2025年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）某地有8個快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞個數(shù)分別為360,284,290,300,188,240,260,

288,則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）

A.290B.295C.300D.330

2.（5分）等比數(shù)列｛即｝中，首項是公比是則是數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞增的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

/v2

3.（5分）已知圓C：/+）2-10產(chǎn)21=0與雙曲線/一言=b>0）的漸近線相切，則該雙曲線的

離心率是（）

/-55L

A.V2B.-C.-D.V5

32

4.（5分）已知向量a=（0,-2）,6=（1,t）,若向量b在向量a上的投影向量為一2。，則a-6=（）

511

A.-2B.—得C.2D.一

22

5.（5分）冬奧會會徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳

統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書

法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°

等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△N8D（如

圖乙），測得/5=3,BD=4,AC=AD=2,若點(diǎn)C恰好在邊AD上，請幫忙計算cos//CD的值（）

個<

甲乙

6.（5分）2023年9月8日，杭州第19屆亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在西湖涌金公園廣場舉行.秉持杭州

亞運(yùn)會“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡約、規(guī)模適度.在

第1頁（共17頁）

杭州某路段傳遞活動由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙

中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為（）

A.18B.24C.36D.48

7.（5分）已知。是三角形的一個內(nèi)角，滿足cose—s出8=-洛，則竺此竺答竺竺=（）

Dsind

2929

A--5B.-JOC-5D-io

8.（5分）已知橢圓C：捻+噲=l（a>6>0）的焦點(diǎn)分別為尸i,歹2,點(diǎn)/在C上，點(diǎn)8在y軸上，且滿

足川11B%,AF2=/2B,則C的離心率為（）

1V2V3V5

A.-B.—C.—D.—

2235

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

2

（多選）9.（6分）己知復(fù)數(shù)zi=l-3i,z2=（2-0>Z3=牛排，則（）

A.Z]+z?=4+7i

B.Z1，Z2,Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列

C.VlOIZil=2|Z2|

D.zi，Z2,Z3的虛部依次成等差數(shù)列

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/（x）=4s譏（3%+卬）（力>0,3〉0,|如〈食）的部分圖象如圖所示，則下列

A./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（—金，0）對稱

B./（x）在區(qū)間[等，27rl上單調(diào)遞增

7T

C.將/（x）的圖象向右平移二個單位長度可以得到函數(shù)g（x）=2sin2x的圖象

6

一1一77

D.將/（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的了縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)/i（%）=2s譏（4%+&）的

第2頁（共17頁）

圖象

（多選）11.（6分）定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/'（久+可）—b=—/（g--%）,6eR,f（x）=/（-g—x）.若

f（x）=g（x）,記函數(shù)/（X）的最大值與最小值分別為了（X）max、f（x）min,則下列說法正確的是

（）

A.2Tt為f（X）的一個周期

B.g（x）一。（苧-%）=0

C.若/（X）max~^f（X）min=2,則b—1

D./（x）在（?，萼）上單調(diào)遞增

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）若集合/={x|/-2x-24W0},{x\m2<x<m2+2］,/C3=0,則/的最小值為.

37r

13.（5分）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為三，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體

S甲V甲

積分別為V甲和V乙.若=2,則=_______________________?

小乙丫乙

14.（5分）已知實(shí)數(shù)0,6滿足4。+2a=3,log2y/3b+1+b=^,貝！|。+部=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數(shù)/'（x）=掾爐一3/一9x.

（1）當(dāng)。=3時，求/（x）在區(qū)間［0,4］上的最值；

（2）若直線/：12x+y-1=0是曲線>=/（x）的一條切線，求a的值.

16.（15分）“村山”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽

事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)、鄉(xiāng)土味、

歡樂感，讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.

某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽

取了男、女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計

男生20

女生15

合計100

第3頁（共17頁）

2_n(^ad—bc')2

X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)a=0.005的獨(dú)立性檢驗，能否有99.5%的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡

足球與性別有關(guān)？

(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門.據(jù)統(tǒng)計，這兩名男

21

生進(jìn)球的概率均為目，這名女生進(jìn)球的概率為5,每人射門一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總

次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.(15分)如圖，多面體PS-NBCD由正四棱錐尸-48。和正四面體S-P3C組合而成.

(1)證明：PS〃平面ABCD；

(2)求4S與平面以。所成角的正弦值.

18.(17分)已知拋物線d=你，。為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)。作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為4BU,

3在y軸兩側(cè))，

勿與。8分別交x軸于N.

(1)若點(diǎn)0在直線＞=-2上，證明直線N8過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

(2)若點(diǎn)。在曲線-=-2y-2上，求四邊形/必出的面積的范圍.

19.(17分)已知有窮數(shù)列/：ai，。2,…，an(?^3)中的每一項都是不大于〃的正整數(shù).對于滿足1W

加W”的整數(shù)加，令集合/(加)={k\ak=m,k=1,2,???,n}.記集合/(m)中元素的個數(shù)為s(m)

(約定空集的元素個數(shù)為0).

(I)若/：6,3,2,5,3,7,5,5,求/(5)及s(5)；

111,

(II)~~~+—~~~~~=n,求證：ai,ai,■■■,即互不相同；

s(ai)s(a2)s(an)

(III)已知ai=a,ai—b,若對任意的正整數(shù)3J(，壬/,吐/W")都有HyE/(a；)或葉/E4(勾)，求

a\+ai+---+an的值.

第4頁(共17頁)

2025年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）某地有8個快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞個數(shù)分別為360,284,290,300,188,240,260,

288,則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）

A.290B.295C.300D.330

【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大排序為188,240,260,284,288,290,300,360,

..?上四分位數(shù)即為75%分位數(shù)，

又8X75%=6,

1

上四分位數(shù)為5X（290+300）=295.

故選：B.

2.（5分）等比數(shù)列｛斯｝中，首項是⑶，公比是g,則g>l是數(shù)列｛即｝單調(diào)遞增的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若?>1時，｛斯｝遞減，???數(shù)列｛即｝單調(diào)遞增不成立.

若數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞增，當(dāng)ai<0,0<q<l時，滿足｛斯｝遞增，但g>l不成立.

...“公比是“數(shù)列｛即｝單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

3.（5分）已知圓C：，+產(chǎn)-皿+21=0與雙曲線葭一金=i（a〉0,b>0）的漸近線相切，則該雙曲線的

離心率是（）

_55-

A.V2B.-C.-D.V5

/y2

【解答】解：雙曲線7-金=1的漸近線方程為船土砂=0,

圓C：x2+/-107+21=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：/+（y-5）2=4,

則圓心C（0,5）到直線-即=0的距離為d=r；

第5頁（共17頁）

?10—5a|5a

BP-,—=——=2,

1次+次C

c5

解得一二

a2

即雙曲線的離心率是e=j.

故選：c.

T,1->T—

4.（5分）已知向量2=（0,-2）,b=（Lt）,右向量b在向量a上的投影向量為一2。，則Q?b=（

_511

A.-2B.C.2D.—

-22

—>—?

【解答】解:a=(0/-2),b=(Lt).

T—T

—>ta-ba-2t-1-

則向量b在向量。上的投影為r-x-=r=---a=——a,

4---------2

解得￡=1，所以b=-2.

故選：

5.（5分）冬奧會會徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳

統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書

法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°

等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△，助（如

圖乙），測得45=3,BD=4,AC=AD=2,若點(diǎn)C恰好在邊上，請幫忙計算cosN/C。的值（）

甲

13V1511

A.-B.—C.-------D.—

2141616

AD2+BD2-AB24+16-911

【解答】解：由題意，在△45。中，由余弦定理可得，cosZ-ADB=

2AD-BD2x2x4~16f

11

在△NCD中，由AC=AD=2,得cos/ACD=cos乙ADB=jj.

故選：D.

6.（5分）2023年9月8日，杭州第19屆亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在西湖涌金公園廣場舉行.秉持杭州

亞運(yùn)會“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡約、規(guī)模適度.在

第6頁（共17頁）

杭州某路段傳遞活動由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙

中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為（）

A.18

【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

當(dāng)?shù)谝话魹楸麜r，排列方案有禺國=12種；

當(dāng)?shù)谝话魹榧谆蛞視r，排列方案有掰屬=12種；

故不同的傳遞方案有12+12=24種.

故選：B.

八_,□一“、一、3廠i（sin8+cose）cos2e

7.（5分）已知。是二角形的一個內(nèi)角，滿足cos。-sin。=一下-,則--------------=（）

》sinB

2929

A.--p-B.-YnC.~D.

510510

【解答】解：因為cos?！猻inO=一卷，兩邊平方得1一2sin0cos0=即2sin3cos0=春

可得（sin0+cos0）2=l+2sin0cos0=l+^=

若sin0+cos6=~

解得：sM8=-魯，與e是三角形的一個內(nèi)角矛盾，

o/~E

所以sin。+cosO=-g—,

止匕時sin。=—,cos9—

故有：tan0=黑=2,

(s譏0+cos0)cos26sinO+cosOcos26—sin23tanO-^-ll-tan^O

從而有，

sin3cos20+sin23tan3l+tan2010

故選：B.

8.（5分）已知橢圓C：盤+言=l（a〉b>0）的焦點(diǎn)分別為尸i,夫2,點(diǎn)/在。上，點(diǎn)8在y軸上，且滿

足力Fi1BFi，AF2^^F2B,則C的離心率為（）

1V2V3V5

A.-B.—C.—D.—

2235

【解答】解：因為4?2=［尸28,則|4尸2|=（尸2切，

設(shè)尸2學(xué)=刈即|力尸2|=（刈

第7頁（共17頁）

7

根據(jù)橢圓的定義與性質(zhì)，可得IAF1I=2a-《％,出為尸X,

—>—>

又因為4%1BFi，則|4F/2+田％|2=明2,

7c

即(2a-w%)2+/=(可%)2,解得x=a或X=-3Q(舍去),

24

所以|4/2|=(。，|4%1=今。，

在Rt/\ABFi中，可得cosZ"http://%=\An\=i-=!，

I7125!M3

&)2+(|a)2—(2c)2

4_|4尸1|2+|4尸2|2一|尸1/2|2

則COSZ■尸1”2=解得a2=5c2,

5-2|河||”212'-^Cl'-^CL

所以e=W=萼.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

2

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)zi=l-3i,z2=（2-0,Z3=8：：，,則（）

A.Z]+Z2=4+7i

B.Z1,Z2,Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列

C.VlOIZil=2|Z2|

D.zi，Z2,Z3的虛部依次成等差數(shù)列

【解答】解：因為Z2=（2-i）2=3-4i,Z3=W?=9+i,所以ZI+Z2=4-73所

-1-II\-1-IIJ[?1_LJ

以Zi+Z2=4+73故/正確；

因為zi,Z2,Z3的實(shí)部分別為1,3,9,所以zi,Z2,Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故8正確；

VlOIZil=V10xV1+9=2|Z2|=2X5=10,故。正確；

因為Zi,Z2,Z3的虛部分別為-3,-4,1,所以Z],Z2,Z3的虛部依次不成等差數(shù)列，故。錯誤.

故選：ABC.

（多選）10.（6分）已知函數(shù)f（X）=4s譏（tux+0）（4>0,a）>0,|R|〈冷）的部分圖象如圖所示，則下列

選項正確的是（）

第8頁（共17頁）

A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(—金，0)對稱

B./(x)在區(qū)間［芋，2捫上單調(diào)遞增

71

C.將7(%)的圖象向右平移二個單位長度可以得到函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象

6

1_n

D.將/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的5,縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)/i(%)=2s譏(4%+石)的

圖象

5TT71

【解答】解:由函數(shù)/(x)=4sin(a)x+(p)的部分圖象知，A=2,T=4義(-----――)=71,

126

所以3=竿-2,

77"TT7TTT

又因為/(不)=2,所以2sin(w+0)=2,即5+0=5+2^71,kEZf

又因為|如書,所以0=看，所以/(%)=2s譏(2%+卷).

由"—強(qiáng))=2s譏(一卷+強(qiáng))=0，即/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一倉，0)對稱,選項4正確;

T5TT.7T77r257r77r9TT

當(dāng)％6［手，2TT］時，2、+石且萬，—,y］,

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，f3在區(qū)間［竽，2捫上單調(diào)遞增，選項2正確；

f(%)的圖象向右平移看個單位長度,得到函數(shù)g(x)=2sin［2(x-3)+1］=2sin(2x-，)，選項C錯

誤；

將/(X)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的5,縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)h(x)=2s譏(4%+看)的圖象,

選項。正確.、

故選：ABD.

(多選)11.(6分)定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(%+5)—b=b-—x),Z)GR,f(%)=—%).若

f(x)=g(X)，記函數(shù)/G)的最大值與最小值分別為/(x)max、f(x)min，則下列說法正確的是

第9頁(共17頁)

A.如為/G）的一個周期

B.g（%）-g（竽-%）=。

C.若/（X）max+f（X）min=2,則6=1

D./（x）在得，等）上單調(diào)遞增

【解答】解：對于選項N：由/（久+引―=6—//一久），將x替換成％-靠得“久）=2b—/（苧—%）,

（久）=/（等—久），由上面兩個式子，/（等一x）=2b—/（音^—久），

,,57r

將工替換成三~一%,f（x）=26-/（x-Ji）,

.*./（x+n）=2b-f（x）.

：.f（X+2TT）=2b-f（X+TT）=2b-[2b-f（x）]=/（x）,

.??2n為/（x）的一個周期，故選項4正確；

對于選項B：將等式f（%+引—b=b—f（J^~%）兩側(cè)求導(dǎo)，

得/■（%+號）=/'猾一%）,即g（x）=g（苧一x）成立，故選項3正確；

對于選項C：滿足“久+?）-b=6—f（[—久），即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（9,6）中心對稱,

函數(shù)/（x）的最大值和最小值點(diǎn)一定存在關(guān)于點(diǎn)（[,6）中心對稱的對應(yīng)關(guān)系,

./(%)?71。%+/(%)7?1出j

>?—b,解得b=l,故選項C正確;

對于選項C：：沒有明確的解析式，無法判定函數(shù)的單調(diào)性，無法判斷了（X）在（[,等）上是否單調(diào)遞

增，故選項。錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）若集合4={%|/-2x-24W0},B={x\m2<x<m2+2],4rl5=0,則冽2的最小值為6.

【解答】解：因為/={x|-4〈xW6},加2三0,所以加2三6,

所以m2的最小值為6.

故答案為：6.

13.（5分）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為弓，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體

S甲V甲8A/5

積分別為V甲和V乙?若-2,則二一一^-_.

第10頁（共17頁）

【解答】解：設(shè)甲、乙兩個圓錐的母線長為/,底面圓的半徑分別為r甲，，乙，高分別為力甲，h乙

盧丁甲2mz2〃(r甲+r,)37r

+=-----1-----=r

則根據(jù)題意可得：(S由TITJra，

甲彳甲C

11

解得丁平二11，丁乙二屋，

V甲尹①尹)2九月-ysV5

--=1------=4x=--

2丁篤)2吃手5

8V5

故答案為:

2.______9Q

14.(5分)己知實(shí)數(shù)用6滿足4a+2a=3,Zog2(3b+1+b=毋,則a+觸=」

Q,______9

【解答】解：因為/0g」39+1+)=呈化簡得log2(36+1)+(36+1)=3.

所以232(3匕+1)+log2(3b+1)=3,又4”+2〃=22。+2“=3,

構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+x,

因為函數(shù)歹=2%,歹=%在(-8,+8)上都為增函數(shù)，

所以函數(shù)/(X)在(-8,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

由/(I)=3,所以2a==g2(36+1)=1,

ii

解得a=2，b=w，

所以a+2b=1.

故答案為：1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)/'(%)=掾爐一3/—9x.

(1)當(dāng)。=3時，求/(x)在區(qū)間［0,4］上的最值；

(2)若直線/：12x+y-1=0是曲線>=/(x)的一條切線，求a的值.

【解答】解：(1)當(dāng)。=3時，f(x)=x3-3x2-9x,f(x)=3X2-6X-9<0^>-1cx<3,

f(x)在上(-8,-1)、(3,+oo)是增函數(shù)，在(-1,3)上是減函數(shù)，

又/(0)=0,/(3)=-27,f(4)=-20,

：.f(x)在區(qū)間［0,4］上的最大值為0,最小值為-27.

第11頁(共17頁)

(2)V/(x)=^%3—3%2—9x,f(x)=ax2-6x-9,

*,?曲線歹=/(x)在點(diǎn)(%,f(力)處的切線方程為y—(可/—3d—9t)=(ad—6t—9)(%—t),

即y=(。產(chǎn)-6t—9)x—+3t2,

又此切線方程為12x+y-1=0,即歹=-12x+l,

。步—6t—9=-12一

一和+3產(chǎn)-，解得憶1

3

?*.6Z=3.

16.（15分）“村民4”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽

事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)、鄉(xiāng)土味、

歡樂感，讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.

某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽

取了男、女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計

男生20

女生15

合計100

2

2_n(^ad—bc')

”—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)a=0.005的獨(dú)立性檢驗，能否有99.5%的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡

足球與性別有關(guān)？

（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門.據(jù)統(tǒng)計，這兩名男

21

生進(jìn)球的概率均為］這名女生進(jìn)球的概率為或每人射門一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總

次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：（1）依題意，2義2列聯(lián)表如下:

喜歡足球不喜歡足球合計

男生302050

第12頁（共17頁）

女生153550

合計4555100

零假設(shè)M)：該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別無關(guān),

X2的觀測值為三=1°嚕黑黑黑20)2=當(dāng)?909],

9.091>7.879=XO.OO5，根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗，推斷為不成立,

所以有99.5%的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).

(2)依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,

2117?191tr

P(x=0)=(1-f)2X(1一分=含，P(x=1)=Cixf(l-1)x(l-1)+(l-|)2x1=^,

P(X=2)=禺x|(1—金x打(|)2x(l-1)=^=1,P(X=3)=(|)2X|=1

所以X的分布列為:

X0123

P1542

181899

數(shù)學(xué)期E(X)=0x表+1x磊+2x^+3x^=

17.(15分)如圖，多面體PS-48CD由正四棱錐P-ABCD和正四面體S-P3C組合而成.

(1)證明：PS〃平面N5CD；

(2)求/S與平面融。所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：分別取BC,PS的中點(diǎn)￡,F,G,連接P￡,PF,GF,SF,EF,

由題意可知多面體PS-/BCD的棱長全相等，且四邊形ABC。為正方形，

所以昉J_8C,PFLBC,SFLBC,

因為尸，EF,PFu平面電產(chǎn)，

所以8C_L平面PE尸，同理8CJ_平面尸F(xiàn)S,

又平面PEFC平面PFS=PF,所以P,E,F,S四點(diǎn)共面，

又因為EF=4B=PS,PE=PF=SF,

第13頁(共17頁)

所以四邊形PEFS為平行四邊形,

所以PS〃斯，又EFu平面48a）,PSU平面4BC。,

所以PS〃平面ABCD-,

(2)解：以尸為原點(diǎn)，以FE,FB,FG所在直線分別為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)N3=l,

則P(4,0,/E(L0,0),A(l,,0),S(—0,,

所以EP=(—4，0，,EA-(0/4,0)/AS=(—5，—^，，

設(shè)平面玄。的一個法向量為￡=(x,y,z),

f-T(1^72_

則［.《=0,即;2久+^z=n。，

^EA-n=02y=0

令z=l,則％=應(yīng)，y=0,可得￡=(V^,0,1),

設(shè)AS與平面PAD所成角為0,

miI.Q.J工、［\n-AS\V272

貝！Jsin0=cosOi/AS>\=-7-~~一=---1=-，

扇MSIV3X>M3

18.（17分）已知拋物線f=4y,。為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)0作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B（A,

3在y軸兩側(cè)）,

。/與。8分別交x軸于M,N.

（1）若點(diǎn)。在直線＞=-2上，證明直線A8過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn);

（2）若點(diǎn)。在曲線/=-2y-2上，求四邊形/四V5的面積的范圍.

【解答】解：（1）不妨設(shè)直線48的方程為夕=h+加，A（xi,yi）,B（%2,二），Q（xo，yo），

聯(lián)立｛:=4y

消去》并整理得x2-4Ax-4m=0,

=kx+m

第14頁（共T7頁）

此時A=16廬+16加，

因為/,8在y軸兩側(cè)，

所以XIJQVO,加>0,A>0,

由韋達(dá)定理得Xl+x2=4左，X\X2=~

因為，=4y,

所以y=yz=

則4點(diǎn)處的切線方程為y-月=1x1（x-x1）,y-1xi=±%1（久一工1）,

即>=竽-苧，

2

同理可求得B點(diǎn)處的切線方程為y=等-?，

Q苧

2-

3苧

2-

1+

一2k

解得“02

%1%2

%=丁=-m

因為點(diǎn)。在直線了=-2上,

所以-機(jī)=-2,

解得m=2,

則直線N8過定點(diǎn)（0,2）；

（2）由（1）得。（2k,-m）,

因為點(diǎn)。在曲線f=-2y-2±,

所以4廬=2m-2,

第15頁（共17頁）

此時機(jī)21.

由(1)知M(爭，0),N(乎,0),

22

因為S^MNQ=SAQAB=1(2fc+2m)%-x2l=l^+加出-%2I-