2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：立體幾何初步-解析版

專題09立體幾何初步

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

2022?新高考I卷，4

1.高考對立體幾何初步的考查，重點是2023?新高考I卷，14

掌握基本空間圖形及其簡單組合體的2024?新高考I卷,5

柱、錐、臺體的表面積與體積

概念和基本特征、解決多面體和球體的2022?新高考n卷，11

相關(guān)計算問題。同時需要關(guān)注異面直線2023?新高考n卷，9

的判定和成角問題、空間點線面的位置2023?新高考n卷，14

關(guān)系問題、夾角距離問題、截面問題。2022?新高考I卷，8

這些問題對考生的空間想象能力要求球的切接問題2023?新高考I卷,12

有所提升，需要考生有強大的邏輯推理2022?新高考n卷，7

能力。2022?新高考I卷，9

夾角問題

2024?新高考n卷，7

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應(yīng)用，n卷考查了以棱臺為背景的線面角

的求法，總的來說，基本立體圖形的表面積和體積屬于常考點，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式

和提升計算能力比較重要。預(yù)計2025年高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關(guān)注臺

體的表面積和體積計算。

試題精講

一、單選題

1.（2024新高考I卷-5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為內(nèi),則圓錐的體

積為（）

A.2百兀B.C.6A/3TID.96兀

【答案】B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑『的方程，求出解后可求圓錐的體

積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為「，則圓錐的母線長為獷13，

而它們的側(cè)面積相等，所以2兀rxG=wxj3+/即=43+戶,

故廠=3,故圓錐的體積為9x9x6=37^71.

故選：B.

52

2.（2024新高考II卷-7）已知正三棱臺NBC-44cl的體積為石，AB=6,44=2,則4/與平面/8C

所成角的正切值為（）

A.yB.IC.2D.3

【答案】B

【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高力=拽，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得

3

AM=喙，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺/3C-44G補成正三棱錐

P-ABC,4/與平面ABC所成角即為"與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得％皿=18,進(jìn)而可求

正三棱錐尸-4BC的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取8C,8G的中點。㈤，貝!]40=36,4。=6,

可知LBC=gx6x6xt=9后邑=gx2xV^=百,

設(shè)正三棱臺ABC-A4。的為h,

則叱BC一L+6+T^O7卜號,解得場=殍，

如圖，分別過4,〃作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)NM=x,

222

貝！=^AM+A1M=^X+y,DN=AD-AM-MN=1y/3-x,

22

可得即=^DN+DXN=J(2百-1,

結(jié)合等腰梯形8CC4可得陰2=［詈:+DD；,

即x2+y=(2V3-x「++4,解得片孚

所以4,與平面ABC所成角的正切值為tan"/。=小

解法二：將正三棱臺ABC-4耳G補成正三棱錐P-ABC,

a

則4/與平面ABC所成角即為尸力與平面ABC所成角,

因哈H則二二:

可知匕6c一461G=Vp-ABC=,則^P-ABC=18,

設(shè)正三棱錐尸-48C的高為d,貝（/Bc=；/xgx6x6x[=18,解得"=26,

取底面ABC的中心為。，則尸底面ABC,且/。=26,

所以"與平面ABC所成角的正切值2尸/。=前=1.

故選：B.

近年真題精選

一、單選題

1.（2022新高考I卷-4）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已

知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為"O.Okn?；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積為

180.0km2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,

增加的水量約為（不合2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺的高為MV=157.5-148.5=9（m）,所以增加的水量即為棱臺的體積%.

棱臺上底面積S=140,0km2=140xl06m2,下底面積S'=IgO.Okn?=180xl06m2,

.?p=L(s+s，+Vss7)=1x

31

=3x(320+60V7)xl06?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：C.

2.（2022新高考I卷—8）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36%，且

3W/W36,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

1哈27812764

A.B.C.D.[18,27]

【答案】C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為“，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四

棱錐體積的取值范圍.

【詳解】?.?球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2〃，高為3

貝!I/2=2/+,32=2a2+(3—h)2,

所以6〃=尸，2a2=I2—h2

所以正四棱錐的體積『=4S/z=:x4/*〃=Ux(/2-C)xg=41/4-J],

333366"36J

所以『二w/

當(dāng)3V”2直時，r>0,當(dāng)2"<”36時，V'<0,

所以當(dāng)/=2而時，正四棱錐的體積「取最大值，最大值為半，

2721

又/=3時，,/=3百時，,

44

所以正四棱錐的體積廠的最小值為2一7，

所以該正四棱錐體積的取值范圍是y.y.

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

——13

由方法一故所以展g/gge為一力2）〃=；02-（12-2?+刀+/7=,（當(dāng)且僅當(dāng)〃=4取至Q,

當(dāng)它時,得”普，則…在贈**

當(dāng)/=36時，球心在正四棱錐高線上，此時分=；+3=（

（。=￥=〃=￥，正四棱錐體積匕（平故該正四棱錐體積的取值范圍是

2.2.723372243

3.（2022新高考n卷?7）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為36和46,其頂點都在同一球面

上，則該球的表面積為（）

A.IOOTCB.1287rC.1447tD.192兀

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑大力再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半

徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑自大所以24=2叵,2々=業(yè)即4=3,2=4,設(shè)球心

1sin6002sin60°

2

到上下底面的距離分別為4,W，球的半徑為&,所以4=依-9,d2=NR76，故L-&I=1或4+%=1，

即=？-歷叫=1或京工+質(zhì)二a=1,解得笈=25符合題意，所以球的表面積為

5=47tT?2=1007t.

故選：A.

二、多選題

4.（2022新高考I卷9）己知正方體/BCD-44G2，貝!1（）

A.直線2G與所成的角為90。B.直線2G與C4所成的角為90。

C.直線8G與平面88QQ所成的角為45°D.直線8G與平面/BCD所成的角為45°

【答案】ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接及C、BClf因為。4//8C，所以直線8G與耳C所成的角即為直線與。4所成的

角，

因為四邊形3耳GC為正方形，則故直線8G與所成的角為90。，A正確；

連接4C,因為平面84￡C,臺^匚平面^耳。。，則44_L8G，

因為4月。聾。=烏，所以8G，平面4s。，

又4CU平面4BC,所以8GLC4,故B正確；

連接4C，設(shè)4G。42=。，連接30,

因為8瓦，平面4國4口,CQU平面4BCn,則C,01BXB,

因為BRCBIB=B],所以CQL平面B3QQ,

所以ZQBO為直線BC,與平面BB,D、D所成的角，

設(shè)正方體棱長為1,則GO=￥，BC、=亞,sinNG8O='=；,

所以，直線2G與平面33QQ所成的角為30。，故C錯誤;

因為平面“BCD，所以/G3C為直線8G與平面4BCD所成的角，易得/。2。=45。，故D正確.

故選：ABD

5.（2023新高考I卷?12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：因為0.99m<1m,即球體的直徑小于正方體的棱長，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對于選項B：因為正方體的面對角線長為0m,且血>1.4,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于選項C：因為正方體的體對角線長為e111,且公<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；

對于選項D：因為1.2m>1m,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過/G的中點。作設(shè)OEnNC=E,

可知/C=板,CO=1,4cl=y[3,OA=—,貝!ItanZCAQ=與=空,

2ACAO

1OE

即二萬，解得。石=r如，

T4

故以"G為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m圓柱，

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心與正方體的下底面的切點為

M,

可知：ACxVOlM,OxM=0.6,貝！|tanNG4C=^^=整，

10.6A『廣

即解得/。1=0.6收，

根據(jù)對稱性可知圓柱的高為G-2X0.6亞~1.732-1.2x1.414=0,0352>0,01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.

6.(2022新高考II卷?“)如圖，四邊形/BCD為正方形，平面48C。，F(xiàn)B〃ED,AB=ED=2FB,記

三棱錐E-/CD,F-ABC,尸-/CE的體積分別為匕,％，匕，貝U()

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計算匕匕，連接2。交/C于點連接四,9,由匕%一EFM計算出

匕，依次判斷選項即可.

【詳解】

111?4

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因為EDJ_平面/BCD,FB\\ED,則匕=屋2。5?（2。）一=1",

%=；EBS"c=：a,（（2a）2=ga3,連接50交/C于點“，連接應(yīng)易得BDL4C,

又￡￡>_1平面48CD,/Cu平面48CD,則E￡>_L/C,又ED^BD=D,ED,BDu平面BDEF,貝!J/C_L

平面瓦歷尸，

又BM=DM=；BD=4ia,過尸作bGLQE于G,易得四邊形5QG廠為矩形，貝?。?/p>

FG=BD=2y[ia,EG=a,

貝!IEM=Q（2a）2=y[6a,FM=^a2+^y/2a^=yl^a,EF=Jq:+（2V^q）=3a,

ioR

2222

EM+FM=EF,則EMLFA/,S^EFM=-EM-FM=^a,AC=2也a,

則匕=匕.跳M+七一EFM=g/OSaEkM=2/,貝！|2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B錯誤；C、D正

確.

故選：CD.

7.（2023新高考II卷-9）已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為。，48為底面直徑，ZAPB=120°,PA=2,

點C在底面圓周上，且二面角尸-/C-。為45。，貝U（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=242D.△尸/C的面積為G

【答案】AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以。P=1,CM=O8=G，

A選項，圓錐的體積為g*兀x（g）xl=7t,A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀x君x2=2g兀，B選項錯誤；

C選項，設(shè)。是4C的中點，連接。。,心，

則AC1OD,AC1PD,所以NPDO是二面角P-AC-0的平面角，

則NP0O=45。，所以O(shè)P=OD=1,

故40=。。=萬斤=亞，則NC=2亞，C選項正確；

D選項，PD=82+F=&，所以邑P/C=gx2亞x亞=2,D選項錯誤.故選：AC.

三、填空題

8.（2023新高考I卷-14）在正四棱臺中，48=2,4片=1,04]=友，則該棱臺的體積

為.

【答案】巫

6

【分析】結(jié)合圖像，依次求得4?！?。，4M，從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過4作垂足為“，易知4M為四棱臺43。-48cA的高，

貝!14。[=<4G=gxVL44===收，

故/A/=；（/C_4G）=爭貝U4Ml4A?_AM。=,_g=乎,

所以所求體積為展L（4+1+G）X"=W1.故答案為：巫.

3266

9.（2023新高考n卷-14）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體

的體積公式直接運算求解.

【詳解】方法一：由于彳=：，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,截去的正四棱錐的體積為gx（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+傳%）=28.故答案為：28.

必備知識速記

一、棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面

所圍成的多面體叫做棱柱.

（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；

（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體：棱長都相等的長方體.

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱

錐.

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺

叫做正棱臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示.

正

四

棱柱棱

柱

凸

多

面

體

二、圓柱、圓錐、圓臺、球、組合體

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓

錐.

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離:

經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）.

5、由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.

三、表面積與體積計算公式

1、表面積公式

S1Mti=ch+2S&

柱體隗的=c7+2染(c,為直截面周長)

=1nr~+2nrl=2/rr(r+Z)

12"

品稼隹+S底

錐體

,儺=乃/+萬〃=萬廠（廠+/）

表4

面a]

積

s正棱臺=~n(a+儲)。+s上+s下

臺體

S圓臺=?(/2+r2+r'l+rl)

球

S=4兀N?

2、體積公式

柱體4=ShI

體J

積

噓；

錐體=Sk/\

四、空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐標(biāo)系.

（2）畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀

圖中畫成平行于。'x',O'y',使/x'。y=45°（或135°）,它們確定的平面表示水平平面.

（3）畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸的線段，且長度保持不變；

在已知圖形平行于〉軸的線段，在直觀圖中畫成平行于了軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫不變,

縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去x'軸、V軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為也:4.

五、四個基本事實

基本事實1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法

基本事實2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

六、直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7二

符號aC]b=Pa\\bap\a=A,b(^a,A^b

公共點個數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一

個平面內(nèi)

七、直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

zLV

符號1ua/na=尸1\\a

公共點個數(shù)無數(shù)個10

八、平面與，F(xiàn)面的位置關(guān)系

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形/7a

k_LJ

符號aIIPan/二/a工0,a[\p-I

公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且都在唯無數(shù)個公共點且都在唯一

一的一條直線上的一條直線上

九、等角定理

1、定義：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

十、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作/IIa

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這個平

l//lx

線II線=>線面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直I】ua>n/〃a

II面線和這個平面平行（簡記為“線線IQLa

平行=>線面平行

如果兩個平面平行，那么在一個平

>na//0

面1面n線面內(nèi)的所有直線都平行于另一個aua)

II面平面

3、性質(zhì)定強!（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一個1//a

平面平行，經(jīng)過這條lup〃/'

線II面n線II線直線的平面和這個平JlaV\/3—I'

面相交，那么這條直

線就和交線平行

H^一、兩個平面平行

1、定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和4,若分=。，則aII，

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相

線II面n交的直線都平行于另一個B，b//j3^a//j3

//

面II面平面，那么這兩個平面平行

（簡記為'線面平行n面面

平行

線_L面=>如果兩個平面同垂直于一I.La

,aII夕

面II面條直線，那么這兩個平面平

行三

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那么

面〃面=>/a/

在一個平面中的所有直all，

線〃面>na//用

線都平行于另外一個平aua

面//

如果兩個平行平面同時

和第三個平面相交，那么“/aiIp]

性質(zhì)定理他們的交線平行（簡記為aC\y=a//b.

“面面平行=>線面平

行”）

如果兩個平面中有一個

面〃面=>垂直于一條直線，那么另all'

=11B

線面一個平面也垂直于這條I.La

直線/1/

十二、直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平

1a,bua

面內(nèi)的兩條相交直aLI

判斷定理>=/_La

線都垂直，則該直b-Ll

acb=P

線與此平面垂直V

兩個平面垂直，則

a

在一個平面內(nèi)垂直ac。=a

面，面=線1面>=b_La

于交線的直線與另bu/3

XbLa

一個平面垂直

一條直線與兩平行

平面中的一個平面alIB}

平行與垂直的關(guān)系/}=>a_L分

垂直，則該直線與aLa]

另一個平面也垂直

兩平行直線中有一gb

條與平面垂直，則a//b]

平行與垂直的關(guān)系

另一條直線與該平Q_Laj

面也垂直

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

_(7b

垂直于同一平面的兩aLa\

性質(zhì)定理\=a1lb

條直線平行bLa\

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同一直線a-La]

垂直與平行的關(guān)系7

的兩個平面平行7aLf3\

如果一條直線垂

直于一個平面，則

線垂直于面的性質(zhì)I_La,auan/_LQ

該直線與平面內(nèi)7

所有直線都垂直Z二

十三、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂

直.（如圖所示，若ac°=CD,CD工y,且acy=AB,0cy=BE,AB工BE,則a_L/）

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面過另一bLa

>na[{3

個平面的垂線，則bu/3)

4—

這兩個平面垂直

知識點6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一aL(3

個平面內(nèi)垂直于交ac/3=a

<>=b_La

bu(3

線的直線與另一個

二bLa

平面垂直7

十四、直線與平面所成的角

1、定義

①斜線和斜足：如圖，一條直線/與一個平面a相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的

斜線，斜線和平面的交點/叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點尸向平面a引垂線尸。，過垂足。和斜足力的

直線/O叫做斜線在這個平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所

成的角.

①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0。.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90。.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角。的范圍是0。＜90°.

④直線與平面所成的角。的取值范圍是0°&6W90。.

十五、二面角

1、二面角的定義

①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱為面分別為a,￡的二面角記作二面角a-48-//,如果棱記作/,那么這個二面角記作二面角a

-1-P，如圖⑴.

②若在a,￡內(nèi)分別取不在棱上的點P,Q,這個二面角可記作二面角PN8-。，如果棱記作/,那么這

個二面角記作二面角尸-/-。，如圖(2).

(1)(2)

3、二面角的平面角

①自然語言

在二面角a-//的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平面a和￡內(nèi)分別作垂直于棱/的射線OA和

OB,則射線0A和0B構(gòu)成的乙4。3叫做二面角的平面角.

②圖形語言

③符號語言

aC\f3=l,OeZ,OACa,OBC(3,0A1.1,O_B_LZ^=>Z-1402叫做二面角a-/-或的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②當(dāng)二面角的兩個半平面重合時，規(guī)定二面角的大小是0。；當(dāng)二面角的兩個半平面合成一個平面時，

規(guī)定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角，,的范圍是0。WaW180。.

名校模擬探源

一、單選題

71

I.(2024?重慶?三模)若圓錐的母線長為2,且母線與底面所成角為：，則該圓錐的側(cè)面積為()

4

A.42nB.2兀C.2亞兀D.4兀

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得圓錐底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式，即可求解.

【詳解】圓錐的母線長為2,母線與底面所成角為丁，所以底面圓的半徑為，=2sin：=夜，

44

所以該圓錐的側(cè)面積為“="近x2=2&兀.

故選：C

2.（2024?河北秦皇島?三模）已知加，”表示兩條不同的直線，a表示平面，則（）

A.若加||?,n//a,則加〃"B.若機(jī)II。，m±n,貝！J〃_La

C.若洸_La,m±n,貝!|〃〃aD.若加_La,力ua,則

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】若心11夕，n//a,則見〃可能平行，異面或者相交，故A錯誤；

若川|夕，mln,則"與a可能平行，可能相交，也可能〃ua,故B錯誤；

若小_La,m±n,則〃與a可能平行，也可能“ua,故C錯誤；

若加_La,"ua,由線面垂直的性質(zhì)定理可知故D正確；

故選：D

3.（2024?新疆喀什?三模）已知底面邊長為2的正四棱柱/BCD-44G。的體積為16,則直線/C與

所成角的余弦值為（）

A275RV5VH）n3廂

551010

【答案】C

【分析】如圖，確定4cA（或其補角）為直線/C與48所成的角，求出CG,進(jìn)而求解.

【詳解】如圖，連接N2，C2,則48//DC，取NC的中點。，連接。A，則

所以4cA（或其補角）為直線/C與43所成的角，

又正四棱柱的體積為16,則該棱柱的高為由=白=4,

又/C=皿=CD]=V42+22=2V5,

所以…W短號

即直線/C與42所成角的余弦值為多.

故選：C

4.（2024?山東濰坊?三模）某同學(xué)在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成.已

知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1:2,上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為

（）

A.巫B.yC.—D.巫

5225

【答案】A

【分析】由圓錐的體積公式及圓錐高、半徑與母線的關(guān)系計算即可.

【詳解】設(shè)上、下兩圓錐的底面半徑為廠，高分別為4,生,體積分別為幾匕,

因為上圓錐的高與底面半徑相等，所以4=廠,

V"4

%r1

貝U戶十一元=5得，

2―兀尸2〃h2

32

上圓錐的母線為產(chǎn)葉=Vr2+r2=V2r,下圓錐的母線為J,+力；=Vr2+4r2=5,

所以上、下兩圓錐的母線長之比為

故選：A.

5.（2024?陜西?三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞口,

弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可

近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則黃

地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（）（附：兀的值取3,725.402