2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷3（江蘇專用）含解析

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。

1.重慶某校高三年級(jí)20個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下:

91,89,90,92,94,87,95,96,91,85,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為（）

A.93B.93.5C.94D.94.5

18+13i

2.己知z=（F，則n的虛部為（).

A.-13B.-13iC.13D.-18

3.已知$也［?+色］=且，貝|cos（2a-外=()

13；31

A.3B.在c.-D.J

3333

4.設(shè)向量4=(2,x+l),b=(x—2,—1),若a_Lb,則％二()

A.5B.2C.1D.0

5.已知尸為拋物線。：'2=2/（。＞0）的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)尸作圓（無-2）2+9=產(chǎn)的兩條切線，切點(diǎn)分別

為尸,A,若形，P4,則。=（）

6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得至其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思是：有一個(gè)人走378里路，第一天健步

行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第四天走了（）

A.24里B.48里C.96里D.192里

若函數(shù)/鼻,()

7.3=25[11]8-0>0,xeIT的值域?yàn)椴芬?2］,則。的取值范圍是（）

5,一510-

A.-AB.——

l_3J_6'3_

-55'一510-

C.D.——

_6?3._3'3_

8.已知函數(shù)〃尤）的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域?yàn)椋?1,1），滿足:當(dāng)尤＞0時(shí)，＞0；任意的x,ye（-1,1）,

均有口一〃“〃陰=〃到+〃門.若川門）＞/（￡|,則x的取值范圍是（）（e是自然對(duì)數(shù)的

底數(shù)）

A.C.D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知曲線C:如町;2=1,下列說法正確的是（）

A.若機(jī)=〃＞0,則C是圓，其半徑為近

B.若m＞0,n=0,則C是兩條直線

c.若力＞相＞0時(shí)，則c是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

n

D.若"掰＜0時(shí)，則C是雙曲線,其漸近線方程為＞=土.Lr

m

10.若某正方體的棱長(zhǎng)為則（

B.該正方體的內(nèi)切球的體積為拽兀

A.該正方體的體積為5

6

C.該正方體的表面積為30D.該正方體的外接球的表面積為15兀

11.對(duì)于三次函數(shù)〃%）=冰3+加+6+〃（1。0）,給出定義：設(shè)/（%）是函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)，/⑺是函

數(shù)（（X）的導(dǎo)數(shù)，若方程/（X）=0有實(shí)數(shù)解%,則稱（X。J（X。））為函數(shù)y=/⑺的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)

現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)

?3249

f（x）=-x-x-nx+—f則下列說法正確的是（）

137

）的極大值點(diǎn)為

A.4%-2,~6~

B./（%）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)e，2j是〃%）的對(duì)稱中心

232021

+--+/=4042

202220222022

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4=｛-2,0,2,4｝,3=｛聞忖一3區(qū)根｝,若AB=A,則加的最小值為.

13.在等差數(shù)列｛即｝中，若=6,的1=0,貝Mi的值為.

14.一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離

的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不

同的跳動(dòng)方式共有種.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)已知函數(shù)/(尤)=小一L

XX

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(Lf⑴)處的切線方程；

⑵求證：/(x)<2x-3.

16.(15分)在VABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

3

a(sinA-cosCsinB)-c(cosAsinB-sinC)=—tzsinC

⑴求cos5；

(2)設(shè)。為邊AC的中點(diǎn)，AC=2,求線段5。長(zhǎng)度的最大值.

17.(15分)已知直三棱柱ABC-A^iG中，側(cè)面AViB為正方形，AB=BC,E,尸分別為AC和CG的

中點(diǎn)，。為棱A4上的動(dòng)點(diǎn).8尸，4片.

⑴證明：BF工DE；

(2)求平面BBgC與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)D的位置.

18.（17分）在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了1000名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單

位：小時(shí)），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

（1）求。的值，估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（2）為進(jìn)一步了解這1000名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在。4,16］,（16,18］兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽

樣的方法抽取了5人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記在（14,16］內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列和期

望；

（3）以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，用“心⑻”表示這8名學(xué)生中恰有左名學(xué)生戶

外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（8,10］內(nèi)的概率，當(dāng)4（左）最大時(shí)，求左的值.

19.(17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓r：g+g=l(a>fo>0)的離心率為與，直線1與「

相切，與圓。：產(chǎn)+V=3a2相交于A,B兩點(diǎn)當(dāng)1垂直于x軸時(shí),\AB\=2訪

⑴求「的方程；

(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M,N,若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn),且所有最小距離的最大值存在,

則記此最大值為d(M,N).

(i)若M,N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)廣為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)4PAB的面積最大時(shí)，求d(M,N);

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在,記兩者中的較大者為H(M,N).已知H(X,丫),H(Y,Z),H(X,Z)均存在,

證明：”(X,Z)+H(Y,Z)>H(X,Y).

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。

1.重慶某校高三年級(jí)20個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下:

91,89,90,92,94,87,95,96,91,85,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為（）

A.93B.93.5C.94D.94.5

【答案】D

【分析】將比分從小到大排序，再結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】將比分從小到大排序可得：85,87,89,90,91,91,92,94,95,96,

10x80%=8,即這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為無二=94.5.

故選：D.

2.己知2則N的虛部為（）.

A.-13B.-13iC.13D.-18

【答案】C

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)式子求z,根據(jù)z=a+為求出2=。-萬即可知z的共軌復(fù)數(shù)，求出2的虛部

即可.

【詳解】i4z,=l,所以解=i4x5.i2=i2=—1,z=—18—13i,x=-18+13i,

所以彳的虛部為13.

故選：C.

3.已知sin1+j邛，貝卜"2"鼻=（）

A.BB.如C,-D.--

3333

【答案】D

【分析】根據(jù)角的變換及二倍角的余弦公式求解即可.

【詳解】因?yàn)?aq=2卜+1］一兀，

2

=—l-2sin2+=2x［；|-1=--.

故選：D

4.設(shè)向量a=(2,x+1),Z?=(x—2,-1),若aJ_b,則％=()

A.5B.2C.1D.0

【解析】，向量。=(2,x+l),b—(x—2,-1),ciA-b9

a.A=0,可得2(%—2)+(x+1)x(—1)=0,

..JC—5(

故選：A.

5.已知產(chǎn)為拋物線C：y2=2pM〃>0)的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)P作圓(％-2)2+,2=戶的兩條切線，切點(diǎn)分別

為F,A,若尸尸，Q4,貝?。菹?()

124

A.—B.—C.1D.一

233

【答案】D

【分析】利用拋物線的知識(shí)可以知道點(diǎn)尸，然后再利用切線和垂直即可求解.

【詳解】由題意易得%,0),

:過C上一點(diǎn)尸作圓(x-2y+y2=/的兩條切線，切點(diǎn)分別為￡4,且尸產(chǎn),承，

尸g")且曰+r=2,

將點(diǎn)尸鳥,廠)代入拋物線方程可得r2=p2,即「=P,

4=2,解得p=g.

故選：D.

6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得至其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思是：有一個(gè)人走378里路，第一天健步

行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第四天走了()

A.24里B.48里C.96里D.192里

【答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式直接求解.

【詳解】設(shè)第〃天走的路程里數(shù)為%,

因?yàn)閺牡诙炱?，每天走的路程為前一天的一?

所以｛%｝是公比為3的等比數(shù)列，設(shè)其前〃項(xiàng)和為S”,

因?yàn)?天走完378里路，所以臬=378,

由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式得$6幽=378,所以q=192,

32

所以=4X

即第四天走了24里路.

故選：A.

【答案】D

【分析】利用可得-g],再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得+兀，解不

等式即可求得。的取值范圍.

【詳解】

JT兀兀兀兀

根據(jù)題意可知若xe，則可得；

顯然當(dāng)x=0時(shí)，可得2sin10x-1J=-A/^,

由/(尤)的值域?yàn)椴肪?2],利用三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得+兀，

解得gwowg,即0的取值范圍是1,j.

故選：D

8.已知函數(shù)〃尤)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域?yàn)?-M),滿足:當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)>0；任意的x,ye(-U),

均有〃x+y)口一〃》)/3]=〃”+〃月.若/(1")>/&],則x的取值范圍是()(e是自然對(duì)數(shù)的

底數(shù))

【答案】B

【分析】令x=y=o,解得〃0)=0,再令*=一兒得至ij/(x)+/(—x)=o,從而/(%)是奇函數(shù)，用-y替

代九結(jié)合是奇函數(shù)，得到〃x-y)[i+〃x)〃y)]=〃x)-〃y),再由x>o時(shí)，〃”>0,利用

(]、IfTY>—

單調(diào)性定義得到了3在(0,1)上遞增，則在(-U)上遞增，將〃時(shí)>/萬轉(zhuǎn)化為2求解.

1)[-l<lnx<l

【詳解】解:令x=y=0,即/⑼。一產(chǎn)(0))=2/(0)of(0乂-I一尸(0))=0,

貝廳(。)=。，令x=—y,BP/(0)[1-/(x)f(-%)]=/(x)+f(-x)=0,貝i]/(x)+/(r)=。，

因?yàn)槎x域?yàn)?-1,1)，所以是奇函數(shù)，由/(x+y)[iT(尤=〃尤)+〃y),用一丫替代兒

得=因?yàn)椤翱墒瞧婧瘮?shù)，所以

f(x-y)[l+f(x)f(y)]=f(x)-f(y),

%,尤2，且0cx2<%<1，則/(占)-/(々)=”王-工2)口+〃網(wǎng))〃々)]，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,

所以/口一巧)>0,1+/&)"々)>0,即〃玉)一〃無2)>。，

所以/⑺在(0,1)上遞增，又“X)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以“X)在(-1,1)上遞增，

則等價(jià)于<lnX>2,解得xe(五,e),故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知曲線C：w2+wy2=],下列說法正確的是()

A.若機(jī)=〃>0,則C是圓，其半徑為近

n

B.若機(jī)>0,n=0,則C是兩條直線

c.若”>%>0時(shí)，則c是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

D.若〃第<0時(shí)，則C是雙曲線，其漸近線方程為>=土、[Zr

Vm

【答案】AB

【分析】根據(jù)選項(xiàng)條件分別化簡(jiǎn)曲線C：皿"2=1為圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后逐一分析，即可求解.

【詳解】對(duì)于A,機(jī)=〃>0,x2+y2=-,則C是圓，半徑為近，故A正確；

nn

對(duì)于B,若相>0,〃=0時(shí)，x=±-j=,則C是兩條直線，故B正確；

7m

H+匚111

對(duì)于C,若〃>機(jī)>0時(shí)，1+1-1,則L/>0,則C為焦點(diǎn)在X軸的橢圓，故C錯(cuò)誤;

———mn

mn

對(duì)于D,若“<0時(shí)，則C是雙曲線，漸近線方程為y=故D錯(cuò)誤；

Vn

故選：AB.

10.若某正方體的棱長(zhǎng)為正，則（

B.該正方體的內(nèi)切球的體積為逆兀

A.該正方體的體積為5

6

C.該正方體的表面積為30D.該正方體的外接球的表面積為15兀

【答案】BCD

【分析】根據(jù)正方體的體積表面積公式即可求解AC,根據(jù)內(nèi)切球和外接球的直徑即可得半徑，由球的體積

公式以及表面積公式求解BD.

【詳解】因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為石，所以其體積為（君『=5君，表面積為6x（君了=30,A錯(cuò)誤，C正確.

該正方體的內(nèi)切球的直徑為所以內(nèi)切球的體積為:元義（9]="兀，B正確.

3I2J6

該正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)石x石=JF,所以外接球的表面積為47tx=15兀,

D正確.

故選：BCD

11.對(duì)于三次函數(shù)〃力=加+加+s+d（aw0）,給出定義：設(shè)尸⑺是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)，/⑺是函

數(shù)廣⑺的導(dǎo)數(shù)，若方程/"（力=0有實(shí)數(shù)解與,貝U稱（xo，〃x。））為函數(shù)y=/（x）的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)

現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)

249

/(力=;尤3一尤2-12%+一，則下列說法正確的是()

36

A.〃x)的極大值點(diǎn)為

B.7'(X)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)仁,21是的對(duì)稱中心

D，于120221-[20221+，[20222021

=4042

2022

【答案】BCD

【分析】求出了'(力=27-2%-12,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得極值，要注意極值點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，可判斷

A項(xiàng)；根據(jù)極大值、極小值的正負(fù)，可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即判斷B項(xiàng)；根據(jù)/"(x)=0的解的情況，可

判斷C項(xiàng)；由對(duì)稱中心可推得了(x)+/(l-x)=4,用倒序相加法即可求得式子的和，判斷D項(xiàng).

【詳解】由題意知/(力=2/一212.

令解得2或x>3,所以〃x)在(F,-2)上單調(diào)遞增，在(3,y)上單調(diào)遞增;

令/(x)<0,解得一2<x<3,所以在(—2,3)上單調(diào)遞減.

又〃一2)=gx(-2)3-(一2)2-12x(-2)+?=?，/(3)=|X33-32-12X3+^=-^.

137113

所以，“X)在x=-2處有極大值〃-2)=-1，在x=3處有極小值

所以“X)的極大值點(diǎn)為-2,A項(xiàng)錯(cuò)誤；

又極大值〃-2)=(13>70,極小值“3)=-手114<0,作出的圖象，

有圖象可知，/(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確;

r(x)=4x-2,令/(x)=0,解得x=；,

1495,21是的對(duì)稱中心，故C正確;

又于-12x-+—=2,由題意可知，點(diǎn)

26

因?yàn)辄c(diǎn)是/⑺的對(duì)稱中心，所以有了I"=4,即+-x)=4.

123(2021)

令S=f+f++f12022J

202220222022

202120202019

又S=f+f+f++f9

20222022202212022)

20212202020211

所以2S="+f+f++/+f

202220222022202220222022

=2021x4=8084,,所以S=4042.故D正確.

故選：BCD.

第口卷（非選擇題）

四、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4=｛-2,0,2,4｝,3=｛即尤一3區(qū)加｝,若AB=A,則優(yōu)的最小值為

【答案】5

【分析】由A「'B=A可得解出集合8后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.

【詳解】由AB=A,故AgB,

由,一3|V/w,m+3<x<m+3,

4<m+3m>1

故有即即機(jī)25,

-2>-m+3m>5,

即用的最小值為5.

故答案為：5.

13.在等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，若他=6,%1=0,則與的值為

【答案】20

【分析】根據(jù)條件先計(jì)算出公差d,然后根據(jù)他=%+7d求解出由.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

因?yàn)椤?=6,Qu—0,所以—CLQ=3d=-6,

所以d=-2,

所以=的+7d=的-14=6,

所以的=20,

故答案為：20.

14.一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離

的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不

同的跳動(dòng)方式共有種.

【答案】105

【詳解】分析：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單

位，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，③，小青蛙向左跳2次，一次2

個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單

位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，由加法原理計(jì)算可得答案.

詳解：根據(jù)題意，分4種情況討論：

①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，有C51=5種情況，

②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，有Cs2=10種情況，

③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，

有C52A33=60種情況，

④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，有C52c32=30種情況，

則一共有5+10+60+30=105種情況，即有105種不同的跳動(dòng)方式.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)已知函數(shù)/(x)=L竺-

XX

⑴求曲線y=Ax)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

⑵求證：f(x)<2x-3.

【答案】⑴y=2龍-3

(2)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(無)=lnx-2f+3x-l,利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系即可證明.

【詳解】(1)=+3=⑴=2,

XXX

/⑴=-1.所以切點(diǎn)為(1,-D,由點(diǎn)斜式可得，y+l=2(x-l),

所以切線方程為：y=2x-3.(5分)

(2)由題可得，—<2x-3ln%-l<2%2-3%

XX

設(shè)g(%)=lnx-2%2+3%-1,

-4/+3尤+1一(-x+l)(4x+l)

g'(x)=--4x+3=

xXX

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，gf(x)=(~%+1)(4x+1)>0,

X

,,.(—x+l)(4x+1)

當(dāng)了〉1時(shí)，g\x)=~----------------<o,

X

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，(1,+8)單調(diào)遞減,

所以8(力手(%)皿=8⑴=°，

即f(x)42x—3.(13分)

16.(15分)在VABC中，內(nèi)角A,民C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

3

a(sinA-cosCsinB)-c(cosAsinB-sinC)=—asinC

(1)求8$5；

⑵設(shè)。為邊AC的中點(diǎn)，AC=2,求線段50長(zhǎng)度的最大值.

【答案］⑴:⑵

4

【分析】(1)由題設(shè)條件重新組合后將acosC+ccosA證明替換成匕，再利用正、余弦定理即可求得;

⑵利用三角形中線的向量表達(dá)式和向量數(shù)量積的定義式，可推得屹=卜+3心根據(jù)余弦定理和基

本不等式求得ac48,代入即可計(jì)算得到.

3

【詳解】(1)由Q(sinA—cosCsinB)—c(cosAsinB—sinC)=5QsinC得

3

tzsinA+csinC-sinB(6ZCOsC+ccosA)=—asinC(*).

因?yàn)閟inB=sin(A+C),所以sinB=sinAcosC+cosAsinC,

由正弦定理，得b=dcosC+ccosA,

3

代入(*)得，^sinA+csinC-bsinB=—asinC.

2

3

由正弦定理，得〃2+c?-Z?2=—QC,

2

3

由余弦定理的推論，得msa2+c2-b22aC3.(7分)

laclac4

3

(2)由余弦定理，得。2=—2QCCOS5,4=a2+c2――ac,

2

所以。2+。2=4+5“。22改，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=20時(shí)等號(hào)成立，

故得acW8.又加>=：(24+20，

-211-2---2

兩邊平方可得，BD=-(BA+BC)2=-(BA+2BABC+BC)

44

=；(BA2+2|BA|-|BC|COSZABC+BC?)=：1+2accosZABC+(z2

=—(ct~+c~~\—etc)=-(4H—etcH—ac)=—(4+3ac)47,

424224

所以忸￡(,近，即線段BD長(zhǎng)度的最大值為，(15分)

17.（15分）已知直三棱柱ABC-A^iG中，側(cè)面①與田為正方形，AB=BC,E,尸分別為AC和CQ的

中點(diǎn)，。為棱A4上的動(dòng)點(diǎn).8尸，4片.

（2）求平面BB￡C與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)D的位置.

【答案】（1）證明見解析

⑵最小值為乎，點(diǎn)「為靠近耳的的的四等分點(diǎn)

【詳解】（1）因?yàn)槿庵鵄BC-A用G是直三棱柱，所以8片，底面ABC,

又3C,ABu底面ABC,所以84J_AB,BBX±BC,

又因?yàn)锳B〃耳4，BF±A.B,,所以3b，AB,

又BBqBF=B,u平面BBCC,所以AB/平面

又BCu平面84GC,所以AB13C,即BAICB用兩兩垂直,

以B為原點(diǎn)，分別以8A,BC,2瓦所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)筋=2,則

y

5(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),瓦(0,0,2),4(2,0,2),C/0,2,2),E(l,l,0),尸(0,2,1),設(shè)￡>3,0,2)(04。。2),

所以8尸=(0,2,1),DE=(1-a,1,-2),

因?yàn)?歹?DE=0x(l-a)+2xl+lx(-2)=0,

所以BF_!_￡>￡1，即班(8分)

(2)設(shè)平面￡>EF的法向量為a=(x,y,z),

因?yàn)镋F=(—1,1,1),DE=(1—tz,1,—2),

n-EF=-x+y+z=0

所以〈，令z=2-a,則〃=(3,l+a,2-a),

n-DE=(1一a)x+y—2z=0

平面B與GC的一個(gè)法向量為&1=（2,0,0）,

設(shè)平面B耳GC與平面OE尸所成的二面角為e,

貝lj|cosO|=kos〈〃,BA〉|=ri-BA__________6__________3

HM2x，32+(1+〃尸+(2—〃)2」2〃2-2〃+14

27此時(shí)|cosq取得最大值逅,

T3

所以平面即GC與平面.所成的二面角正弦值的最小值為?

此時(shí)點(diǎn)。為靠近月的4萬的四等分點(diǎn).（15分）

18.（17分）在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了1000名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單

位：小時(shí)），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

（1）求。的值，估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

⑵為進(jìn)一步了解這1。0。名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在。4,16］,（16,18］兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽

樣的方法抽取了5人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記在（14,16］內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列和期

望;

（3）以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，用“心⑻”表示這8名學(xué)生中恰有人名學(xué)生戶

外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（8,10］內(nèi)的概率，當(dāng)心（女）最大時(shí)，求發(fā)的值.

【答案】（l）a=0.1,平均時(shí)間為9.16小時(shí)（2）分布列見解析，期望E（X）=《（3）笈=2

【分析】（1）根據(jù)頻率和為1,可得。，再根據(jù)平均數(shù)公式直接計(jì)算平均數(shù)即可；

（2）分別計(jì)算時(shí)間在（14,16］,（16,18］的頻數(shù)，結(jié)合分層抽樣可得兩組分別抽取人，根據(jù)超幾何分布的概

率公式分別計(jì)算概率，可得分布列與期望；

（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（8,10］內(nèi)的頻率，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得4件），根據(jù)最值

可列不等式，解不等式即可.

【詳解】（1）由已知2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+4+0.05+0.04+0.01）=1,解得。=0」，

所以平均數(shù)為1x0.04+3x0.06+5x0.1+7x0.1+9x0.3+11x0.2+13x0.1+15x0.08+17x0.02=9.16.（4分）

（2）這1000名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，

在（14,16］,（16,18］兩組內(nèi)的學(xué)生分別有1000x0.08=80人，和1000x0.02=20人；

QA

所以根據(jù)分層抽樣可知5人中在（14,16］的人數(shù)為5*而3=4人，在（16,18］內(nèi)的人數(shù)為5-4=1人，

C23C32

所以隨機(jī)變量X的可能取值有2,3,所以尸（X=2）=涓=三，P（X=3）=-1=-,

則分布列為

3

（3）由頻率分布直方圖可知運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（8,10］內(nèi)的頻率為0.15x2=0.3=—,

4伏）2個(gè)伏+1）

則片㈤，若心（左）為最大值，則

3

10,解得1.7WAV2.7,

19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓r：g+g=l（a>b>0）的離心率為白，直線1與「

相切，與圓。：+y2=3a2相交于A,B兩點(diǎn)當(dāng)1垂直于X軸時(shí)，=2V6.

⑴求「的方程；

(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M,N,若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在,

則記此最大值為d(M