2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)突破練：直線與圓（提升篇）

專題突破練(分值104分)

?學(xué)生用書P199

主干知識達標(biāo)練

1.(2024遼寧大連一模)過點(-1,1)和(1,3),且圓心在無軸上的圓的方程為()

A.f+y2=4B.O2)2+V=8

C.(X-1)2+/=5D.(X-2)2+/=10

答案D

解析設(shè)該圓圓心為(。,0),半徑為r,則該圓方程為(彳-(1)2+丁=戶,把點(-1,1)和(1,3)代入，則有

"二:解得｛二3故該圓方程為。-2)2+V=10.故選D.

2.(2024河北保定模擬)已知直線/i：or+2y+b=0與直線/2：bx-y+a=0垂直，則cr+b1的最小值為()

A.2B.4C,6D.8

答案B

角星析因為直線/i：〃x+2y+b=0與直線/2：bx-y+〃=0垂直，

所以"-2x1=0,即ab=2,所以a2+b2>2ab=4,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=。=&或4=/?=-企時等號成立.

即次+從的最小值為4.故選B.

3.(2024遼寧撫順三模)已知直線產(chǎn)x+1與圓。:元2+尸=5相交于MN兩點,O為坐標(biāo)原點，則△MON的

面積為()

A.|3B.2C.|5D.4

答案A

解析設(shè)點O到直線MN的距離為4則1=吐祟=’，又|MN|=215-G)2=4=3&,所以以

V227V2V2

MON=^X3V2X亨=|.故選A.

4.(2024江蘇海安模擬)已知直線3x+4y-4=0與圓C相切于點7(0,1),圓心C在直線無-y=0上，則圓C

的方程為()

A.(x-3)2+(y-3)2=13

B.(x-3)2+(y+3)2=25

C.(X+3)2+S-3)2=13

D.(X+3)2+Q+3)2=25

答案D

解析由題意，設(shè)C(a,a)(a/)),圓C的半徑為r,所以kcr~~=*解得a--3,

所以圓心C(-3,-3),半徑r=[C7]=](-3-0)2+(-3-1)2=5,所以圓C的方程為(x+3)2+(y+3)2=25.故選D.

5.(2024山東聊城二模)若圓G：/+y2=l與圓。2：(*〃)2+白力)2=4恰有一條公切線，則下列直線一定不

經(jīng)過點(。力)的是()

A.2x+y-V2=0B.2x-y+2=0

C.x+y-V2=0D.x-y+2=0

答案D

解析由題可得，圓Ci^+y2=1的圓心G(0,0),半徑片二1,圓C2：(x-〃)2+(y-b)2=4的圓心。2(。力)，半徑

升2=2,且兩圓內(nèi)切，所以|。1。2|二|「1-r2|,即〃2+/=1,表示以(0,0)為圓心,1為半徑的圓.

圓心(0,0)到直線2x+y-或=0的距離為跌專淚=則該直線一定過點(〃力),故A錯誤；

圓心(0,0)到直線2x-y+2=0的距離為上浮=等<1,則該直線一定過點3力),故B錯誤；

圓心(0,0)到直線x+y-V2=0的距離為崎0=1,則該直線過點(。力)，故C錯誤；

圓心(0,0)到直線x-y+2=0的距離為上浮=&>1,則該直線不過點(°力)，故D正確.故選D.

6.(多選題)(2024河北滄州模擬)已知圓Ci：f+y2-2x-2y-2=0,圓Czl+p&x-lOy+BZuO,則下列選項正確

的是()

A.直線C1C2的方程為4x-3y-l=0

B.圓G和圓C2共有4條公切線

C.若分別是圓G和圓C2上的動點，則『。|的最大值為10

D.經(jīng)過點Ci,C2的所有圓中面積最小的圓的面積為々兀

答案ACD

解析由題意得，圓G：(x-l)2+(y1)2=4,圓心C1(1,1),半徑廠1=2,圓C2：a-4)2+(y-5)2=9,圓心C2(4,5),半徑

心=3,由直線方程的兩點式可得直線GC2的方程為善=即4x-3y-l=0,所以A正確；

5-14-1

因為。。2|=小4-1)2+(5-1)2=5且廠1+/2=2+3=5,所以|GC2l=ri+72,所以圓G與圓C2外切，所以兩圓

的公切線共有3條，所以B錯誤；

因為|CC|=5,所以|PQ|的最大值為9心|+廠1+-2=10,所以C正確；

當(dāng)ICCI為圓的直徑時，該圓在經(jīng)過點Ci。的所有圓中面積最小，此時圓的面積為兀(|戶=多，所以D

正確.故選ACD.

7.數(shù)學(xué)家歐拉在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一

條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知AABC的頂點分別為A(l,3),8(2,4),C(3,2)a4A8C的歐拉

線方程是()

A.x-y+1=0B.x-y+3=0

C.x+y-5=0D.3x+y-9=0

答案c

解析由已知得,/XABC的重心為G(2,3),直線的斜率為咨=1,則AB邊上高所在的直線斜率為-1,則

1-Z

方程為y=-x+5,直線AC的斜率為則AC邊上高所在的直線斜率為2,則方程為y=2x.

1-3L

聯(lián)立E=2+5,可得的垂心為H(鼠學(xué)).則直線GH的斜率為型=-1,則可得直線GH的方程

(y=2x,332-|

為y-3=-(尤-2),故△ABC的歐拉線方程為x+y-5=0.故選C.

8.(多選題)(2024湖北荊州模擬)已知圓C:(x-l)2+(y-2)2=25,直線/:(2根+l)x+(m+l)y-7m-4=0,則下列說

法正確的是()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.直線/被圓。截得的弦最長時〃=微

C.直線/被圓。截得的弦最短時，m

D.直線/被圓C截得的弦最短弦長為2西

答案ABC

解析由題得，圓心C(l,2),半徑r=5.

A正確；

因為(3-1)2+(1-2)2=5<25,即點尸(3,1)在圓C內(nèi),當(dāng)直線/過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長，將圓心

當(dāng)直線LCP時，直線被圓截得的弦長最短，直線/的斜率為七-注(能片1),如>=署=1,由-

m+13-12m+12

o

二-l,解得機=-了,此時直線/的方程是2x-y-5=0,故C正確;如圖，設(shè)/與圓C交于A,B兩點，圓心C(l,2)到

4

直線2x-y-5=0的距離為介與薩=直,可得|45|=|8%|=S2一d2=石=2曲,所以最短弦長

|A8|=2|AP|=4代，故D錯誤.故選ABC.

9.(5分)(2024湖南懷化模擬)如圖，已知兩點A(22,0),8(0,11),從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線A8上的點

〃反射后再射到直線08上，最后經(jīng)直線上的點N反射后又回到點P,則直線的一般式方程

為.

答案4x-3y+8=0

解析由題意知A8所在的直線方程為點+三=1,化簡可得x+2y-22=0.

設(shè)點P(2,0)關(guān)于直線AB:x+2y-22=0的對稱點Pi(a,6),

fb-0,1、4

-7X(-3)=-1,

則〈0n解得4=10力=16,所以點P關(guān)于直線AB對稱的點為P1(1O,16),點P關(guān)于y

學(xué)+2X號-22=0,

122

軸對稱的點為P2(-2,0).

直線MN即直線尸出2,則直線MN的方程為y=3(x+2),化成一般式:4x-3y+8=0.

10.(5分X2024浙江杭州二模)寫出與圓^+y2=l相切且方向向量為v=(l,W)的一條直線的方

程:.

答案y=V3.r+2或產(chǎn)片-2(寫出一個即可)

解析因為切線的方向向量為v=(l,遮)，所以切線的斜率為舊，故可設(shè)切線方程為丫=后+仇因為直線

y=V^x+6與圓f+y2=l相切，又圓x2+y2=l的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為1,圓心(0,0)到直線y=遮無+%的

距離等于圓的半徑，即產(chǎn)°一°+”="=1,解得b=2或b=-2,所以符合條件的直線為y=V3x+2或

j(V3)2+(-D22

y=^3x-2.

11.(5分X2024山東煙臺一模)若圓(尤-祖)2+&_1)2=］關(guān)于直線y=x對稱的圓恰好過點(0,4),則實數(shù)m的

值為.

答案4

解析點(0,4)關(guān)于直線>=無的對稱點為(4,0),由題可知點(4,0)在圓(x-m)2+U-l)2=l上，則(4加>+(0-

1>=1,解得m=4,所以實數(shù)機的值為4.

12.(5分X2024陜西安康模擬)已知直線/i：2x+y-6=0與/2：2x+y+4=0均與圓M■相切，點(2,2)在圓Ml.,

則圓/的方程為

答案/+"1)2=5

解析由于直線/i：2x+y-6=0與/2：2x+y+4=0平行，且均與圓M相切，所以兩平行直線之間的距離為圓

M的直徑，即2廠=1-nr=心,又圓M上一點(2,2)也在直線/1&+廣6=0上,所以(2,2)為人與圓Mr的

Jl2+22

切點,故過點(2,2)且與/i：2r+y-6=0垂直的直線方程為y=*r-2)+2,聯(lián)立卜=蕾二)+2,今仔二所

2l2x+y+4=0W=5

以/2：2犬+>+4=0與圓加相切于點(-2,0),故圓心為(2,2)與(-2,0)的中點抑圓心為(0,1),故圓M的方程為

f+(y-l)2=5.

關(guān)鍵能力提升練

13.(2024江蘇蘇錫常鎮(zhèn)一模)萊莫恩(Lemoine)定理指出:過AABC的三個頂點A,B,C作它的外接圓的

切線,分別和BC,CA1AB所在直線交于點P,°,R,則尸,三點共線，這條直線被稱為三角形的Lemoine

線.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若三角形的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,l),B(2,0),C(0,-4),則該三角形的

Lemoine線的方程為()

A.2x-3y-2=0B.2x+3y-8=0

C.3x+2y-22=0D.2x-3y-32=0

答案B

1+E+F=0,(D=0,

解析設(shè)△ABC的外接圓方程為工2+,2+瓜+份+/=。,：.卜+2。+P=0,解得E=3,

.16-4E+F=0,{F=-4,

AABC外接圓方程為N+y2+3y-4=0,即12+(,+|)2二今易知外接圓在點人處的切線方程為尸1,

又直線2噩+斗=1,令y=l,得X=W，P(|,1),外接圓在CQ-4)處切線方程為y=-4,又直線A8:"y=l,

Z-4Z2Z

令y=-4得x=10,...Rao,-4),則△ABC的Lemoine線的方程為洛=翌，即2x+3y-8=0.故選B.

-1+4j-10-

14.(2024山西太原模擬)已知。是坐標(biāo)原點，若圓。*+丫2+2%-4丫+°=0上有且僅有2個點到直線1:2.x-

/1=0的距離為2,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(-4-4V5,4V5-4)B.[-4-4V5,4V5-4]

C.(-2-2V5,2V5-2)D.[-2-2V5,2V5-2]

答案A

解析由題知，圓心C(-l,2),半徑r=\S-a.

圓心C到直線/的距離竽包=V5.

聯(lián)立圓C與直線/的方程，消去y整理得5/-10；1+5+4=0,若/與圓C有交點，則A=-2aK),解得好0.

此時直線/應(yīng)滿足石-近<2,解得a>-4-4V5.

所以一4-45年<好0，當(dāng)/與圓C外離時，有卜尾哼/<2,即o<a<4V5-4.

la>0,

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(-4-45底44-4).故選A.

15.(2024湖北省八市聯(lián)考)設(shè)直線/:x+y-l=0,一束光線從原點。出發(fā)沿射線>=區(qū)(近0)向直線/射出，

經(jīng)/反射后與x軸交于點M再次經(jīng)尤軸反射后與y軸交于點N.若|而|=卓，則上的值為()

A.13B.|2C.i1D.2

答案B

解析如圖，設(shè)點O關(guān)于直線/的對稱點為A(xiji),

號+卻=0,

則?

§X(-1)=-1,

VI

得葭：：；即41,1).

由題意知尸戊(無知)與直線/不平行，故塊1,聯(lián)立門："_得一"1'即？(士，占)，故直線

(%十y-i—u,.._K化+1K+L

v-fc+T?

ki

AP的斜率為如＞=鋁二="直線AP的方程為y-l=/x-l),令y=o得尤=1-左故M(l?0),令x=0得y=l-

-------ikk-

fc+1L

[故由對稱性可得N(0,；l),由|而匚半，得(1行+Ql)2=2即(左+D2_2"+D=及解得k+Y=學(xué),

kK6K36k/c36ko

得左二|或%=|，若％=|,則第二次反射后光線不會與y軸相交，故不符合條件.

77

經(jīng)驗證上=目符合條件.故左=].故選B.

16.(多選題)(2024湖南邵陽一模)設(shè)點尸(x,y)為圓6:^+/=1上一點，已知點4(4,0),8(5,0),則下列結(jié)論

正確的有()

\.x+y的最大值為加

B.f+尸4;*的最小值為8

C.存在點尸使|尸8|=魚『小

D.過A點作圓C的切線，則切線長為住

答案AD

解析設(shè)x+y=tjeR,即尤+y-f=0,由1得-或至”＞反所以/的最大值是魚,所以A正確；

x2+y2_4x-4y=(x-2)2+(j-2)2+8,當(dāng)x=2且y=2時l+VdxWy取得最小值8,但/+9=1時,-1人1且-

1球1,因此上述最小值取不到，所以B錯誤；

由|PB|=&|E4|得J(x-5)2+y2=V2-灌理得。-3)2+丁=2,因此滿足|「2|=迎|巴4|的點P

在圓(x-3)2+y2=2上，此圓圓心為(3,0),半徑為魚，而魚+1＜3,因此它與圓C外離,所以圓C上不存在點

P使|尸8|=魚|尸川,所以C錯誤；

圓C的圓心為C(0,0),半徑為r=l,則過A點作圓C的切線的切線長為J|XC|2-r2=V42-l2=V15,D

正確.故選AD.

17.(2023新高考I,6)過(0廣2)與圓x2+產(chǎn)4%-1=0相切的兩條直線的夾角為火貝ljsin。=)

A.lB逗C.乎D.史

444

答案B

解析由爐+產(chǎn)/尤-1=0,得(尤-2)2+V=5,故圓心C(2,0),半徑尺=有.

如圖，過點。(0,-2)作圓的切線，與圓的兩個切點為48,連接AC,8C,C￡),4B,則48_LCZ),/CAD=/

CBD=^,ZADC=ZBDC=^,

由幾何知識得,|8C|=|AC|=有,|a)|=(0-2)2+(-2-0)2=2魚.

由勾股定理得,|4。=山。|=』￡。|

(方法一)在Rt/XCDB中,cos搟=翳=磊=*si嗎=用=需=邛,sina=2si或cos>2x邛x手=

逗

丁

1

(方法二)由CA_LZM,NCD4=/CDB,可知AB_LDC,四邊形AC8D的面積為5><AB><Cr>=8OxCB,得

4nV30

AB--.

在△AO3中，由余弦定理可得cosQ二-"所以sina二羋.故選B.

44

18.(5分)(2024廣東汕頭模擬)已知直線l:(m+2)x-(m+l)y-l=0與圓0:^+^=4交于A,B兩點，則|A8|的

最小值為.

答案20

o,解得后二::所以直線/過定點(1,D,又

[2+]2<4,所以該定點在圓0：/+,2=4內(nèi)，由圓O：f+y2=4可得圓心。(0,0),半徑廠=2,當(dāng)圓心O與定點

(1,1)的連線垂直于A5時,|A3|取得最小值，圓心0(0,0)與定點(1,1)的距離為d=“2+12=V2,?J\AB\

的最小值為2Vr2-d2=2V4-2=2a.

19.(5分)(2024廣東湛江一模)已知點尸為直線/y-3=0上的動點，過點尸作圓。*+產(chǎn)=3的兩條切線,

切點分別為A,民若點M為圓E:(x+2)2+G-3)2=4上的動點，則點M到直線A3的距離的最大值

為.

答案7

解析設(shè)尸(沏,加鼻(孫河),3(冗2J2),則滿足％o-yo-3=O,好+資=3,域+yl=3;易知圓。:/+產(chǎn)=3的圓心為

0(0,0),半徑片遍;圓E:(x+2)2+(y-3)2=4的圓心為線-2,3),半徑R=2,如圖.

易知0A_LPA,0B_LP5,所以04-24=0,即xi(xi-xo)+yi(yi-yo)=O,整理可得xixo+yiyo-3=O;

同理可得12必+〉2丁0-3=0,

即A(xi,yi),8(%2j2)是方程為ox+yoy-3=O的兩組解，可得直線AB的方程為％ox+y()y-3=O,與孫必-3=0聯(lián)

立，即％o(x+y)-3y-3=0.

令二::可得[；二工所以直線A8恒過定點。(1,-1),可得|。,=](-2-1)2+(3+1)2=5.

又。在圓。內(nèi)，當(dāng)43_10瓦且點加為QE的延長線與圓E的交點時，點M到直線43的距離最大，最

大值為|QE|+R=5+2=7.

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

20.(多選題X2024廣東汕頭一模)如圖,。4是連接河岸A