2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）（解析版）

2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷01（新高考I卷專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?四川德陽?一模）設(shè)集合力={x\y=g集合B={%GZ|-2<%3<2},則集合力CB=

（）

A.[0,1]B.{0}C.[0,1）D.{0,1}

【解題思路】先求出集合4B,再根據(jù)交集的定義求解即可.

【解答過程】因為4=（x\y=怖}={x\x>0},8={xeZ|-2<爐<2}={-1,0,1},

所以={0,1}.

故選：D.

2.（5分）（2024?廣東韶關(guān)?一模）若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,則z-Z=（）

A.1B.V2C.2D.4

【解題思路】方法1：根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算求出z,然后共朝復(fù)數(shù)概念結(jié)合乘法運算可得；方法2：利用復(fù)數(shù)

模的性質(zhì)求出|z|,然后由性質(zhì)z-Z=|z『可得.

【解答過程】法1：因為zi=1+i,所以z=-y-=1—i,2=l+i,所以z-z—（1+i）（l—i）=2.

法2：因為zi=1+i,所以|zi|=|1+i|,即口=a,z?2=|z|2=2.

故選：C.

3.（5分）（2024?四川內(nèi)江?一'模）已知兩個向量2=（應(yīng),TH）,石=（-3,1）,且（H+5）10一刃），則m的

值為（）

A.±yB.土券C.±2V2D.±V2

【解題思路】根據(jù)向量垂直可得五2=京，再結(jié)合向量的坐標運算求解即可.

【解答過程】因為@+另)10一司，^ifa+b')-(a-6)=a2-b2=0,BPa2=b2,

又因為E=(VXni),b=(-3,1),則2+0?=9+i,解得爪=±2近.

故選：C.

4.(5分)(2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測)已知sin(a—/?)cosa-cos(/?—a)sina=9則cos2￡=()

A.--4B.--3C.74D.-7-

552525

【解題思路】根據(jù)給定條件，逆用差角的正弦公式求出sinS，再利用二倍角公式計算即得.

【解答過程】由sin(a—S)cosa—cosQff—a)sina=|,得sin(a—S)cosa—cos(a—0)sina=|,

則sin[(a-jff)-a]=I，即sin(_0)=|,-sin/?=|,解得sin/?=-1,

所以cos20=1—2sin2s=1—2x(—|)2=2

故選：C.

5.(5分)(2024嚀夏吳忠?一模)已知48,C是球。的球面上的三個點，且乙4cB=120。,ZB=W,AC+BC=2.

若三棱錐。-4BC的體積是坐，則球。的體積為()

6

A.36TlB.24TlC.12TlD.8n

【解題思路】由正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，再由余弦定理結(jié)合錐體的體積公式可得三棱錐。-4BC

的高，即可得到球的半徑，從而得到結(jié)果.

【解答過程】因為乙4cB=120°,AB=V3,

由正弦定理可得4力BC外接圓的半徑r=-^―=1,

2sinl20

在△ABC中，由余弦定理可得=AC2+BC2_2AC-BC-cosl20。，

即3=AC2+BC2+AC-BC=(AC+BC)2-AC-BC,

所以AC?BC=(AC+BC?-3=22-3=1,

所以S448C=\AC-BC-sinl20°=苧，

又，0-4BCngSoBC,八==B，所以h=2a,

jJ40

則球。的半徑R=Vr2+ft2=3,所以球。的體積為[ITx33=36n.

故選：A.

2

6.(5分)(2024?海南?模擬預(yù)測)已知a>0且a61,若函數(shù)/(%)=謨與g(%)=log2(x+4ax+7)在[-1,十

8)上的單調(diào)性相同，則Q的取值范圍是()

A.(0,1]B.[|,1)C.(1,2)D.(1,+8)

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.

【解答過程】由題意知y="2+4ax+7在[―1,+8)上只能是單調(diào)遞增，

所以g⑺在H+8)上單調(diào)遞增,所以｛(R+4。*㈠)'+7>0,

得(Wa<2.

又fO)=談單調(diào)遞增，所以a>i.

綜上得1Va<2.

故選：C.

7.(5分)(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測)當％E[0,2n]時，曲線y=cos%與y=2sin(2%+以的交點個

數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

【解題思路】作出兩函數(shù)在[0,2田上的圖象，結(jié)合圖象即可得答案.

【解答過程】1=0時，y=2sin]=V3,

令2%+]=泉得此時y=2sin(2+9=2,

令2%+]=n,得％=；,此時y=2sin(2x；+1)=0,

令2%十/=?，得久=號，此時y=2sin(2+"=-2,

326\63/

令2%+]=2e得久=此時y=2sin(2xg+以=0,

x—2n時,y=2sin(2x2TC+§=2sin]=V3,

函數(shù)y=2sin(2x+f的周期T=y=n,

結(jié)合周期，利用五點法作出圖象,

由圖知，共有4個交點.

故選：C.

8.(5分)(2024?河南?模擬預(yù)測)已知a=甌6=3，c=1+ln|^,貝ija,b,c的大小關(guān)系是()

lo35

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】根據(jù)a=e^,b=9式子結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)f(x)=e*-x-1,利用單調(diào)性判斷可得a<b,再

lo

令g(x)=ln(x+l)—專,x>0,求導(dǎo)判斷出單調(diào)性可得c>b,即可求得結(jié)果.

【解答過程】由a=贏匕=9可構(gòu)造函數(shù)/⑺=M-％—1,

lo

則/(%)=ex-1,令fGO=0,解得％=0,

因此可得當％E(0,+8)時，即/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當％G(一8,0)時，/'(%)<0,即/(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

可知/(%)在％=0處取得極小值，也是最小值，所以/(%)之/(0)=0,

即e%N》+l,故0一%之一%+1,即三N1—第

ex

當0V第<1時，有e%V一一,所以e而=9可得a<b；

l-x1--18

19

令9(%)=ln(x+1)—>0,

貝！Jg(%)=------=----------->0,

x+l(x+2)2(x+l)(x+2)2

故9(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

可得g(%)>g(o)=o，即in(%+1)>書，

2

取％=套則M葭+1)>端f=\所以1+1碌>1+看=茅可得c>加

35

綜上可得，a<b<c.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.(6分)(2024?廣東韶關(guān)?一模)已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標f服從正態(tài)分布N(25,M),且P(f226)=0.2,

現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機取3件，用X表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值§位于區(qū)間(24,26)的產(chǎn)品件數(shù)，則()

A.E(f)=25B.P(24<f<26)=0.3

C.P(X=0)=0.064D.D(X)=0.24

【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性、概率公式，結(jié)合二項分布的公式，可得答案.

【解答過程】由正態(tài)分布的概念可知E&)=25,故A正確；

由正態(tài)分布的性質(zhì)得P(24<$<26)=1—2P(f>26)=0.6,故B錯誤；

則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值f位于區(qū)間(24,26)的概率為p=0.6

所以X?B(3,0.6),P(X=0)=0.43=0.064,故C正確；

D(X)=3x0.4x0.6=0.72,故D錯誤.

故選：AC.

10.(6分)(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(X)=以-比?，則對任意實數(shù)a,下列結(jié)論中正確的有()

A./■(>)至少有一個零點B./(無)至少有一個極值點

C.點(1,/(1))為曲線y=f(x)的對稱中心D.x軸一定不是函數(shù)/■(>)圖象的切線

【解題思路】對于A選項，由函數(shù)零點的存在性定理可推得“X)至少有一個零點；

對于B選項，可得當a=0時，f'O)>0恒成立，得f(x)在(0,2)上遞增，則汽式)無極值點；

對于C選項，由+x)+/(I一萬)=2/(1)可知點(1/(1))為曲線y=/(%)的對稱中心；

對于D選項，假設(shè)存在實數(shù)a,貝"=可推得無實數(shù)解，故假設(shè)不成立，即可判斷.

(/(祀)=0

【解答過程】對于A選項，函數(shù)/(x)=ax-In—的定義域為(0,2),

當％T0時，/(%)T—00,當％-?2時，/(%)T+00,

由函數(shù)零點的存在性定理可知/(%)至少有一個零點，故A正確；

對于B選項，/(%)=ax—ln(2—%)+In%,/'(第)=a+￡+

當a=0時，/(%)=1-+->0恒成立，

2—xx

所以/(%)=ax-ln(2-%)+In%在(0,2)上遞增，則/(%)無極值點,故B錯誤；

對于C選項，/(I+%)+/(I—x)=+%)-In匕:：：%)]+[a(l—x)—In，[：；]

=2"哈一哈=2a=2f(l),

所以對任意實數(shù)a,點(1)(1))為曲線y=f(x)的對稱中心，故C正確;

對于D選項，假設(shè)存在實數(shù)a,使得/(%)的圖像與x軸切于點P(0,0),

則辭,=；，得Q,XQ—In—-=0

1x°,消去a得六+1+In與=0,

(%0)—。a+——+2=02~x°x°

2-％oxQ

設(shè)t———,貝!Jt+1-Int—0,

2-%o

因為Int<t-1,故t+1-Int>(t+1)-(t-1)=2,

所以t+1-lnt=0無實數(shù)解，故假設(shè)不成立，

則對任意實數(shù)a,x軸一定不是函數(shù)/(%)圖象的切線，故D正確.

故選：ACD.

11.(6分)(2024?廣東河源?模擬預(yù)測)“8”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的

曲線.如圖所示的曲線C過坐標原點。，C上的點到兩定點%(-a,0),尸2(凡。)9＞。)的距離之積為定值.則

下列說法正確的是()(參考數(shù)據(jù)：2.236)

A.若|尸1&1=12,則C的方程為(/+y2)2=72(^2一

B.若C上的點到兩定點%、/2的距離之積為16,則點(-4,0)在C上

C.若a=3,點(3,yo)在C上，則2(岔＜3

D.當a=3時，C上第一象限內(nèi)的點P滿足的面積為卷則IP%/—ip4/=18百

2222

【解題思路】由題意有］。%|■\OF2\=a,設(shè)(x,y)為C上任意一點，得到(/+f)2=2a(x-y),再根據(jù)

各項給定條件或a值，判斷各項正誤.

【解答過程】已知原點。在C上,則|。91|?|。?21=。2,設(shè)(x,y)為C上任意一點，

則有a?=J(x-a)2+y2,+a)2+整理得(/+y2)2=2a2(/—y2).

若|尸則C的方程為(/+y2)2=72(7一、2),故A正確；

若|。911?|。&1=16,則a=4,代入方程得(/+y2)2=32(/—y2),顯然點(-4,0)不在此曲線上，故B

錯誤；

若a=3,點(3,y°)在C上，有J(3-3/+岔?J(3+3/+戴=9,

整理得(羽+18)2=405,所以羽=9花-18=2.124,故C正確；

因為SAPF/2^^\PF1\\PF2\smAF1PF2^l，IPFJIP^I=9,可得=90°,

所以點P是曲線C：(/+y2)2=18(/-y2)和以鼻出為直徑的圓/+y2=9在第一象限內(nèi)的交點，

聯(lián)立方程，解得％=9，y=|,即P(手,|)，所以|P%『一吠2『=18后故D正確.

故選：ACD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?浙江?一模)已知橢圓C：9+，=l(a>b>0),過左焦點F作直線1與圓M：x2+y2=

相切于點E,與橢圓C在第一象限的交點為P,且|PE|=3|EF|,則橢圓離心率為—年

【解題思路】由題意利用直線與圓相切可得出月=^c,|PE|=苧的再由余弦定理計算得出〔PF/=2c,利

用橢圓定義即可得出離心率.

【解答過程】設(shè)橢圓右焦點為Fi，連接PFi，ME,如下圖所示：

由圓M：/+y2=?可知圓心”(0,0),半徑f=；；

42

顯然EM=],“尸=c,且EM_LEF,

因此可得sin/EFM=g,所以NEFM=30。，可得|EF|=fc,|PE|=3|陰=手。；

即可得|PF|=2V3c,又易知IFF/=2c；

222

由余弦定理可得|PFI|2=|PF|2+|FF/2_2\PF\\FF1\COS300=12c+4c-2x2舊cx2cx-=4c,

解得|PFi|=2c,

再由橢圓定義可得|P2|+\PF\=2c+2V3c=2a,即a=(V3+l)c,

因此離心率e=：=嵩=鋁.

故答案為：號.

13.(5分)(2024?甘肅白銀?一模)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中記載了關(guān)于牲畜買賣的問題.

假設(shè)一只雞與一只狗、一只狗與一只羊、一只羊與一頭驢的價格之差均相等，一只羊與兩只雞的價格總數(shù)為

200錢，一頭驢的價格為一只狗的2倍.按照這個價格，甲買了一只雞與一只狗，則甲花費的錢數(shù)為120.

【解題思路】根據(jù)題意一只雞、一只狗、一只羊、一頭驢的價格依次為由,。2，。3，。4,列出關(guān)于的和d的方程組,

解出即可求出甲花費的錢數(shù).

【解答過程】由題意得購買一只雞、一只狗、一只羊、一頭驢的錢數(shù)依次成等差數(shù)列，

設(shè)該數(shù)列為｛冊｝，公差為d,

則一只雞、一只狗、一只羊、一頭驢的價格依次為的,&2,123,。4，

由題意得產(chǎn)+2)；200,=(3ai+2d=200解得詈=黑

故甲花費的錢數(shù)為+做=2al+d=120.

故答案為：120.

14.(5分)(2024?四川?模擬預(yù)測)若直線y=憶%是曲線/(%)=In%的切線，也是曲線g(%)=ae%的切線，

則a=卜?

【解題思路】根據(jù)函數(shù)f(%)在切點的橫坐標打處的導(dǎo)數(shù)即為斜率和切點在直線上即可先求出公切線

的方程，然后根據(jù)函數(shù)以乃在切點(通,ae%。)的橫坐標%0處的導(dǎo)數(shù)即為斜率和切點在直線上即可求解.

【解答過程】因為/(久)=In%,%G(0,+s),

所以=：，

設(shè)設(shè)直線y=kx與f(x)=In%的切點為

則切線方程為y-In%!=—(%-%i),

即y——x+Inxi—1,

xi

又因為y=kx

所以1~l=k,

Un%i-1=0

解得%i=e,k=-,

e

所以切線方程為：y=-x,

因為9(久)=ae”,

xx

所以g3)=(ae)'=aef

設(shè)直線y=}%與9（%）=ae%的切點為（%o，ae%o）,

所以g'（%o）=aex0=如，

又因為切點（%。,ae%。）在直線y=，式上，

所以ae%。=：%0②，

由①和②可得%0=1,

所以ae=—J

e

解得a=4

e

故答案為：^2.

ez

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

2

15.（13分）（2024?廣東河源?模擬預(yù)測）已知△的內(nèi)角45,C所對的邊分別是a,b,c,且次+b-Wab=

（bcosA+acosB）2.

（1）求角C;

（2）若b=4B，c=4,求△Z8C的面積.

【解題思路】（1）利用余弦邊角關(guān)系可得。2+按—bab=c2,再由余弦定理可得cosC=苧，即可求角的

大小；

（2）根據(jù)已知條件及（1）結(jié)論，應(yīng)用余弦定理列方程求得a=4或a=8,再分別求出對應(yīng)三角形面積即

可.

【解答過程】（1）在△力BC中，6cos力+acosB=>?"+'一"-+a一”=c,

2bc2ac

又/+Z）2—Wab=（bcosA+acos^）2,所以/+h2—y[3ab=c2,

由余弦定理得cosC==察=與又o<c<n,

2'abIlab2

則c=W

o

（2）在△4BC中C=E,c=4,b=4V3,

6

由余弦定理，得c?=a2+fa2—2abeosC,即次—12a+32=0,解得a=4或。=8.

當a=4,b=4V3,c=4時，可構(gòu)成三角形，此時△4BC的面積為:absinC=gx4x4百x1=4百；

當a=8,b=4V3,c=4時，可構(gòu)成三角形，此時△4BC的面積為:absinC=X8XX[=8次.

22

16.（15分）（2024?貴州黔南一模）已知橢圓C:%+云=l（a>b>0）的左、右焦點分別為%（—百,0）,

F2（V3,0）,且橢圓C經(jīng)過點。（百，）.過點T（t,0）（t>2）且斜率不為0的直線交橢圓C于4B兩點，過點力和

M（l,0）的直線AM與橢圓C的另一個交點為N.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線BN的傾斜角為90°,求t的值.

【解題思路】（1）利用橢圓的定義求出a,進而求出b得C的標準方程.

（2）根據(jù)已知可得直線4M不垂直于坐標軸，設(shè)其方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出直線力B與工

軸交點的橫坐標即可.

【解答過程】⑴橢圓C「+，=1的二焦點為2（—百,0）,F2（V3,0）,點。（b，）在橢圓C上，

則2a=|。%|+@41=-2V3）2+（1）2+|=4,解得a=2,則b=12?—（曰）2=1,

所以橢圓C的標準方程為<+y2=1.

（2）依題意，點48不在%軸上，即直線不垂直于y軸，且直線ZM不垂直于無軸，否則48重合，

設(shè)直線4M方程為汽=ky+1,々W0,

由｛/+4y^=4消去x得，（/+4）y2+2ky—3=0，

顯然A>0,設(shè)4（%i，yi）,N（X2，y2），由直線BN的傾斜角為90。，得點8。2，-、2），

則+72=一成丁丫，2=-p74，所以3（、1+丫2）=2左為丫2，

直線ZN的方程為y-為=*（%-/）,

當y=°時，t"一■=切+1一^^=1+等=%

17.（15分）（2024?福建?三模）如圖所示，C,D分別為半圓錐P4B的底面半圓弧上的兩個三等分點，。

為力B中點，E為母線PB的中點.

P

(1)證明：DE〃平面PAC；

(2)若△P4B為等邊三角形，求平面P4B與平面PAD的夾角的余弦值.

【解題思路】(1)若尸是24中點，根據(jù)題設(shè)證C尸〃?！暝儆删€面平行的判定證結(jié)論；

(2)作連接HG,利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理，結(jié)合面面角的定義確定所求角為

NDHG或其補角，進而求其余弦值.

【解答過程】(1)由C,。分別為底面半圓弧上的兩個三等分點，易知且CD=14B,

若尸是24中點，而E為母線P8的中點，則且=

所以EF〃CD且EF=CD,貝UEFC。為平行四邊形，故CF"DE,

由CFu面PAC,DEC面PAC,故DE〃平面P4C.

P

(2)作DG_L4B,DH_LP4連接HG,如上圖所示，

由題意，面1面48DC,P01AB,P。u面PAB,面PABn面48DC=AB,

所以P01面4BDC,DGu面4BDC,貝!|P。1DG,

由P。C4B=。者B在面PAB內(nèi)，則。6_1_面P48,而PAu面PAB,

所以DG_LP4又DGnDH=D都在面DUG內(nèi)，故PA1面DHG,

由GHu面DHG,則P41GH,結(jié)合DH1P4且GHu面/MB,DHu面PAD,

所以平面PAB與平面PAD的夾角為乙DHG或其補角，

令等邊三角形aPAB的邊長為2,貝IJP4=2,由題設(shè)易知NBAD=30。，則AD=百，DG=/,

在△PAD中4。上的高八==則?！?誓=若9=享，

742PA24

彳匚[、1?nmDG2A/13f.iic3\/13

所以smZ-DHG=—=——,故7lcosZ-nDHG=——,

DH1313

所以平面P4B與平面PAD的夾角余弦值為鬻.

18.(17分)(2024?浙江?一模)已知函數(shù)/(>)=InM二+a久(aeR).

X—1

(1)當a=1時，求曲線y=/O)在點(2)(2))處的切線方程；

1

明

a<-證

-3

(3)若%>1,恒有/(%)221n2+泉求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)直接求出導(dǎo)函數(shù)/(%),計算/(2)和f(2),由點斜式得直線方程并整理為一般式；

(2)在題設(shè)條件下證明f'(%)<0,/(%)是減函數(shù)，/(%)<f(|)<21n2+|,再證明21n2<抑得證;

⑶aWO時，由/'(%)V0說明/(%)遞減，不等式不可能恒成立，a>0時，由(2)得出a=1時，/(g)=

21n2+1,/(x)=0的大于1的根記為%o(a=1是地，劭=|),證明a>1時，lV%o<：|,OVaVl時,

由f'(%)確定f(%)的單調(diào)性，/i(x)=In在？+%,時，由/(項))=In9[+>In4號+%。=

八(久0)>伙|)完成證明，a>l時，由f(&)</(|)<21n2+箍定.綜合后得出結(jié)論.

【解答過程】(1)a=l時，/(x)=lnq+x=ln(2+2)+x,

f，(、x_1r1I_i〔1I2%—3x

J⑶-2%_].1-(%T)2)~~(x-l)(2x-l)+-(%-1)(2%-1)'

尸(2)=，又/(2)=ln3+2,

所以切線方程為y—(ln3+2)=|(%—2),即—丫+：+】n3=0；

(2)/(x)=a-—―—―,

xe[|,2]時，y=(2久—1)(乂-1)=2/-3%+1=2(x—[)2—春是遞增函數(shù)，因此ye[1,3],>j,

X0<a<i,所以〃x)WO,/(x)在碎,2]上遞減,

/(%)</(1)=21n2+|a<21n2+|x1=21n2+

3oq

因為超=e-Ve>2.7x；=4.05>4,所以21n2=ln4<j,

從而10)421n2+：VI+：=2；

(3)/(%)=a-—―,%>1,

當Q<。時，f'(X)V0,/(%)在(1,+8)上是減函數(shù)，

當汽7+8時，In^y-=ln(271n2,因此/(%)=ax>21n2+g不可能恒成立，

a>0時，由/'(%)=0得2久2—3x+l—^=0,

記9(%)—2%2—3x+1-g(l)=—<0,

則9(%)=0有兩個實根，一根小于1,一根大于1,

大于1的根為&=/，，易知它是關(guān)于a的減函數(shù)，

4

注意到y(tǒng)=(2%-1)(%-1)=2x2-3%+1在(L+8)上是增函數(shù)，且y>0,

11

即1<X<曲時，0<(2%—1)(%—1)<-,x>%。時，(2%—1)(%—1)>-,

所以1<%<久0時，/'(%)<0,/(%)遞減，%>%()時，/(%)>0,/(%)遞增，

所以f(%)min=f(%0)，

a=l時，XQ=I，此時/(%)=In三+%,

記h(X)=1口^^+%,%(%)在。|)上遞減，在(|,+8)上遞增，且=21n2+|,

因此

2x0-12x0-1

當a>1時，XQ</(x0)=In+ax0>In+x0=九(%o)>九(：)=21n2+

2XQ—1XQ—122

OODO

當0<a<1時，XQ>/(x0)</(-)=21n2+-a<21n2+

綜上，a21時，/(x)>21n2+3亙成立

所以a的取值范圍是［1,+oo).

19.(17分)(2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝的前幾項積為7\.定義：若存在keZ,使得對任意的neN*,

an+1-Tn=k恒成立，則稱數(shù)列｛冊｝為“數(shù)列”.

(1)若的=1,且｛冊｝為“2數(shù)列”，求as.

(2)若國=2,且｛%｝為“數(shù)列"，｛冊｝的前n項的平方和為Gn，數(shù)列｛"｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足"=

G-r

2"",求k的值和｛6n｝的通項公式.

(3)若囪>1,k>0,且｛冊｝為“數(shù)列”,｛須｝的前n項和為Sn,證明：Sn>\nTn+n.

【解題思路】