的方程為,令\=0,得&-2,

記以MV為直徑的圓與x軸交于P，0兩點(diǎn)，

由圓的弦長(zhǎng)公式可知,

4J.Ji

2x2-2x2-2(xI+r,)+4

-12

M?4

-4nr1+4

—;-----+—

nr+4)n

所以?73,為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法:

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān);

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.解題時(shí)，要將問(wèn)題合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)

化，轉(zhuǎn)化成易于計(jì)算的方向.

￡—+^-=l（a>d>0）卜理］

2.（24-25高三上,天津南開(kāi)?階段練習(xí)）已知橢圓a'b'過(guò)點(diǎn)I-九其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,下

頂點(diǎn)為B,若作與F軸不重合且不平行的直線7交橢圓E于只。兩點(diǎn)，直線即，理分別與x軸交于

兩點(diǎn).

⑴求橢圓目的方程；

4_

⑵當(dāng)點(diǎn)“，N橫坐標(biāo)的乘積為‘時(shí)，試探究直線；是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定

點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）4

⑵直線，過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為（°2L

【難度】0.4

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【分析】（1）先求出〃，再代入點(diǎn)I解出匕，進(jìn)而得到橢圓方程;

__8為71_W-4

（2）設(shè)直線也的方程為J?h+m,直曲聯(lián)立解出<+"-1+4/'樸'=1+4二，再由

“'%%0+3中+”（工+4）+（用+1廣，解出加值即可.

（rj\3

1J31不

%1~1+4=1,d=l

【詳解】（1）由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,可知/=』&=-,將I代入橢圓方程：4b-

--+r;=1

所以橢圓片的方程為：4'.

⑵設(shè)直線也的方程為."h+叫由

廣巴.IX（j=2^

則直線BP的方程為茍，令了=°,得”一+1,

X,

X、-——

同理可得‘工+1,

x,.r-3______________"

斫以'5+1）,仇+1）體+加+1）（%+）”+1）

XMXv=--------------------------：--------------------r

所以k-x.x.+<|/n+l)-(x.+r,)+(w+l)'

把直線J-b+*代入橢圓方程了+'-1中,得出(1+4/9+8方加+4位

一8M71W-4

X.+X.=--------X,X.-----------

所以*1+41*1+4K,

r.X,4

rw八--------------!~：-------------r--

代入々X工+々(m+1)(為+工)+(加+1r3

4(吁1)4

-----------=—,)71=一

化簡(jiǎn)得加+13,

所以直線過(guò)定點(diǎn)（02）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題意得出'4'3+網(wǎng)辦+1）?崎+人）+（切+1「再代入

8x?n4療-4

,*1+4笛”'21+4/化簡(jiǎn)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).

3.（2024?廣西柳州?一模）在平面直角坐標(biāo)系XQ，中，p為直線j=?上一動(dòng)點(diǎn)，橢圓E：

/+*="">">"的左右頂點(diǎn)分別為⑼，M"。），上、下頂點(diǎn)分別為7（。］）,

y,0--11.若直線打交E于另一點(diǎn)A,直線PS交E于另一點(diǎn)B.

（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo);

（2）求四邊形HSET面積的最大值.

（0.1）

【答案】⑴證明見(jiàn)解析，2

⑵而

【難度】0.4

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、

求橢圓中的最值問(wèn)題

【分析】（1）依題求出橢圓方程,設(shè)「億；），由直線以，用方程分別與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)48的

坐標(biāo)，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在J軸上，設(shè)為G（°”），由儲(chǔ)「■句”‘求出加的值即得；

（2）根據(jù)圖形，可得四邊形4s5r的面積I,代入'「KT和+18,經(jīng)

過(guò)換元，運(yùn)用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積最大值.

【詳解】（1）

設(shè)「億2）,

如圖,

r=-x+12、

當(dāng)“0時(shí)，直線H4的方程為」t,代入'

F+2，4nT

——x-+-x=0r.=-——J,=—人士㈡

得卜t貝Ut-+2,從而,廣+2,點(diǎn)r+2r+2

V■一K-12n

又直線小的方程為：.t，代入X+4=一,

f+1821212，/-18口12/_18

—；—t---x=0n,v,八=—：----5（----,—；---1

得產(chǎn)t則r+1S,從而,"廣+18,點(diǎn)7-+1Sr+18,

由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在J'軸上，設(shè)為GI0,加）

產(chǎn)+2產(chǎn)+18

由匕「心，即F+3一產(chǎn)+18,化簡(jiǎn)得加（4廣+24）=2產(chǎn)+12

1

因％,+12>0故得加=1,解得2.

即直線43過(guò)定點(diǎn)（叼），而當(dāng)t=o時(shí)，直線4B也過(guò)定點(diǎn)

（0,1）

綜上，直線4B恒過(guò)定點(diǎn)2.

（2）

;72=1+—>2^6（-

令1H,當(dāng)且僅當(dāng)，■士J6時(shí)等號(hào)成立，

I6）n16

-3=.=Q

"+8加+當(dāng)

）n

因）=?'+；在（2,2'+8）上單調(diào)遞增，而）"N2而>2。，

S?臀J

故當(dāng)切?？而時(shí)，四邊形ASST面積有最大值+8.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)和四邊形面積的最值問(wèn)題，數(shù)據(jù)計(jì)算較大.

求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般是通過(guò)消參后將直線方程化成含一個(gè)參數(shù)的方程，再求定點(diǎn)；對(duì)于四邊形面積

問(wèn)題，常運(yùn)用合理的拆分或拼接，使其表達(dá)式易于得到，再利用基本不等式，或函數(shù)的單調(diào)性求其范圍即

可.

r■—2---1

4.（2024?浙江臺(tái)州?一模）已知拋物線°4、的焦點(diǎn)為歹，準(zhǔn)線為，，雙曲線：36的左焦點(diǎn)

為T(mén).

⑴求i的方程和雙曲線「的漸近線方程；

⑵設(shè)。為拋物線「和雙曲線「的一個(gè)公共點(diǎn)，求證：直線0r與拋物線「相切；

⑶設(shè)尸為/上的動(dòng)點(diǎn)，且直線可與雙曲線「，的左、右兩支分別交于48兩點(diǎn)，直線即與拋物線「交于

1欄

不同的兩點(diǎn)CD,判斷.卻K’q是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴準(zhǔn)線，的方程為x--i,雙曲線的漸近線方程為

(2)證明見(jiàn)解析

石

⑶是，6.

【難度】0.4

【知識(shí)點(diǎn)】已知方程求雙曲線的漸近線、拋物線中的定值問(wèn)題、根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線、判斷直線

與拋物線的位置關(guān)系

【分析】(1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程及雙曲線的漸近線方程即可求解；

=6fx-73r+3=0

(2)結(jié)合題意聯(lián)立方程組L『=4X和，化簡(jiǎn)即可求解；

rj'=-^(r-l)

⑶由題意得%,設(shè)%:7?松+卯”：/??2?1),聯(lián)立方程組b'=4x和

>=k(x+3)

二廠一廠=6,利用韋達(dá)定理表示|8|和|八用，化簡(jiǎn)即可證明.

【詳解】(1)準(zhǔn)線7的方程為、=-1,雙曲線的漸近線方程為『=±伍.

尸_/=6

(2)聯(lián)立方程組b'=4x,

消去丁得f-2.1-3=0,解得1=3(舍負(fù))，由對(duì)稱性，不妨取0(3,?3)，

又由口-3,0),求得直線。的方程為"祗'+3=0,

K一病+3=0

(

聯(lián)立方程組1/=公，消去工得b-4向+11=0,

因?yàn)椤?(-4.-48=0,所以直線0T與拋物線「相切.

（3）因?yàn)?,0）,b（1,0）,得準(zhǔn)線7為線段7F的中垂線,

則直線PT與直線期的傾斜角互補(bǔ)，即1

設(shè)，“：j?％（x+3）,41?■尚-1）,由條件知。（卜卜",

j=-k(x-l)

聯(lián)立方程組,r=4x,消去F得AM?(*+4"+F?o,

貝產(chǎn)i+華

j=1T+3）

聯(lián)立方程組匕丁一廠=6,消去得（2-月）犬-2心-方-6=0,

4&月+1)

則網(wǎng)卜

2-k:~

J____42孑-kz辰.2-〉+3/舊

所以畫(huà)+畫(huà)-4瘋工+1）*a+1）?4限工+1）.彳

-L+兌j

故M他為定值1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題，一般可通過(guò)聯(lián)立方程組并消

元得到關(guān)于t或J的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系

式，該關(guān)系中含有'、，JJ」或'+/最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函

數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題.

C：L+L=1（。>。>0）wr

5.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知橢圓①O'的左右焦點(diǎn)分別為'，巧，上頂點(diǎn)

為P,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40,直線黑的傾斜角為135。

⑴求直線尸居的方程及橢圓C的方程.

11

I--

（2）若橢圓C上的兩動(dòng)點(diǎn)A,3均在X軸上方，且‘尸’盟，求證：I⑷1怛的值為定值.

⑶在（2）的條件下求四邊形的月網(wǎng)口的面積S的取值范圍.

、+--■1

【答案】⑴J=T+-,S4

⑵證明見(jiàn)解析

（3）0<^<4j2

【難度】0.4

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、橢圓中的定值問(wèn)題、求橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、根據(jù)韋達(dá)定理求

參數(shù)

【分析】（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)的長(zhǎng)度可求a的值，又利用點(diǎn)尸和直線黑的傾斜角可得。=。，進(jìn)而用

a-/+c：可求九c,從而可得直線方程和橢圓的方程；

X=-r2

(2)設(shè)4z，j\),取，幾)，則B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)鳳二J),即鼠=-心，由居盟的斜率可得

W三點(diǎn)共線,進(jìn)而得倒HMI,設(shè)RB'r-即'-?代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可得

,,_4加_41.1

-疝+2,J'"—疝+2,從而計(jì)算I團(tuán)因I可得結(jié)果；

(3)由題意可知四邊形4BE尸為梯形，由點(diǎn)后到直線月區(qū)的距離可得高入，進(jìn)而結(jié)合梯形的面積公式利

用基本不等式可得結(jié)果.

【詳解】(1)由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4可得2a=4「，a=2，

因?yàn)辄c(diǎn)尸上頂點(diǎn)，直線盟的傾斜角為135°,

所以R3冏中，N0KP=4S,則曾卜明卜》=，，

又加+c'=a：=8,貝

因?yàn)椋?31351-1,尸(0,2),

所以直線產(chǎn)定的方程為『■-1+?.

2J

.V11

---+----=I

橢圓C的方程為84.

⑵設(shè)義耳儲(chǔ))，不血)，耳(-2,0),理(2,0)

工=-4

則B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)"Q.J，),即b-.=-y：,

J._=A_-A

由AFHBFL,X.+2r.-2+2

-4耳產(chǎn)'三點(diǎn)共線,又△慶陽(yáng)二△E'。%|網(wǎng)|=|皆不.

III_III_I例

西西-阿西TH耳ii4不

設(shè):K=w-?代入橢圓方程得

4)n…4

(加+2獷-4*4?03?32(疝+1),兒+八?廬石，川'廣一幫73

\AB'\=再小疝就巫"工的丁

nr+2)7i'+2,

________4

I短IIB'F卜N^TTTIJ.I昕伉「(/十0^772,

40(加+1)

1?1_⑷_)+25

即|\BF,||M||B耳廣4(M+1)

m:+2

h=d=-

(3)四邊形月即耳為梯形，‘f"J"+l

即|+1即1=1題|+1H孫

nr+2

S=；(|)耳l+l明岫-8V

令，=加+1,貝獷+1?川+2,(電1)

0<S=8W---8V2-J__^4>/2

V+1A1

=-r2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)“(EJ),即匕-一二，進(jìn)而由平行關(guān)系判斷4凡F三點(diǎn)

共

4加_41.]

線，設(shè)月F:X=)?-2,由韋達(dá)定理可得L+JL齊巨，,'J,"")?!-+2,從而計(jì)算1網(wǎng)1囪I可得

結(jié)果；

.8。加+1

在求PI+2的范圍的時(shí)候，通過(guò)變形利用基本不等式可求最大值即可.

6.(24-25高二上?河南南陽(yáng)?期中)已知Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸到、：軸的距離為乙且|°尸|"+〃才，其

中九〃均為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為區(qū)川曲線.

(1)判斷匚T)曲線為何種圓錐曲線.

(2)若曲線為雙曲線，試問(wèn)4”應(yīng)滿足什么條件？

⑶設(shè)曲線。為(3<)曲線，斜率為乂左"°且”的直線7過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與。交于48兩個(gè)不同的點(diǎn).

(i)若欠=1,求4可；

<ii)若點(diǎn)B關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，試證明直線40過(guò)定點(diǎn).

【答案】⑴橢圓

⑵…且

⑶(i)2有；(H)證明見(jiàn)解析

【難度】0.4

【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線中的弦長(zhǎng)、根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)的范圍、求平面軌跡方程、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【分析】(1)設(shè)R|J),根據(jù)曲線的定義，可得F的坐標(biāo)滿足的方程，分析可得結(jié)果.

x2(1-")尸

(2)將廠+廠=T+4「整理為44，根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)分析可得結(jié)果.

(3)(i)先根據(jù)C為(3，箱曲線可得曲線。的方程，利用雙曲線的性質(zhì)及弦長(zhǎng)公式易得結(jié)果；

(ii)先設(shè)出直線力。的點(diǎn)斜式方程，由對(duì)稱性得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)必在X軸上，令J?0,結(jié)合韋達(dá)定理

化簡(jiǎn)可得定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)設(shè)尸(KJ),由P可…肝,得/+尸一"爐，

，

當(dāng);l=L〃=-3時(shí)，x;+.r-2-3r',即牙+",所以。-3)曲線為橢圓.

(2)由+廣得/+(1-4爐=4

若(入川曲線為雙曲線，則4?0,

X1(I-4)」?

所以/+J：-，+川''可化為萬(wàn)'+1―

上^<0

所以矛，貝伊>L

故人〃應(yīng)滿足4*0且">L(九川曲線為雙曲線.

(3)由彳=3,"=4,得曲線。的方程為三

則。的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(二°所以直線i的方程為『二k,r-2|.

聯(lián)立■-尸=L^(l-3r)r-+12k\-12<;-3=0

12k2

…=-b

12^+3

設(shè)4kjJ,用JJJ,則1-3月

%+(=6,

15

X|Z=弁，

(i)若上=1,則

|>4B|=Vl+1：+v.)'-4,v,x,=2V3

(ii)因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,所以

根據(jù)對(duì)稱性可知，直線月。經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)必在x軸上,

X.―1'1?4-X■I'

令『=。，得1儲(chǔ)+幾

^(Xj-Zlx.+xkix.-2|總:一次(:V[+].?

k(rI-2)+k(x:-2)k\xl^x2)-4k

當(dāng)kwO且時(shí),

_12k~+3-12^_3

-6犬-2(3犬

故直線40過(guò)定點(diǎn)

【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于理解并應(yīng)用曲線的定義進(jìn)行分析，考查對(duì)新定義的理解和應(yīng)用.

7.（2024?云南大理?-模）已知橢圓。的兩個(gè)焦點(diǎn)為刈一五°"（且橢圓C的離心率為丁

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為用依I的直線7與橢圓。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)AB,且弦4B的中點(diǎn)為后，

直線ON的斜率為總，求k匕；

⑶直線工與橢圓。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)RQ,橢圓。在點(diǎn)R2處的切線分別為與4交于點(diǎn)7,點(diǎn)7

在直線x=4上.請(qǐng)你判斷直線Z是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

X2,1

—+1'~=1

【答案】（1）4■；

k-k,=-—

（2）'-4；

⑶直線乙恒過(guò)定點(diǎn)理由見(jiàn)解析

【難度】0.15

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、橢圓中的定值問(wèn)題、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、根據(jù)

a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

【分析】（1）根據(jù)離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組，求出口力，得到橢圓方程；

（2）方法一：利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解；方法二：設(shè)&%川，一占，入1，￡'，7。）,直線i：J=O+'表達(dá)出

一卜呼

咕=告支結(jié)合卜=】《，從而得至產(chǎn)=4；

方法三：設(shè)4（為，「L8工JJEMJ"直線1）="尸+<聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理得到兩根

；Q=_Lkk__L

之和，從而4/r+l,故X。-4用，求出“4；

__4r

（3）方法一：設(shè)+聯(lián)立橢圓方程，由△=（）得到5：=4/+1,由韋達(dá)定理得到‘=7一，

r,--5=—,r=Z,：-^-+rj'-1r.

s,故y>4幾，得到4,1,同理可得，-4,4,聯(lián)立心，4,求出

4（月-打）

xy=

3「“二，結(jié)合虧=4,求出3,-卬4+工（一心?0,設(shè)￡了=切+凡則

即+對(duì)心-（0+”）幾+幾一九=0,整理得（"1）（J「J4）=0,又「產(chǎn)果，貝陋=1,從而求出直線上

恒過(guò)定點(diǎn)（10）.

-5-

p（rrjy=Jl--r-TA-+rj*-1

方法二：點(diǎn)r"J"在V4時(shí)，求導(dǎo)，得到切線斜率，4「，求出4,同理可得

x4xx_4（jj-幾）

二彳+JjT,聯(lián)立二乙，求出」一結(jié)合3?4,求出+設(shè)

Lx■可+”，則（劭',+〃認(rèn)+J「J\=0,整理得=又J「幾，則".1,

從而求出直線工恒過(guò)定點(diǎn)（L（）L

1+匚=l（a>b>0）

【詳解】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：a:rb:'

--+廠=1

.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：4”.

（2）方法一：點(diǎn)差法：

X+與=2x0

設(shè)4（X|J|）,3（"aM），"優(yōu)Jo）,則J1+『二=2Jo①,

4

/+r:=1

又AB在橢圓。上，貝U,(4八

產(chǎn)+《-『；=0

兩式相減得:

(Xj+xJJXj-rJ

+*y.+j)(y,-j)-0

即:411②，

2r(r,-X.)

—o——+2r(r,-r,=0

由①②得，40

而X「X|'X。-4

方法二：橢圓方程代換：

設(shè)4(卬JJ15(V,JJI(.%,以)，直線7:r=ktx+1,

%+4

儲(chǔ)+心

Jo

2①,

y2+J：

0Ji-J.-2

9②，

才+『”1

姆2.

.針AL即J"弓③,

又

7(X12-X：)1

欠其-----;----;-■一■?

由①②③得，v:-x>4

方法三：聯(lián)立方程：

設(shè)4(r”j]),8(),以/,九)，直線，J—%#+，,

八+心

Jo

2①，

聯(lián)立方程得，(優(yōu)'+1)人則+附?4)?0,

8k/

欽：+1②，

4V

由①②得，-叼\

則4Z+14k}+1

幾_4片+1_1

ynrF

又叫+1,

用1,■一；

（3）設(shè)P（0JJ2（U）,先求橢圓c在點(diǎn)HQ處的切線34的方程.

方法一：根據(jù)判別式A-0求解

橢圓C在點(diǎn)處的切線4,設(shè)kJ?rx+s,

聯(lián)立方程［r=m+s得，（4八1心83件：?4）?°,

△-64（4r2-52+l）-0=>32-4r2+l

L,:衛(wèi)+JJ-1

同理可得，?4'”.

.—4+JAV4Ai（?-兒）\

處+JJ=1.3F”4（f）

4-，可得T點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即XJ3-XJ,,

又>?4,可得，xjj-q\+梟-心=0,

由題意可知直線2的斜率不為o,設(shè)=、=可+，

（用幾+%認(rèn)-（呻:+〃了,+幾-J,=0,整理得，

（"凡=。,gp（?-D（jj-%）=0.

又入‘打，則只=L

」：“州+1,即直線Z恒過(guò)定點(diǎn)（LO）.

即『予.T,當(dāng)點(diǎn)p心"在—Ff時(shí),

L:一+rj'-1

同理可得,4

同理可得，-苧+加1

4優(yōu)-兒)

4(心一兒)

，可得T點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即,

又看.4,可得，=

由題意可知直線2的斜率不為o,設(shè)甯+2

()磯+必'「卜磯+力仇+J,-J\=0,整理得，

(力-1仇?何?I)幾■0gp(M-1)(/)-r4)-0

又J-L,則〃=1.

；"口=即,+1,即直線Z恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).

【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：過(guò)圓(x-°「+(1-"「=廠上一點(diǎn)(或J"的切線方程為：

2

(r0-a)(x-a)+(r-z>)(j'0-d)=r

過(guò)圓(x-"+(J'-"=r'外一點(diǎn)阮㈤的切點(diǎn)弦方程為：

工+匚?1M+JV=1

過(guò)橢圓a，b:上一點(diǎn)？出八」；的切線方程為a；b:,

S_2L=1V-JV.i

過(guò)雙曲線a：b-上一點(diǎn)P（MC，：的切線方程為a；b:

X2J，21

r?l（a>匕>0）—c-

8.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：a-b'的離心率為2,右頂點(diǎn)Q與。的上，

下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為2近.

（1）求。的方程；

1

⑵不過(guò)點(diǎn)。的動(dòng)直線7與。交于八，s兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為1，證明直線，過(guò)定點(diǎn)，并求

出這個(gè)定點(diǎn).

三+匚=1

【答案】（1）43；

⑵證明見(jiàn)解析；㈠⑼

【難度】0.4

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、根據(jù)a、

b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得；

（2）對(duì)直線i的斜率分等于0和不等于0討論，設(shè)出直線’的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公

式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得.

c.X?/11C1

C*.—+.=1

【詳解】（1）令橢圓a-b-的半焦距為c,由離心率為2,得a2,

解得a=2c,b=Ja:-cz=&,

由三角形面積為L(zhǎng),得曲=2有，貝a=1,b=出,

x2V1.

--+--二］

所以C的方程是43.

（2）由（1）知，點(diǎn)端。），當(dāng)直線7的斜率為0時(shí),設(shè)直線‘：『="一"<’<招），

/54

則仆初卬，且了+^=1,即一寸，

"'kvl-2+xK~~4-r"4,不合題意；

當(dāng)直線，的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線：的方程為x=g+”,設(shè)4』/），口\：/），

X,他'十月

由13（+4尸?12消去尤得：（3"+4）/+前叩+3點(diǎn)-12?0,

6mn3w2-12

則"1-菽6".而，

直線Q4與3的斜率分別為"X-2,4-2,

,,JJ'J,

kni-knlt----------匕乙-----------------------坦:-------------

于是心(町+n-2X)m\+n-2)?rrkr;+"〃-2)0',+.!,,)+(?-2)-

獷-12

._______________如1'+4_____________

3M2-12,76wi/